线性代数第1章行列式试卷及答案

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线代参考答案(完整版)

线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第一节行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5）（B ）（13-，5）（C ）（13，5-）（D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）2,3==l k ，符号为正；（D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为负。

考研高数之线性代数自我检测试题(附详细答案解析)第一章行列式答案

第一章行列式1.利用对角线计算下列行列式（1） 381 1 4 11 0 2- - - 4 -= （2） ba c a c bcb a 33 3 3 a b c abc - - - = 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数（1） 1 2 34 0 （2） 4 1 3 2 4 （3） 3 4 2 15（4） 2 4 1 33（5） 1 3 ┈（2n1） 2 4 ┈（2n ） 2) 1 ( nn - (6) 1 3 ┈(2n1)(2n)(2n2)┈2 )1 ( - n n 3.写出四阶行列式中含有因子 23 11 a a 的项 4432 23 11 a a a a - 3442 23 11 a a a a 4.用行列式的定义计算下列行列式（1） nn n n a a a a a D 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 1 2 2 1 L L L M M M L M M L L - - =( )nn n a a a L 2 1 2)1 )(2 ( 1 - - - （2） 443332 23 21 1211 4 00 0 0 0 0 0 a a a a a a a D =4432 23 11 44 33 21 12 a a a a a a a a - - 5.计算下列各行列式（1） 07 1 1 02 5 10 2 0 2 1 4 2 1 4= =D 【解析】71120 2 15 4 2 7 711202 15 0 2 0 2 1 4 2 7 0= - - - - - = - - - -（2） abcdef efcfbfde cd bdaeac abD 4 = - - - = （3） ( ) [ ]( )11 - - + - = = n na x x a n xa aa x a aa xD L L L L L L L （4） n D na a a a + + + + =1 1111 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 3 21 L LLL L L L L L na a a a a a a L L L L L L L L L 0 00 0 00 1 1 1 1 13 121 1 - - - + = nni ia a a a L 2 1 1 ) 1 1 ( å = + = （其中 0 2 1 ¹ n a a a L ）6.证明 322) ( 1 1 1 2 2 b a b b a a b aba - = + 利用对角线法则可得证7.计算下列各行列式：（1） ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 0 0 11 0 1 1 1 014+ + + + = - - - = d a cd ab d cb aD 【解析】 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 0 1 1 0 0 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 0 1 1 1 1 1 0 011 0 11 1 01 12 + + + + = - - - - + - - = - - -+ d a cd ab dc d c b a d cb a（2） aa aD nL M M M M L L0 1 0 0 10 = ，其中对角线上的元素都是a ，未写的元素都为零【解析】 )1 ( ) 1 ( 1 )1 ( ) 1 ( 0 0 0 0 1 0 0 1 ) 1 ( 0 00 0 0 0 0 10 01 0 - ´ - + - ´ - ´ ×× - + = n n n n n nn aa a a a aa a aLM LO M L L L MLM M L L L MMMM L L 2- - = n n a a（4） b a c a cb ac b c b a cb a D 2 2 2 + + + + + + =( )32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c b a ba c a cb a b ac b c b a b a c b a D + + = + + + + + + + + + + = （5）125 343 27 64 573425 49 9 16 1 1 1 1- - =D ( ) ( ) 1036812 12 8 9 573 4 573457 3 4 11 1 1 3 3 3 3 2222 - = ´ ´ ´ - = - - - =D 8.解下列方程（1）9 1 32 5 13 2 32 2 1 32 11 22= - - x x 【解析】( )( )( ) 0 31 4 4 0 00 5 1 3 2 0 0 1 0 32 1 1 9 1 32 5 13 2 3 2 2 1 3 2 1 1 2 2222 2= - - - = - - =- - x x x x x x 故可得 1 ± = x 或 2± = x （2）0 00 0 0 = a x a a a x x a a a x a 【解析】 ( )0 0 1 1 1 1 2 00 0 2 2 2 2 00 0 0 a x a aa x xa a x a axaa a x x a a x a x a x a x a a x a a a x x a a a x a + = + + + + =( )( ) ( ) 0 4 0 02 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 = - = - - - - - - - + = - - - - - - - + = a x xxx xa x x a x x x a a a x x a x x a ax a x a 故可得 0 = x ，或者 ax 2 ± =。

线性代数第一章习题参考答案

解：4234231142342311)1342(4432231144322311)1324()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a a =--=-ττ4.计算abcdef abcdef abcdef abcdef efcf bfde cd bdae ac ab r r r r c c c r f r d r a c ec c c b 420020111111111111111111111)1(12133213213211,1,11,1,1-=--=--=---=-----++5．求解下列方程10132301311113230121111112121)1(12322+-++-++=+-++-+=+-+-+++x x x x x x x x x x x x c c r r 1132104201)3(113210111)3(21+-+--++=+-+-++=-x x x x x x x x x r r 3,3,30)3)(3(11421)3(3212-==-==-+=+---++=x x x x x x x x x 得二列展开cx b x a x b c a c a b x c x b x a c b a x c b a x c b a x ====------=32133332222,,0))()()()()((1111)2(得四阶范得蒙行列式6.证明322)(11122)1(b a b b a a b ab a -=+右左证明三行展开先后=-=-=-----=----=+=+--323322222)(11)()()()1(100211122)1(:2132b a b a b a ba ba b a b b a a b b a b a b b ab ab a b b a ab ab ac c c c1432222222222222222222222222(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369(3))(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369c c c ca a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d --++++++++++++==++++++++++++二三列成比例))()()()()()((1111)4(44442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a dcbad c b a D +++------==44444333332222211111)(x d c b a xdcbax d c b a x d c b a x f 五阶范得蒙行列式解考虑函数=（5）))()()()()()(())()()()()()(()()())()()()()()()()()((454545453453d c d b c b d a c a b a d c b a A M D d c d b c b d a c a b a d c b a A ，A x x f ，Ｍx x f D a b b c a b c d b d a d d x c x b x a x ------+++-==------+++-=----------=于是的系数是中而对应的余子式中是（5）n n a a a a a xx x x 12101000000000100001----解：nn n n n n n n n n nn x a x a a x a x a a a a a a a xx x x D +++=-++--+--=---=+++-++++-10)1()1(1211110121)1()1()1()1()1(1000000000100001按最后一行展开7、设n 阶行列式)det(ij a D =把D 的上下翻转、或逆时针旋转090、或依副对角线翻转、依次得111131111211111,,a a a a D a a a a D a a a a D n n nn n nn n nnnn=== 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(证明：将D 上下翻转，相当于将对D 的行进行)1(21-n n 相邻对换得1D ，故D D n nn 2)1(1)1(--=将D 逆时针旋转090相当于将T D 上下翻转，故D n n D n n D T 2)1(2)1(2-=-=D 依副对角线翻转相当于将D 逆时针旋转090变为2D ，然后再2D 左右翻转变为3D ，故D D D D n n n n n n =--=-=---2)1(2)1(22)1(3)1()1()1(8、计算下列行列式（k D 为k 阶行列式）（1）aa D n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；解：)1()1(0100)1(1122211111-=-+=-+==--++-+a a a a a aa a a D n n n n n n n n n n 列展开按行展开按（2）x a a a x a a a x D n=解：xaa x a a a n x x a aa x a a a x D nc c c n111])1([21-+==+++12)]()1([0001])1([1--≥--+=---+=n r r k a x a n x ax a x a a a n x k(3)111111)()1()1()()1()1(11111n a n a a a n a n a a a n a n a a a D n n n n n nnm n -+---+---+--=----+解：11111(1)(1)22111111(1)(1)()(1)(1)()111111111111()()()((1)(1)()(1)(1)()n nnn n n n n n n n n n n j i n n n n mnnna a a n a n a a a n a n D a a a n a n a a a n a n j i a a a n a n a a a n a n ----++++≥>≥------+---+-=--+---+-=-=--=--+---+-∏上下翻11)n j i i j +≥>≥-∏（4）n n nnn d c d c b a b a D11112=（未写出的均为0）解：)1(2)1(211112)(02232--↔↔-===n n n n n n n nnn r r c c nnnnn D c b d a D d c b a d c d c b a b a D mn得递推公式)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D ，而11112c b d a D -=递归得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)det(),||n ij ij D a a i j ==-解111,2,,1120121111110121111210311111230123010001200(1)(1)211201231i i j r r n i n c c n n n n D n n n n n n n n n n n n +-=-+-------==-------------==---------解:11211*222,3,,1111111(6)1111111111101111000111100:01111i n nr r n i n nna a D a a a a a D D a a -=+++=++-+-===+-解111211121,2,,12111(1)1110001(1)0000i inc c na n i ni ina a a a a a a a a a ++==++++==+∑9．设3351110232152113-----=D ，D 的),(j i 元的代数余子式为ij A ，求44333231223A A A A +-+解：24335122313215211322344333231=-----=+-+A A A A。

线性代数1_2章精选练习题

线性代数1_2章精选练习题第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C) k n 2! (D)k n n 2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n4．001001001001000( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 25.001100000100100( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f 中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211a a a a a a a a a D ，则 323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 28．若a a a a a 22211211，则21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 29．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2 , 则 x ( ).(A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)011. 若22351011110403D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组00321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是. 4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式100111010100111.6．行列式100002000010nn .7．行列式01)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D 3332312322211312113233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321D ，j A 4)4,3,2,1( j 为D 中第四行元的代数余子式，则44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a c， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321D ，j A 4为)4,3,2,1(4 j a j 的代数余子式，则4241A A ，4443A A .16．已知行列式nn D10301002112531，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 18．若齐次线性方程组230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a dcbad c b a33332222; 2．yxyx x y x y y x y x ；3．解方程0011011101110 x x xx ； 4．111111321321221221221 n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x ；5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 )；6. bn b b )1(1111211111311 117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a xa a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x ; 10.21 120000021000121 0001211．aa a aa a a a aD 110110001100001.四、证明题1．设1 abcd ，证明：011111111111122222222dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a .3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a . 4．nni in nn n n n n n nna aa aaaaa aa a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明01 11333 c b a c ba 的充要条件是0 cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题2.”“ ;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n ;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ; 8.M 3 ; 9.160 ; 10.4x ; 11.1)( n n ;12.2 ; 13.0; 14.0; 15.9,12 ; 16.)11(!1 nk k n ; 17.3,2 k ;18.7 k 三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ； 2. )(233y x ； 3. 1,0,2 x ; 4.11)(n k kax5.)111()1(00nk knk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ; 7. nk k kna b1)()1(; 8. nk k nk k a x a x 11)()(;9. nk k x 11; 10. 1 n ;11. )1)(1(42a a a . 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

(完整版)行列式习题1附答案.doc

⋯⋯_ ⋯_ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯：⋯号⋯学⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ 线_ 订_ _ 装_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ ⋯：⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯：⋯⋯⋯班⋯⋯⋯《线性代数》第一章练习题⋯⋯一、填空⋯⋯⋯1、(631254) _____________ 8⋯⋯⋯2、要使排列（3729m14n5）偶排列， m =___8____, n =____6_____⋯⋯x 1 13 , x 2 的系数分是⋯3、关于x的多式x x x中含 x -2,4⋯1 2 2x⋯⋯4、 A 3方， A 2， 3A* ____________ 108⋯⋯⋯5、四行列式det( a ij)的次角元素之（即a14a23a32a41）一的符号+⋯⋯1 2 1线1234 2346、求行列式的 (1) =__1000 ；（2）2 4 2 =_0___；封2469 469密10 14 13⋯⋯1 2000 2001 2002⋯0 1 0 2003⋯⋯(3)0 1=___2005____;⋯0 20040 0 0 2005⋯⋯1 2 3⋯中元素 0 的代数余子式的___2____⋯(4) 行列式2 1 0⋯3 4 2⋯⋯1 1 1 1⋯1 5 25⋯ 4 2 3 57、 1 7 49 = 6 ；= 1680⋯16 4 9 25⋯1 8 64⋯64 8 27 125⋯⋯矩方，且，，， A 1 1 。

⋯A 4⋯8、|A|=5 | A*| =__125 | 2A| =__80___ | |=50 1 10 1 2 22 2 2 09、 1 0 1 = 2 。

；3 0121 1 01 01 0 0 0bx ay010、若方程cx az b 有唯一解，abc≠0 cy bz a11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的元素上，行列式12、行列式a11a12a13a14a21a22a23a24 的共有4! 24, 在a11a23 a14a42, a34a12a31a32a33a34a41a42a43a44a34a12a43 a21 是行列式的，符号是 + 。

线性代数第一章行列式训练题解

线性代数第一章行列式训练题一、单项选择题1．二阶行列式1221−−k k ≠0的充分必要条件是（）A ．k ≠–1B ．k ≠3C ．k ≠–1且k ≠3D ．k ≠–1或≠3答案：C2．设行列式2211b ab a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（）A ．–3B ．–1C ．1D ．3 注22112211222111c a c a b a b a c b a c b a +=++答案：D3.如果方程组=+=−=−+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（） A.–2 B.–1C.1D.2 注：使04014013=−−kk答案：B4．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（） A ．–15 B ．–6 C ．6D ．15答案：C 5．3阶行列式ji a =011101110−−−中元素21a 的代数余了式21A =（）A ．–2B ．–1C ．1D ．2 0111)1(12−−+ 答案：C6.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a −−−=（） A.–24 B.–12 C.–6D.12答案：B 7．行列式11110111111110−−−−−−第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A ．–2B ．–1C ．1D ．2答案：B 8.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（）A.m–nB.n–mC.m+nD.–（m+n ）答案：B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。

(完整版)行列式习题答案

线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第一节 n 阶行列式一．选择题1．若行列式 = 0，则[ C ]x52231521-=x （A ）2 （B ）（C ）3（D ）2-3-2．线性方程组，则方程组的解=[ C ]⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ),(21x x （A ）（13，5）（B ）（，5）（C ）（13，）（D ）（）13-5-5,13--3．方程根的个数是[ C ]093142112=x x （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ]（A ）（B ） 665144322315a a a a a a 655344322611a a a a a a （C ）（D ）346542165321a a a a a a 266544133251a a a a a a 5．若是五阶行列式的一项，则的值及该项的符号为[ B ]55443211)541()1(a a a a a l k l k N -ij a l k ,（A ），符号为正；（B ），符号为负；3,2==l k 3,2==l k （C ），符号为正；（D ），符号为负2,3==l k 2,3==l k 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ](A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题1．行列式的充分必要条件是1221--k k 0≠3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是133．已知排列为奇排列，则r =2,8,5s = 5,2,8，t = 8,5,2397461t s r4．在六阶行列式中，应取的符号为负。

ij a 623551461423a a a a a a 三、计算下列行列式：1．=181322133212．=5598413111３．yxyx x y x yyx y x +++332()x y =-+４．=10001100000100100５．000100002000010n n -1(1)!n n -=-６．0011,22111,111 n n nn a a a a a a --(1)212,11(1)n n n n n a a a --=-线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第二节行列式的性质一、选择题：1．如果，，则 [ C ]1333231232221131211==a a a a a a a a a D 3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---==1D （A ）8（B ）（C ）（D ）2412-24-2．如果，，则 [ B ]3333231232221131211==a a a a a a a a a D 2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---==1D （A ）18（B ）（C ）（D ）18-9-27-3． = [ C ]2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a （A ）8 （B ）2（C ）0（D ）6-二、选择题：1．行列式 12246000 2. 行列式-3=30092280923621534215=11101101101101112．多项式的所有根是0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 0,1,2--3．若方程= 0 ，则225143214343314321x x --1,x x =±=4．行列式 5==2100121001210012D 三、计算下列行列式：1．2605232112131412-21214150620.12325062r r +=2．xa a a x a a a x 1[(1)]().n x n a x a -=+--线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第三节行列式按行（列）展开一、选择题：1．若，则中x 的一次项系数是[D]111111111111101-------=x A A （A ）1（B ）（C ）（D ）1-44-2．4阶行列式的值等于 [D ]443322110000000a b a b b a b a （A ）（B ）43214321b b b b a a a a -))((43432121b b a a b b a a --（C ）（D ）43214321b b b b a a a a +))((41413232b b a a b b a a --3．如果，则方程组的解是 [B]122211211=a a a a ⎩⎨⎧=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a （A ），（B ），2221211a b a b x =2211112b a b a x =2221211a b a b x -=2211112b a b a x =（C ），（D ），2221211a b a b x ----=2211112b a b a x ----=2221211a b a b x ----=2211112b a b a x -----=二、填空题：1．行列式中元素3的代数余子式是 -6122305403--2．设行列式，设分布是元素的余子式和代数余子式，4321630211118751=D j j A M 44,j a 4则 =，=-6644434241A A A A +++44434241M M M M +++3．已知四阶行列D 中第三列元素依次为，2，0，1，它们的余子式依次分布为1-5，3，4，则D = -15,7-三、计算行列式：1．321421431432432112341234134101131010141201311123031111310131160.311-==---=-=-2.12111111111na a a +++ ==121111011101110111n a a a+++121111100100100na a a---211112111110010010n c c a a a a a+--+111223211111100001000na a cc a a a a++-+11121101111000000ni ni iia a a c a c a=+++∑1211()(1)nn i i a a a a =+∑或121123113111111000000nn a r r a r r a r r a a a a+------211211212311111000000na a aa a a c c a a a a+++--11122313311111100000ni in nnaa a c c a a a c c a a a a=++++∑1122()(1)nn i ia a a a a =++∑或11221121121110111110111111111(1).n n n n nn i ia a a a a a D a a a a a a a --=++++=+=+=+∑线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号综合练习一、选择题：1．如果，则 = [ C ]0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D 3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D =（A ）2 M（B ）－2 M（C ）8 M（D ）－8 M2．若，则项的系数是[ A ]xxx x x x f 171341073221)(----=2x （A ）34 （B ）25 （C ）74 （D ）6二、选择题：1．若为五阶行列式带正号的一项，则 i = 2 j = 154435231a a a a a j i 2. 设行列式，则第三行各元素余子式之和的值为 8。

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

第一章行列式1.1 目的要求1．会求n 元排列的逆序数；2．会用对角线法则计算2阶和3阶行列式； 3．深入领会行列式的定义；4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质；7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．1.2 重要公式和结论1.2.1 n 阶行列式的定义n 阶行列式 nnn n n n a a a a a a a a a D (2122221)11211=n n np p p tp p p a a a ...)1(212121)...(∑−=.其中是n 个数12…n 的一个排列，t 是此排列的逆序数，∑表示对所有n 元排列求和，故共有n ！项． n p p p ...211.2.2 行列式的性质1．行列式和它的转置行列式相等；2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）；4．行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零；5．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即nn n n in i i nnn n n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a L MMM L M M M L LMM M L MM M L21211121121221111211=++++nnn n ini i na a ab b b a a a L MMM L M M M L 2121112116．把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变． 1.2.3 行列式按行（列）展开设D 为n 阶行列式，则有=∑=nK jkika A 1⎩⎨⎧≠==+++j i ji D A a A a A a jn in j i j i 0...2211=∑=nK jkika A1⎩⎨⎧≠==+++j i ji D A a A a A a jn in j i j i 0 (2211)其中是的代数余子式. st A st a 1.2.４克拉默法则１．如果线性非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L M M M M M L L 22112222212111212111的系数行列式，则方程组有唯一解0≠D DD x 11=（ i=1，2，…，n ），其中是D 中第i 列元素（即的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式．i D i x 2．如果线性齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L M M M M M L L的系数行列式，则方程组只有唯一零解．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式．0≠D 0=D 1.2.5 一些常用的行列式1．上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积.2．设 kk k k a a a a D L M M ML 11111=，nnn nb b b b D L M M M L 11112=，则 211111*********D D b bc c b b c c a a a a nn n nkn n k kkk k =L L M M M MM ML L L MMM L .3．范德蒙行列式)(..................1 (11)11121121i j nj i n nn n n a a aaaa a a −=∏≤<≤−−−.1.2.6 计算行列式的常用方法1．利用对角线法则计算行列式，它只适用于2、3阶行列式； 2．利用n 阶行列式定义计算行列式； 3．利用行列式的性质化三角形法计算行列式； 4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式； 5．利用数学归纳法计算行列式； 6．利用递推公式计算行列式；7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式； 8．利用加边法计算行列式； 9．综合运用上述方法计算行列式.1.3 例题分析例1.1 排列14536287的逆序数为 ( )(A) 8 (B) 7 (C) 10 (D) 9解在排列14536287中，1排在首位，逆序数为0；4、5、6、8各数的前面没有比它们自身大的数，故这四个数的逆序数为0；3的前面比它大的数有2个（4、5），故逆序数为2； 2的前面比它大的数有4个（4、5、3、6），故逆序数为4；7的前面比它大的数有1个（8），故逆序数为1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B ）．例1.2 下列排列中（）是偶排列.(A)54312 (B)51432 (C) 45312 (D) 654321解按照例1的方法计算知：排列54312的逆序数为9；排列51432的逆序数为7；排列45312的逆序数为8；排列654321的逆序数为15；故正确答案为（C ）．例1.3 下列各项中，为某五阶行列式中带正号的项是（）． (A) (B) (C)(D) 5541324413a a a a a 5415413221a a a a a 5214432531a a a a a 5344223115a a a a a 解由行列式的定义知，每一项应取自不同行不同列的五个元素之积，因此(A)、(B)不是五阶行列式的项，但(C)应取负号，故正确答案为（D ）．例1.4 行列式351232113,010101021=−=D D λλλ, 若21D D =，则λ的取值为（） (A) 2, —1 (B) 1, —1 (C)0, 2 (D)0,1解按三阶行列式的对角线法则得.若，则，于是0,)1)(1(221=−+=D D λλ21D D =0)1)(1(2=−+λλ1,1−=λ，故正确答案为（B ）．例1.5 方程组有唯一解，则（）.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321x x x x x x x x x λλλ(A)1−≠λ且2−≠λ (B) 1≠λ且2−≠λ (C) 1≠λ且2≠λ (D) 1−≠λ且2≠λ解由克拉默法则知，当所给非齐次线性方程组的系数行列式不等于0时，该方程组有唯一解，于是令行列式0)1)(2(1111112≠−+=λλλλλ 即1≠λ且2−≠λ，故正确答案为（B ）．例1.6 ==2006200420082006D （）．分析对于2、3阶行列式的计算，元素的数值较小时，可以直接采用对角线法则进行计算；但元素的数值较大时，一般不宜直接采用对角线法则进行计算，而是用行列式的性质进行计算．解此题是一个2阶行列式，虽然可以直接用对角线法则计算，但因数值较大，计算较繁，因此要仔细观察分析，用行列式的性质求解．402221003200622008220062004200820061221=−−+−−−=c c c c D ，故答案为4.例1.7 ==3214214314324321D （）．分析如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法) ．解这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得===321421431432101010103214214314324321D 101230121012101111103214214314321111−−−−−−= 160400004001210111110=−−−=．例1.8设xx x x x x f 111123111212)(−=，则的系数为（），的系数为（）． 4x 3x 分析此类确定系数的题目，首先是利用行列式的定义进行计算．如果用定义比较麻烦时，再考虑用行列式的计算方法进行计算．解从的表达式和行列式的定义可知，当且仅当的主对角线的4个元素的)(x f )(x f积才能得出，其系数显然是2. 当第一行取4x )1(13=a 或)2(14=a ，则含或的行列式的项中是不出现，含的行列式的项中是不出现，于是含的项只能是含，，，的积，故的系数为13a 14a 3x )2(11x a =3x 3x 12a 21a 33a 44a 3x 1−．故答案为2 ，1−．例1.9 设0123411222641232211154321=D ，则（1）=++333231A A A （），（2）=+3534A A （）, （3）=++++5554535251A A A A A （）．分析此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，充分利用按行（列）展开的计算方法来进行技巧计算．解 00123411222221112211154321)(23534333231==++++A A A A A （第2，3行相同）即 =0．同理 )(2)(3534333231A A A A A ++++)()(23534333231A A A A A ++++=0 于是 0， =++333231A A A =+3534A A 0．011111333336412322111543211111111222641232211154321245554535251=+=++++r r A A A A A 故答案为0，0，0．例1.10 2007000000002006000200500020001000L L L MM MM M M L =D .分析当行列式中有较多零元素时，一般可以采用行列式的定义或按行(列)展开来计算.解此行列式刚好只有n 个非零元素，故非零项只有一项：nn n n n a a a a ,,,,112211−−−L nn n n n t a a a a 112211)1(−−−−L ，其中 2)2)(1(−−=n n t ，因此 !2007!2007)1(2)22007)(12007(−=−=−−D ．此题也可以按行(列)展开来计算．例1.11 计算n 阶行列式2111121111211112L M M M M L L L =n D解法1 （行（列）加法）因为这个行列式的每一行的n 个元素的和都为n+1, 所以将第2,3,…,n 列都加到第一列上，得),3,2(,2111121111211111)1(21111211112111111n i r r n n n n n D i n L L M M M ML L L L M M M M L L L =−+=++++=1101000101111)1(+=+n n L M M M M L L L解法2 （加边法）)1,,3,2(211111211111211111210000111+=−==+n i c c D D i n n L L M M M M M LL L L11000101001010100011000011000101001001010001111111121+=++++−−−−+n n r r r n L M M M M M LL L L L L M M M M M L L L L . 解法3 （利用行列式的性质）101010100111112),,3,2(21111211112111121L M M M M L L L L L M M M M L L L −−−=−=n i r r D i n11000100010111121+=++++n n c c c n L M M M M L L L L ．例 1.12 计算nn n n nn n y x y x y x y x y x y x y x y x y x D +++++++++=111111111212221212111L MM M L L . 解当n=2时，))((11111212221221112y y x x y x y x y x y x D −−=++++=当n≥3时，111212112122111121111()()()0()()()n nn n n n x y x y x y x x y x x y x x y D x x y x x y x x y +++−−−==−−−L L M M M L n．例1.13 计算nn n n nn n n x x x x x x a a a a a x a D 1122112321100000000000−−−−−−−−+=L L M M M M M M LL其中．),,2,1(0n i x i L ≠≠解因 )1(11111111x a x x a x a D +=+=+=， 1(221121212112x ax a x x x x a x a D ++=−+=，归纳推得 )1(1121nn n n x a x a x x x D +++=L L ．用数学归纳法证明上式, 假设当k=n-1时结论成立，即)1(11111211−−−−+++=n n n n x a x a x x x D L L . 则当k=n 时，将按第n 列展开，得n D ))(())(()1(122111−−+−−−−−−+=n n n n n n n x x x x a D x D L 1221111)1()1(−−−+−−−+=n n n n n n n x x x x a D x Ln n nn n n n x a x x x x x D x 12211−−−+=L 1(1121nn n x a x ax x x +++=L L 即当k=n 时结论也成立，故对一切自然数结论都成立．例1.14 计算222111222333n nn nD n n n =L L L M M M L 解（利用范德蒙行列式计算）1113213211111!−−−==n n n Tnn n n n D D L MMM M LL )]1([)2()24)(23)(1()13)(12(!−−−−−−−−=n n n n n L L L !2)!2()!1(!L −−=n n n ．例 1.15 计算 βαβαβαβαβαβαβαβα+++++=L L MM M M ML LL 000000000000n D .解按第一列把D n 分成两个行列式的和+++++=βαβαβαβαβαβαααL L M M M M M L L L000000000000000n D βαβαβαβαβαβαβαβ++++L L MM MM M LL L0000000000000n n n D D βαβαββαβαβα+=+=−−110000000000000000L L MM M M M L L L (1) +++++=βαβαβαβαβαβααβL L M M M M M L L L000000000000000n D βαβαβαβαβαβαβαα++++L L MM MM M LL L 00000000000000n n n D D αβαβααβαβαβ+=+=−−1100000000000000L L M MM M M L L L (2) (a) 当βα≠时，由（1）（2）得 =, 则n n D βα+−1nn D αβ+−1βαβα−−=−nn n D 1.于是 βαβα−−=++11n n n D ．(b) 当βα=时，由（1）得．n n n n n D D ααα)1(1+==+=−L例1.16 设, 证明：0>>>c b a 01222<++abca bc c b a cb a cabc ab . 证明将行列式的第1行)(c b a ++×，第2行)1(−×，然后加到第3行，得ca bc ab ca bc ab ca bc ab c b a c b a ab ca bc c b a c b a ++++++=222222 222222111)(111)(c b a c b a ca bc ab c b a c b aca bc ab ++=++= ))()()((a b b c a c ca bc ab −−−++=于是，不等式的左边=))()((a b b c a c −−−.由于,从而，0>>>c b a 0)(<−a c 0)(,0)(<−<−a b b c ，因此，当时,0>>>c b a 01222<++abca bc c b a cb a cabc ab ．例 1.17 设在上连续,在内可导，试证：至少存在一个)(),(),(x h x g x f ],[b a ),(b a ),(b a ∈ξ，使得0)(=′ξH .其中 )()()()()()()()()()(x h x g x f b h b g b f a h a g a f x H =．证明由题设知在上连续,在内可导，又由行列式的性质可知，于是由洛尔中值定理可知，至少存在一个)(x H ],[b a ),(b a 0)()(==b H a H ),(b a ∈ξ，使得0)(=′ξH ．1.4 独立作业1.4.1 基础训练1．设ij a D =为阶行列式,则在行列式中的符号为( ) ． n 11342312n n n a a a a a −L (A) 正 (B) 负 (C) (D) 1)1(−−n 2)1()1(−−n n2．行列式为0的充分条件是（）．n D(A) 零元素的个数大于n; (B) 中各行元素的和为零； n D (C) 次对角线上元素全为零; (D) 主对角线上元素全为零． 3．行列式不为零，利用行列式的性质对进行变换后，行列式的值（）． n D n D (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D)保持相同的正负号．4．方程0881441221111132=−−x x x的根为（）．(A) 1，2，2− (B)1，2，3 (C)1，1−，2 (D)0，1，25．如果4333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=−−−−−−=33323331232223211312131********a a a a a a a a a a a a D （）． (A)-12 (B)12 (C)48 (D)-486．行列式=9092709262514251（）.7．ab b a log 11log = ( ).8．行列式c b d c a b cb a , 则=++312111A A A （）.9．函数x x x x x f 121312)(−=中,的系数为（）.3x 10．4444333322225432154321543215432111111= ( ).11．49362516362516925169416941， 12．00000000x y y x y x x y D = 13．20000120000001301200101−−=D ， 14．xyz zx yyz x 111 15．520003520003520035200035， 16．44342414433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++17．nn n n a a a a a a b b b b b 13221132100000000−−−−−L M M M M M LL L ,（其中),,2,1(,0n i a i L =≠） 18．n x x x D L M M M M LL L 01001001111021= (),,2,1,0n i x i L =≠ 19．43211111111111111111x x x x ++++， 20．nL M M M ML L L 22223222222222121．211121112L L L L L L =n D .22．当μ取何值时，齐次线性方程组有非零解？⎪⎩⎪⎨⎧=−−+−=−+−=−++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ23．证明αααααααsin )1sin(cos 210001cos 200000cos 210001cos 210001cos 2+=n L L M MM M M LL L (其中0sin ≠α)．1.4.2 提高练习1．设A 为n 阶方阵，为*A A 的伴随矩阵，则*A A 为（） (A) 2A (B) 12−n A(C) nA2 (D) nA2．设A 为n 阶方阵，B 为m 阶方阵，=00A B( ). (A)B A − (B) B A (C) B A mn )1(− (D) B A n m +−)1(3．若xxx x x x g 171341073221)(−−−−=，则的系数为（）. 2x (A) 29 (B) 38 (C) —22 (D) 344．347534453542333322212223212−−−−−−−−−−−−−−−=x x x x x x x x x x x x x x x x g(x)，则方程=)(x g 0的根的个数为（）. (A)1 (B)2 (C)3 (D)45．当（）时，方程组只有零解.≠a ⎪⎩⎪⎨⎧=+−=++=+02020z y ax z ax x z ax (A)-1 (B) 0 (C) -2 (D) 26．排列可经过（）次对换后变为排列. n r r r r L 321121r r r r n n n L −−7．四阶行列式中带负号且含有因子和的项为（）.12a 21a 8．设y x ,为实数，则当=x （），=y ( )时，010100=−−−x yy x . 9．设A 为4阶方阵，B 为5阶方阵，且,2,2−==B A 则 =−A B ( ),=−B A （）.10．设A ,B 为n 阶方阵，且,2,3−==B A 则 =−1*3B A ( ). 11．设A 为3阶正交矩阵，0>A ，若73=+B A ，则=+T AB E 21（）. 12．设，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=653042001A =+−12A E （）.13．解方程组011112222212112=nnnnnnn b b b b b b b b b x x x L M M M M L L L ，其中为各不相同的常数. n b b b b ,,,,321L 14．证明：)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d nn n n n n L M M M L L =∑=ni nn n n in i i n x a x a x a x a dx d x a dx d x a dx d x a x a x a 1212111211)()()()()()()()()(LM M M L M M M L 15．设xx x x x x x g 620321)(332=，求)(x g ′.16．设17131231533111)(85222−−−−−−=x x x x x x x g ，试证：存在)1,0(∈ξ，使得0)(=′ξg .17．证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 18．设z y x ,,是互异的实数，证明：0111333=z y x z y x 的充要条件是0=++z y x . 19．设4322321143113151−=A ，计算44434241A A A A +++的值，其中是)4,3,2,1(4=i A i A 的代数余子式.20．利用克莱默法则求解方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−=−+3232222321321321x x x x x x x x x 21．求极限111cos sin 3212sin 1231lim23x x x x x x x →.第一章参考答案1.4 独立作业 1.4.1 基础训练1． (C) 2． (B) 3． (C) 4．(A) 5． (B)6．解=×==17092142512000200070922000425190927092625142515682000.7．0 ， 8．解 0111312111==++cb c a cb A A A ，故答案为09．解因为在此行列式的展开式中，含有的只有主对角线上的元素的积，故答案为 10．解由范德蒙行列式得行列式的值为2883x 2−11．解0222222229753169411311971197597531694149362516362516925169416941===.12．解 x y x y x x xyy yxy xyyx y xxy D 0000000000000000−−==22222)(y x xyyx x x yy x y −−=−= 13．解 0131201014200013120101220000120000001301200101−×−=−×−=−−=D 20311243131200014=−−×−=−−×−=14．解 yzx z x y x z y x z x y z x y yzx xy zzx yyz x−−−−=−−−−−−=11))(()(0)(01111=))()((x z z y y x −−−15．解 520003520003520003500003352000352000352000352000325200035200035200035200035+= =5203520035200353252000352000352000350000332000320000320000320000325+=+==L 665 16．解1413121414131213141312121413121144342414433323134232221241312111y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x −−−+−−−+−−−+−−−+=++++++++++++++++=017．解132111322113210000000)1(00000000−+−−−−−−×−=−−−=n n n n n n n n a a a a b a a a a a a b b b b b D L MMM M MLL L L M M M M M M L L L=−−×+−−−−12221122100n n n n n a a a a a b b b b a L MMM M M LL L ==+−L L 121n n n n nD a a b a a a )(121∑=ni ii n a b a a a L18．解由第()列的i n i ,,2,1L =ix 1−倍加到第一列上去. nni inx x x x x x x D L MM M ML L LL MM M M LL L 0000000011111001001111021121∑=−===)1(121∑=−n i i n x x x x L19．解43211114321100100111111111111111111x x x x x x x x x x x −−−+=++++432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x −−−++++==3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++20．解 2020012000200021222232222222221−−=n nL MM M M LL L L M M M M L L L 20212002−−=n L M M M ML L =)!2(2−−n 21．解 211121111)1(211121111211121112L LL L L L L L L L L L L L L L L L +=+++==n n n n D n 1101011001)1(+=+=n n L L L L L L22．解由齐次线性方程组有非零解的条件可知0111213142=−−−−−−μμμ 解之得μ=0,2,3. 于是当μ=0，2，3时，齐次方程组有非零解.⎪⎩⎪⎨⎧=−−+−=−+−=−++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ23．证明 (1)当时，结论显然成立, (2)假设当1=n k n ≤时,结论成立, (3)当时1+=k n11cos 2101cos 200000cos 210001cos 210001cos 2++=k k D αααααL L M M M M ML L Lkk D ααααcos 21010000cos 210001cos 2100001)1(cos 23L M M M M M LL L L −+=ααααααααααsin )2sin(sin sin sin sin cos 2sin )1sin(cos 21+=−=−+=−k k k D k k ααsin ]1)1sin[(++=k 故结论成立． 1.4.2 提高练习1．B , 2．C , 3．D , 4．B , 5．D, 6.2)1(−n n , 7． 44332112a a a a 8．0, 0, 9．32, 64 , 10．2312−−n , 11．277, 12．6 13．提示：用范德蒙行列式将行列式展开求解，答案为i b x =，（n i ,,2,1L =）， 14．(用行列式的定义和导数的运算法则)证明))()()()1(()()()()()()()()()(11)(12122221112112211x a x a x a dx dx a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d n n p p p p p p t nn n n n n L L M M ML L L ∑−== ))())(()()()1((111)(12211x a x a dx d x a x a n i n p p p p p p p tL L L ∑−=∑=ni nn n n in i i n x a x a x a x a dx d x a dx d x a dx d x a x a x a 1212111211)()()()()()()()()(LMM M L M M M L15．利用(14)的结论进行计算便可得结果，答案为6．2x 16．（用罗尔中值定理证）证明（1）显然是多项式，故在上连续，在()(x g )(x g ]1,0[)1,0内可导，且，从而由罗尔中值定理知，存在0)1()0(==g g )1,0(∈ξ，使得0)(=′ξg ． 17．用行列式的性质3的推论（同济四版）18．证明 33333333333301111x z xy xz xy x z x y x x z x y x z y x z y x−−−−=−−−−=0))()()((11))((2222=++−−−=++++−−=z y x y z x z x y xxz z x xy y x z x y 由于z y x ,,是互异的实数，故要使上式成立，当且仅当0=++z y x .19．解 6111132114311315144434241=−=+++A A A A , 20． 11=x ，， 22=x 33=x 21．解 (用罗必塔法则求解)11100013212001230000111231001100sin cos 3212sin 123230cos 11231lim1101cos sin 3212sin 1231lim223230=+=−+=→→x x x x x x x x x x x x x x x x x。

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第一章行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000a b abc d c d=（ B ） A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。

2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A24+A 44=_______。

解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。

解答：0)(1010022=+-=--=---b a ab ba ab b a a =0, b =06. 设13124321322)(+--+-+=x x x x f ，则2x 的系数为 23 。

7. 五阶行列式=6200357020381002300031000___________。

解答：423212331)1(620035702038100230003100032=⨯⨯-=⨯8. （考研题）多项式211111)(321321321321+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。

9、（考研题）设xdc bd xcb dc xb dc bx x f =)(，则方程0)(=x f 的根为=x 。

【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。

再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的第四根)(d c b x ++-=。

故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。

二、计算题1、计算0001000200020120002013000002014D =。

【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项：nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2)2)(1(--=n n t ，因此 (20141)(20142)2(1)2014!2014!D --=-=方法二：按行列展开的方法也行。

2、计算行列式 3214214314324321=D 。

分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法).解这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得===321421431432101010103214214314324321D 10111123413412412311110121101210321-=-----1604004001210111110=---=3．计算n 222232222222221的值。

解： 2020012000200021222232222222221--=n n202012002--=n=)!2(2--n4、计算5阶行列式：40030807009000605020001+++++++++=a a a a a a a a a D 的值。

【分析】仿照上题的思路。

1256(9)78341234(9)56781256(9)4(9)3478a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++++=+++++++++=+=+++++5、计算行列式11111111139271248----的值。

分析经过仔细观察会发现，这个行列式是个4阶范德蒙行列式的转置，所以利用范德蒙行列式的结论就可轻松算出行列式的值为240。

6、行列式4100034100034100034100034= 。

分析对于此类三对角行列式，一般采用的是递推法。

按第一列展开，有34412534410341034344100341003410003)1(41003410034100344D D D D -=⨯-=⨯-+⨯=+故有5312323234453)4316(3)(3)(3)(3=--=-=-=-=-D D D D D D D D于是36433333]3)3[(3)3(3543215432543545=++++=+++=++=+=D D D D D7.求行列式1111111111111111--+---+---x x x x 的值。

【分析】利用行列式的性质，将第2，3，4列加到第1列上得4000000000111111111111111111111111111111111111111111111111x xx x xx x xxx xx x xx x x xx x x x xx x x x x x =---=-----=-----+---=-----+---=--+---+---8、计算n 阶行列式abbbbb a b b b b b a b b bbbabb b b b a D n=。

【分析】行列式特点是各列（各行）元素之和都是b n a )1(-+，故可把各行（各列）元素均加至第一行，提出公因子b n a )1(-+，然后各行再减去第一行：abbbbb a b b b b b a b b b b b a bbn a b n a b n a b n a b n a D n)1()1()1()1()1(-+-+-+-+-+=ba ba b a b a b n a abb bbb a b b b b b a b b b b b a bb n a -----+=-+=000000000000011111])1([11111])1([1)]()1([---+=n b a b n a9.计算行列式nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a【分析】方法一：利用行列式性质，将原行列式化为上三角行列式。

)11(000011110011112121111211∑∑==+=++=--+=ni in nni inn a a a a a a a a a a a a a a D方法二：利用加边的方法1112211121211111111011110001111000111110111110001(1)0000n nnni inn i ina a D a a a a a a a a a a a a +==+-=+=-+-+==+∑∑10.计算行列式444422221111d c b a dcbad c b a D =的值。

【分析】利用范作范德蒙行列式444443333322222111111x d c b a x d c b a x d c b a xd c b aD =，则行列式D 就是行列式1D 元素3x 的余子式45M ，即45M D =又))()()()()()()()()((1a b b c a c c d b d a d d x c x b x a x D ----------=此式3x 的系数是))()()()()()((a b b c a c c d b d a d d c b a ------+++-也为1D 中元素3x 的代数余子式45A ，因为4545A M -=所以，))()()()()()((111144442222a b b c a c c d b d a d d c b a d c b a dcbad c b a D ------+++==。