线性代数第一章 行列式
第一章 行列式
第一章行列式行列式是一个重要的数学工具．它广泛应用于理、工、农、医、经济等很多领域。
在线性代数中，行列式更是一种不可或缺的重要工具.本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——Cramer（克莱姆）法则.§1.1 行列式定义一、数域定义1.1 设P是含有0和1的一个数集，若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中，则称P为一个数域．如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果任在P中，则称P对这个运算封闭。
因此数域的定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域. 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域依次用Q、R、C来记。
全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一定是整数.要指出的是所有的数域都包含有理数域。
这是因为如果P是一个数域，则1在P中且由于P对加法封闭，所以1+1=2，2+1=3， ，n+1全在P中，即P包含全体自然数；又因0在P中且P对减法封闭，于是 0 - n = - n在P中,所以P包含全体整数；因为任意一个有理数都可表为两个整数的商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数。
即任何一个数域都包含有理数域.今后本教材中所论及的数都是指某一固定数域中的数，文中一般不再特别加以说明.二、排列为了给出n阶行列式的定义，先介绍n级排列的概念．定义1.2 由自然数1 ，2 ，…，n组成的全排列称为n级排列．记作i1 i2…i nn级排列共有n!个.n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.一个n级排列i1 i2…i n的逆序总数称为此排列的逆序数，记作 （i1i2…i n）．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．因 τ（1 2 … n ）= 0，所以排列1 2 … n 是偶排列。
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和a j n=迟（-1）"" "a ij i a2j2...a nj n j l j2 j n（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式D=D T）②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式皿厂代数余子式A j =（-1）厲皿耳定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：D j非齐次线性方程组：当系数行列式D式0时，有唯一解：X j =—=1、2……n）D齐次线性方程组：当系数行列式D=1^0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式:a ii a i2 a i3 a ii a2i a3i①转置行列式：a2i a 22 a23 T a i2 a22 a32a3i a 32 a 33 a i3 a23 a33②对称行列式：a j = a j i③反对称行列式：a j = -a ji奇数阶的反对称行列式值为零⑤上（下）三角形行列式： 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、lA* B = ( a ik )m*l * (b kj )l*n 二(•— a ik b kj ) m*n乘法1注意什么时候有意义般AB=BA ，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0或B=0方幕：A kl A k ^ A k1 k2(A kl )k2 = A kl k2对角矩阵:若 AB 都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……） 单位矩阵、上 （下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方是0a 11 a 12 a 13④三线性行列式：a 21 a 22a 31a 33方法：用k022把a 2i 化为零，。
第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
线代1-1
例8 证明
a21 a22 0 D
an1 an 2 ann
下三角行列式
a11
上三角行列式
N ( j1 j2 jn )
证
a21 D
0 a22
a11
a12 a1n
1 2 n 1 2 n
N( j j j ) a21 a22 a2 n a1 j a2 j anj 1 D
an1 an 2 ann
11
线性代数 第一章 行列式
主对角线下（上）方元素都为0 的行列式叫做上（下）三角行列式
a11 0 0 0 0 a a a ; 11 22 nn
第一章 行列式
§1.1 n 阶行列式的定义
§1.2 行列式的性质 §1.3 行列式按行（列）展开 §1.4 克莱姆法则
线性代数 第一章 行列式
1
§1.1
一．二阶和三阶行列式 1．二阶行列式 记号
n阶行列式的定义
a11 a21
a12 为二阶行列式，表示代数和 a11a22 a12a21 a22 a12 a11a22 a12 a21 a22
1
N ( n( n 1 )21 )
a1n a2 ,n1 an1
n
1
12 n
证毕
线性代数 第一章 行列式
13
进一步的结论 : 1）行列式的某行（或某列）元素全为0，则此行列式的值为0。
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n
2）
D
解 P3 3 2 1 6
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
第一章 行列式
6
λ2 ⋰
λ1
n ( n −1)
= (−1) 2 λ1λ2 ⋯λn
λn
例 1.5 计算上三角行列式
a11 a12 ⋯ a1n
D=
a22 ⋯ a2n ⋱⋮
ann
解 由于当 i > j 时， aij = 0 ，故 D 中可能不为 0 的元素 aipi ，其下标应有
pi ≥ i ，即 p1 ≥ 1, p2 ≥ 2, ⋯, pn ≥ n 。
（1.7）式简记为 det(aij ) ，数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素。 例 1.4 计算行列式
1 2 D= 3 4 解 这是一个四阶行列式，按定义 1.5 展开得
∑ D = (−1)τ a a 1p1 2 p2 a a 3 p3 4 p4
在展开式中应该有 4!= 24 ，注意到，当 p1 ≠ 4 时 a1p1 = 0 ，从而这一项就等
1
类似地，（1.2）式的分子也可写成二阶行列式
b1a22
− a12b2
=
b1 b2
a12 a22
， a11b2
− b1a21
=
a11 a21
b1 b2
那么（1.2）式可写成
b1 a12
a11 b1
x1 =
b2 a11
a22 a12
， x2
=
a12 a11
b2 a12
a21 a22
a21 a22
二、三阶行列式的定义
如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有τ i 个，就是说 pi 这个元素的逆序数是τ i ，
3
全体元素的逆序数的总数
就是这个排列的逆序数。
n
∑ τ = τ1 + τ 2 + ⋯ + τ n = τ i
线性代数 行列式
同济大学
第一章 行列式
§1 二、三阶行列式
n
用消元法解线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2
n
得
( a11a22 − a12a21 ) x1 = b1a22 − b2a12 ( a11a22 − a12a21 ) x2 = b2a11 − b1a21
=
−
2 2 − 3 4 r3 −2 r2 , r4 + r2 = − 2 3 7 −1 5 6
2 −1 1 2 2 −1 1 2 c3 ↔ c4 0 1 4 − 3 r4 +10 r3 0 1 4 − 3 = = 0 0 −1 9 0 0 −1 9 0 = 92 0 10 2 0 0 0 92
例2
2 6 −4 D= 3 2 0 4 1 5
2 6 −4 2 6 −4 3a 2a 0 = a3 2 0 = aD 4 1 5 4 1 5
推论
n
n
n
（1）行列式某行（列）有公因式，可提 到行列式前面 （2）如果行列式两行（列）元素对应成 比例，该行列式为零 （3）如果行列式有零行（列），行列式 结果为零
a + ( n − 1)b b L a b a−b O a−b L b = [a + (n − 1)b]( a − b) n −1
=
例4
a D4 = b c a +b+c d a +b+c +d
ri −ri−1,i=4,3,2
a b =
c
d a +b+c
a a +b
0 a a +b
线性代数-行列式(完整版)
a11a22 a12a21
数a（ ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横 排称为行， 竖排称为列 ,
aij中i称为行标, j称为列标, aij 表示第i行第j列元素, 左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线， 例１
5 1 3 2
5 2 (1) 3 13
a21 a22 a31 a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
主对角线法
a11
a12
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a21 a22 a31 a32
9
例4 计算三阶行列式
定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。
证明：
19
对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成 …kj… (2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未 发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)
n!个） 称为一个n级排列（总数为 . 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个： 123 132 213 231 312 321 注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相
反)——构成逆序.
15
(2)排列的逆序数
定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in).
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例3 证明 n 阶上三角行列式
a11 a12
Un
a22
a1n a2n a11a22 ann
ann
例4 证明 n 阶行列式
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式，如果把行列式 D 的行列互换（行
线性代数是高等院校理工和经管各专业本科生的一 门必修的数学基础课程，它既是其它数学课程的必备基 础，也是解决实际问题的重要工具．
本课程主要是介绍线性代数理论的经典内容，包括 行列式、矩阵、线性空间、线性方程组、线性变换、特 征值和特征向量、二次型等，并以附录形式简单介绍了 欧氏空间．
第一章 行列式
第一节 行列式的基本概念
一、行列式的定义
１. 排列及逆序数
定义1 将 n 个不同的自然数 m1, m2 ,
一个有序数组称为一个 n 级排列.
, mn组成的
定义1＇ 将自然数 1, 2, , n 组成的一个有序数组称 为一个 n 级排列．
例1 试写出所有的 3 级排列．
1 2 3, 13 2, 213, 2 31, 31 2, 3 21
不同列的 n 个数的乘积
的代数和，
a a a 1 j1 2 j2
njn
（2）
其中 j1 j2 jn 是 1, 2, , n 的一个 n 级排列，并且
对每一个乘积项（２）式冠以正负号，规定：
当 j1 j2 当 j1 j2
于是
jn 是偶排列时，（２）式带正号； jn 是奇排列时，（２）式带负号．
a11 a12 D a21 a22
an1 an2
a1n
a2n
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
ann
（3）
其中 表示对所有 n 级排列的求和． j1 j2 jn
定义5 在（１）式中，将 a11a22 ann 所在的那条对
角线称为行列式的主对角线; 而另外一条对角线称为
变为列，列变为行），就得到一个新的行列式
a11 a21
an1
DT a12 a22
an2
a1n a2n
ann
将行列式 DT 称为 D 的转置行列式．
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即
a11 a12
a1n a11 a21
an1
a21 a22
a2n a12 a22
an2
an1 an2
ann a1n a2n
１）一阶行列式 | a | a
注意：这个符号不要与绝对值的符号相混淆． ２）二阶行列式
a11 a21
a12 a22
(1) (12) a11a22 (1) (21) a12a21 a11a22 a12a21
主对角线上的两个元素的乘积减去副对角线上两个
元素的乘积．
对角线法则
a11 a12 a21 a22
３）三阶行列式
对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 实线上三元素的乘积冠以正号，虚线上三元素 的乘积冠以负号．
(1)n( j1 j2 jn ) (1) ( j1 j2 jn )
２. 行列式的定义
定义4 将由 n2 个数 aij (i, j 1, 2, , n) 组成的算式
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
（1）
an1 an2
ann
称为 n 阶行列式，算式 D 定义为所有取自不同行
例2 计算三阶行列式
1 3 2 D 3 2 2
2 1 1
解 由对角线法则，有
D 1 2 (1) 3 2 2 (2) (3) 1 1 21 3 (3) (1) (2) 2 2
2 12 6 2 9 8 13
符号 ( i,ห้องสมุดไป่ตู้j ) 表示．
定理 1 任何一个对换都可以改变排列的奇偶性，也 就是说，经过一次对换，偶排列变成奇排列，奇排列 变成偶排列．
定理2 设 j1 j2 jn 是任意一个 n 级排列，则
j1 j2 jn 与 1 2 n 可以经过一系列对换互变，
并且所作对换的个数 n( j1 j2 jn ) 的奇偶性与逆序 数 ( j1 j2 jn ) 的奇偶性相同， 即
一般地，可利用如下方法计算 n 级排列的逆序数：
设 j1 j2 jn 是一个 n 级排列，如果把排在 ji
（ i 1, 2, , n ）前面且比 ji 大的数的个数记为 si，
则 j1 j2 jn 的逆序数为
例如
( j1 j2 jn ) s1 s2 sn
(2 3 5 41) 0 0 0 1 4 5
ann
提示：此性质说明，行列式中的行与列是对称的， 即行和列具有同等的地位．对行成立的性质，对 列也成立；对列成立的性质，对行也成立．
性质2 交换行列式两行（列）的位置得到的新行列 式与原行列式相差一个负号．
副对角线，即
a1na2,n1 an1
所在的对角线．将除了主对角线以外元素全为 0 的行
列式称为对角行列式；将主对角线以下都是 0 的行列 式称为上三角行列式， 即
当 i j 时，aij 0 ； 将主对角线以上都是0的行列式称为下三角行列式，即
当 i j 时，aij 0．
低阶行列式的计算
(3 2 5 41) 0 1 0 1 4 6
(1 2 n) 0 0 0 0．
定义3 在一个 n 级排列中，如果把这个排列里的任
意两个数 i 和 j 交换一下位置，而其余的数保持不
动，那么就得到了一个新的 n 级排列．对排列施行 这样的一个变化称为 n 级排列的一次对换，并且用
定义 2 在一个 n 级排列中，如果某两个数的前后 位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么就称它们为一个逆序，一个排列中逆序的总数 就称为这个排列的逆序数．
通常，将 j1 j2 jn 的逆序数记成 ( j1 j2 jn )， 并且我们将逆序数为奇数的排列称为奇排列，将逆 序数为偶数的排列称为偶排列．