线性代数：行列式的计算
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。
一、按定义式计算行列式：按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。
按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。
我们通常会采用其他方法来计算行列式。
计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。
行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。
利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。
对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。
具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。
三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。
即M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。
矩阵的代数余子式A_{ij}定义为A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}。
线性代数行列式计算总结
线性代数行列式计算总结线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在矩阵理论、线性方程组的解法、线性空间与线性变换以及特征值与特征向量的计算中都起到至关重要的作用。
行列式的计算方法有很多，下面我将总结一下常见的行列式计算方法。
首先，我们先来定义什么是一个行列式。
行列式是一个标量，它是一个n阶方阵所带的一个数值特征。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为，A，或者det(A)，它的计算方法如下所示。
1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶方阵A=，a11a12a21a2它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22-a12*a212.三阶行列式的计算方法对于一个三阶方阵A=，a11a12a13a21a22a2a31a32a3它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a13*a22*a31-a12*a21*a33-a11*a23*a323.高阶行列式的计算方法对于一个高阶方阵A，可以通过对其中一行或一列进行展开来计算行列式。
展开的方式有很多种，常用的有代数余子式展开和化简为三角行列式展开两种。
3.1代数余子式展开对于一个n阶方阵A，选择一行或一列展开，计算每个元素的代数余子式，然后按照正负交替的方式相乘相加得到行列式的值。
具体步骤如下：- 选择第i行展开，行列式的值为，A， = ai1*C_1i + ai2*C_2i+ ... + ain*C_ni- 其中，C_ij是元素a_ij的代数余子式，计算方法是去掉第i行和第j列剩余元素构成的(n-1)阶子阵的行列式。
3.2三角行列式展开对于一个n阶方阵A，通过初等变换将方阵化为上三角形或下三角形，然后计算对角线的乘积得到行列式的值。
除了以上两种展开的方法，还可以通过矩阵的特征值和特征向量计算行列式的值。
具体步骤是：-计算矩阵A的特征值λ_1,λ_2,...,λ_n-计算矩阵A的特征向量v_1,v_2,...,v_n-行列式的值等于特征值的乘积：，A，=λ_1*λ_2*...*λ_n行列式的计算方法还有很多，比如拉普拉斯展开、按行或按列展开等。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法
空格
行列式是线性代数的基本概念，它具有重要的应用价值。
它的计算方法也有很多，下面主要介绍几种行列式计算的方法。
一、展开式法
把行列式的每一行的元素乘以其所在的代数余子式的值，再将所有的积相加，得到的结果就是行列式的值。
这种方法理论上可以计算任何n阶的行列式，但当n阶较大时，展开比较繁琐，耗时也较长。
二、余子式法
计算第i行列式的方法是：取行列式的第i行，取其余行，去掉第i列，再找出这些行的代数余子式，再将每一行所对应的代数余子式乘以该行第i位置上的元素，再将所有的乘积之和，得到的结果就是行列式的值。
三、乘法法
若用行列式的乘法法来计算三阶行列式，则将行列式的三行分别乘以它们的代数余子式，将结果相加。
其中要用到符号乘，只要熟悉符号乘的规则，就可以简单地进行计算。
四、分块法
分块法是将行列式分解成几个临时的小行列式，再用余子式或展开式算出小行列式的值，再将小行列式的值按一定的规则组合起来，就得到原行列式的值了。
分块法优点是计算过程不复杂，缺点是分解成的小行列式的值计算比较复杂。
五、行变换法
用行变换法计算行列式的方法是：先将行列式的几行或几列进行线性变换，使行列式某一行或某一列为0，再将变换后的行列式化简为方阵或三角阵，再求解，之后再换回原行列式，则可以得出原行列式的值。
以上就是常用的几种行列式计算方法，不同的方法各有优劣，使用者可根据具体情况选择合适的方法用于行列式计算。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解向量空间的性质和线性变换的特征。
在实际应用中，计算行列式有多种方法，包括拉普拉斯展开、按行（列）展开、特征多项式等。
本文将详细介绍行列式的几种常见计算方法，并举例说明其应用。
拉普拉斯展开法是计算行列式最常用的方法之一。
在计算n阶行列式时，通过选取任意一行或者一列，我们可以将行列式展开为n个n-1阶的代数余子式的和。
具体步骤如下：以一个具体例子来说明，计算3阶行列式：|A| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9|选择第一行展开，展开过程为：|A| = 1*|5 6| - 2*|4 6| + 3*|4 5|4*|8 9| 5*|7 9| 6*|7 8|= 1*(5*9-6*8) - 2*(4*9-6*7) + 3*(4*8-5*7)= 1*(45-48) - 2*(36-42) + 3*(32-35)= 1*(-3) - 2*(-6) + 3*(-3)= -3 + 12 - 9= 0行列式的值为0。
特征多项式是计算行列式的另一种方法。
如果A是一个n阶矩阵，那么它的特征多项式定义为p(λ) = |A-λI|其中I是单位矩阵，λ是一个标量。
行列式的值等于特征多项式在λ=0处的值p(0)。
特征多项式的计算可以借助行列式的展开法来进行，通过计算A-λI的行列式，展开得到一个n次多项式，然后求解该多项式在λ=0处的值即可得到行列式的值。
下面举一个具体的例子来说明特征多项式的计算方法。
考虑一个2阶矩阵A的特征多项式：A = |a b||c d|则特征多项式为p(λ) = |A-λI|= |a-λ b||c d-λ|展开得到p(λ) = (a-λ)(d-λ) - bc= λ^2 - (a+d)λ + (ad-bc)= λ^2 - tr(A)λ + det(A)其中tr(A)是A的迹，det(A)是A的行列式。
行列式的值等于特征多项式在λ=0处的值，即为det(A)。
线性代数行列式的性质与计算
线性代数行列式的性质与计算线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在各个领域的数学和物理问题中都具有广泛的应用和重要性。
行列式是一个数，它与矩阵的元素有关，在许多情况下可以通过一些算法进行计算。
一、行列式的性质1.行列式有可加性：若A为n阶方阵，有两列完全相同，则行列式的值为0；若A为n阶方阵，交换两列，行列式的值变号。
2.行列式有因子约束：若A的其中一行或其中一列的元素是两个数之和，则A的行列式等于这两个数的和的行列式之和。
3.行列式有数乘的性质：若将A的其中一行或其中一列的元素都乘以k，则A的行列式等于k乘以这个行列式。
4.行列式对其中一行与另一行的代换变号，对其中一列与另一列的代换变号，换行、换列对行列式无影响。
5.方阵A与其转置矩阵A'行列式相等，即，A，=，A'。
6.若A为可逆的方阵，则，A，≠0；若A的其中一行全为0，则，A，=0。
二、行列式的计算1.二阶行列式的计算：设A为二阶方阵。
2.三阶行列式的计算：设A为三阶方阵a11a12a1A=，a21a22a23a31a32a33.高阶行列式的计算：a)拉普拉斯展开法：以行或列为基准进行展开，逐步减小行列式的阶数，直至计算到二阶行列式。
b)三角形矩阵法：若A为上（下）三角矩阵，则A的行列式等于对角元素的乘积。
c)伴随矩阵法：设A为n阶方阵，A的伴随矩阵的转置矩阵为A*，则，A，=，A*，=A*A^-1d)特征值法：设A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则，A，=λ1λ2…λn.e)克拉默法则：若Ax=b为线性方程组，其中A为n阶方阵，且，A，≠0，则方程组有唯一解x=A^-1b.总之，行列式作为一种数学工具，在线性代数中具有重要的地位和作用。
它不仅可以帮助我们判断矩阵的可逆性，还可以求解线性方程组、计算矩阵的秩、判断矩阵的相似性等。
行列式的性质和计算方法可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的相关知识。
线性代数技巧行列式的计算方法
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由i j j i a a =-知i i ii a a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnnaa a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例 3 计算n 阶行列式a b b b b a b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b bb a n b a b b D a n b b a b a n bb b a+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b bba=+-100[(1)]000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，通常用于计算矩阵的逆、解线性方程组等问题。
本文将介绍行列式的几种计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二阶行列式就是二阶矩阵的行列式，计算公式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$ 分别表示矩阵的四个元素。
计算二阶行列式时，可以直接套用上面的公式进行计算。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12} $$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$ 分别表示矩阵的九个元素。
计算三阶行列式时，可以采用如下方法：（1）按照第一行、第一列、第二列的顺序计算，得到三个二阶行列式；（2）按照上述公式计算三个二阶行列式对应的乘积和。
3. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种通用的行列式计算方法。
它的基本思想是，将行列式按照一行或一列进行展开，转化为若干个小的行列式之和。
具体步骤如下：（1）选择一行或一列作为基准行（列）；（2）对于基准行（列）中的每个元素，求它所在子矩阵的行列式，乘以对应的余子式（代数余子式）；（3）将所有乘积相加。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
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0 0
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D
0 1997 0 0 0 1998 0 0 0 0 0 0 0 0 1
a1 0 4. 四阶行列式 0 b4
0 a2 b3 0
0 b2 a3 0
b1 0 0 a4
5. 设四阶行列式D4
a b c c b d d b c a b d
1的前面比1大的数有一个 2k ), 故逆序数为 ; ( 1
( 2k 1)的前面比( 2k 1)大的数有一个( 2k ), 故 逆序数为 ; 1
2的前面比2大的数有两个( 2k ,2k 1), 故逆序 数为2; 2k 2的前面比2k 2大的数有两个 2k ,2k (
1), 故逆序数为2; k 1的前面比k 1大的数有k 1个( 2k ,2k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1, , k 2), 故逆序数为k 1; k 1的前面比k 1大的数有k 1个( 2k ,2k 1, , k 2), 故逆序数为k 1; k的前面比k大的数有k个( 2k ,2k 1,, k 1), 故逆序数为k;
0 a12 a 21 a 22 D5 a 31 a 32 0 a 42 0 a 52 a13 a 23 a 33 a 43 a 53 0 0 a 24 a 25 a 34 a 35 0 0 0 0
例２
解 设 D 5中第1,2,3,4,5行的元素分别为a 1 p1 , a 2 p2 ,
a 3 p3 , a 4 p4 , a 5 p5 , 那么，由D 5中第1,2,3,4,5行可能 的非零元素分别得到
i 1 n i 1 n i 1 n
n
a1 a 2 a n x a2 an x an x
Dn1 x ai a2
i 1
x ai a2 a3
提取第一列的公因子，得
a1 a 2 a n x a2 an n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 x a n . i 1 1 1 1 a2 a3 x
x1 x 2 x n a( x1 x 2 x n1 x1 x 3 x n x 2 x 3 x n ).
当 x1 x 2 x n 0时，还可改写成
D n x 1 x 2 x n [1 a(
1 x1
1 x2
1 xn
)].
评注 本题是利用行列式的性 质把所给的n阶 行列式 D n 用同样形式的 n 1阶行列式表示出来 , 建立了 D n 与n 1阶行列式 D n 1 之间的递推关系有 . 时，还可以把给定的 阶行列式 D n 用同样形式的 n 比 n 1阶更低阶的行列式表示 ，建立比 n 1阶行 列式更低阶行列式之间 的递推关系.
D1 40, D3 20.
由克莱姆法则，得 D D D a 1 2, b 2 3, c 3 1. D D D 于是，所求的多项式为
f ( x ) 2 x 2 3 x 1.
一、填空题
1. 若Dn aij a , 则D aij
2. 行列式
a a x n D n 1 , a a
从而 Dn x1 x 2 x n1 a x n Dn1 .
由此递推，得
D n 1 x 1 x 2 x n 2 a x n 1 D n 2 , 于是 D n x 1 x 2 x n １a x 1 x 2 x n 2 a x n x n x n 1 D n 2 .
三、克拉默法则
当线性方程组方程个数与未知数个数相等、 且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为 了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适 当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数 的线性方程组后再求解．
例10
求一个二次多项式 f ( x ), 使 f (1) 0, f ( 2) 3, f ( 3) 28.
典
型
例
题
一、计算排列的逆序数
二、计算（证明）行列式
三、克拉默法则
一、计算排列的逆序数
例１ 求排列 2k 12k 122k 2 32k 3
k 1k 的逆序数, 并讨论奇偶性.
解 分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和，即算出排列中每个元素的逆序数．
2k排在首位, 故逆序数为 ; 0
所以,当n 1, n 2时, 结论成立. 假设对阶数小于 的行列式结论成立 下证对 n ,
于阶数等于n的行列式也成立 现将 D n 按最后一行 . 展开, 得
Dn 2 cos Dn1 Dn 2 .
由归纳假设,
D n 1 cos(n 1) , D cos(n 2) ,
次数自左至右按递升次 序排列，但不是从 变到 0 n 1, 而是由1递升至n.若提取各行的公因子， 则方 幂次数便从0增至n 1，于是得到 1 1 1
1 2 n 1 3 . n
n 1 n 1
1 Dn n! 1 1
2 3 n
2 2 3 n
2
2
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
2 于零. n n还多，则此行列式必等
２
利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例3
计算
1
1
1
2 n 2 2 2 3 32 3n . Dn
n
n
2
nn
解 D n 中各行元素分别是一个 数的不同方幂, 方幂
一般来讲,当行列式已告诉其结果而要我们 , 证明是与自然数有关的 结论时, 可考虑用数学归 纳法来证明如果未告诉结果 也可先猜想其结果 . , , 然后用数学归纳法证明 其猜想结果成立 .
小结 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
将第1列的( a 1)倍加到第2列，将第1列的 ( a２)倍加到第3列， , 将第1列的( a n )倍加到最 后一列，得
1 0 0 1 x a1 0 n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 a1 x a 2 i 1 1 a 2 a1 a 3 a 2
d a a c
,
则A14 A24 A34 A44
6. 在五阶行列式中 12a53a41a24a35的符号为 a
2x 1 1 x 中x 3的系数是 x 7. 在函数f x x x 1 2
8. 若a, b为实数, 则当a
a b 0
4
用递推法计算 计算
例８
a x1 a a a x2 Dn a a a
a a . xn
解 依第n列把 D n 拆成两个行列式之和
a x1 Dn a a a a x1 a a a
a a x2 a a a a x2 a a
a a a x n 1 a a a a x n 1 a
a a a a 0 0 . 0 xn
右端的第一个行列式 将第n列的( 1)倍分别 , 加到第1,2, , n 1列, 右端的第二个行列式按 n 第 列展开, 得 x1 0 0 0 x2 0 Dn 0 0 x n 1 0 0 0
于是排列的逆序数为
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1
2
k
k2
当 k 为偶数时，排列为偶排列，
当 k 为奇数时，排列为奇排列．
二、计算（证明）行列式
１ 用定义计算（证明） 用行列式定义计算
如此继续下去，可得
D n x 1 x 2 x n １a x 1 x 2 x n 2 a x n x 1 x 2 a x 4 x n x n x n 1 x 3 D 2
x1 x 2 x n１a x1 x 2 x n 2 a x n x1 x 2 a x 4 x n x n x n 1 x 3 ( a x 1 a x 2 x 1 x 2 )
n 2
Dn 2 cos cos(n 1) cos(n 2) [cos n cos(n 2) ] cos(n 2) cos n ;
所以对一切自然数 结论成立. n
评注 为了将 D n 展开成能用其同型的D n 1 ,
D n 2 表示, 本例必须按第n行(或第n列)展开, 不能 按第1行(或第1列)展开, 否则所得的低阶行列式 不 是与 D n同型的行列式.
p1 2,3; p3 1,2,3,4,5; p 1,2,3,4,5; 2 p 2,3; 4 p5 2,3.
因为 p1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 在上述可能取的代码中 , 一个5元排列也不能组成， 故 D 5 0.
评注 本例是从一般项入手，将行标按标准 顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注 意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般 方法． 注意 如果一个n阶行列式中等于零的元 素比
解
设所求的二次多项式为
f ( x ) a x2 bx c,
由题意得
f (1) a b c 0, f ( 2 ) 4a 2b c 3 , f ( 3) 9a 3b c 28,
这是一个关于三个未知 a , b, c的线性方程组. 数
D 20 0, D2 60,