线性代数第一章行列式试题及答案
线性代数第一章(答案)
第一章 行列式一 填空题1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为 （n-1）！2.行列式12n λλλ=(1)212(1)n n n λλλ--3. 行列式1112131422232433344400a a a a a a a a a a 的值11223344a a a a4.在n 阶行列式A =|ij a |中,若j i <时, ij a =0(j i ,=1,2,…,n),则A =1122nna a a解: A 其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=106. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为107. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为 -a 12a 21a 33a 44 . 解：四阶行列式中包含a 12和a 21的项只有-a 12a 21a 33a 44和a 12a 21a 43a 348.在函数xx xx x x f 21112)(---=中,3x 的系数为 -2解: 行列式展开式中只有对角线展开项为3x 项.9. 行 列 式xx x x x 2213212113215 含 4x 的项410x解：含4x 的 项 应 为4443322111025x x x x x a a a a =⋅⋅⋅=.10. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a = 0 解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变11. =5678901201140010302001000 120 .解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式12.行列式ccb ba a ------1111111的值是 1 。
解ccb ba a------1111111=1011111a b b cc----=101111a b cc--=1010101abc =113. 行 列 式210000121000002100001200000121012-------- 的值是 27 。
线性代数每章习题
线性代数每章习题第一章 行列式一、判断题1、排列213是一个奇排列。
（ ）2、行列式主对角线上的元素全为零，则行列式的值必为零。
（ ）3、如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例,那么这个行列式的值为零。
（ ）4、两个行列式相加，等于对应元素相加。
（ ）5、333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=---------。
（ ）6、行列式等于任意行元素与其对应的余子式乘积的代数和。
（ ）7、把行列式的行和相应的列互换，则行列式的值变号。
（ ） 二、填空题1、43_________75=。
2、135135___________263=。
3、行列式334513221--中元素2的代数余子式为___________。
三、计算（1）102125113（2）讨论当k 为何值时，11001100002002k D kk=≠。
第二章 矩阵一、判断题1、所有的矩阵都是可逆的。
（ ）2、设B A ,是n 阶可逆方阵，则111()AB A B ---=。
（ ）3、若矩阵A 的秩为r ，则矩阵A 的所有1r +阶子式均为零。
（ ）4、若矩阵A 的所有r 阶子式均为零，则矩阵A 的秩小于r 。
（ ）5、n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠。
（ ）二、填空题1、当a 满足 时，矩阵131A a ⎛⎫=⎪-⎝⎭可逆。
2、设A 是可逆矩阵，且2A AB E +=，则A -=1 。
3、112________35-⎛⎫= ⎪⎝⎭。
4、矩阵10114063030002000000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭的秩为________________。
5、若矩阵110A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的秩为1，则a 应满足的条件为 。
三、计算题1、计算矩阵的乘积111310012011131320--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭。
线性代数第一章习题答案
线性代数第一章习题答案第一章：行列式答案第一节A 类题1 –42 3333c b a abc ---3 404 1 第二节A 类题 1 .(1) 7 (2) 4 (3)11 (4) (1)2n n -2.(1) i=8,j=3 (2) i=6,j=8B 类题1. (1)2n n -2. (1)n n -3.(1)2n n T --第三节A 类题1 （1）-3 （ 2）4433211244322311a a a a a a a a -- （3）45x （4）!)1(n n -2 （1）1123344255112335425414233142551423354251152331425 41523344251;;;;;a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---（2）5244312513a a a a a ；5441322513a a a a a ；5142342513a a a a a （3）负号“—” 3 0==b a 4 -2第五节A 类题1 （1）0 （2）-312（3）22x y （4）[]1(1)()n a n b a b -+-- (5) 2--n n a a(6) ∏∑==???? ?-ni i ni i a a a 1101 (7) 12 ()2'6x x F =3 δ33-=-ihgf e dc b aB 类题1把第n-1列的-1倍加到第n 列，第n-2列的-1倍加到第n-1列，----第一列的-1倍加到第二列，直接化为三角形行列式n 22)n 1-n 1+-）（（）（2. ()∏∑==-??? ??+ni i ni i a x a x 113. 12122111)2(2122112121110)2(2--≥--=--+--≥-∑n n j ji n n c c i r r D .第六节A 类题1（1）1（2）44a b -（3）()()()()a b c b a c a c b ++---（4）按第一列展开()n n n y x 11+-+2 34M ，()61122112=-=+M A3．0B 类题1 31234()a a a a x x ++++2 按第n 行展开，即可，n n n n n n x x a x a x a x a a ++++++----11222213 ∏≥≥≥++-11121j i n j j i i n n n na b a b a a a第七节A 类题1()313,4,32;2=-==++=c b a c bx ax x f 2满足01113111121111=-=ba a D 的4)1+=a b （ 3 利用范德蒙德行列式计算，解是 4 -6 4 -1B 类题111112222333344440a b c d a b c d a b c d a b c d =章节测试题一选择题1D 2D 3A 4C 5c 二填空121D D D --= 2 –5 3 –3 4 2d 5 ()()n n n a a 1211--三计算1-∑=ni i n a a a a 10112()()()121+---n x x x3、将前n 列加到最后一列，再按最后一列展开得 n n n a a a n D 211)1)(1(-+=+.4 122123112154314321321------=n n n n n n n n nn D n =12212311215431432111112)1(-----+n n n n n nn n n n（各列加到第一列提取公因子=12212311215431432111112)1(-----+n n n n n nn n n n（从第n 行开始减去他的前一行）= 111111111111131111200012)1(nn n n n n n n -----+（按第一列展开）11111111111111112)1( nn n n n n ----+=21)1(12)1(+---n n n n n 四．解方程组（每题10分，共20分）1. 1,1,1;2,2,2,021531211113211321==-====-=≠=-=x x DDx D D D D2.21λ=或。
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000a b abc d c d=（ B ） A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。
2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A24+A 44=_______。
解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。
线性代数第一章(答案)
第一章 行列式一 填空题1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为 （n-1）！2.行列式12nλλλ= (1)212(1)n n n λλλ--3. 行列式1112131422232433344400a a a a a a a a a a 的值11223344a a a a4.在n 阶行列式A =|ij a |中,若j i <时, ij a =0(j i ,=1,2,…,n),则A =1122nna a a解: A 其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=106. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为107. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为 -a 12a 21a 33a 44 . 解：四阶行列式中包含a 12和a 21的项只有-a 12a 21a 33a 44和a 12a 21a 43a 348.在函数xx xx x x f 21112)(---=中,3x 的系数为 -2解: 行列式展开式中只有对角线展开项为3x 项.9. 行 列 式xxxx x 2213212113215 含 4x 的项410x解：含4x 的 项 应 为4443322111025x x x x x a a a a =⋅⋅⋅=.10. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a = 0 解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变11. =5678901201140010300200100 120 .解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式12.行列式cc b b aa------1111111的值是 1 。
解cc b b a a ------1111111=111111a bbc c----=1010111ab c c--=1010101ab c =113. 行 列 式21000012100002100001200000121000012-------- 的 值是 27 。
(完整版)行列式习题1附答案.doc
⋯⋯_ ⋯_ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯：⋯号⋯学⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ 线_ 订_ _ 装_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ ⋯：⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯：⋯⋯⋯班⋯⋯⋯《线性代数》第一章练习题⋯⋯一、填空⋯⋯⋯1、(631254) _____________ 8⋯⋯⋯2、要使排列（3729m14n5）偶排列， m =___8____, n =____6_____⋯⋯x 1 13 , x 2 的系数分是⋯3、关于x的多式x x x中含 x -2,4⋯1 2 2x⋯⋯4、 A 3方， A 2， 3A* ____________ 108⋯⋯⋯5、四行列式det( a ij)的次角元素之（即a14a23a32a41）一的符号+⋯⋯1 2 1线1234 2346、求行列式的 (1) =__1000 ；（2）2 4 2 =_0___；封2469 469密10 14 13⋯⋯1 2000 2001 2002⋯0 1 0 2003⋯⋯(3)0 1=___2005____;⋯0 20040 0 0 2005⋯⋯1 2 3⋯中元素 0 的代数余子式的___2____⋯(4) 行列式2 1 0⋯3 4 2⋯⋯1 1 1 1⋯1 5 25⋯ 4 2 3 57、 1 7 49 = 6 ；= 1680⋯16 4 9 25⋯1 8 64⋯64 8 27 125⋯⋯矩方，且，，， A 1 1 。
⋯A 4⋯8、|A|=5 | A*| =__125 | 2A| =__80___ | |=50 1 10 1 2 22 2 2 09、 1 0 1 = 2 。
；3 0121 1 01 01 0 0 0bx ay010、若方程cx az b 有唯一解，abc≠0 cy bz a11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的元素上，行列式12、行列式a11a12a13a14a21a22a23a24 的共有4! 24, 在a11a23 a14a42, a34a12a31a32a33a34a41a42a43a44a34a12a43 a21 是行列式的，符号是 + 。
线性代数第一章行列式训练题解
线性代数第一章行列式训练题一、单项选择题1．二阶行列式1221−−k k ≠0的充分必要条件是（ ）A ．k ≠–1B ．k ≠3C ．k ≠–1且k ≠3D ．k ≠–1或≠3答案：C2．设行列式2211b ab a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）A ．–3B ．–1C ．1D ．3 注22112211222111c a c a b a b a c b a c b a +=++答案：D3.如果方程组=+=−=−+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ ） A.–2 B.–1C.1D.2 注：使04014013=−−kk答案：B4．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．–15 B ．–6 C ．6D ．15答案：C 5．3阶行列式ji a =011101110−−−中元素21a 的代数余了式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2 0111)1(12−−+ 答案：C6.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a −−−=（ ） A.–24 B.–12 C.–6D.12答案：B 7．行列式11110111111110−−−−−−第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2答案：B 8.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m–nB.n–mC.m+nD.–（m+n ）答案：B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
(完整版)行列式习题答案
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 n 阶 行 列 式一．选择题1．若行列式 = 0，则[ C ]x52231521-=x （A ）2 （B ）（C ）3（D ）2-3-2．线性方程组，则方程组的解=[ C ]⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ),(21x x （A ）（13，5）（B ）（，5）（C ）（13，）（D ）（）13-5-5,13--3．方程根的个数是[ C ]093142112=x x （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ]（A ） （B ） 665144322315a a a a a a 655344322611a a a a a a （C ） （D ）346542165321a a a a a a 266544133251a a a a a a 5．若是五阶行列式的一项，则的值及该项的符号为[ B ]55443211)541()1(a a a a a l k l k N -ij a l k ,（A ），符号为正； （B ），符号为负；3,2==l k 3,2==l k （C ），符号为正；（D ），符号为负2,3==l k 2,3==l k 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ](A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题1．行列式的充分必要条件是1221--k k 0≠3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是133．已知排列为奇排列，则r =2,8,5s = 5,2,8，t = 8,5,2397461t s r4．在六阶行列式中，应取的符号为 负 。
ij a 623551461423a a a a a a 三、计算下列行列式：1．=181322133212．=5598413111３．yxyx x y x yyx y x +++332()x y =-+４．=10001100000100100５．000100002000010n n -1(1)!n n -=-６．0011,22111,111 n n nn a a a a a a --(1)212,11(1)n n n n n a a a --=-线性代数练习题 第一章 行 列 式系专业 班 姓名 学号第二节 行列式的性质一、选择题：1．如果， ，则 [ C ]1333231232221131211==a a a a a a a a a D 3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---==1D （A ）8（B ）（C ）（D ）2412-24-2．如果，，则 [ B ]3333231232221131211==a a a a a a a a a D 2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---==1D （A ）18（B ） （C ）（D ）18-9-27-3． = [ C ]2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a （A ）8 （B ）2（C ）0（D ）6-二、选择题：1．行列式 12246000 2. 行列式-3=30092280923621534215=11101101101101112．多项式的所有根是0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 0,1,2--3．若方程= 0 ，则225143214343314321x x --1,x x =±=4．行列式 5==2100121001210012D 三、计算下列行列式：1．2605232112131412-21214150620.12325062r r +=2．xa a a x a a a x 1[(1)]().n x n a x a -=+--线性代数练习题 第一章 行 列 式系专业 班 姓名 学号第三节 行列式按行（列）展开一、选择题：1．若，则中x 的一次项系数是[D]111111111111101-------=x A A （A ）1（B ）（C ）（D ）1-44-2．4阶行列式的值等于 [D ]443322110000000a b a b b a b a （A ） （B ）43214321b b b b a a a a -))((43432121b b a a b b a a --（C ）（D ）43214321b b b b a a a a +))((41413232b b a a b b a a --3．如果，则方程组 的解是 [B]122211211=a a a a ⎩⎨⎧=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a （A ）， （B ），2221211a b a b x =2211112b a b a x =2221211a b a b x -=2211112b a b a x =（C ）， （D ），2221211a b a b x ----=2211112b a b a x ----=2221211a b a b x ----=2211112b a b a x -----=二、填空题：1．行列式 中元素3的代数余子式是 -6122305403--2．设行列式，设分布是元素的余子式和代数余子式，4321630211118751=D j j A M 44,j a 4则 =，=-6644434241A A A A +++44434241M M M M +++3．已知四阶行列D 中第三列元素依次为，2，0，1，它们的余子式依次分布为1-5，3，4，则D = -15,7-三、计算行列式：1．321421431432432112341234134101131010141201311123031111310131160.311-==---=-=-2.12111111111na a a +++ ==121111011101110111n a a a+++121111100100100na a a---211112111110010010n c c a a a a a+--+111223211111100001000na a cc a a a a++-+11121101111000000ni ni iia a a c a c a=+++∑1211()(1)nn i i a a a a =+∑或121123113111111000000nn a r r a r r a r r a a a a+------211211212311111000000na a aa a a c c a a a a+++--11122313311111100000ni in nnaa a c c a a a c c a a a a=++++∑1122()(1)nn i ia a a a a =++∑或11221121121110111110111111111(1).n n n n nn i ia a a a a a D a a a a a a a --=++++=+=+=+∑线性代数练习题 第一章 行 列 式系专业 班 姓名学号综 合 练 习一、选择题：1．如果，则 = [ C ]0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D 3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D =（A ）2 M（B ）－2 M（C ）8 M（D ）－8 M2．若，则项的系数是[ A ]xxx x x x f 171341073221)(----=2x （A ）34 （B ）25 （C ）74 （D ）6二、选择题：1．若为五阶行列式带正号的一项，则 i = 2 j = 154435231a a a a a j i 2. 设行列式，则第三行各元素余子式之和的值为 8。
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如何复习线形代数线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系.在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题.一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，第一章行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12 (1)a21 a22 (2)……….a n1 a n2…a nn如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|.意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)一般地,一个n阶行列式a11 a12 (1)a21 a22 (2)………a n1 a n2…a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:nnjjjaaa2121,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。
所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:2323215634,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.则项nnjjjaaa2121所乘的是.)1()(21njj jτ-即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。
至此我们可以写出n阶行列式的值:a11 a12 (1)a21 a22…a2n =.)1(21212121)(nnnnjjjjj jjj jaaaτ-∑………a n1 a n2…a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式. 用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 3、对角行列式计算行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线.对角行列式,上三角、下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的乘积。
关于副对角线：(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-4、代数余子式把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.5、化零降阶法化零降阶法 用行列式的性质把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式；或者直接把行列式化成三角行列式， 化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 6、行列式的性质① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | .② 某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A |=c n |A |. ③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如|,1+2|=|,1|+|,2|.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥ 如果在行列式某一行、列的元素，加上另一行、列对应元素的K 倍，则行列式的值不变。
⑦某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. 7.范德蒙行列式：形如1 1 1 … 1 a 1 a2 a3 … a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … …a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-I 的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j ji a a -∏<因此范德蒙行列式不等于0 a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.8、克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0，则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,,D n /D),这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值。
说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值，因此法则的主要意义在理论上，用在对解的唯一性的判断。
法则的改进:系数行列式不等于0是非齐次线性方程组有唯一解的充要条件. 用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |0，或者表述为：如果齐次方程组有非0解，则它的系数行列式|A |=0。
第四章可证明：|A |=0是齐次方程组有非0解的充要条件。
例 题一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.解：a 12a 21a 33a 44中列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”, 所以答案为 2. 写出四阶行列式中含有因子2311,a a 的项。
解：44322311a a a a -或42342311a a a a 3. 在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a .解：15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”.4. 在函数xx x x x x f 21112)(---=中, x 3的系数是______.解: x 3的系数只要考察234222x x xx x x+-=--,所以x 3前的系数为2.5. 行列式45123213231213x xD x x x=-，4D 的展开式中，4x 的系数是 ，3x 的系数是。
解：利用行列式的性质，将含有变量x 的项移到主对角线上。
将行列式的第2、3行交换，得xxx x x D 31213123232154--=（第1行)51(-⨯加到第2列）5123181205552131213x x x x-=-- 含4x ，3x 的项仅有主对角线上元素乘积项，即44332211)1234()1(a a a a τ--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅-⋅=)3()51(5x x x x 43153x x =-所以，4x ，3x 的系数分别是15，3-。
6. 设a , b 为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, 010100=---a b ba.解：0)(11010022=+-=--=---b a ab ba ab b a . 所以a = b = 0.7. 在n 阶行列式D = |a ij |中, 当i < j 时a ij = 0 (i , j =1, 2, …, n ), 则D = ______.解: nn nnn n a a a a a a a a a22112122211100=8. 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A , 其中A j (j = 1, 2, 3)是A 的第j 行, 则行列式=-121332A A A A ______.解:=-121332A A A A 6||33233211213=-=-=-A A A A A A A A二．计算证明题1.计算以下行列式的值2. 设a ，b ，c 是互异的实数，证明：333111c b a c b a=0的充要条件是0=++c b a 解：()()()()()()()()()()()0001112233333333=++---=--+--=-----=----c b a b c a c a b ab b ac c a c a b a b a c a c a b ac a b a c ab因为a ，b ，c 是互异的实数，所以0=++c b a 。
3. 设).(',62321)(232x F xx x xxxx F 求= 解：x x x x x x x F 620321)(232==xx x x x x 3103211222=xx xx x x 310201222=xx x x x 3102101222=()()311222312x x x x =--+ 所以 26)('x x F =4. 计算n 阶行列式nx x x nx x x nx x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ³ 2).n x x x n x x x nx x x D n n n n ++++++=222222111+n x x nx x nx x n n ++++++ 2121212211=n x x x x n x x x x nx x x x n n nn++++++ 33322221111+n x x x nx x x n x x x n n n ++++++ 323232222111+nx x x n x x x nx x x n n n++++++313131222111+nx x nx x nx x n n ++++++ 3213213212211=－nx x x n x x x nx x x n n n ++++++ 313131222111=－nx x x n x x x nx x x n n n +++ 111222111－nx x nx x nx x n n +++ 3131312211= 0当2=n 2122112121x x x x x x -=++++5.设4322321143113151||-=A 计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = ?, 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解：6320111262061601260315111113211431131511=----=--=-=A6.已知4521011130112101--=A 试求：（1）42322212A A A A -+-=（2）44434241A A A A +++= 解：（1）42322212A A A A -+-=0（2）解 ：16107105111102010*********111011130112101-=----=--=--=A 根据第5、6题可以总结：代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0 ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A7.试证: 如果n 次多项式nn x C x C C x f ++=10)(对n + 1个不同的x 值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x 0, x 1, …, x n . 将它们代入多项式, 得关于C i 方程组00010=++nn x C x C C01110=++nn x C x C C…………010=++nn n n x C x C C系数行列式为x 0, x 1, …, x n 的范德蒙行列式, 不为0. 所以010====n C C C()i j j i nnn nnnn n nnn n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A -∏=→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=<2112102122102101111111因为x 的值各不相同，所以0≠A ，0≠A ⇔齐次线性方程组只有0解。