“植树问题”数学模型
7.3 植树问题(例3 练习二十四)(教案)-五年级上册数学人教版
7.3 植树问题（例3 练习二十四）（教案）一、教学目标1. 让学生掌握植树问题的基本模型，并能运用植树问题的方法解决实际问题。
2. 培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3. 培养学生合作交流、共同探讨的学习习惯，增强学生的团队协作意识。
二、教学内容1. 植树问题的基本模型2. 植树问题的解决方法3. 植树问题的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：植树问题的基本模型及其解决方法2. 教学难点：植树问题的实际应用四、教学过程1. 导入通过创设情境，引导学生回顾已学的植树问题，为新课的学习做好铺垫。
2. 新课1. 植树问题的基本模型通过例3，引导学生观察、分析植树问题的基本模型，总结出植树问题的解决方法。
2. 植树问题的解决方法引导学生通过小组合作，探讨植树问题的解决方法，总结出规律。
3. 植树问题的应用通过练习二十四，让学生独立解决实际问题，巩固所学知识。
3. 巩固练习让学生完成练习二十四，检验学生对植树问题的掌握程度。
4. 总结通过本节课的学习，让学生了解植树问题的基本模型及其解决方法，并能将其应用于实际问题。
五、课后作业1. 让学生完成练习二十四的剩余题目。
2. 让学生结合生活实际，找出植树问题的应用实例，并尝试解决。
六、教学反思本节课通过植树问题的学习，让学生掌握了植树问题的基本模型及其解决方法，提高了学生的逻辑思维能力。
在教学过程中，教师应注重引导学生观察、分析、抽象、概括，培养学生的合作交流、共同探讨的学习习惯，增强学生的团队协作意识。
同时，教师还应关注学生的个体差异，给予学生充分的思考空间，鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的数学素养。
重点关注的细节是“植树问题的解决方法”。
植树问题的解决方法详细补充和说明：植树问题通常涉及在一条线上（如直线、圆形路径等）以一定的间隔植树，问题是确定需要多少棵树，或者给定树的数量，求间隔是多少。
这类问题在数学中很常见，特别是在小学数学教育中，它们帮助学生理解基本的数学概念和解决问题的策略。
《植树问题》ppt课件
经济林培育
种植具有经济价值的树木，如果树、茶树等，促进农业多元化发展 。
林业资源开发与利用
合理规划林业资源，实现林业可持续发展。
社会公益活动与宣传推广
义务植树活动
组织社会各界人士参与义务植树活动，提高公众环保意识 。
环保宣传教育
通过植树活动宣传环保理念，提高公众环保意识和参与度 。
度加大。
资金投入不足
植树造林需要投入大量资金， 但目前政府和社会各界投入的
资金仍显不足。
技术水平有限
植树造林技术相对落后，缺乏 针对不同地区和树种的精细化
管理技术。
植树问题的发展前景与趋势
生态修复需求增长
随着生态环境恶化，生态修复 需求不断增长，为植树造林提
供了广阔的市场空间。
政策支持力度加大
政府将加大对植树造林的政策 支持力度，推动生态文明建设 。
在公园、广场等公共场所大面积植树，为市民提 供休闲娱乐的绿色空间。
生态环境保护与治理
水土保持
通过植树造林，防止水 土流失，保护土壤资源 。
治理荒漠化
在荒漠地区植树造林， 防止沙漠化扩张，改善 生态环境。
生物多样性保护
通过植树为野生动植物 提供栖息地，维护生物 多样性。
农业发展与林业生产
农田防护林建设
。
对数型植树
02
按照对数增长的规律进行植树，树的数量随时间呈对数级增长
。
非线性模型的数学表达
03
通过一元或多元非线性方程来描述和求解。
离散模型
1 2
离散时间植树
在特定时间点进行植树，如每年春季植树一次。
离散空间植树
在特定地点进行植树，如公园、街道、学校等场 所。
对《植树问题》基本数学模型的研究-2019年文档
对《植树问题》基本数学模型的研究一、我们的实践第一课时：用直观图理解“间隔排列”，学会用一一对应的方法来分析两个量之间的数量关系。
1.通过重复画三角形和圆形，让学生理解像一个三角形隔着一个圆形的排列就叫做间隔排列。
2.用情境图进一步巩固“间隔排列和一一对应分析方法”，感悟出：首尾相同，两种物体数量相差1；首尾例外，两种物体数量相等。
第二课时：研究详尽的植树问题，得出棵数与间隔数是“间隔排列”的，并能用“一一对应”的方法分析它们之间的数量关系。
提供一道“数字较小”的开放题：例1：学校计划在一条长20米小路的一边种树，如果每隔5米种一棵树，需几棵树呢？通过让学生画图，提供直观的研究素材，并提示思考方向，重点沟通“三种类型”的联系。
二、怎一个难字了得《植树问题》是一个经典的问题。
在实践中，众多教师感到“植树问题”难教，多数学生感觉难学。
这是什么原因呢？老师难教在哪里？1.“学生一做作业就闷了！”2.“植树问题到底要教什么？”学生难学在哪里？1.学生对三种情况的理解不深刻，对于其他间隔问题不能进行数学化的抽象，尤其是对什么相当于“点”、什么相当于“段”弄不清晰。
2.学生不能根据植树中的间隔情况对应解决生活中其他的间隔问题。
对于什么时候加1？什么时候减1？什么时候既不加又不减混淆不清。
3.学生只会机械使用三种方法进行计算，多数学生并不会数学分析，而是靠死板记忆，机械模仿。
三、我们上下而求索1.版本A：用一一对应思想解决植树问题环节一：自主探究提供一道“数字较小”的开放题：元旦快到了，大家一起装扮教室，在一条长20分米的黑板边上，挂着灯笼和彩带，每5分米长的彩带挂1个灯笼。
可以挂几个灯笼？（1）让学生画图，再列式计算，反馈：你是怎么挂的？明确什么和什么东西是一一间隔排列？是怎么排列的？再说说每个算式表示的含义。
（2）引导沟通三种挂法之间的联系。
①这几种类型又有什么相同的地方？发现段数相同，可用“总长÷每段彩带长度=彩带段数”计算出段数。
从具体到抽象,感悟模型意识——以“植树问题”单元整体教学为例
从具体到抽象，感悟模型意识——以“植树问题”单元整体教学为例一、教学目标分析1. 模型思想的体验与探究在《植树问题》的教学中，模型思想是一个核心概念。
模型思想不仅是学生理解数学与现实世界联系的桥梁，而且是培养学生推理能力、概括能力和解决问题能力的关键。
例如，当面对一个实际的植树问题，学生首先通过观察、猜测、试验和推理等活动，对问题进行初步的探究。
在这个过程中，学生可以初步体会到数学模型的思想，即如何将实际问题抽象为一个数学问题，然后利用数学工具进行求解。
2. 有效方法的探索与实践教学过程中，学生需要探索和实践解决植树问题的有效方法。
一个重要的方法是画线段图。
例如，在解决线段型植树问题时，学生可以通过画线段图来直观地表示树的位置和间隔。
这种方法不仅可以帮助学生直观地理解问题，而且可以培养他们探索解决问题的能力。
同时，通过对比和分析不同类型的植树问题，学生还可以深入理解这些问题之间的异同，从而更好地掌握植树问题的解决方法。
3. 实际问题解决能力的培养植树问题虽然是一个数学问题，但其背后蕴含了许多实际生活中的问题。
例如，装路灯、打木桩、锯木头和敲钟等问题都可以看作是植树问题的变式。
因此，教学过程中，教师需要引导学生尝试用植树问题的方法来解决这些实际问题。
这不仅可以帮助学生更好地理解和掌握植树问题的模型思想，而且可以培养他们解决实际问题的能力。
例如，当面对一个装路灯的问题时，学生可以首先将其抽象为一个线段型植树问题，然后利用植树问题的方法进行求解。
这种方法不仅可以帮助学生快速有效地解决问题，而且可以培养他们的实际应用意识和创新思维。
二、教学内容分析1. 植树问题的基础模型与变式（1）线段型植树问题线段型植树问题是植树问题的基础模型，主要涉及到在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题。
在此模型中，学生需要理解两种基本情境：第一种是道路的一边两端都栽的情境，这是最基本的模型，例如：在一个10米的线段上每隔2米种一棵树，这种情境下，学生需要理解如何均匀分配树的位置，并计算出总共需要种多少棵树。
秋季最新人教版五年级数学上册第七单元植树问题课件ppt
算 小红住的楼
一
房每上一层要 走20个台阶，
算 从二楼到四楼
要走（ 40 ）个
台阶。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
点 击 生 活
林老师家里时 钟５点敲响５ 下，每下相隔 ２秒，敲完５ 下需要（８） 秒。
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活学活用
现在要一条1000米长的公路的一侧 安放垃圾桶（首尾都要安装），每100米 安放一个。一共需要多少个垃圾桶？
1000÷100=10（个）----------------间隔 10+1=11（个） 答：一共需要11个垃圾桶。
在一条全长2km的街道两旁安装路灯（两 端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装 多少盏路灯？
2000÷50＝40（个） 40＋1＝41（盏） 41×2＝82（盏） 答：一共要安装82盏路灯。
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园林工人到最后 一棵的距离有多远？
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园间林隔工数人=沿总公长路÷一间侧植距数；，每隔6
米种一棵，一共种了36棵。从第一棵
发现规律：
1 2 3 4 5…… 19 20 21 ……
100米
这里共有20个间隔，所以一 共要栽（ ）棵树。
一一对应揭示植树问题本质及数学模型的根本
一一对应揭示植树问题本质及数学模型的根本作者：许华庚刘萍来源：《云南教育·小学教师》2020年第04期【案例背景】“植樹问题”是人教版五年级上册第七单元“数学广角”的教学内容，本单元主要渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。
“植树问题”的教学是五年级上册的一个重难点，而在平时的教学中，老师们的课堂会稍显局促，或是注重例题的讲解而忽略了学生的自主性与创造性，或是加强了练习的强度忽视了教会学生把握知识的本质。
【案例描述】面对同样的“植树问题”，老师们的教法却是各不相同的：1.有的老师是借助画图的方法进行教学，并让学生从中发现规律。
“植树问题”是一种比较抽象、易错的问题，如果借助画图就比较简单、直观，只要学生掌握了画图的方法，就一定能找到正确答案。
2.有的老师是创设情境把问题留给学生，让学生在解决问题的过程中摸索找到三种不一样的植树方法，进而根据方法的不同来依次探讨解决问题。
3.有的老师是从较小的植树棵数和间隔数起，不断增加两个量，让学生在两个量的不断变化中找到其中蕴含的规律，并熟悉规律后运用规律来解决类似问题。
4.有的老师是借助“植树问题”的三个模型直接来理解植树棵数与间隔数的关系，学生在理解数量关系的基础上进行解决问题的练习与巩固。
……那么，究竟什么样的方法对学生而言，既能够解释知识的本质，又能开发学生的思维？既对植树问题具有一个全面的了解，又能在学生想不起来的时候伸出手掌就知道植树问题怎么解答呢？究竟是应用数形结合中通过圈一圈、一一对应思想解开学生心目中“间隔±1”是怎么得来重要，还是学生粗枝大叶、迷迷糊糊、被动接受植树问题的数学模型重要？【案例解决】一、在“一一对应”中引入课题1.两棵小树十个杈，不长叶子不开花。
能写会算还会画，天天干活用到它。
（打一人体器官）2.猜到“手掌”的同学把你的小手举起来。
植树问题的数学文化
植树问题的数学文化一、植树问题的起源植树问题起源于古代的数学游戏和实际问题。
最早的植树问题可能可以追溯到公元前5世纪的古希腊，当时哲学家毕达哥拉斯和他的学生们在探讨几何学和自然科学时，提出了在地球上种植树木的最佳方式。
在中国，古代的数学家和科学家也提出了类似的植树问题，比如在北宋时期，沈括在他的《梦溪笔谈》中就提出过类似的问题。
二、植树问题的数学模型植树问题的数学模型是根据树木种植的规律和几何学原理建立起来的。
在很多实际问题中，我们需要考虑树木之间的间距、行距以及如何最大限度地利用土地资源等因素。
因此，植树问题的数学模型通常涉及到几何学、微积分等学科的知识。
三、植树问题的文化内涵植树问题不仅涉及到数学和科学，还与文化紧密相关。
在很多文化中，树木都被视为生命和生长的象征，代表着持久、稳定和繁荣。
因此，植树问题也反映了人们对于自然和生命的认识与尊重。
同时，通过植树活动，人们也可以增强环保意识和生态文明的观念。
四、植树问题的教育意义植树问题的教育意义在于培养人们的环保意识、生态文明观念和数学思维能力。
通过学习和研究植树问题，人们可以更加深入地了解自然规律和环境保护的重要性，同时也可以提高数学素养和解决问题的能力。
五、植树问题的实际应用植树问题的实际应用非常广泛。
比如在城市规划中，需要考虑到树木的种植和绿化；在农业中，需要合理安排作物的行距和间距；在生态保护中，需要科学地规划和管理自然保护区等。
因此，植树问题的实际应用不仅涉及到数学和科学，还与经济、社会和环境等多个领域紧密相关。
六、植树问题的数学之美植树问题中蕴含着数学之美。
通过运用几何学、微积分等学科的知识，我们可以解决各种植树问题，并且得到非常精美的结论。
比如在排列组合中，我们可以利用杨辉三角或者斐波那契数列等数学规律来安排树木的种植；在微积分中，我们可以利用函数的极限来解决关于树木生长速度的问题。
这些精美的数学结论不仅让人们感受到数学的魅力，也为我们的生活带来了更多的便利和美好。
密切联系生活巧建数学模型——由“植树问题”引发的思考
、
提 炼 出来 ，即我们 可把 一 个 “ ｏ”和一 个 “ △”看成 一 组 “ 对 应 ” ，从 而求 解 出这 个 现实模 型。 三 、合 理拓 展思 维 ，巧 建数 学模型 将 构 建 的实 际模 型进行 合 理转 化 ，拓 展到 植树 问题 上 就是 树 与间 隔 的对 应 问题 。在 这 ～过 程 中 ，学 生要 通过 观 察 、分 析 、抽 象 、概 括 等数 学活 动 来使 知 识 进 行 迁移 ，得 到 数 学 模 型 ，这 是 巧建 模 型 中最 重 要 的一步 。对 于５ ｏ ０ 米长 的Ａ 路 ，学 生 会 觉得 路 太长 了不好 画 ，所 以可 以提示 学 生先 解决 稍 简单 的 问 题 ，将５ ０ ０ 米简 化成５ ０ 米 的情 况。 通 过 巡 视 ，有 些 学生 用 “Ｔ”表 示 树 ，用 “ 一”表 示 间 隔 ，把 ５ ０ 米 长 的路 以及 路旁 的树木 模拟 画 出来 ，即 “ Ｔ— Ｔ— ｔ — Ｔ— ｔ— Ｔ” 。我提 问题 “ 你发 现 了树 与间 隔之 间有 怎 样 的关 系 呢？ ” 通 过 画 图 学 生发 现 了 ，这 条 路 可 以分 为五 段 ，即 有５ 个 间 隔 ，两 端 都种 树 的话有 五 组 “ Ｔ一”这样 的对 应 ，但 最后 还 有 颗树 没 有间 隔 和它对 应 ，所 以总 共可 以 种六 棵树 ，树 比间 隔 数 多１ 。然 后再让 学生 分别讨 论只栽 一端 ，两端都 不栽 的情况 。 最 后可 以得 这个 数学模 型 的解 ，即 ： 两 端都栽 ：树 的棵 树＝ 间 隔数＋ １ 只栽 一端 ：树 的棵树＝ 间隔数 两 端都不 栽 ：树 的棵 树＝ 间隔 数一 １ 通 过广 播操 比赛 的现实 模 型建立 了 “ 对应 ” 的思 想 ，然 后 合 理转 化 到 了简单 的 “ 植 树 问题” 上 ，学 生通 过主动 获 取知 识 的 这一 活 动 ，在脑 海 中建 立起 了数 学模 型 ，这 对于后 者 的理 解 就 变得容 易多 了。 四 、模 型 回归 生活 。求解 实 际问题 对 于任 何一 门学 科 来说 ，它来 源 于生 活又 要应 用于 生活 ， 数 学学 科 尤其 如此 。数 学 建模 更多 地是 注 重学 生能用 所 学 的知 识 去解 决 实际 问题 ，增 强 “ 用 ”数 学的 意识 ，达到学 以致 用 的
植树问题的三个公式
植树问题的三个公式植树问题是一个非常重要的环境保护问题，它涉及到自然资源的得失、生态平衡的维护以及人类生存环境的改善等诸多方面。
在植树问题中，有许多重要的公式和数学模型能够帮助我们较为准确地估算、计算和分析植树所需要的成本、收益以及环境效益等方面的问题。
本文将重点介绍植树问题中的三个主要公式，分别是树木生长模型、植树效益模型和植树数量模型。
一、树木生长模型树木生长模型是用于描述树木生长速度与时间关系的公式，它非常重要，因为树木生长速度的快慢可以决定树木的成长和经济效益。
目前比较经典的树木生长模型包括Chapman-Richards模型、Korf模型和Logistic模型等，其中Logistic模型相对简单，因此在实际应用中更为常见。
Logistic模型表达式如下：$$\\frac{dN}{dt}=rN [1-\\frac{N}{K}]$$其中，N表示树木数量，t表示时间，r表示树木增长率，K表示极限容纳量。
基于此公式，我们可以计算出在给定的时间范围内，树木的数量、密度、周长以及干径等等关键指标，进而帮助相关部门进行科学规划、管理和保护工作。
二、植树效益模型植树效益模型是用于描述植树所带来的经济、社会和环境效益的公式，它可以为政府和企业等相关机构提供决策参考，帮助他们制定合理的植树方案和计算植树成本和收益。
在植树效益模型中，我们需要考虑的因素包括植树的地点、树种类型、种植密度、花费、增进环境、经济收益等因素。
目前常用的植树效益模型包括生态价值模型、经济价值模型和社会价值模型等多种类型。
以生态价值模型为例，我们可以利用下面的公式来估算植树带来的生态效益：$$ S=E_{H20}+E_{CO2}+E_{O2}+E_{N}+E_{shad} $$其中，E表示环境指标，H20、CO2、O2、N和shad分别代表水分、二氧化碳、氧气、氮和荫凉。
我们可以根据植树地点的不同，对应计算出不同的环境指标，并根据相关数据得出不同的生态效益。
数学广角——植树问题
数学广角——植树问题教学设计教学目标1.了解植树问题的起源和背景2.掌握数学求解植树问题的方法与技巧3.学会通过植树问题的解法，思考提高资源利用率的方法教学内容第一部分：植树问题的起源和背景这一部分旨在介绍植树问题的由来和背景，让学生了解到为什么需要解决植树问题以及为什么植树问题对于现代化建设有着重要的意义。
具体来说，我将通过以下内容展开讲解：•植树问题的初形•第一个植树问题•植树问题的重要性及意义第二部分：数学求解植树问题的方法与技巧这一部分以循序渐进的方式，详细介绍数学求解植树问题的方法和技巧，让学生能够掌握相关的知识点和技巧。
具体来说，我将通过以下内容展开讲解：•植树问题的数学模型•基础解法-最小二乘法•进阶解法-费马点•综合运用-改进算法第三部分：思考提高资源利用率的方法这一部分旨在让学生通过植树问题的解法，思考如何提高资源利用率。
具体来说，我将向学生展示：•油田开采中的资源利用率问题•能源开发中的地球物理勘探问题•精准农业中的作物种植问题教学方法本课程将采用多种教学方法，包括灵活多样的授课模式和基于实践的教学运用。
具体来说，•讲授植树问题和相关数学知识。
•群体讨论各种解决方法和不同的局限。
•实践案例学习和展示。
•探索和解决挑战奖。
评估和反馈为了提高学生的学习效果，我们将实施以下措施：1.《植树问题》测验测试学生对于植树问题知识的掌握程度。
2.以小组形式完成的实际案例研究和解决方案的展示，学生可以得到即时的反馈和指导。
3.个人清单记录学生的思考和进步教学质量保障为保障教学质量，我们将采用以下措施：1.本项目考虑每个阶段的教学评估。
2.团队成员之间互相监督。
3.如果有教学反馈，我们将尽我们的努力及时纠正和调整相关的教学计划。
结束语植树问题虽然只是一道数学题目，但它对于我们日常生产和生活中耗费资源的问题具有重要的参考意义。
希望本课程能够帮助学生掌握处理资源紧张和资源利用问题的方法和技巧。
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姓名：李江城 系别：数理科学系 姓名：褚浩玥 系别：数理科学系
植树问题
摘要
“植树问题”数学模型是讨论如何使植树数目最多，提高效率。
由于男生和女生得人数和每天工作的数量得影响，利用数学知识联系实际问题，做出相应的解答和处理。
根据所掌握的线性规划模型，将植树问题用线性规划来求解。
将题目中给定的数据进行分析、拟合。
建立人员的分配与所植数目的数量的数学模型。
关键词：植树 人员分配 线性规划
问题的提出
通常情况下植树要涉及到挖坑、栽树、浇水三个操作。
但进行操作时发现人员的分配使植的树的数量不同，因此必须找到一种最好的分配方案能充分利用人员并使栽的树的数目最多。
在以上的问题解决之后植树的数量达到最大。
问题的分析
由题意可知，目的就是为了建立一种模型，解决人员的分配问题，从而使所植的树的数量最多。
首先建立人员分配与所植树的数量之间的关系，通过之间的联系，确定男生和女生该如何分配。
模型的建立
1.模型假设：
在理想环境下进行操作，每个人都能达到最大工作量。
彼此之间不互相影响。
2.定义符号说明：
z----所栽的树的数量
x 1----男生中挖坑的人数x 2----男生中栽树的人数x 3----男生中浇水的人数 x 4----女生中挖坑的人数x 5----女生中栽树的人数x 6----女生中浇水的人数
3.模型建立：
中心问题是数学语言表示男女生挖坑、栽树、浇水人数使得植树数目最多的条件、结论。
首先用变量表示男女生挖坑、栽树、浇水的人数，其次要把植树数目用含有人数变量的函数表示出来，找到人数这一变量所满足的约束条件，根据其约束条件，要使植树数目最大，就归结为如下命题：
设男生中有X 1人挖坑，x 2人栽树，x 3人浇水。
女生中有x 4人挖坑x 5人栽树x 6浇水
并有x 1+x 2+x 3=6 x 4+x 5+x 6=5
4.模型求解：
当浇完水后一棵树才真正做完，所以有
36m ax 2515z x x =+
人数满足条件：
1234
5665x x x x x x ++=⎧⎨++=⎩ 根据植树的逻辑关系有142536201030202515x x x x x x +≥+≥+
即得 142525362320
64530x x x x x x x x +--≥⎧⎨+--≥⎩
由mathType 解得：
3个男生挖坑，2个男生浇水，另1个男生3/4的时间挖坑1/4的时间浇水 3个女生栽树，1个女生浇水，另1个女生3/4的时间栽树1/4的时间浇水 所植的树木的数量为75棵，此时最多。
附录：
在mathType 中的求解过程为：
f=[0 0 -25 0 0-15]
A=[-2 3 0 -1 2 0 ; 0 -6 5 0 -4 3 ]
b=[0 ;0]
Aeq=[1 1 1 0 0 0 ; 0 0 0 1 1 1 ]
Beq=[6 5]
vlb=zeros(6,1)
vub=[]
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
由此得到：c = [ 0 0 -25 0 0 -15]
A = [ -2 3 0 -1 2 0
0 -6 5 0 -4 3]
b = 0 0
Aeq = [ 1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1]
beq = 6 5
vlb =[0 0 0 0 0 0 ]
vub = []
Optimization terminated.
x =
3.7500
0.0000
2.2500
0.0000
3.7500
1.2500
Fval=-75.0000。