2014-2015学年线性代数试题及答案
2014-2015线性代数A
内蒙古大学 2014-2015 学年第 1 学期线性代数 期末考试（A 卷）姓名 学号 专业 年级重修标记 □ （闭卷 120分钟）一、填空题（本题满分 30 分，每小题 3 分）1．n 阶行列式0100002000100n n =- 。
2. 设123234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，使得PA 为行最简的可逆矩阵P = 。
3. A 是3阶方阵，12||A =，则1|(2)7|A A -*-= 。
4. 1400021053-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭________________________。
5．二次型21213233246+2f x x x x x x x =-++的矩阵A = 。
6．设向量(1,2,3,4)(0,,2,1)T Tx αβ=-=-和正交，那么x =____________。
7. 设3阶矩阵A 的特征值为1,2，-1，则行列式2|2|A A E -+=_____________。
8. 5元齐次线性方程组123450x x x x x ++++=,则它的基础解系包含______个向量。
9．n 元非齐次线性代数方程组Ax b =有无穷解的充分必要条件是 。
10. n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是 。
二、计算下列各题（本题满分20分，每小题10 分）(1) 设3112513421111233D---=---，求D的代数余子式的和11213141A A A A+++(2) 求非齐次线性方程组12341234123421363251054x x x xx x x xx x x x++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩的通解，并求所对应的齐次线性方程组的基础解系。
三、计算题（本题满分20分，每小题 10 分）(1) 求解矩阵方程AX B =,其中21311122,2013225A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。
(2) 求向量组1234(2,1,4,3),(1,1,6,6),(1,1,2,7),(2,4,4,9)T T T Tαααα==--=-=的秩和一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。
14-15-1线代试题答案
2014-2015-1线性代数参考答案及评分标准一（每小题3分，共15分）1、32 2 、3 3 、1 4、2 5、0二（每小题3分，共15分）1 B2 B3 C4 A5 D三（5分）0321103221036666=D ……………………………………………………（2分） 40000400121011116---=…………………………………………… （2分）96-=……………………………………………………………（1分）四（10分）1-=A ，A 可逆…………………………………………………（1分） 121)(---=-=A A E A A B ……………………………………………………（4分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→100100110010211001,E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1001102111A ……………………………………………………………（4分） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000120B …………………………………………………………………（1分） 五（15分）()211111211112-=-----λλλλλλλ………………………………………………（5分） 0≠λ且2≠λ时，有唯一解…………………………………………………（2分）2=λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=100051103111111111133111,b A3),(2)(=<=b A R A R ，方程组无解…………………………………………（3分）0=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001111111111111111,b A3),(1)(<==b A R A R 方程组有无穷多解，1321+--=x x x 取2312,c x c x ==得方程组通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00110101121321c c x x x x ………………………（5分）六（12分）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000010000712100230102301085235703273812,,,,54321a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000100000121002301……………………………………（4分） 向量组秩为3，……………………………………………………………（2分） 一个最大无关组为：521,,a a a ……………………………………………（2分） 21323a a a +=………………………………………………………………（2分） 2152a a a -=…………………………………………………………………（2分） 七（10分）证明：设存在数1k ，2k ，3k ，使0332211=++βββk k k ………………（2分） 将1β，2β，3β带入并整理得0)32()()2(33212321131=+-+-+-++αααk k k k k k k k …………………（2分）由1α，2α，3α线性无关知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+03200232132131k k k k k k k k ， 因0312111201=---，故齐次线性方程组有非零解，…………………（4分）从而存在1k ，2k ，3k 不全为零，使0332211=++βββk k k ，从而1β，2β，3β是线性相关的。
武汉理工大学 2014-2015第一学期现代试卷A答案
向量组1,2 ,3 线性相关，知 R(2 ,3,1) R(1,2,3) 3 -----------1 分 向量组2 ,3,4 线性无关，知 R(2 ,3,4 )=3.
由整体无关则部分无关，知2 ,3 也线性无关。---------------------2 分
而 R(2 ,3,1) R(2 ,3) 2 ，综上知
--------------6 分
A卷3
A卷4
1 1
1 2 1, 3 2 为特征值
1 1
当 1 1解方程组 (A E)x 0 ，得正交的的特征向量为 p1 1 , p2 1
0
2
1
当
3
2
解方程组 ( A
2E)x
0
得
p3
1
为对应特征向量
1
故所求正交矩阵 P 为
1
1
1
2
P(
p1
,
p2
,
p3
) 1
p1 p2 p3 2
…
…
31
11
… …
4 31 23 若 1,4 是最大无关组，则3 2 1 2 4 ，2 2 1 2 4
…
4. k=-2.
装
订
线
… … … …
A卷1
四、（本题 15 分）
（1）a=-8,b≠1,无解；--------------6 分
（2）a≠-8,唯一解；--------------8 分
,3
线性表示。-----------------6
分
第二部分还可以用反证法：假设即4 能由1,2 ,3 线性表示，由于1 能由2 ,3 线性表示，
且表示法唯一，故4 能由2 ,3 线性表示，------------5 分
2014-2015(1)期末考试试卷(A)(线性代数)
考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第1页(共1页)3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100152321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141B ，利用初等变换求1-A ，并求解求矩阵方程B AX =。
4、设有向量组TTTT---=--=-==)1,1,3,4(,)3,1,0,3(,)7,1,3,2(,)0,0,1,1(4321αααα，（1）求此向量组的秩和一个极大无关组；（2）将其余向量用极大无关组线性表示。
5、设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，已知4321,,,ηηηη是它的四个解向量，且T )2,2,0,1(1=η，T )8,2,5,1(432=++ηηη，求其通解。
6、λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解？无解？有无穷多组解？7、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010111a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B 10相似，求b a ,的值。
8、求一个正交变换，将二次型2123222132142),,(x x x x x x x x f -+-=化为标准形。
9、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30201t t t t A ，且A 为正定矩阵，求t 的取值范围。
三、证明题（每小题6分，共12分）1、设向量组321,,ααα线性无关，321αααβ++=，证明：1αβ-、2αβ-、3αβ-线性无关。
2、设A 是正交矩阵，证明：A 的特征值为1或1-。
考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------满分8分得分4、满分8分得分5、满分8分得分满分8分得分7、满分8分得分8、满分8分得分满分8分得分三、证明题1、满分6分得分2、满分6分得分。
2015线性A代数答案
A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4．设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有（D） A. A =0 B. B C 时 A=0 C. A 0 时 B=C D. |A| 0 时 B=C
专业班级： 答题留空不够时，可写到纸的背面
5．已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则矩阵 AT 的秩等于（C） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1．排列 246(2n 2)(2n)135(2n 3)(2n 1) 的逆序数为
角阵.(12 分） 解：先求 A 的特征值、特征向量，由特征多项式，有
学号： 姓名： 注意保持装订完整，试卷撕开无效
类似地,
4
| E A |
0 0
0 3 1
0 1 ( 2)(4 ) 2 ................................3 分(2 分) 3
1，2，3 线性无关
x1 x3 0 x1 x2 0 x x 0 2 3 1 0 1
对 1 2, 由 (2 E A) x 0 ，
0 得到特征向量 p1 1 , 3 4, 由 (4 E A) x 0
1 1 0 0 2 3 C. 0 1 0 D. 0 1 0 0 0 2
1
5 11 0 5
1 1 0 5
1 1 3 1 1 3 0 0
......................................3 分
0 1 2 0
A 3E
1 1 1 A 4E E ,故 A 3 E A 4 E 10 10
青岛科技大学线性代数2014-2015-2线代 A卷及其参考答案
2014-20152 线性代数 (A 卷)数理学院 全校相关专业一、填空题（每小题3分，共15分）1. 已知10312122D -=-，则11121322M M M ++=_______________； 2. 设A 为3阶矩阵，且2A =，则1*1(3)3A A --=___________； 3. 向量组(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)TTTt αβγ==-=线性相关，则t =____________；4. 设矩阵13333664A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值分别为2-、2-和4，则a =___________； 5. 设二次型2221231231223(, , )322f x x x tx x x x x x x =++-+是正定二次型，则实数t 的取值范围是______________。
二、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列等式正确的是________；)A a x b y a b x y c z d w c d z w ++=+++ )B 2123434a a a a a = )C0x y x y x y z z a z a =+- )D 22123434a a a a a = 2.设A ，B 都是n 阶矩阵，且AB O =，则下列成立的是________；)A A O B O =或= )B A ，B 都不可逆 )C A ，B 中至少有一个不可逆 )D A B O +=3.设Ax b =有无穷多组解，则0Ax = ；)A 必有唯一解 )B 必定没有解 )C 必有无穷多组解 )D A 、B 、C 都不对课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:4.A 是n 阶可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵是 ；)A 1A - )B T A )C *A )D 2A5．n 阶矩阵A 的n 个特征值互异是A 与对角阵相似的 。
)A 充分条件 )B 必要条件 )C 充分必要条件 )D 既非充分又非必要条件 三、计算题(每小题10分，共20分)1. 计算行列式100110011001a b c d---；2．已知111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。
2014-2015(1)线性代数试题(A)详解
广州大学2014-2015学年第一学期考试卷课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一、填空题（每空3分，本大题满分18分）1．设A ,B 都为3阶方阵,且5||1=-A ,54|3|=B ,则=-||1AB .2.若对三阶阵A 先交换第一,三行,然后第二行乘2后再加到第三行,则相当于在A 的 边乘三阶阵 .3．若阵A 为3阶方阵,且秩1)(=A R ，则=)(*AA R .4．设向量组),1,1(1a =α,)1,,1(2a =α,)1,1,(1a =α所生成的向量空间为2维的,则=a .5．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231*********a a a a a a A ,其特征值为3,2,1-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a B ,则B 的行列式中元素的代数余子式=++232221A A A .二、选择题（每小题3分，本大题满分15分）1．若AB 为n 阶单位阵，则必有（ ）.（A ）BA 也n 阶为单位阵；（B ）BA 可能无意义；（C ）n BA R =)(；（D ）以上都不对.2．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A 。
若存在三阶阵O B ≠，使得O AB =，则（ ）.（A ）2-=λ，且0||=B ； （B ）2-=λ，且0||≠B ；（C ）1=λ，且0||=B ； （D ）1=λ，且0||≠B .3．对含n 个未知数, 1+n 个方程的线性方程组b Ax =,行列式0|),(|=b A 是它有解的（ ）.（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）非充分非必要条件.4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2210c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3311c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4411c ζ,其中4321,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( ).(A) 321,,ζζζ; (B) 421,,ζζζ; (C) 431,,ζζζ; (D) 432,,ζζζ.5．设},,{321ααα分别为同维无关向量组,而},,,{1321βαααα+为相关向量组,则有( )成立.(A) },,,{2321βαααα+为相关向量组; (B) },,{132βααα+为无关向量组;(C) 1}),,({}),,,({321321+=αααβαααR R ;(D)1}),,({}),,,({321321-=αααβαααR R三、（本题满分12分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ，且A 满足矩阵方程X A AX 2+=,求X .四、（本题满分8分） 计算行列式6741212060311512-----.五、（本题满分6分）设PB AP =,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1002B ,求10A .六、（本题满分10分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-0830********43214321x x x x x x x x x x x x 的所有解.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==43333320126624220121),,,,(54321αααααA . 1) 求矩阵A 的行最简形和秩; 2) 求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.八、（本题满分9分） 设A 为2阶方阵，且存在正整数)2(≥l l ,使得O A l =,证明: 1) A 的秩1≤. 2) O A =2.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 的特征值和特征向量.。
2014_2015学年线性代数试题和答案
因为1）可知 R(B) 3, B 0
八、2）解：
1
E A 0
1
0
2
0
1
0 22
1
所以，A 的特征值为 1 0, 2 3 2.
所以，B 的特征值为 k 2 , k 2 4k 4, k 2 4k 4.
（A）A的任意m个列向量线性无关；
（B）A经过若干交初等行变换可化为（Em,0)的形式； （C）A中任一m阶子式为零；
（D）Ax=0必有无穷多解。 3、设A为n阶方阵，则方阵（ C ）为对称矩阵。
（A）A-AT；
（B）CACT（C为任意n阶矩阵）
（C）AAT；
（D）(AAT)B (B为任意n阶对称矩阵）
2x1 2x2 x3 0
1、设线性方程组 x1 x2 2x3 0 的系数矩阵A，三阶
x1 x2 3x3 0
矩阵B不等于零，且AB=0，试求 的值，并证明 B 0
1 0 1
2、设矩阵 A 0
2
0
，矩阵
B
(k
E
A)2
整理得：(k1 k2 k3 )1 (k3 k2 k3 )2 (2k1 k2 )3 0
国为向量组 1,2 ,3 线性无关，所以
kk11
k2 k2
k3 k3
0 0
2k1 k2 0
由此求方程组的系数行列式 1 1 1
只有惟一零解，所以 线性无关。
3、已知三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则矩阵 B A2 E
的特征值为： 2,2,5 ， B 20
4、设有向量组 1 (1,1,2)T ,2 (1,2,3)T ,3 (1,3, t)T ,
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2 x1 2 x2 x3 0 1、设线性方程组 x1 x2 2 x3 0 的系数矩阵A，三阶 x x 3 x 0 3 1 2
矩阵B不等于零，且AB=0，试求 的值，并证明 B 0
1 0 1 2 B ( kE A ) 2、设矩阵 A 0 2 0 ，矩阵 ，其中k为 1 0 1
一、填空题（每小题2分，共14分） 1 A 1、设A是3阶矩阵，且 A ， 是A的伴随矩阵，则： 2
(3 A) 2 A
1
16 27
T
2、设四元非齐次线性方程组 Ax b 的系数矩阵A的秩为3，且
1 (1,2,3,4) ,2 (2,3,4,5)
T
是该方程组的两个解，则
问当a,b取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解， 并求有无穷多解时的通解。
七、（满分10分） 求一正交变换 x Py ，将二次型
f ( x1, x2 , x3 ) x 4x 4x 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
2 1 2 2 2 3
化为标准形。
八、（每小题5分，满分10分）
k 2
(k 2)
2
2 3
八、1）解：
2 2 1 A 1 2 0, B 0 1 1 3 并且 AB 0, R( A) 3, R( B) 3
A 0, 1
因为1）可知 R( B) 3, B 0
八、2）解：
1
0 1
4、设A为n阶方阵，且 A a 0 ，则 A （ A ）
( A) a
n 1
1 ; ( B) ; (C ) a; ( D)a n . a
5、设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（A ） （A） A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关； （B） A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关； （C） A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关； （D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关；
5、设3阶矩阵 A ( , 1 , 2 ), B ( , 1 , 2 ) ，且 A 3, B 5 则 A B
32
2 0 0 2 0 0 6、已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0 y 0 相似， 0 1 x 0 0 1
三、计算行列式（每小题5分，共10 分）
4 3 1、 D 2 2
1 0 5 1 1 2 0 6 4 5 3 2
218
1 a1
2、Dn
1
1
1 1 1
1 n (1 ) ai i 1 ai i 1
n
1 1 1
1 a2 1 1 1 a3 1 1
五、解矩阵方程（满分7分）
2 2 1 设矩阵 A 3 6 3 且 AB A B ，求矩阵B。 1 2 3
六、（满分9分）
x1 x2 x3 x4 1 x x 2x 1 2 3 4 设有线性方程组 2 x1 3x2 (a 2) x3 4 x4 b 3 3x1 5 x2 x3 (a 8) x4 5
2、已知向量组
1,2 ,3 线性无关，试证向量组：
1 1 2 23 , 2 1 2 3 , 3 1 2 ,
Hale Waihona Puke 线性无关。T 3 E 2 A 0 , AA 2E, A 0 3、设4阶方阵A满足条件
求A的伴随矩阵 A 的一个特征值。
整理得：(k1 k2 k3 )1 (k3 k2 k3 ) 2 (2k1 k2 )3 0 国为向量组 1 , 2 , 3 线性无关，所以
k1 k 2 k3 0 k1 k 2 k3 0 2k k 0 1 2
1 an
其中 ai 0 (i 1,2,, n)
四、完成下列各题（1、2小题3分，3题4分，共10 分） 1、已知n阶矩阵A满足A2+2A-3E=0，试证：A+4E可逆， 并求出（A+4E）-1.
( A 4 E )( A 2 E ) 5E
1 ( A 4 E )[ ( A 2 E )] E 5
2、设A为m*n矩阵，且R(A)=m<n，则（ D ） （A）A的任意m个列向量线性无关；
（B）A经过若干交初等行变换可化为（Em,0)的形式； （C）A中任一m阶子式为零；
（D）Ax=0必有无穷多解。 3、设A为n阶方阵，则方阵（ （A）A-AT； （C）AAT； C ）为对称矩阵。 （B）CACT（C为任意n阶矩阵） （D）(AAT)B (B为任意n阶对称矩阵）
方程组 Ax b 的通解为:
(1,2,3,4)T k (1,1,1,1)T , k R
3、已知三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则矩阵 B A2 E 的特征值为： 2,2,5 ， B
20
T T T ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 3 , t ) , 4、设有向量组 1 2 3 问t 4 时向量组 1 , 2 , 3 线性相关。
0
1 0
E A
2
0
2
2
1
所以，A 的特征值为 1 所以，B 的特征值为
0, 2 3 2.
k 2 , k 2 4k 4, k 2 4k 4.
则B与 相似， 当 k 0且k 2时 2 (k 2) 特征值都大于0，并且 B T B 所以为正定阵。
从而有
A
4 8 是 的一个特征值。 A 3 3 2
是 A 的特征值。
第七题、
p p1 , p2 , p3
2 5 1 5 0
2
3 5 4 3 5 5 3 5
1 3 2 3 2 3
f 9y
则
x
0
y
1
7、已知实二次型
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) a( x12 x2 x3 ) 4x1x2 4x1x3 4x2 x3
2 经正交变换 x Py 可化为标准形 f 12 y1 ，则a=
二、单项选择题（每小题2分，共10 分） 1、若4阶矩阵A的元素均为1，则A的特征值为（ B ） （A）1，1，1，1； （C）1，1，0，0； （B）4，0，0，0； （D）1，0，0，0.
相似，并求k为何值时，B为正定矩阵。
实数，E为3阶单位阵，试求对角矩阵 ，使B与对角阵
四、2）证：设有数 k1 , k2 , k3 使得 k11 k2 2 k3 3 0
即： k1 (1 2 23 ) k2 (1 2 3 ) k3 (1 2 ) 0
由此求方程组的系数行列式 只有惟一零解，所以 线性无关。
1
1
1
1 1 1 4 0 2 1 0
3 四、3）解：由 3E 2 A 0 可知 是A的一个特征值。 2
AA 2 E
T
所以 A 2 E 2 4 16
2
而因为 A 0 故 A 4
若 是 A的一个特征值，则