线性代数习题-[第一章]行列式

合集下载

线性代数课后习题答案第一章行列式

第一章行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(2)ba c ac b c b a ; 解ba c a cbc b a=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a cb a ; 解222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4;解逆序数为0(2)4 1 3 2;解逆序数为4:41, 43, 42, 32.(3)3 4 2 1;解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3;解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n);解逆序数为2)1(-nn:3 2 (1个)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)(6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项. 解含因子a 11a 23的项的一般形式为(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44, (-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:(1)7110025*******214; 解 7110251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-; 解 265232112131412-26503212213041224--=====cc 041203212213041224--=====rr000003212213041214=--=====r r .(3)efcf bf decd bd ae ac ab ---;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b ec b e c b ad f ---=a b c d e fa d fbc e 4111111111=---=.(4)dc b a 100110011001---.解dc b a100110011001---dc b a ab ar r 10011001101021---++=====d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cdc ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213ab a b a a b a ab ac c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3. (2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b ba a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得) 022122212221222122222=++++=d d c c b ba a .(4)444422221111d c b a d c b a d c b a=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明444422221111d c b a d c b a d c b a)()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b dc b ad a c a b +++---=))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++-++------=)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----= =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ). (5)1221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n +⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .证明用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1,则D n 按第一列展开, 有111 00 10 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得nnnn a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11112 n nnn a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ,11113 a a a a D n nnn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明DD D n n 2)1(21)1(--==, D 3=D .证明因为D =det(a ij ), 所以nnn n n n nnnn a a a aa a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a DD n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-=.D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解a a a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n行展开))1()1(10 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a n n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=an-a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x aa a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上 , 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ; 解根据第6题结果, 有nnn n n n n n n n a a a n a a a na a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112;解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开)nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+.再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D -==, 所以 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,4321 4 01233 10122 21011 3210)d e t (⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n4321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121n n n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10 0001 000 100 0100 0100 0011332212132 11113121121110 00011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n nn a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i nn a a a a a a a a 1111131********0010000 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni in a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 2841120351*******1512-=-----=D , 426110135232422115113-=----=D , 14202132132212151114=-----=D , 所以 111==DD x , 222==DD x , 333==D D x , 144-==D D x .(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解因为665510006510006510065100065==D ,15075100165100065100650000611==D , 114551010651000650000601000152-==D ,7035110065000060100051001653==D , 39551000601000051000651010654-==D ,2121105100065100651100655==D ,所以66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 6652124=x .9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0, 得 μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ)=(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3.令D=0,得λ=0,λ=2或λ=3.于是,当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解.。

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ).n!(A) k (B) n k (C) k2n(n 1) (D) k23. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项.(A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)!0 0 0 14．11( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 20 0 1 05.011( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 22x x 1 16．在函数1 x 1 2f (x) 中3 2 x 33x 项的系数是( ).0 0 0 1(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 217. 若a a a11 12 131D a a a ，则21 22 232a a a31 32 332aa13a33a11a312a122a3211D 2a a a 2a ( ).1 21 23 21 222a31(A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2a a11 ，则128．若 aa a21 22 a12a11ka22ka21( ).2 (D) k2a (A)ka (B) ka (C) k a9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ).(A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 28 7 4 310. 若6 2 3 1D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).1 1 1 14 3 7 5(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 03 04 011. 若1 1 1 1D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).0 1 0 05 3 2 2(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0x 1 x2kx312. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 kx2x30 有非零解.kx1 x2x3( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0二、填空题21.2n阶排列24 (2n)13 (2n 1) 的逆序数是.2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26 所带的符号是.3．四阶行列式中包含a22a43 且带正号的项是.2 n4．若一个n 阶行列式中至少有n 1个元素等于0 , 则这个行列式的值等于.1 1 1 05.行列式11111.0 0 1 00 1 0 00 0 2 06．行列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a 11 a1(n1)a1n7．行列式a21a2(n1) 0 .an10 0a11a12a13a11a133a123a128．如果D a a a M21 22 23 ，则D a a 3a 3a .1 21 23 22 22a 31 a32a33a31a333a323a329．已知某5 阶行列式的值为5，将其第一行与第 5 行交换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新行列式的值为.31 1 1 x 110．行列式11 x11x 1111. x 1 1 1 11 1 11 1 111．n 阶行列式.1 1 112．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.1 2 3 413．设行列式5 6 7 8D ，A4 j ( j 1,2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式，4 3 2 18 7 6 5则4A41 3A42 2A43 A44 .a b c a14．已知c b a bD ， D 中第四列元的代数余子式的和为.b ac ca cb d1 2 3 43 34 4D ，A4 j 为a4 j ( j 1,2, 3, 4) 的代数余子式，则15．设行列式 61 5 6 71 12 2A41 A ，A43 A44 .4241 3 5 2n 11 2 0 016．已知行列式D 1 0 3 0 ，D 中第一行元的代数余子式的和为1 0 0 n.kx1 2x2x317．齐次线性方程组2x1 kx20 仅有零解的充要条件是.x 1x2x3x12x2x318．若齐次线性方程组2x2 5x30有非零解，则k = .3x1 2x2kx3三、计算题b a 2a 3a c dab2b3bcd ac2c3cbd ad2d3dbc;2．xyxyxyxyxyxy1.；x a1 a2an210 1 x 1 a1 x a2an211 0 1 x 3．解方程0x 1 1 0 ；4．a1a2x an21；1 x 1 0 a1 a2a x31a 1 a2a3an115a1 1 11 a 11 15. 1 1 a 12( a j 1,j 0,1, , n)；1 1 1 an1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 11 1 1 (n 1) b1 1 1 1 x a1a2anb 1 a1a1a1a1x a2an7. b1 b2a2a2；8．a1a2x an;b 1 b2b3ana1a2a3x2 1 0 0 01 2 x1 x x1 2x x1 n1 2 1 0 09. x2x11 22xx x2 n ; 10.0 1 2 0 0xnx1xnx21 2 xn0 0 0 2 10 0 0 1 21 a a 0 0 01 1 a a 0 011．D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 a6四、证明题21 1a a 12a a21 1b b 12b b 1．设abcd 1，证明：021 1c c 12c c21 1d d 12d d .a 1b x1a x1b1c1a1b1c12． a2 bx2ax2b2c2(1 2 x ) a2b2c2.a 3b x3a x3b3c3a3b3c31 1 1 1a b c d3． 2 (b a)( c a)( d a)(c b)( d b)(d c)( a b c d)2 2 2a b c d .4 a4b4c d41 1 1a 1 a2an4．2a12a22nanai(a aj i) .i 1 1 i j nna12n2a2 nan2na1na2nna1 1 15．设a, b, c两两不等，证明 a b c 0的充要条件是 a b c 0.3 b3 c3 a7参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B二．填空题1. n ;2.“”;3. a14 a22 a31a43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1) !n 1 n ;n( n1)7.( 1) 2 a1n a2(n1) a n1 ; 8. 3M ; 9. 160; 10. 4 x ; 11.( n 1n) ; 12. 2 ;n113. 0 ; 14.0 ;15. 12, 9; 16.n! (1 ) ; 17. k 2,3 ;18. k7k k1三．计算题3 y3 1．(a b c d)(b a)(c a)( d a)(c b)( d b)( d c) ； 2. 2(x ) ；n 13. x 2,0,1;4. (xk 1 a k )n n15. (a 1) (1 ) ;6. (2 b)(1 b) ((n 2) b) ;k a1k 0 k 0 k7.nn b a( 1) ( ) ; 8.k kn n( x a k ) (x a ) ;k k 1 k 1 k 1 n9. 1x ; 10. n 1;kk 12 a411. (1 a)(1 a ) .四. 证明题(略)8第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( ) 。

线性代数第1章行列式试卷及答案

第一章行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000a b abc d c d=（ B ） A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。

2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A24+A 44=_______。

解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。

线性代数章节练习题

bc
b b2 ac
c
a
c2 a2
ab abc
b b2 abc
c c2 abc
abc
111
(a b c) a2 b2 c2 (a b c) a b c
111
a2 b2 c2
(a b c)(b a)(c a)(c b)
246 427 327 1000 427 327 1000 100 327 （2） 1014 543 443 2000 543 443 2000 100 443
D 2 0
2 7
2 0
2 0
5 3 2 2
求第四行各元素的余子式之和的值。
8 计算 n 阶行列式
x y 00 0 0 x y0 0 Dn 0 0 0x y y 0 00 x
3 1 1 9 计算行列式 D 1 5 1 。
1 1 3
3 2 2 10 计算三阶行列式 D k 1 k 。
（C） C PT AP
（D） C PAPT
13 计算
0 1 0 2007 1 2 3 0 1 0 2006 1 0 0 4 5 61 0 0 0 0 1 7 8 9 0 0 1
14 设 A 为 n 阶可逆阵，交换 A 的第 i 行与第 j 行后得到 B。（1）证明 B 可逆；（2）求 AB-1
（C）当 n m 时，必有 AB 0
（D）当 n m 时，必有 AB 0 18 证明 R( A B) R( A) R(B)
4 1 41 则
R(BA 2A)
19 A 为 m p 矩阵，B 为 p n 矩阵，若 AB=0 证明： R( A) R(B) P
20 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2=A，若 R( A) . 证明 R( A E) n r ，其中 E 为 n 阶单位阵

(完整版)行列式习题1附答案.doc

⋯⋯_ ⋯_ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯：⋯号⋯学⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ 线_ 订_ _ 装_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ ⋯：⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯：⋯⋯⋯班⋯⋯⋯《线性代数》第一章练习题⋯⋯一、填空⋯⋯⋯1、(631254) _____________ 8⋯⋯⋯2、要使排列（3729m14n5）偶排列， m =___8____, n =____6_____⋯⋯x 1 13 , x 2 的系数分是⋯3、关于x的多式x x x中含 x -2,4⋯1 2 2x⋯⋯4、 A 3方， A 2， 3A* ____________ 108⋯⋯⋯5、四行列式det( a ij)的次角元素之（即a14a23a32a41）一的符号+⋯⋯1 2 1线1234 2346、求行列式的 (1) =__1000 ；（2）2 4 2 =_0___；封2469 469密10 14 13⋯⋯1 2000 2001 2002⋯0 1 0 2003⋯⋯(3)0 1=___2005____;⋯0 20040 0 0 2005⋯⋯1 2 3⋯中元素 0 的代数余子式的___2____⋯(4) 行列式2 1 0⋯3 4 2⋯⋯1 1 1 1⋯1 5 25⋯ 4 2 3 57、 1 7 49 = 6 ；= 1680⋯16 4 9 25⋯1 8 64⋯64 8 27 125⋯⋯矩方，且，，， A 1 1 。

⋯A 4⋯8、|A|=5 | A*| =__125 | 2A| =__80___ | |=50 1 10 1 2 22 2 2 09、 1 0 1 = 2 。

；3 0121 1 01 01 0 0 0bx ay010、若方程cx az b 有唯一解，abc≠0 cy bz a11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的元素上，行列式12、行列式a11a12a13a14a21a22a23a24 的共有4! 24, 在a11a23 a14a42, a34a12a31a32a33a34a41a42a43a44a34a12a43 a21 是行列式的，符号是 + 。

线性代数第一章n阶行列式练习题

线性代数第一章n阶行列式练习题填空01111．设n阶行列式D =10111a131?11?10?11?01?111110，则D的值为．1a11a122a113a12?a114a13?a122．设行列式D =a21a22a23a31a32a33= a ，则行列式D1 =2a213a22?a214a23?a222a313a32?a314a33?a32= ．3．设行列式D =1234234567894567，则D的第3列元素的代数余子式之和为． 4．设f=x1?2101?x11312x14?323x?443xx ，则f的展开式中??的系数为，的系数为，常数项为．5．方程1?2231x2313x4114x= 0 的根x = ．6．当满足条件时线性方程组选择??x1?x2?x3?x4?0??x??x?x?x?0?1234???x1?x2??x3?x4?0??x1?x2?x3??x4?0 只有零解．1．设4阶行列式D =a100b10a2b200b3a30b400a4，则D的值为．a1a2a3a4?b1b2b3b；a1a2a3a4?b1b2b3b；；．?2．设D为n阶行列式，Aij 为D的元素aij 的代数余子式，则．?ai?1n nijAij?= 0；?ai?1ijAij?= D； ?aj?1n n1jA2j?= D ； ?aj?1ijAij?= 0．a11a12?a1na1na1,n?1?a11a21a22?a2n3．设行列式D =a2na2,n?1?a21= aan1an2?ann，则行列式D1 =nannan,n?1?an1= ．n2a ；－a ；a ； a ．4．设f=x?2x?1x?2x?32x?22x?12x?22x?33x?33x?24x?53x?5 4x4x?35x?74x?，则方程f= 0的根的个数为．1 ；；；．a1a1a15．方程a2a3a4?xa4a4a4= 0a2a3?xa2?xa3a2a3a1?x的根为．a1?a2，a3?a；0 ，a1?a2?a3?a4；a1a2a3a，0 ；0 ，?a1?a2?a3?a4．6．设D为n阶行列式，下列命题中错误的是．2n 若D中至少有?－?n?＋?1个元素为0 ，则D = 0 ；若D中每列元素之和均为0 ，则D = 0 ；若D中位于某k行及某l列的交点处的元素都为0 ，且k?＋?l?＞?n ，则D = 0 ；若D的主对角线和次对角线上的元素都为0 ，则D = 0 ．1．答案n?1 ．提示将D化为上三角行列式即得．．答案 4a ．提示利用行列式性质、5变化行列式D1 即得．．答案 0 ．提示A13?A23?A33?A43?=123423451111456．4．答案－、1、－．提示x、x3的系数由4个主对角元的乘积?x2x 确定，常数项为f．5．答案 x = －、1 、．提示将方程左边的行列式化为上三角行列式后展开即得．．答案??≠?1且≠ －．提示齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数行列式等于0 ．选择 1．答案．提示利用行列式的Laplace展开定理即得．．答案．提示由定理1.2即得．．答案．提示利用行列式性质2变化行列式D1 即得．．答案．提示先利用行列式性质5将方程f= 0左端的行列式化简，再利用行列式定义判断多项式f的次数．5．答案．提示将方程左边的行列式化为上三角即得．6．答案．提示命题是错误的．反例：100100000010010= 1 ．一. 判断题1. n阶行列式aij的展开式中含有a11的项数为n?1. 正确答案：!解答：方法1因为含有a11的项的一般形式是a11a2j2?anjn，其中j2j3?jn是n?1级全排列的全体，所以共有!项. 方法由行列式展开定理a11a12a22?an2a1na2n?ann?a11A11?a12A12a1nA1n，a21?an1而a12A12a1nA1n中不再含有a11，而A11共有!项，所以含有a11的项数是!.注意：含有任何元素a的项数都是!.ij2. 若n阶行列式aij中每行元素之和均为零，则aij 等于零.a11a12a22?an2a1na2n?ann3、?、n列都加到第一列，则行中的2、解答：将a21?an1列式中有一列元素全为零，所以aij等于零.a10a2b300b2a30b100a4?a1b4b1a2a4b3b2a33.00b4.解答：方法1按第一列展开 a100b40a2b300b2a30b100a4?a1b4b1a4?a1b4b1a2a4b3b2a3?a1a4a2b3b2a3?b1b4a2b3b2a3.方法交换2，4列，再交换2，4行a10a2b300b2a30b100a4??a100b4b100a40b2a300a2b30?a1b400b1a40000a3b200b3a2D00b4=a1b4b1a2a4b3b2a3.方法Laplace展开定理：设在n行列式 k个行，由这k中任意取定了行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。

线性代数练习册练习题—第1章行列式

第1章行列式及其应用一、填空题1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 .2．排列36715284的逆序数是。

3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = ， s = ，t = . 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 . 5．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = , j = .6.设行列式275620513--=D ，则第三行各余子式之和的值为 . 7.行列式=30092280923621534215 .8．行列式=1110110********* .9.多项式0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有根是 .10．若方程225143214343314321x x -- = 0 ，则 .11．行列式 ==2100121001210012D12. 行列式122305403-- 中元素3的代数余子式是 . 13. 设行列式4321630*********=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= . 14.已知四阶行列D 中第三列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次分布为5，3，,7-4，则D = .15. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k .二．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x （）.（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = （）.（A ）（13，5）（B ）（13-，5）（C ）（13，5-）（D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是（）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有（）. （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为（）.（A ）3,2==l k ，符号为正（B ）3,2==l k ，符号为负（C ）2,3==l k ，符号为正（D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是（）.(A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n 个7．如果133********21131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D （）. （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24 8．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D （）. （A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27-9． 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a =（）. （A ）8 （B ）2 （C ）0 （D ）6- 10．若111111111111101-------=x A ，则A 中x 的一次项系数是（）.（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-11．4阶行列式443322110000000a b a b b a b a 的值等于（）.（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a --（C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 12．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是（）.（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x = （B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x = （C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----= （D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=13. 方程0881441221111132=--x x x的根为（）. （A ）3,2,1 （B ）2,2,1- （C ）2,1,0 （D ）2,1,1-14. 已知a a a a a a a a a a =333231232221131211,那么=+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a （）. （A ）a （B ）a - (C)a 2 （D ）a 2-15. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则（）.（A ）0≠λ且1≠λ （B ）0=λ或1=λ （C ）0=λ （D ）1=λ三、判断题。

行列式习题1附答案

级班命题人或命题小组负责人签名: 教研室（系）主任签名：一、填空题«线性代数》第一章练习题1、（631254） ____________ 82、要使排列（3729m14n5为偶排列，则m =___8 __ , n = ____ 6 ____x 11 「入 3 23、关于x 的多项式x x X 中含x 3,x 2项的系数分别是-2,4122x4、 A 为3阶方阵，A 2，则3A* ________________ 1085、四阶行列式det （a j ）的次对角线元素之积（即aga 23a 32a 41）一项的符号为 +6、求行列式的值（1）1234 2469 234469=__1000__1 2 1⑵ 24 2 =010 14 131 0 2000 12001⑶0 12002 2003 =20052004 20051 2⑷行列式213 40中元素0的代数余子式的值为 27、 1 5 25 1 7 49 1 8 641 11 1 423 516 4925 64 827 125: ___ 1680 ________8、设矩阵A 为4阶方阵，且|A|=5,则|A*|=__125.1| 2A| =__80__，| A |=0 1 19、 1 0 1 =2;1 1 0bx ay 010、若方程组 cx az bcy bz a有唯一解，则abcM _______0 1 2 22 2 2 0 121 3 0 01 0 0 0O11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上行列式^不变 12、行列式a 12a 13 a 22a 23a 32 a 33a 42 a 43a 11 a 21a 31 a 41a 14 a 24 a 34a 44的项共有4! 24 项，在&11&23&14&42a 34 a 12a 43a 21中,X 2 X 3 013、当a 为1 1或2时，方程组x 12x 2 ax 3 0有非零解。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

习题1—1 全排列及行列式的定义
1．计算三阶行列式123
4
56789。

2．写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。

3．利用行列式的定义计算下列行列式：
⑴0
004003002001
0004
D
⑵0
0000000052
51
42413231
2524232221
151********a a a a a a a a a a a a a a a a D =
⑶0
001
0000
200
0010
n
n D n -=
4．利用行列式的定义计算210111()0211
1
1
x
x x f x x x
-=
中34
,
x x 的系数。

习题1—2 行列式的性质
1．计算下列各行列式的值：
⑴
2141
012112025
62
-
⑵ef
cf
bf
de cd bd
ae ac ab
---
⑶
2
2
2
2
2
2
2
2
22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
2．在n 阶行列式nn
n n n
n
a a a a a a a a a D 2
1
222
2111211
=
中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=，
证明：当n 是奇数时，D=0. 3．计算下列n 阶行列式的值：
⑴x
a
a
a x a a a x
D n
=
⑵n
n a a a D +++=
11
1
1
1111121
()120n a a a ≠
习题1—3 行列式按行（列）展开
1．已知ij A 是行列式1
22
30
5
4
03
--的元素ij a （3,2,1,=j i ）的代数余子式，求32
3127A A +的值。

2．按第三列展开下列行列式，并计算其值：
1
1
111110101
d
c
b a ------
3．计算下列n 阶行列式的值
⑴a
a a a
D n 0
1
0000
00
100
=
⑵x
y y
x y x y x D n 0000000
00
000
=
4．试用数学归纳法证明：
n n n n n n n
n a x a x a x a x a a a a x x x
D ++++=+---=
----1111
2
2110000
0100001
习题1—4 克拉默法则
1．用克拉默法则解下列方程组：
⑴⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=+--=-+4452227253
2z y x z y x z y x
⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+-+=---=-++8
232422383226232t z y x t z y x t z y x t z y x
2．判断齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=+-=-+028*******z y x z y x z y x 是否仅有零解？
3．问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(z y x z y x z y x λλλ有非零解？
4． λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=-+=-+0200z y x z y x z y x λλ仅有零解？。