线性代数第1章第4节行列式按行展开
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线性代数课件1-4行列式按行(列)展开
实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三 个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数 和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换， 即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以 按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。
线性代数第1章第4节行列式按行展开
故
4A12+2A22－3A32+6A42=0．
26
44411 32145 例：已知5阶行列式 D 3 3 3 2 2 23542 45613
试求 (1) A21 A22 A23; (2) A24 A25. 其中A2j为D中元素a2j ( j =1,2,3,4,5)的代数余子式．
解： 由行列式展开定理有
故 16 2(x) 019 (4)(2) 0 所以 x = 7．
25
例：设
21 41
3 4 2 1
D
,
1 2 3 2
50 62
求4A12+2A22－3A32+6A42，其中Ai2为D中元素ai2(i =1, 2, 3, 4) 的代数余子式．
解：因4, 2,－3, 6 恰好为D中第3列元素，而A12，A22， A32，A42 为D中第2列元素的代数余子式．
an1 an2 ann
11
则
a11 a12 a1n
ak1 Ai1
ak 2 Ai 2
akn Ain
ak1
ak 2
akn
第i行
ak1 ak 2 akn
an1 an2 ann
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 ．
12
综上，得公式
ak1 Ai1
ak 2 Ai 2
akn Ain
D, （当k 0，（当k
(i 1) ( j 1) i j 2 次交换行与交换列的步骤．
7
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，
得，
aij 0 0
D (1)i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
(1)i j aij Mij (1)i j Aij
线性代数与空间解析几何01-第4节 利用性质计算行列式_4
3111
例1.2.2 计算四阶阶行列式 D 1 3 1 1 .
1131
1113
解 将第2、3、4行都加到第一行得
1111
1111
D r1 6
1 6
1
3 1
1 3
1 r2 r1 6 0 1 r3 r1 0
2 0
0 2
0 48. 0
1 1 1 3 r4 r1 0 0 0 2
1.2 行列式的性质
q11
0
D2
q11 qnn.
qn1 qnn
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
对D的前k行做运算ri+krj，再对后n列做运算
ci+kcj，把D化为下三角形行列式
p11
0
D pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
x会
z yw
z y r1 r2 x x w y
w r2 r1 z
1.2 行列式的性质
2. 利用性质计算行列式
注意:
1.将几次运算写在一起时,各运算的次序不能颠倒. 例如
x y r1 r2 x z yw r2 r1 x z yw
zw
zw
; x y
x y r2r1 x y r1r2 z w .
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
1 2 3 4
例1.2.1 计算四阶行列式 D 2
3 4 7 .
1 2 5 8
1 3 5 10
1 2 3 4
1 2 3 4
解 D 2 3
1 2
线性代数第一章PPT讲解1-4
aaijij 0 0
D
1 i1
1
a j 1 i1, j
ai1, j1
ai1,n
anj an, j1 ann
aaiijj
0
0
1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aijj
0
0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aaiijj
0
0
元 素aij在 行 列 式ai1, j ai1, j1 ai1,n 中 的
anj an, j1 ann
余 子 式 仍 然 是aij在 a11 a1 j a1n
D 0 aaiijj 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
二、行列式按行（列）展开法则
定理３ 行列式等于它的任一列（行）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj j 1,2,, n
证 a11 a1 j 0 0 a1n
D
a21
0 a2 j 0
a2n
an1 0 0 anj ann
1பைடு நூலகம்
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
依次做行变换:
rn x1rn1 , rn1 x1rn2 , ....., r2 x1r1
有
1
1
1
1
0
Dn 0
x2 x1
x2 ( x2 x1 )
x3 x1
线性代数按行列展开
a2l A2 j
anl Anj
D, （当l 0，（当l
j） j）
11
例2：计算范德蒙行列式
1 1 1 ... . 1 1
x1
x2
Dn x12
x
2 2
.. ..
x3 . . . xn1 xn
x
2 3
...
x
2 n1
x
2 n
.. .. ..
x1n1
x
n1 2
x
a11
a22 a32
a23 a33
a12
(1)
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
1
一、定义
n阶行列式 a11 a12 a1n
Dn
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
中，划去元素aij所在的第i行和第j列元素，余 下的元素按原来顺序构成一个n-1阶行列式， 称为元素aij的余子式，记做Mij。
5
证明思路： (详细证明见教材) 1°两边项数相同； 2°右边各项都是 D 中的项； 3°右边各项的符号与在 D 中的符号相同。
说明：
该定理可作为行列式的等价定义。
按某行（列）展开，本质是对行列式降阶，
是降阶简化计算行列式的重要方法，特别适用 于某行（列）零元较多的情形。
6
例1 利用行列式的展开计算行列式的值 2 1 1 1 0 0 4 1
22
行列式的计算
普遍法则
定义法 化三角形法：
• 利用性质化为三角形行列式
降阶法（展开定理）
《线性代数》1.4行列式按行(列)展开
线 性 代 数
(第二版)
第四节 行列式按行（列）展开
上一节，用行列式的性质，把行列式化为三角（或 下三角）行列式的方法计算行列式的值，下面要介绍的内 容就是如何把高阶行列式化为低阶行列式来计算的方法. 现看三阶行列式 a11 a12 a13
D a21 a31 a22 a32
a22 a32 a23 a33
a23 a33
a12
a21 a23 a31 a33
a13
a21 a22 a31 a32
中
a22 a32
a23 a33
是 a11 的余子式，其代数余子式为
11
A11 1
a22 a32
a23 a33
=
a22 a32
a23 a33
类似 a12 的代数余子式为
A12 1
1 2
D as1 an1
按 ri 展开
ri rs
(a
k 1
ask ) Aik aik Aik ask Aik D ask Aik
把 D 移项得 同理可证
a
k 1
n
k 1
k 1
k 1
sk
Aik 0 ，即
as1 Ai1 as 2 Ai 2
a1 j A1s a2 j A2s
asn Ain 0,
anj Ans 0,
(i s)
(j s)
ai1 Ak1 ai 2 Ak 2 ain Akn 0 ,
(iபைடு நூலகம் k )
( j k)
同理可证 性质： 对行而言
a1 j A1k a2 j A2k anj Ank 0 ,
(第二版)
第四节 行列式按行（列）展开
上一节，用行列式的性质，把行列式化为三角（或 下三角）行列式的方法计算行列式的值，下面要介绍的内 容就是如何把高阶行列式化为低阶行列式来计算的方法. 现看三阶行列式 a11 a12 a13
D a21 a31 a22 a32
a22 a32 a23 a33
a23 a33
a12
a21 a23 a31 a33
a13
a21 a22 a31 a32
中
a22 a32
a23 a33
是 a11 的余子式，其代数余子式为
11
A11 1
a22 a32
a23 a33
=
a22 a32
a23 a33
类似 a12 的代数余子式为
A12 1
1 2
D as1 an1
按 ri 展开
ri rs
(a
k 1
ask ) Aik aik Aik ask Aik D ask Aik
把 D 移项得 同理可证
a
k 1
n
k 1
k 1
k 1
sk
Aik 0 ，即
as1 Ai1 as 2 Ai 2
a1 j A1s a2 j A2s
asn Ain 0,
anj Ans 0,
(i s)
(j s)
ai1 Ak1 ai 2 Ak 2 ain Akn 0 ,
(iபைடு நூலகம் k )
( j k)
同理可证 性质： 对行而言
a1 j A1k a2 j A2k anj Ank 0 ,
第1章 1.4 行列式按行按列展开法则
aaiijj ! 0 ! 0
"
"
"
( ) ( ) D =
- 1 i-1 ×
-1
a j-1 i-1, j
!
ai-1, j-1
!
ai -1,n
"
"
"
anj ! an, j-1 ! ann
aij ! 0 ! 0
"
"
"
( ) = - 1 i+ j-2 ai-1, j ! ai-1, j-1 ! ai-1,n
a21 a22 a23 a24
a21 aa2242a24aa2213a21aa2224a22a23 a23
a41 a42 a43 a44
a41 aa4442a44aa4413a41aa4424a42a43 a43
a11 a12 a13
= (-1)53+4aa3344 a21 a22 a23
a41 a42 a43
2 -2 1
ab c
2.行列式 d e f 元素 f 的代数余子式是？
ghk
A、 d e
gh
B、b a
hg
ab
ed
C、
D、
gh
hg
引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行i 所有元
素除 aij 外都为零，那么这行列式等于 aij与它的代 数余子式的乘积，即 D = aij A．ij
a11 a12 a13 a14
§4 行列式按行(列)展开
•对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. •n阶行列式的定义更适合0元素较多的高阶行列式 •本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.
一、引言
《行列式按行展开》课件
对于任意n阶方阵A，其第i 行第j列的代数余子式Aij可 以表示为去掉第i行第j列后 的(n-1)阶子矩阵的行列式值 乘以(-1)^(i+j)。
行列式的性质还包括拉普拉 斯展开定理和克拉默法则等 。
拉普拉斯展开定理指出，一 个n阶行列式等于它的任意 一行的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和；克 拉默法则则指出，如果线性 方程组的系数行列式不为0 ，则方程组有唯一解，且解 可以通过系数行列式和常数 项的代数余子式计算得出。
应的代数余子式相乘，得到最终结果。
行列式按行展开的
04
运算技巧
代数余子式的计算
代数余子式定义
在行列式中，去掉某行和某列后所得到的$n-1$阶行列式，乘以$(-1)^{i+j}$，其中$i$和$j$分别是去 掉的行号和列号，得到的项称为代数余子式。
代数余子式的计算方法
根据代数余子式的定义，可以通过递归的方式计算代数余子式。具体来说，可以将$n$阶行列式拆分 成若干个$n-1$阶子行列式，然后分别计算这些子行列式的代数余子式，最后将它们相加得到原$n$ 阶行列式的代数余子式。
03
总结词
行列式的值可以通过对角线元素计算得出。
05
02
详细描述
行列式是n阶方阵A的行列式，记作det(A)或 |A|，是一个标量，由n!项组成，每一项都是 n个不同行元素的代数余子式。
04
详细描述
行列式的值是由其对应的n阶方阵唯 一确定的，与矩阵的表示方式无关。
06
详细描述
对于一个n阶方阵A，其行列式的值可以通过 对角线元素计算得出，即 det(A)=a11*a22*...*ann。
《行列式按行展开》 ppt课件
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a12 a22 a32
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 M 12 a31 a41
a23 a33 a43
a24 a34 a44
11 2 M 12 M12 A12
A44 1
4 4
M 44 a21 a31
M 44 M 44
注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式．
8
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得，
aij
0
0
D ( 1)i j 2 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n anj
i j
a n , j 1
i j
ann
( 1) aij M ij ( 1)
Aij
而
D a13 A13 a23 A23 a33 A33 a43 A43 .
15.
25
所以 D (1) 5 2 (3) 0 (7) 1 (4)
例：已知四阶行列式D中第一行上元素分别为1, 2, 0, －4;
第三行上元素的余子式依次为6, x, 19, 2．试求x 的值．
2
, j3 ,, jn )
a2 j a3 j anj
2 3
n
a2 j a3 j anj 恰是 M 11 的一般项．
2 3 n
所以，
D a11 M11
a11 ( 1)11 M 11
a11 A11
7
(2) 设 D 的第 i 行除了 a ij 外都是 0 ．
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 ann
第一章 行列式
第四节 行列式按行（列）展开
一、行列式按某一行（列）展开
二、行列式计算方法类型举例 三、行列式按某 k 行（列）展开
1
观察三阶行列式定义
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 D a21 an1
0
0
6
a22 a2 n an 2 ann
由行列式定义，D 中仅含下面形式的项
( 1)
( 1 , j2 , j3 ,, jn )
a11a2 j a3 j anj
2 3
n
a11 ( 1) ( 1, j
其中 ( 1)
( 1 , j2 , j3 ,, jn )
5 11 0 5
5
( 1) 3 3 11 5
5
19
5 D ( 1)33 11 5
r2 r1
5 6
1 1 5
1 2
1 1 0
1 0
5 5 0
( 1)
1 3
6
2
5 5
8 0
2 5
40.
20
1 2 2 2 2 2 2 2
例：计算
3
在 定义1： n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素
a ij 的 余子式，记为 M ij
称 Aij 1 M ij 为元素 a ij 的代数余子式．
i j
例如：
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
解： 由题意知 a11=1，a12=2，a13=0，a14=－4 ； A31=6，A32=－x，A33=19，A34=－2． 而 故
5
定理1：行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
证明： （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理． (1) 假定行列式D的第一行除 a11 外都是 0 ．
i 1,2,, n
1 3
1 15
1 3
2 1
1
(1) ( 1) 23 1 15 16 2
92.
18
3
1 1 0 5 1 1 0 5
1 1 1 1 0
1 3 1 3 1 1 0 0 1 3 1 3
2 4 1 3
例:
计算行列式
D
5 2 1
解: 原式
c1 2c3 c4 c 3
a11 (a22a33 a23a32 ) a12 (a23a31 a21a33 ) a13 (a21a32 a22a31 )
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a23 a31 a33
a13
a21 a22 a31 a32
2
一、行列式按某一行（列）展开
对于三阶行列式，容易验证：9(3)Fra bibliotek一般情形
a11 D ai 1
a12 a1n a11 an1 a12 an 2 a1n ann
10
ai 2 ain
an1 an 2 ann
ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a11 a32 a33
a22
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算. 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行 列式来计算？
2 3
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a11 M 23 a31 a41
a12 a32 a42
a14 a34 a44
D
A23 1
M 23 M 23 .
4
a11 D a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a11
a13 a23 a33 a43
a11 a12 a1n ai 1 0 0
a11 0
a12 a1n ai 2
a11 a12 a1n 0 ain
0 0
an1 an 2 ann
an1 an 2 ann
a n ( 1)n1 b n .
0 0 0 0 0 0 a b
23
解二：按第一行展开 0 b 0 0 a b 0 0 0 a 0 0 0 a 0 0 1 2 Dn a ( 1)11 b( 1) 0 0 a b 0 0 a b b 0 0 a 0 0 0 a 而 0 b 0 0 b 0 ab 00 0 0 0 0 a 0 0 a b 0a 0b 0 0 0 按第一列展开 1 n n1 b( 1)n Dn ( ) b . 0 0 a b 0 0 00 b 0 0 a b b 0 0 a 0 0 b0 a 0 b 0 a
an1 an 2 ann
证毕．
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
例如，行列式 D 0
i 1,2,, n
3 5 3 1 0 7
0 0 7 2
按第一行展开，得
7
2
3 0 1 7 7
D 3
1 0 7 2
5 ( 5)
27.
把D转化为(1)的情形
an1 anj
·· ·· 把 D 的第 i 行依次与第 i 1 行，第 i 2 行，··， 第2行，第1行交换；再将第
j 列依次与第 j 1 列，
第 j 2 列，··，第2列，第1列交换，这样共经过 ·· ··
( i 1) ( j 1) i j 2 次交换行与交换列的步骤．
0 0
0 0 1 0 2 0
0 0 0
例：计算行列式 D
0
2006 0 0 0
0 0 0 2007
0 0 0 1 0 2 0
解：
D 2007 (1)
2007 2007
0
2006 0 0 0
2007 (1)
2006 2005 2
Dn a n ( 1)n1 b n .
24
例：已知四阶行列式D中第三列元素依次为－1, 2, 0,
1．它们的余子式依次分别为5, 3, －7, 4，求D =？ 解： 由题意知
A13 (1)31 5 5,
A23 (1)23 3 3,
A33 (1)33 (7) 7, A43 (1)43 4 4.
ak 2 akn ak 2 akn an 2 ann
第i行
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 ．
13
综上，得公式
D, （当k i） ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0，（当k i） D, （当l j） a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj 0，（当l j）
12
ain
在 D ak 1 an1
ak 2 akn an 2 ann
中，如果令第 i行的元素等于 另外一行，譬如第k行的元素.
则
a11 ak 1 ak 1 an1
a12
a1 n
ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 M 12 a31 a41
a23 a33 a43
a24 a34 a44
11 2 M 12 M12 A12
A44 1
4 4
M 44 a21 a31
M 44 M 44
注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式．
8
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得，
aij
0
0
D ( 1)i j 2 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n anj
i j
a n , j 1
i j
ann
( 1) aij M ij ( 1)
Aij
而
D a13 A13 a23 A23 a33 A33 a43 A43 .
15.
25
所以 D (1) 5 2 (3) 0 (7) 1 (4)
例：已知四阶行列式D中第一行上元素分别为1, 2, 0, －4;
第三行上元素的余子式依次为6, x, 19, 2．试求x 的值．
2
, j3 ,, jn )
a2 j a3 j anj
2 3
n
a2 j a3 j anj 恰是 M 11 的一般项．
2 3 n
所以，
D a11 M11
a11 ( 1)11 M 11
a11 A11
7
(2) 设 D 的第 i 行除了 a ij 外都是 0 ．
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 ann
第一章 行列式
第四节 行列式按行（列）展开
一、行列式按某一行（列）展开
二、行列式计算方法类型举例 三、行列式按某 k 行（列）展开
1
观察三阶行列式定义
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 D a21 an1
0
0
6
a22 a2 n an 2 ann
由行列式定义，D 中仅含下面形式的项
( 1)
( 1 , j2 , j3 ,, jn )
a11a2 j a3 j anj
2 3
n
a11 ( 1) ( 1, j
其中 ( 1)
( 1 , j2 , j3 ,, jn )
5 11 0 5
5
( 1) 3 3 11 5
5
19
5 D ( 1)33 11 5
r2 r1
5 6
1 1 5
1 2
1 1 0
1 0
5 5 0
( 1)
1 3
6
2
5 5
8 0
2 5
40.
20
1 2 2 2 2 2 2 2
例：计算
3
在 定义1： n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素
a ij 的 余子式，记为 M ij
称 Aij 1 M ij 为元素 a ij 的代数余子式．
i j
例如：
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
解： 由题意知 a11=1，a12=2，a13=0，a14=－4 ； A31=6，A32=－x，A33=19，A34=－2． 而 故
5
定理1：行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
证明： （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理． (1) 假定行列式D的第一行除 a11 外都是 0 ．
i 1,2,, n
1 3
1 15
1 3
2 1
1
(1) ( 1) 23 1 15 16 2
92.
18
3
1 1 0 5 1 1 0 5
1 1 1 1 0
1 3 1 3 1 1 0 0 1 3 1 3
2 4 1 3
例:
计算行列式
D
5 2 1
解: 原式
c1 2c3 c4 c 3
a11 (a22a33 a23a32 ) a12 (a23a31 a21a33 ) a13 (a21a32 a22a31 )
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a23 a31 a33
a13
a21 a22 a31 a32
2
一、行列式按某一行（列）展开
对于三阶行列式，容易验证：9(3)Fra bibliotek一般情形
a11 D ai 1
a12 a1n a11 an1 a12 an 2 a1n ann
10
ai 2 ain
an1 an 2 ann
ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a11 a32 a33
a22
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算. 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行 列式来计算？
2 3
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a11 M 23 a31 a41
a12 a32 a42
a14 a34 a44
D
A23 1
M 23 M 23 .
4
a11 D a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a11
a13 a23 a33 a43
a11 a12 a1n ai 1 0 0
a11 0
a12 a1n ai 2
a11 a12 a1n 0 ain
0 0
an1 an 2 ann
an1 an 2 ann
a n ( 1)n1 b n .
0 0 0 0 0 0 a b
23
解二：按第一行展开 0 b 0 0 a b 0 0 0 a 0 0 0 a 0 0 1 2 Dn a ( 1)11 b( 1) 0 0 a b 0 0 a b b 0 0 a 0 0 0 a 而 0 b 0 0 b 0 ab 00 0 0 0 0 a 0 0 a b 0a 0b 0 0 0 按第一列展开 1 n n1 b( 1)n Dn ( ) b . 0 0 a b 0 0 00 b 0 0 a b b 0 0 a 0 0 b0 a 0 b 0 a
an1 an 2 ann
证毕．
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
例如，行列式 D 0
i 1,2,, n
3 5 3 1 0 7
0 0 7 2
按第一行展开，得
7
2
3 0 1 7 7
D 3
1 0 7 2
5 ( 5)
27.
把D转化为(1)的情形
an1 anj
·· ·· 把 D 的第 i 行依次与第 i 1 行，第 i 2 行，··， 第2行，第1行交换；再将第
j 列依次与第 j 1 列，
第 j 2 列，··，第2列，第1列交换，这样共经过 ·· ··
( i 1) ( j 1) i j 2 次交换行与交换列的步骤．
0 0
0 0 1 0 2 0
0 0 0
例：计算行列式 D
0
2006 0 0 0
0 0 0 2007
0 0 0 1 0 2 0
解：
D 2007 (1)
2007 2007
0
2006 0 0 0
2007 (1)
2006 2005 2
Dn a n ( 1)n1 b n .
24
例：已知四阶行列式D中第三列元素依次为－1, 2, 0,
1．它们的余子式依次分别为5, 3, －7, 4，求D =？ 解： 由题意知
A13 (1)31 5 5,
A23 (1)23 3 3,
A33 (1)33 (7) 7, A43 (1)43 4 4.
ak 2 akn ak 2 akn an 2 ann
第i行
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 ．
13
综上，得公式
D, （当k i） ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0，（当k i） D, （当l j） a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj 0，（当l j）
12
ain
在 D ak 1 an1
ak 2 akn an 2 ann
中，如果令第 i行的元素等于 另外一行，譬如第k行的元素.
则
a11 ak 1 ak 1 an1
a12
a1 n
ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain