线性代数第一章
线性代数第一章课件,数学
n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11
线性代数第一章word版
第一章 矩阵§1.2 Gauss 消元法1． 基本概念一般的n 元线性方程组：)( b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a m n mn m m n n n n *⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++ 22112222212********* 未知数：n x x x ,,,21系数：),,2,1,,2,1( n j m i a j i ==； 常数项：m b b b ,,,21一个解：n 元有序数组n c c c ,,,21 ，令, , , ,2211n n c x c x c x === 使（*）的所有方程变为恒等式。
解集合：（*）的全部解的集合。
不相容线性方程组：解集合为空集。
一般解（通解）：解集合中全部元素的通项表达式。
具体解（特解）：解集合中一个特定元素。
解的存在性：解集合是否为空集。
解的唯一性：非空的解集合是否只有一个元素。
线性方程组同解：解集合相同。
非齐次线性方程组：m b b b ,,,21 不全为零 齐次线性方程组：m b b b ,,,21 全为零一般的n 元齐次线性方程组：)( x a x a x a x a x a x a x a x a x a n mn m m nn n n **⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111零解：所有未知数均取零的解 非零解：未知数不全取零的解2. Gauss 消元法例 1 解线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-+524314422321321321x x x x x x x x x阶梯形方程组: 从上到下，方程中具有非零系数的第一个未知数的下标严格增大. 例如…. 注:(1) 它包含两个过程: 一是消元; 二是回代. (2) 将方程组化为阶梯形时所做的操作有如下三种: (i) 交换某两个方程, 如第i 个和第j 个,表示为j i R R ↔. (ii) 用非零常数k 乘某个方程, 如第i 个方程, 表示为 i kR . (iii) 将第i 个方程的l 倍加到第j 个方程, 表示为 i j lR R +. 这三种变换称为线性方程组的初等变换. 定理 1线性方程组的初等变换将方程组化为同解的方程组.解线性方程组的步骤:第一步 若第一个方程的1x 的系数为零，则选择一个1x 的系数不为零的方程, 如第i 个方程，交换它们的位置， 即 i R R ↔1.第二步 用变换1kR 将1x 的系数化为1.第三步 用变换1,1>+i lR R i , 将1x 从第一个方程以下的所有方程中消去。
第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
线性代数第一章行的列变换
列倍乘
例子：对于矩阵
$begin{bmatrix}
列倍乘
1&2&3 4&5&6 7&8&9
列倍乘
01
end{bmatrix}$
02
乘以2得到
$begin{bmatrix}
03
列倍乘
2&4&6 14 & 16 & 18
THANKS
先求出原矩阵的行列式，然后求出 原矩阵的伴随矩阵，最后将伴随矩 阵的行列式除以原矩阵的行列式得 到逆矩阵。
初等行变换法
通过一系列初等行变换将原矩阵变 为单位矩阵，同时记录下每一步的 变换，最后得到逆矩阵。
06
线性方程组的解法
高斯消元法
将增广矩阵按照某一 行展开，得到一个更 简单的方程组。
回代求解，得到方程 组的解。
8 & 10 & 12 end{bmatrix}$
列倍加
定义
将矩阵中的某一列加上另一个列。
公式
假设矩阵为$A$，要加上第$j$列得到新的矩阵$B$，则$B = A + A_{ j}$，其中$A_{ j}$表示第$j$列。
列倍加
例子：对于矩阵
$begin{bmatrix}
列倍加
1&2&3
1
4&5&6
行交换不改变矩阵的行列式值和秩。
行交换是可逆的，即交换任意两行后，可以通过再次交换这两行来恢复原始矩阵。
行倍乘
行倍乘是指将矩阵中的某一行 乘以一个非零常数。
行倍乘不改变矩阵的行列式值， 但会改变矩阵的秩。
高等数学线性代数教材目录
高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。
这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。
希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
第一章线性代数
2. 初等矩阵的性质 定理1.1. 定理1.1. 对m×n矩阵A施行一次初等行变换 矩阵A施行一次初等行 相当于在A 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 施行一次初等列 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵.
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 定义: 为方阵, 若存在方阵B AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 2. 逆矩阵是唯一的， A−1. 逆矩阵是唯一的， 记为A 记为 3. 性质:设A, B为同阶可逆方阵, 数k ≠ 0. 则 性质: 为同阶可逆方阵, (1) (A−1)−1 = A. (2) (AT)−1 = (A−1)T. (A (3) (kA)−1 = k−1A−1. (4) (AB)−1 = B−1A−1.
则λA =
λA11 λA12 … λA1r λA21 λA22 … λA2r
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§1.3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和nnn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ〔奇偶〕排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
〔转置行列式〕TD D =②行列式中*两行〔列〕互换，行列式变号。
推论：假设行列式中*两行〔列〕对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的*一行〔列〕，等于k 乘以此行列式。
推论：假设行列式中两行〔列〕成比例，则行列式值为零；推论：行列式中*一行〔列〕元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行〔列〕可加性⑤将行列式*一行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕上，值不变行列式依行〔列〕展开：余子式、代数余子式ij M ijji ij M A +-=)1( 定理：行列式中*一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解：0≠D )21(n j DD x j j ⋯⋯==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解01≠=D 逆否：假设方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:jiij a a =③反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零ji ij a a -=④三线性行列式: 方法：用把化为零，。
化为三角形行列式333122211312110a a a a a a a 221a k 21a ⑤上〔下〕三角形行列式:行列式运算常用方法〔主要〕行列式定义法〔二三阶或零元素多的〕化零法〔比例〕化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：〔零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)n m A * 矩阵的运算：加法〔同型矩阵〕---------交换、结合律数乘---------分配、结合律n m ij ka kA *)(= 乘法注意什么时候有意义nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑== 一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置A A TT =)(TTTBA B A +=+)((反序定理)T T kA kA =)(T T T A B AB =)(方幂：2121k k k kA AA += 几种特殊的矩阵：对角矩阵：假设AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数〔假设……〕 单位矩阵、上〔下〕三角形矩阵〔假设……〕对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，假设存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)B A =-1 初等变换1、交换两行〔列〕2.、非零k 乘*一行〔列〕3、将*行〔列〕的K 倍加到另一行〔列〕初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的〔对换阵 倍乘阵 倍加阵〕等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 假设A 可逆，则满秩假设A 是非奇异矩阵，则r 〔AB 〕=r 〔B 〕初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式n ij n ij a k ka )()(=nijn nij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④假设A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
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（1-3）
1.2.1 二阶行列式
定义1
二元线性方程组的解（1-2）可简单表示为
x1
D1 D
，x2
D2 D
(D
0)
．
（1-4）
其中， D a11 a12 为方程组未知数的系数所组成的行列式，称为方程组的系数行列 a21 a22
式；D1
b1 b2
a12 a22
（用方程组的常数项代替系数行列式的第 1 列）；D2
（2）形如
a11 0 L a21 a22 L M MO an1 an2 L
0 0 M a11a22 L ann ann
的 n 阶行列式，称为下三角行列式，其主对角线以上的元素全为 0．
1.2.4 特殊行列式
定义4
（3）形如
a11 0 L 0 a22 L M MO 0 0L
0 0 M a11a22 L ann ann
a31 a32 a33
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 ．当 D 0 时，方程组（1-5）的解可表示为
a31 a32 b3
x1
D1 D
， x2
D2 D
，
x3
D3 D
．
（1-7）
1.2.2 三阶行列式
例题
2 12
例 3 计算三阶行列式 D 4 3 1 ．
a1n
a2n
M
(1) a1p1 a2 p2 L anpn ，
( p1 p2 pn )
ann
（1-8）
称为 n 阶行列式，记为 D ．其中，p1 L pn 为自然数1，2，3，L ，n 的一个排列， ( p1 L pn ) ，
是对所有 n 级排列 p1 L pn 求和．
( p1 p2 pn )
其中
是对所有 n 级排列 p1 L pn 求和， ( p1 L pn ) ．
( p1 p2 pn )
（1-9）
1.2.4 特殊行列式
定义4
（1）形如
a11 a12 L
0 D
a22 L
M MO
0 00
a1n
a2n M
a11a22 L ann
ann
的 n 阶行列式，称为上三角行列式，其主对角线以下的元素全为 0．
称为三阶行列式，记为 D 。
1.2.2 三阶行列式
计算
三阶行列式可通过对角线法则进行计算，如图 1-1 所示．实线连接的三个元素之积取正， 虚线连接的三个元素之积取负。
图 1-1
1.2.2 三阶行列式
计算
a11 a12 a13
b1 a12 a13
a11 b1 a13
若令 D a21 a22 a23 ， D1 b2 a22 a23 ， D2 a21 b2 a23 ，
线性代数
第1章 行列式
1.1 排列 1.2 行列式的概念 1.3 行列式的性质及其运用 1.4 行列式的展开 1.5 克莱姆法则 1.6 应用实例——行列式在解析几何中的应用
1.1 排列
定义1
由正整数组成1,2,3,…,n的一个没用重复数字的n元有序数组，称为一个 n级排列，简称排列，记作i1i2…in。
( p1 p2 pn )
p1 2，p2 3，L ，pn1 n ，pn 1 ．
解： Dn (1) a12a23 L a a (n1)n n1 (1) (23n1) n! (1)n1 n! ． 定理 1 n 阶行列式也可定义为
D
(1) a a p11 p2 2 L apnn ，
( p1 p2 pn )
三个定理
定理1 任一排列经过一次对换后，排列的奇偶性会发生改变。
三
个 定 理
定理2 在所有的n级排列中（n…2），奇排列与偶排列的个数相等， 各为 n! 个。
2
定理3 任一n级排列i1i2…in都可以通过一系列对换调成自然排列 12…n，且奇排列调成自然排列的对换次数为奇数，偶排列调成自 然排列的对换次数为偶数。
当 n 1时，一阶行列式为 a11 a11 ，注意不要将其与绝对值概念混淆．
1.2.3 n阶行列式
例题
例 6 在五阶行列式中，a12a23a35a41a54 这一项应取什么符号？
解：这一项各元素的行标是按自然排列，而列标的排列为 2 3 5 1 4．因 (2 3 51 4) 4 ，
故该项取正号．
解方程 x2 5x 6 0 ，得 x 2 或 x 3．
1.2.2 三阶行列式
例题
a b0
例 5 已知 b a 0 0 ，其中 a ，b 均为实数，则 a ，b 应满足什么条件？
1 01
a b0 解：若要 b a 0 a2 b2 0 ，则 a 与 b 必须同时等于零．
1 01
因此，当 a 0 且 b 0 时，行列式等于零． 结 论 ： 已 知 平 面 上 有 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，C(x3 ，y3 ) 三 点 ， 若 这 三 点 共 线 ， 则
例1
求下列排列的逆序数． （1）6 3 7 2 4 5 8 1； （2）n(n-1)…321.
解：（1） (6 3 7 2 4 5 81) 0 1 0 3 2 2； 0 7 15
（2） [n (n 1) L 3 21] 0 1 2 L (n 2) (n 1) 1 n(n 1)
．
式（1-2）是一般二元线性方程组的公式解。
（1-1） （ 1-2 ）
1.2.1 二阶行列式
定义1
将 2 2 个数排成两行两列，并在左右两侧各加一条竖线，得到算式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21 ，
称为二阶行列式，记为 D 或 det(aij ) 。
其中数aij称为行列式的元素，元素aij的第 一个下标i称为行标，表示这个元素所在的行 数；第二个下标j称为列标，表示这个元素所 在的列数。
1 x1 1 x2 1 x3
y1 y2
1 0 ；若这三点不共线，则 S△ABC =行列式 1 1
2
x1 x2
y3
1 x3
y1 y2 的绝对值． y3
1.2.3 n阶行列式
定义3
将 n n 个数排成 n 行 n 列，并在左右两侧各加一条竖线，得到算式
a11 a12 L a21 a22 L MM an1 an2 L
1.2.4 特殊行列式
定义4
（4）如果行列式 D 中元素满足 aij aji ，则行列式 D 称为对称行列式．
a23 例如， 2 b 4 为对称行列式．
34c
（5）如果行列式 D 中元素满足 aij aji ，则行列式 D 称为反对称行列式．
0 ab 例如， a 0 c 为反对称行列式．
b c 0
别为 0，1，1，2，所以第一、四项应取正号，第二、三项应取负号．
解： D adeh adfg bceh bcfg ．
1.2.3 n阶行列式
例题
例8
0 1 0L 0 0 2L 利用行列式定义计算 Dn M M M 0 0 0L n 0 0L
0 0 M． n 1 0
分析： Dn
(1) a1p1 a2 p2 L anpn ，从行列式的构成可知，不为 0 的项，只有
的 n 阶行列式，称为对角行列式．
除了以上三种特殊行列式外，还有以下对角行列式和三角行列式：
a1n
a2 ，n1
N
a1n
a11 a12 L a1n
a2 ，n1 a2n a21 a22 L N M M LL
an1
an1 an2 L
ann
an1
n ( n 1)
(1) 2 a1na2，n1 L an1 ，
1.2.3 n阶行列式
例题
ab 0 0
例 7 计算四阶行列式 D c d 0 0 ． xye f
uvgh
分析：按行列式的定义，它应有 4! 24 项．但只有 adeh，adfg，bceh，bcfg 这四项不为
零．与这四项相对应列标的排列分别为 1 2 3 4，1 2 4 3，2 1 3 4 和 2 1 4 3，它们的逆序数分
235
2 12
解： D 4 3 1 2 3 5 11 2 2 (4) 3 2 3 2 1 (4) 5 2阶行列式
例题
11 1
例 4 求解方程 2 3 x 0 ．
4 9 x2
解：方程左端的三阶行列式 D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6 ．
a11 a21
b1 （用方程 b2
组的常数项代替系数行列式的第 2 列）。
1.2.1 二阶行列式
例题
例1
求解二元线性方程组
23xx11
2 x2 x2
1， 3．
解：因为 D
3 2
2 1
31 (2) 2 7 0 ，且 D1
1 3
2 1
7 ，D2
3 2
1 7 ，所 3
以 x1
D1 D
1.2.2 三阶行列式
定义2
将 3 3 个数排成三行三列，并在左右两侧各加一条竖线，得到算式
a1 1 a 1 2 a 1 3 a2 1 a 2 2 a 2 3 a a 1a1 2 2a 3a3 a 12a 2a3 a3 1 a 1a3 a2 1 3 a2 a a1 3 2 a2 a3 1 a33 ，1 1 （2 13 -63）2 1 2 a31 a32 a33
7 7
1， x2
D2 D
7 7
1．
1.2.1 二阶行列式
例题
例 2 计算下列各行列式的值．
（1） 3 1 ； 2 4
（2） 1 tan x ． cot x 1
解：（1） 3 1 3 4 1 (2) 14 ； 2 4