扬州大学线性代数习题册第一章
线性代数第一章习题
线性方程组的应用举例
经济学
在经济学中，线性方程组常被用 于描述市场均衡条件，如供求平
衡等。
工程学
在工程学中，线性方程组可用于解 决电路设计、结构力学等问题。
计算机科学
在计算机科学中，线性方程组可用 于图像处理、机器学习等领域。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义和性质
特征值定义：设A是n阶方阵，如果存在数λ和 非零n维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A
特征值与特征向量的应用举例
判断矩阵是否可对角化
若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对 角化。
求解微分方程
对于某些线性微分方程，可以通过求解其特征值 和特征向量来得到微分方程的通解。
矩阵的相似对角化
若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则存在可 逆矩阵P，使得P^(-1)AP为对角矩阵。
主成分分析（PCA）
递推法
根据已知的低阶行列式的结果 ，推导出高阶行列式的结果。
克莱姆法则
克莱姆法则的内容
如果线性方程组Ax=b的系数矩阵A的行列式|A|不等于零，则 该方程组有唯一解，且解向量x的每个分量xi可以通过系数矩 阵A和常数向量b的元素构成的n+1个n阶行列式之比来表示 。
克莱姆法则的应用
克莱姆法则提供了一种求解线性方程组的方法，尤其适用于 系数矩阵A的行列式|A|容易计算的情况。同时，克莱姆法则 也可以用于判断线性方程组的解的存在性和唯一性。
行列式的性质
行列式具有以下性质
行列式的定义和性质
• 互换行列式的两行（列），行列式变号。 • 行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。 • 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。 • 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的这一列（行）的元素
线性代数章节练习题
b b2 ac
c
a
c2 a2
ab abc
b b2 abc
c c2 abc
abc
111
(a b c) a2 b2 c2 (a b c) a b c
111
a2 b2 c2
(a b c)(b a)(c a)(c b)
246 427 327 1000 427 327 1000 100 327 （2） 1014 543 443 2000 543 443 2000 100 443
D 2 0
2 7
2 0
2 0
5 3 2 2
求第四行各元素的余子式之和的值。
8 计算 n 阶行列式
x y 00 0 0 x y0 0 Dn 0 0 0x y y 0 00 x
3 1 1 9 计算行列式 D 1 5 1 。
1 1 3
3 2 2 10 计算三阶行列式 D k 1 k 。
（C） C PT AP
（D） C PAPT
13 计算
0 1 0 2007 1 2 3 0 1 0 2006 1 0 0 4 5 61 0 0 0 0 1 7 8 9 0 0 1
14 设 A 为 n 阶可逆阵，交换 A 的第 i 行与第 j 行后得到 B。 （1）证明 B 可逆；（2）求 AB-1
（C）当 n m 时，必有 AB 0
（D）当 n m 时，必有 AB 0 18 证明 R( A B) R( A) R(B)
4 1 41 则
R(BA 2A)
19 A 为 m p 矩阵，B 为 p n 矩阵，若 AB=0 证明： R( A) R(B) P
20 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2=A，若 R( A) . 证明 R( A E) n r ，其中 E 为 n 阶单位阵
线性代数第一章习题参考答案
解：4234231142342311)1342(4432231144322311)1324()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a a =--=-ττ4.计算abcdef abcdef abcdef abcdef efcf bfde cd bdae ac ab r r r r c c c r f r d r a c ec c c b 420020111111111111111111111)1(12133213213211,1,11,1,1-=--=--=---=-----++5．求解下列方程10132301311113230121111112121)1(12322+-++-++=+-++-+=+-+-+++x x x x x x x x x x x x c c r r 1132104201)3(113210111)3(21+-+--++=+-+-++=-x x x x x x x x x r r 3,3,30)3)(3(11421)3(3212-==-==-+=+---++=x x x x x x x x x 得二列展开cx b x a x b c a c a b x c x b x a c b a x c b a x c b a x ====------=32133332222,,0))()()()()((1111)2(得四阶范得蒙行列式6.证明322)(11122)1(b a b b a a b ab a -=+右左证明三行展开先后=-=-=-----=----=+=+--323322222)(11)()()()1(100211122)1(:2132b a b a b a ba ba b a b b a a b b a b a b b ab ab a b b a ab ab ac c c c1432222222222222222222222222(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369(3))(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369c c c ca a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d --++++++++++++==++++++++++++二三列成比例))()()()()()((1111)4(44442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a dcbad c b a D +++------==44444333332222211111)(x d c b a xdcbax d c b a x d c b a x f 五阶范得蒙行列式解考虑函数=（5）))()()()()()(())()()()()()(()()())()()()()()()()()((454545453453d c d b c b d a c a b a d c b a A M D d c d b c b d a c a b a d c b a A ，A x x f ，Ｍx x f D a b b c a b c d b d a d d x c x b x a x ------+++-==------+++-=----------=于是的系数是中而对应的余子式中是（5）n n a a a a a xx x x 12101000000000100001----解：nn n n n n n n n n nn x a x a a x a x a a a a a a a xx x x D +++=-++--+--=---=+++-++++-10)1()1(1211110121)1()1()1()1()1(1000000000100001按最后一行展开7、设n 阶行列式)det(ij a D =把D 的上下翻转、或逆时针旋转090、或依副对角线翻转、依次得111131111211111,,a a a a D a a a a D a a a a D n n nn n nn n nnnn=== 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(证明：将D 上下翻转，相当于将对D 的行进行)1(21-n n 相邻对换得1D ，故D D n nn 2)1(1)1(--=将D 逆时针旋转090相当于将T D 上下翻转，故D n n D n n D T 2)1(2)1(2-=-=D 依副对角线翻转相当于将D 逆时针旋转090变为2D ， 然后再2D 左右翻转变为3D ，故D D D D n n n n n n =--=-=---2)1(2)1(22)1(3)1()1()1(8、计算下列行列式（k D 为k 阶行列式）（1）aa D n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；解：)1()1(0100)1(1122211111-=-+=-+==--++-+a a a a a aa a a D n n n n n n n n n n 列展开按行展开按（2）x a a a x a a a x D n=解：xaa x a a a n x x a aa x a a a x D nc c c n111])1([21-+==+++12)]()1([0001])1([1--≥--+=---+=n r r k a x a n x ax a x a a a n x k(3)111111)()1()1()()1()1(11111n a n a a a n a n a a a n a n a a a D n n n n n nnm n -+---+---+--=----+解：11111(1)(1)22111111(1)(1)()(1)(1)()111111111111()()()((1)(1)()(1)(1)()n nnn n n n n n n n n n n j i n n n n mnnna a a n a n a a a n a n D a a a n a n a a a n a n j i a a a n a n a a a n a n ----++++≥>≥------+---+-=--+---+-=-=--=--+---+-∏上下翻11)n j i i j +≥>≥-∏（4）n n nnn d c d c b a b a D11112=（未写出的均为0）解：)1(2)1(211112)(02232--↔↔-===n n n n n n n nnn r r c c nnnnn D c b d a D d c b a d c d c b a b a D mn得递推公式)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D ，而11112c b d a D -=递归得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)det(),||n ij ij D a a i j ==-解111,2,,1120121111110121111210311111230123010001200(1)(1)211201231i i j r r n i n c c n n n n D n n n n n n n n n n n n +-=-+-------==-------------==---------解:11211*222,3,,1111111(6)1111111111101111000111100:01111i n nr r n i n nna a D a a a a a D D a a -=+++=++-+-===+-解111211121,2,,12111(1)1110001(1)0000i inc c na n i ni ina a a a a a a a a a ++==++++==+∑9．设3351110232152113-----=D ，D 的),(j i 元的代数余子式为ij A ，求44333231223A A A A +-+解：24335122313215211322344333231=-----=+-+A A A A。
(完整版)行列式习题1附答案.doc
⋯⋯_ ⋯_ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯：⋯号⋯学⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ 线_ 订_ _ 装_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ ⋯：⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯：⋯⋯⋯班⋯⋯⋯《线性代数》第一章练习题⋯⋯一、填空⋯⋯⋯1、(631254) _____________ 8⋯⋯⋯2、要使排列（3729m14n5）偶排列， m =___8____, n =____6_____⋯⋯x 1 13 , x 2 的系数分是⋯3、关于x的多式x x x中含 x -2,4⋯1 2 2x⋯⋯4、 A 3方， A 2， 3A* ____________ 108⋯⋯⋯5、四行列式det( a ij)的次角元素之（即a14a23a32a41）一的符号+⋯⋯1 2 1线1234 2346、求行列式的 (1) =__1000 ；（2）2 4 2 =_0___；封2469 469密10 14 13⋯⋯1 2000 2001 2002⋯0 1 0 2003⋯⋯(3)0 1=___2005____;⋯0 20040 0 0 2005⋯⋯1 2 3⋯中元素 0 的代数余子式的___2____⋯(4) 行列式2 1 0⋯3 4 2⋯⋯1 1 1 1⋯1 5 25⋯ 4 2 3 57、 1 7 49 = 6 ；= 1680⋯16 4 9 25⋯1 8 64⋯64 8 27 125⋯⋯矩方，且，，， A 1 1 。
⋯A 4⋯8、|A|=5 | A*| =__125 | 2A| =__80___ | |=50 1 10 1 2 22 2 2 09、 1 0 1 = 2 。
；3 0121 1 01 01 0 0 0bx ay010、若方程cx az b 有唯一解，abc≠0 cy bz a11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的元素上，行列式12、行列式a11a12a13a14a21a22a23a24 的共有4! 24, 在a11a23 a14a42, a34a12a31a32a33a34a41a42a43a44a34a12a43 a21 是行列式的，符号是 + 。
线性代数第一章课后习题答案
习题1.11、写出下列随机试验的样本空间.（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.（2）在单位园中任取一点记录其坐标.（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）}8,7,6,5,4{ =Ω（2）}1).{(22<+=Ωy x y x（3）}18,,10,9,8,7,6,5,4,3{ =Ω2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件AB-，BC，CB .解：)}6.6(),5.5(),4.4(),3.3(),2.2(),1.1{(=-A B{(=2.2(),1.1BC3.3(),)}4.4(),2.2(),1.13.3(),{(CB4.4(),=5.5(),6.6(),)}6.5(),5.6(),6.4(),4.6(),3、设某人向靶子射击3次，用i A表示“第i次射击击中靶子”（3,2,1=i），试用语言描述下列事件.（1）21A A （2）321)(A A A （3）2121A A A A解：（1）第1，2次都没有中靶（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶（3）第二次中靶4．设某人向一把子射击三次，用i A 表示“第i 次射击击中靶子”（i =1，2，3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：（1）“至少有一次击中靶子”可表示为 ；（2）“恰有一次击中靶子”可表示为 ；（3）“至少有两次击中靶子”可表示为 ；（4）“三次全部击中靶子”可表示为 ；（5）“三次均未击中靶子”可表示为 ；（6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 .解：（1）321A A A ; (2) 321321321A A A A A A A A A ;(3)323121A A A A A A ; (4) 321A A A ; (5) 321A A A (6) 321A A A5.证明下列各题（1）B A B A =- （2）)()()(A B AB B A B A --=证明：（1）右边=AB A B A -=-Ω）（={A ∈ωω且}B A B -=∉ω=左边（2）右边=）（A B AB B A ()() ={}B A B A =∈∈ωωω或习题1.21.设A 、B 、C 三事件，41)()()(===C P B P A P , 0)(,81)()(===AB P BC P AC P ，求A 、B 、C 至少有一个发生的概率.解：0)(0)(=∴=ABC P AB P).(C B A P )()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++= =21812413=⨯-⨯2.已知5.0)(=A p ，2.0)(=B A P ， 4.0)(=B P ，求 （1）)(AB P ，(2))(B A P -， (3))(B A P ， (4))(B A P .解：（1）1.0)()(,==∴=∴⊂A P AB P AAB B A（2）5.0)()(,==∴=∴⊂B P B A P BB A B A3.设)(A P =0.2 )(B A P =0.6 A .B 互斥，求)(B P .解：B A , 互斥，)()()(B P A P B A P +=故4.02.06.0)()()(=-=-=A P B A P B P4.设A 、B 是两事件且)(A P =0.4,8.0)(=B P（1）在什么条件下)(AB P 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？解：由加法公式)()()()(B A P B P A P AB P -+==)(2.1B A P -（1）由于当B A ⊂时B B A = ，)(B A P 达到最小， 即8.0)()(==B P B A P ，则此时)(AB P 取到最大值，最大值为0.4（2）当)(B A P 达到最大， 即1)()(=Ω=P B A P ，则此时)(AB P 取到最小值，最小值为0.25.设,1615)(,81)()()(,41)()()(=======C B A P AC P BC P AB P C P B P A P 求).(C B A P 解：)(1)(ABC P ABC P -=,16116151)(1=-=-=C B A P ).(C B A P )()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++= =167161813413=+⨯-⨯ 习题1.31.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.解：设事件A ={3张中至少有2张花色相同} 则A ={3张中花色各不相同}602.01)(1)(35211311311334≈-=-=C C C C C A P A P 2.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.解法一 随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有350C 种取法，而发生“某一个部件强度太弱”这一事件只有33C 这一种取法，其概率为19600135033=C C ，而10个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为196011960010101===∑=i i p p 解法二 样本空间的样本点的总数为350C ，而发生“一个部件强度太弱”这一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有33110C C 种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为1960135033110==C C C p 3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.解法一 设A 表示“取出的3个数之积能被10整除”，1A 表示“取出的3个数中含有数字5”， 2A 表示“取出的3个数中含有数字偶数”， 214.0786.019495981)(()(1)(1)(1)()(3332121212121=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=-=-==A A P A P A P A A P A A P A A P A P ）解法二设”次取得数字为“第5k A k ，3,2,1=k k B k 次取得偶数”，为“第。
线性代数第一章行列式练习题
线性代数第一章行列式练习题(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第一次练习题一）填空题1）计算(1465372)τ＝________；[135(21)246(2)]n n τ-＝________；2）写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项及符号__________； 3）在四阶行列式中，21143243a a a a 的符号为__________；4）设12134453k l a a a a a 在五阶行列式中带有负号，则k ＝________；l ＝________.二）解答题5）计算三阶行列式 222111ab c a b c .6）用定义证明1(1)212100000(1)0000n nn nnλλλλλλ--=-.7）设n阶行列式中有多于2n n-个元素为零，证明这个行列式为零.班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第二次练习题一）填空题1）把行列式111222a b c a b c ++定出两个行列式之和______________________； 2）把行列式132412340000a a a a x yb b z wb b 写成两个行列式之积_________________________________；3）提取行列式第二行公因子后111213212223313233333a a a a a a a a a ＝__________________________； 4）行列式223456789a b c d a ab ac ad＝_________________________________.二）解答题5）化简行列式111122223333x y x a z x y x a z x y x a z +++6）计算行列式5222 2522 2252 22257）计算行列式3112 5134 2011 1533------班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第三次练习题一）填空题1）将行列式123123123x x xy y yz z z按第三列展开为__________________________________；2）已知四阶行列式D中第三行元素依次为2，5，3，4；它们的余子式分别为3，1，2，4；则D＝__________；3）计算1111234549162582764125＝__________；4）设3961246812035436D=，则41424423A A A++＝__________.二）解答题5）计算行列式100 110 011 001abcd ---.6）当λ为何值时，线性方程组12312330(3)22040x x x x x x x λλ++=⎧⎪--+=⎨⎪=⎩有非零解7）设曲线230123y a a x a x a x =+++通过四个点(1,3)，(2,4) ，(3,4) ， (4,3)-；求系数0123,,,a a a a .班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章复习题1） 按定义计算行列式0001000200200100000n n n--2）计算行列式ab b b ba b b bb a b bbba3）计算行列式01000 00100 00010 a b c d e e d c b a4）计算行列式1231111 1111 11111111n aaaa ++++5）问,λμ取何值时，齐次线性方程组12312312320x x xx x xx x xλμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解6）解非齐次线性方程组12341241341234 2583692254760 x x x xx x xx x xx x x x+-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩。
线性代数习题集第一章
线性代数习题集第⼀章第⼀章：⾏列式I.单项选择题 1.排列1,3,,(2n 1),2,4,,(2n)-的逆序数为（）(1) n 1- (2) (n 1)n - (3) (n 1)n + (4) (n 1)/2n - 2.排列1,3,,(21),(2),(22),,2n n n --的逆序数为（）(1) n (2) (n 1)n - (3) (n 1)n + (4) (n 1)/2n - 3．四阶⾏列式中含有因⼦1123a a 的项是（）(1) 11233442a a a a (2) 11233344a a a a (3)11233342a a a a (4) 11233442a a a a -4.⾏列式abac aebdcd de bfcfef---的值是（） (1) 2abcdef (2) 4abcdef (3) 6abcdef (4) 8abcdef 5. 设A 为n 阶⽅阵，λ为数，则A λ等于（） (1) A λ (2) A λ (3) n A λ (4) 2A λ6.设ab cD de f g hi=，则元素h 的代数余⼦式为（） (1)a c gi(2) a cdf -(3) a c g i - (4)a c df7.设⾏列式000000a bcD d e f g h i j=，则D 的值等于（） (1) abdg - (2) abdg (3) abdg ceh fi j -+- (4) abdg ceh fi j ++- 8.设A 为n 阶矩阵，则（）(1) A A -= (2) A A -=- (3) (1)n A A -=- (4) 1A A --=9.设A 为n 阶矩阵，且A 的⾏列式0A a =≠，⽽A *是A 的伴随矩阵，则A *等于（）(1) a (2) 1/a (3) n a (4) 1n a -10.若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且1231m αααβ=，1223n ααβα=四阶⾏列式，则32112()αααββ+四阶⾏列式等于（） (1) n m - (2) m n - (3) m n + (4) ()m n -+11.设44? 矩阵[]234,,,A αγγγ= ，[]234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为４维列向量，且已知⾏列式1,1A B ==，则⾏列式A B +等于（） (1)５ (2)10 (3)30 (4)4012.设设A 为m 阶⽅阵，设B 为n 阶⽅阵，且,A a B b ==，00AC B =，则C 等于（）(1) ab (2) ab - (3) (1)nm - (4) (1)nm ab -13.设⾏列式D aba b b a b a a b ab+=++，则D 的值为（）(1) 332()a b -+ (2) 332()a b + (3) 332()a b - (4) 33()a b -+ 14.元素是0和1的三阶⾏列式D 之值只能是（） (1) 3 (2) 3- (3) 4 (4) 0,1,2±± II.填空题1.n 阶⾏列式的完全展开式，应由________项组成，每项位于⾏列式中________的n 个元素的乘机，⽽且项1212n j j nj a a a 的符号为_____.2. n 阶⾏列式1111nn nna a A a a =，则按第i ⾏的展开式为__________;按第j ⾏展开式为__________.3.当A 可逆是1A -=____________.4.设A 是⼀个n 阶⽅阵，k 是⼀个有理数，则kA =________,5.在⾏列式2121113211x x x x j j x-的展开式中，3x 的系数为________,4x 的系数为_________.6.三⾓⾏列式110nn nna a a =_________ 7.⾏列式2111131111411115A ==__________ 8.⾏列式11101210011000000111002A --==--__________ III.判断题1.交换⾏列式中任意两⾏的位置，⾏列式的值不变。
线性代数练习册第一章部分答案(本)
1 .AAT E; 3 . A2 E 2. AT A
AAT E A1 AT ; A2 E A1 A AT A1 A
或 或
AAT E AAAT AE AT A
AAT E, A2 E A( AT A) 0, A可逆 A1 A( AT A) A1 0 AT A
2 −3 1 r2 − 2 r1 0 0 1 3 0 2r2 0 −1 −3 r − 2r 0 4 1
2 0 0
−3 1 10
2 −3 1 r1 + 3r2 0 1 0 1 3 0 r1 0 0 0 0 2 −4 −4 −2 −2 3 5 3 4 3 1 0 −1 −4 3 −4 1 −2 0 −2 −1
而 B11 所以，
(1)11 0 1 0 1 0 ， 11 211 0 2 0 2 0
11
1 4 1 0 1 1 4 A11 PB11 P 1 11 1 1 0 2 3 1 1 4 213 1 1 213 1 4 1 1 213 3 1 211 1 1 3 1 211 4 211 2731 2732 683 684
1 0 0
0 5 1 3 0 0
1 （2）B = 3 2 3 解：
−1 −3 −2 −3
3 5 3 4 −1 −3 −2 −3
1 B= 3 2 3 r2 − 3r1 r3 − 2r1 r4 − 3r1
1 0 0 0
3 −1 3 − 4 −8 0 −4 8 0 −3 6 −6 0 −5 10 −10 3 1 0 0 0 1 0 0 −4 −2 0 0 2 −2 0 0 3 2 0 0 −3 2 0 0
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
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第一章行列式1、 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
(1) 1347265； (2) 〃(〃 —1)・・・321。
【解(1) r(1347265)=0 + 0 + 0 + 0 + 3 + l + 2 = 6,偶排列；(2) "〃(〃_1)...321] = 0 + ] + 2 + ... + (〃_1) = 〃(；1)。
当〃=4奴4女+ 1时，〃(〃；1)=2机4*—1),2机4* + 1)为偶数，即为偶排列；当〃 = 412,413时，丝* = (2*+1)(4*+ 1),(2*+1)(4*+ 3)为奇数,即为奇 排列。
■2、 用行列式定义计算2x x 1 21x1-1 f (X )=-- [3 2x1111%中『和r 的系数，并说明理由。
【解】由行列式定义可知：含b 有的项只能是主对角线元素乘积，故的系数为2； 含有尸的项只能是(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)的元素乘积项，而7(2134) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1,故/的系数为一1. ■2-512 --37-14 3、 求 =o45 -9 2 7 4-612【解】三角化法：2-5121-522 1-522 尸2+八1-12 0 6C[0 2-160 113D 4 =- _八3-211 1 0 3 0 113 0 2-16 r 4+r 211 0 60 1160 1161 -52 2 r3~2r 2 0 11 3r4~r 2 00 -3 00 0 31111 rk~r l0 10 0=120= 120o )l=2,3,40 0 100 0 0 1【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。
1 x 2q+C2 +•••+&n D"=(，-就1 x 2-mi=l1x21 0 0C k -X L C I 凡 q (»i) k=2,3,---,n1 —m ••- 01 0…-m【解】观察特点: 行和相等。
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线性代数第一章行列式--电商1201一、填空题1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=82.行列式213132321= -18 .解:D=1⨯3⨯2+2×1×3+2×1×3-3⨯3⨯3-1⨯1⨯1-2⨯2⨯2=-18(陈冲)3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：()(1234)(2431)41(1)1ττ+-=-=12243143a a a a 的系数：()(1234)(2413)31(1)1ττ+-=-=-因此，符合条件的项是12243341a a a a4、222111a a b b c c （,,a b c 互不相等）=_______答案：()()()b a c a c b ---分析：222111a a b b c c =222222()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=---（陈思宇）5.行列式1136104204710501λ--中元素λ的代数余子式的值为 42解析: 元素λ的代数余子式的值为642071001-341+-⨯）（=(－1) ×7×6×(－1)=426.设31-20312223=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =312111222-=0（崔宇轩） 二、 单项选择题1、设xxx x xx f 111123111212)(-=，则x 3的系数为（C ）A. 1B. 0C. -1D. 2解：x 3的系数为）（）（）（1-21341234 +=-12、 设333231232221131211aa a a a a a a a =m ≠0,则333231312322212113121111423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ）A.12mB. -12mC.24mD. -24m 解：333231232221131211aa a a a a a a a)4(2-⨯j →3332312322211312114-4-4-aa a a a a a a a =-4m212j j +⨯→3332313123222121131211114-24-24-2aa a a a a a a a a a a =-4m31⨯j →3332313123222121131211114-234-234-23aa a a a a a a a a a a =-12m（耿佳丽） 3.行列式k-122k-1≠0的充分必要条件是（C ）(A.)k ≠-1 (B)k ≠3 (C)k ≠-1且k ≠3(D)k ≠-1或k ≠3 因为原式=(k-1)(k-1)-4≠0 所以k-1≠2且k-1≠-2 所以k ≠-1且k ≠3 所以答案为C 4.行列式0000000a b c d e f gh中元素g 的代数余子式的值为（B ）（A ）bcf-bde (B)bde-bcf (C)acf-ade (D)ade-acf41A =4+1(1-）0000b c d ef=-(bcf-bde)=bde-bcf所以答案为B （郭雅芝）5.设D=, (2)12222111211nnn n n n a a a a a a a a a 则nnn n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka --------- (2)12222111211=( )(A)-kD (B)-k n D (C)k n D (D)(-k)n D 答案:D解:由行列式性质3:将nnn n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka --------- (2)12222111211的每行提出一个-k,得到(-k)n D,即为选项D.6.行列式D10=1000 (00)000...09000...80..................002 (000)1 (00)=( ) (A)50 (B)-(10!) (C)10! (D)9! 答案:C解:由行列式的定义,每个因式的元素取自不同行不同列,且不为零,则每行依次取出1,2,…,10,得到10!.又因为=)09876543211(τ36为偶数,所以结果为正数.最终结果为10!（何玲玲）三、计算题 1、计算行列式123411231101205D =---.解D=11332012-3110-4205-=10002270--32103---42129---=1*())(111+-270--2103---2129---=-6100131153=24-2、计算行列式1111120010301004D =.解、D=1111120010301004=10001111--1121--1113--=1*()()111+-111--121--113--=2-（黄天恒）3.计算行列式1114113112111111D =解1114113112111111D ==0003002001001111= -64.计算行列式1234234134124123D =解1234234134124123D =111023410234103410113(2,3,4)(2,3,4)104120044101234i i c c i r r i -+=-=--=160 （解心悦） 5. 计算n 阶行列式nD i c n i +==1c ),...,3,2(x a a a n x aa x a n x aa a an x ...)1(..................)1(...)1(-+-+-+=[x+(n-1)a]x a a aa x a a a ...1..................1...1i x x n i +-⨯==)1(),...,3,2(1[x+(n-1)a]ax a x a a a-- (00)...... 000...1=[x+(n-1)a] 1)(--n a x6.当k为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=-+02027023321321321x x x x x kx x x x 有非零解.解由题知D=2131)2(r 331-22-7k1-23r r r +-⨯+⨯=0511036123--k =51136)1()1(31--•-+k =-5(k-6)+33=0得k=563 (康慧敏)四.解答题1.写出D=111214012---中第3列元素的余子式和代数余子式的值，并求出D 的值。
解：M 31=2101-=-2 A 31=(-1)13+ ×(-2)=-2 M 32=2402=4 A 32=(-1)23+×4=-4 M 33=1412-=6 A 33=(-1)33+×6=6D=-1×(-2)+1×(-4)+(-1)×4=-82、用Cramer法则解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++365213232132321x x x x x x x x解D=11612312--=840120312---=-40且D 1=113125311--=-40 D 2=136150312-=-80 D 3=31652112-=40所以1x =1 2x =2 3x =1- (李新林) 五、证明题1.设21i =-，试证：1111111122222222333333332a b ia ibc a b c a b ia ibc a b c a b i a i b c a b c ++++=++111111111111122222222222223333333333333=a b i a i b c a a i b c b i a i b c a b i a i b c a a i b c b i a i b c a b i a i b c a a i b c b i a b c +++++++++++++证：111111111111222222222222333333333333a a i c abc b i a i c b i b c a a i c a b c b i a i c b i b c a a i c a b c b i a i c b i b c =+++111111222222233333300a b c a b c a b c i a b c a b c a b c =+-+又因为2i =-1, 所以原式111222333=2a b c a b c a b c ，所以证毕2.设12,,na a a 互不相同，证明：线性方程组12112222221122111111221nn n n n n n n n nnx x x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ----+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪+=⎩证：系数行列式为范德蒙行列式1222212111112111=()n i j n i j nn n n na a a D a a a a a a a a ≤≤≤---=-∏因为1a ,2a ,,n a 互不相同， 所以0D ≠，故该线性方程组有唯一解，证毕 (李亚芳)3、设111213212223313233a a a a a a a a a =a,11122122b b b b =b,证明：111112121112111111121211121221212222212221212122222122222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --+-+---=72ab.解:12111321222331323311122122002220022200222330003300a a a a a a a a ab b b b =72121113212223313233111221220000000000a a a a a a a a ab b b b由拉普拉斯展开定理可知12111321222331323311122122000000000000a a a a a a a a ab b b b =111213212223313233a a a a a a a a a •11122122b b b b =ab所以121113212223313233111221220022200222002223300033000a a a a a a a a ab b b b =72abB 卷一、填空题 1、已知A=111211122122212222a a a a a a a a +-+-=6，则B =11122122a a a a =-2。