线性代数典型例题

线性代数第一章 行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式 二、按行(列)展开公式求代数余子式已知行列式412343344615671122D ==-,试求4142A A +与4344A A +、 三、利用多项式分解因式计算行列式1.计算221123122313151319x D x -=-、2.设()x bc d b xc d f x b cx d b c dx=,则方程()0f x =有根_______.x =四、抽象行列式的计算或证明1、设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B +2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1||2A =,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3、设A 就是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式||.A4、设矩阵210120001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式1、若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1111,,,2345,则行列式1||________.B E --=2、设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E +第二章 矩阵典型例题一、求逆矩阵1、设,,A B A B +都就是可逆矩阵,求:111().A B ---+2、设0002100053123004580034600A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求1.A -二、讨论抽象矩阵的可逆性1、设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆,并求1.A -2、已知322,22A E B A A E ==-+,证明B 可逆,并求出逆矩阵。

3、设T A E xy =+,其中,x y 均为n 维列向量,且2T x y =,求A 的逆矩阵。

4、设,A B 为n 阶矩阵,且E AB -可逆,证明E BA -也可逆。

三、解矩阵方程1、设矩阵111111111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,矩阵X 满足*12A X A X -=+,求矩阵X 、 2、已知矩阵100011110,101111110A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,且矩阵X 满足 AXA BXB AXB BXA E +=++,求X 、 四、利用伴随矩阵进行计算或证明 1、证明下列等式(1)**()()T T A A =; (2)若||0A ≠,则1**1()()A A --=; (3)||0A ≠,则1**1[()][()]T T A A --=;(4) ||0A ≠,则*1*()(0,n kA k A k A n -=≠为阶矩阵）; (5)若,A B 为同阶可逆矩阵,则***()AB B A =、2、设矩阵33()ij A a ⨯=满足*T A A =,若111213,,a a a 为三个相等正数,则11_______.a = 五、关于初等矩阵与矩阵的秩(瞧教材)第三章 矩阵典型例题一、判断向量组的线性相关性1、设12(,,,)(1,2,,;)T i i i in i r r n αααα==<L L 就是n 维实向量,且12,,,r αααL 线性无关,已知12(,,,)T n b b b β=L 就是线性方程组111122121122221122000n n n nr r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L 的非零解向量,试判断向量组12,,,,r αααβL 的线性相关性。

2、设12,,,n αααL 就是n 个n 维的线性无关向量,11122n n n k k k αααα+=+++L ,其中12,,,n k k k L 全不为零,证明121,,,n ααα+L 中任意n 个向量均无关。

3、设A 为43⨯矩阵,B 为33⨯矩阵,且0AB =,其中111121230012A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,证明B 的列向量组线性相关。

4、设121,,,n ααα-L 为1n -个线性无关的n 维列向量,1ξ与2ξ就是与121,,,n ααα-L 均正交的n 维非零列向量,证明(1)1ξ、2ξ线性相关;(2)121,,,n ααα-L ,1ξ线性相关。

二、把一个向量用一组向量线性表示证明线性方程组111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L 的解都就是11220n n b x b x b x +++=L 的解的充要条件就是β就是12,,,m αααL 的线性组合,其中12(,,,)n b b b β=L ,12(,,,)(1,2,,)i i i in i m αααα==L L 、 三、求向量组的秩1、给定一个向量组,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。

2、已知向量组(1)123,,ααα;(2)1234,,,αααα;(3)1235,,,αααα、如果各向量组的秩分别就是3、3、4,证明:向量组12354,,,ααααα-的秩为4、 四、有关矩阵秩的命题1、设A 为m n ⨯实矩阵,证明:()().T R A R A A =2、设A 为n 阶方阵,且满足22A A E =+,证明:(2)()R A E R A E n -++=、 综合题1、 设A 为m n ⨯矩阵,B 为()n n m ⨯-矩阵,且已知0AB =,(),()R A m R B n m ==-,设α就是满足0Ax =的一个n 维向量,证明:存在唯一的一个()n m -维列向量β,使B αβ=、2、已知随机变量01~0.250.75X ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,{}0.51P Y =-=,又n 维向量123,,ααα线性无关,求向量122331,2,X Y αααααα+++线性相关的概率。

第四章 线性方程组典型例题一、基本概念题(解的判定、性质、结构) 二、含有参数的线性方程组的求解三、抽象线性方程组求解1、已知线性方程组:1111221,222112222,221122,2200()0n n n nn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪I ⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的一个基础解系为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b L L L L 试写出线性方程组:1111221,222112222,221122,2200()0n n n nn n n n n b y b y b y b y b y b y b y b x b y +++=⎧⎪+++=⎪II ⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L 的通解,并说明理由。

2、已知4阶方阵12341234(,,,),,,,A αααααααα=均为4维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232ααα=-,如果1234βαααα=+++,求线性方程组Ax β=的通解。

四、讨论两个方程组的公共解1、设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解。

2、已知下列非齐次线性方程组124123412326()4133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪I ---=⎨⎪--=⎩,1234234345()21121x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪II --=-⎨⎪-=-+⎩(1)求解方程组()I ,用其导出组的基础解系表示通解;(2)当方程组()II 中的参数,,m n t 为何值时,方程组()I 与()II 同解。

3、设,A B 都就是n 阶级矩阵,且()()r A r B n +<,证明齐次方程组0Ax =与0Bx =有非零公共解。

五、讨论两个方程组解之间的关系 1、 0Ax =与0T A Ax =的解的关系。

2、设有齐次线性方程组0Ax =与0Bx =,其中,A B 都就是m n ⨯矩阵,现有4个命题:①若0Ax =的解均就是0Bx =的解,则()()r A r B ≥; ②若()()r A r B ≥,则0Ax =的解均就是0Bx =的解; ③若0Ax =与0Bx =同解,则()()r A r B =; ④若()()r A r B =,则0Ax =与0Bx =同解。

以上命题中正确的就是:(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ (D) ③④ 六、已知方程组的解,反求系数矩阵或系数矩阵中的参数1、设121201101A t t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,且方程组0Ax =的基础解系含有2个线性无关的解向量,求0Ax =的通解。

2、设12112010131,1,11101A b a c η⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦,如果η就是Ax b =的一个解,试求Ax b=的通解。

七、有关基础解系的讨论1、设12,,,s αααL 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t βααβααβαα=+=+=+L其中12,t t 为实常数,试问12,t t 满足什么关系时,12,,,s βββL 也为0Ax =的一个基础解系？2、若矩阵A 的秩为r ,其r 个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系,B 为r 阶非奇异矩阵,证明:AB 的r 个列向量也就是该齐次线性方程组的一个基础解系。

3、设*ξ就是非齐次线性方程组Ax b =的一个解,12,,,n r ηηη-L 就是其导出组的一个基础解系,证明:(1)*12,,,,n r ξηηη-L 线性无关;(2)****12,,,,n r ξξηξηξη-+++L 就是方程组Ax b =的1n r -+个线性无关的解; (3)方程组Ax b =的任一解x ,都可以表示为这1n r -+个解的线性组合,而且组合系数之与为1、 八、有关0AB =的应用1、已知方阵12221311A λ-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,三阶方阵0B ≠满足0AB =,试求λ的值。