线性代数例题
线性代数 第三章 向量与线性方程组 例题
1.设α1=(1 2−1 0)，α2=(1312)，α3=(24−2)，α4=(1135)，α5=(223)，求向量组α1，α2，α3，α4，α5的一个极大（最大）无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。
2.设A为mxn阶矩阵，B为nxp阶矩阵，C为pxs阶矩阵，R(C)=p，且ABC=0，证明B=0.3.设A为mxn阶矩阵，X与b为m维列向量，Y为n维列向量，证明AY=b有解的充要条件是满足A T X=0的所有X均满足b T=0.4. 设α1=(1003)，α2=(11−12)，α3=(12−2a )，β=(01b −1)问a,b 为何值时， （1） β不能由α1，α2，α3线性表出（2） β可以由α1，α2，α3线性表出，并且写出表达式5. 设A=(λ+312λλ−113λ+3λλ+3)，讨论AX=0的解的情况。
6. 设A=(111a b c a 2b 2c 2)，讨论AX=0的解的情况。
7. 设A=(1 10 1 1 12 20−132a −3−21a )，β=(01b −1)，讨论方程组AX=β的解的情况。
8. 设A=(λ111λ111λ)，b=(1λλ2)，讨论方程组AX=b 的解的情况。
9. 已知三阶矩阵A 的第一行为a,b,c ，且a,b,c 不全为0，矩阵B=(12324636k)(k 为常数)满足AB =0，求AX =0的通解。
10. 设4元齐次线性方程组（I ）{2x 1+3x 2−x 3=0x 1+2x 2+x 3−x 4=0，且已知另一个四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为α1=(2−1a +21)，α2=(−124a +8)，(1)求（I ）的一个基础解系。
(2)a 为何值时（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解。
11. 在上例中将α1，α2改为α1=(a −51−1−1)，α2=(−6a +3−12)求（I ）与（II ）的所有非零公共解。
线性代数复习第1-6章典型例题
按最后一列展开再提取每列的公因子
-8-
Dn = ( −1) n+1 (a1 − a n )(a 2 − a n )⋯(a n−1 − a n ) ×
1 a1
2 a1
1 a2
2 a2
⋯
1
1 a n −1
2 a n −1
⋯ a n− 2
2 ⋯ a n− 2
⋮
n a1 − 2
⋮
⋮
⋮
n− 2 a n −1 ( n −1 )
n
x2 ⋯ xn a2 ⋱ an
xk yk ) = a 2 a 3 ⋯ a n (a1 − ∑ k = 2 ak
-6-
n
例9
范德蒙德(Vandermonde)行列式 行列式 范德蒙德
1 a1 Dn =
2 a1
1 a2
2 a2
⋯
1
2 a n −1
1 an
2 an
− an − an
⋯ a n −1 ⋯ ⋮
n n− 2 a 2 − 2 ⋯ a n− 2
Dn = ( a n − a1 )(a n − a 2 )⋯(a n − a n−1 ) Dn −1
Dn − 1 = (a n − 1 − a1 )(a n − 1 − a 2 ) ⋯ (a n − 1 − a n − 2 ) Dn − 2
⋯⋯
D3 = (a 3 − a1 )(a 3 − a 2 ) D2 D2 = (a 2 − a1 ) D1 = a 2 − a1
-17-
例8
设 n 阶方阵 A 满足 A2 = E ,
证明 r ( E + A) + r ( E − A) = n
证
A 2 = E ⇒ ( A + E )( A − E ) = O
《线性代数》应用例题
5，8，10，21，7，2，10，8，3 其中 S 表示为 5，E 表示为 8，等等。但是，这种编码很容易破译，在一段较长的信息中， 我们可以根据数字出现的相对频率猜测每一数字表示的字母。例如，若 8 为编码信息中最常 出现的数字，则它最有可能表示字母 E，即英文中最常出现的字母。
0.1 0.2 0.15
4000 4500 4500 4000 ������ = [2000 2600 2400 2200]
5800 6200 6000 6000
第三个表格通过������������来计算。
2
信息编码
《线性代数》，张文博，张丽静译，机械工业出版社，P92
一个通用的传递信息的方法是，将每一个字母与一个整数相对应，然后传输一串整数。 例如，信息
由于整数在计算机是准确表示的，而小数在计算机中是近似表示的，所以保证������−1的元 素是整数非常重要，否则，如果������−1的元素是小数，则解密后信息会因为误差造成与原始信 息不同，这样的加密算法就没有意义了。为了保证������−1的元素是整数，我们要求|������| = ±1。
为构造编码矩阵������，我们可以从单位矩阵������开始，多次采用如下运算： 将某一行(列) ������(������ ≠ 0)倍加到另一行(列)
232
需要编码的信息放置在三行矩阵������的各个列上。
乘积
5 21 10 ������ = [ 8 7 8 ]
10 2 3
1 2 1 5 21 10 31 37 29 ������������ = [2 5 3] [ 8 7 8 ] = [80 83 69]
2 3 2 10 2 3 54 67 50
线性代数 第六章 二次型 例题
2
2
2
0 3. 设 A= 1 0 0
1 0 0 0 0 0 已知 A 一个特征值为 3， （1）求 y,（2）求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ， 0 ������ 1 0 1 2
������
使（AP） AP=Λ。
2 1 3 ������ 4. 设 A= −1 1 0 求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ，使（AP） AP=Λ。 −1 0 − 1
线性代数第六章二次型例题
1. 用配方法将以下二次型化为标准型，并写出所用可逆线性变换 （1） （2） （3） （4） （5） f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +2������2 2 +2������1 ������2 -2������1 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +2������2 2 +4������3 2 + 2������1 ������2 +4������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=2������1 2 +5������2 2 +4������3 2 + 4������1 ������2 -4������1 ������3 -8������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 ������2 -4������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +4������2 2 +4������3 2 − 4������1 ������2 + 4������1 ������3 -4������2 ������3
线性代数行列式经典例题22998
线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故011102120n n nD n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L 011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)0201n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--L L M OL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察德蒙行列式:=行列式 即为y 2前的系数. 于是 =所以 的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n 11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1-n D 1+ a 2x 2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k x x x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x 1-n k n = x 1-n (1-n n xa + 21--n n x a +K +x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r nD =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---K K M M M M K+21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --10000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+10000000x x x-K K M M M M L=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+K +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4． 计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．12112122121000n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋ 解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =00010010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6． 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+LL M M M L其中120n a a a ≠L ．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111n a a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L ． 方法2 升阶（或加边）法12111101*********1n na D a a +=++L L L M M M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L+1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。
线性代数第六章客观例题
(A)A与B等价； (B)A与B相似； (C)A与B在实数域上合同； (D)以上都不对。 【解】因为B的特征值为-1, -1, 1, 1。 答案 A
9、已知矩阵
1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 A= 1 1 0 , B= 0 1 1 , C 0 1 0 , D 0 2 0 0 0 3 0 1 3 0 0 0 0 0 3
则实二次型f(x1, x2, x3)=XTAX的规范形为 【解】由题设，A与B有相同的秩与正(负)惯性指数， 1 0 0 。
E-B 0
2 ( 1)( 2)( 2)
0 2 可知A的秩及正惯性指数分别为3, 2，所以
二次型的规范形为z12+z22-z32。 答案
0 0 0 16、设实对称矩阵A与 B 0 2 1 0 1 2
合同，则实二次型XTAX的规范形为
答案
y12+y22
。
【解】因为B的特征值为1, 3, 0, 所以B的正惯性指数 指数为2，秩为2，又因为AB，所以A的正 惯性指数和秩均为2。
17、设实二次型f (x1, x2, x3)=XTAX的秩为1，A的行元 素之和为3，则f在正交变换X=QY下的标准形为 答案 2y12 【解】由题设，A为实对称矩阵，3, 0, 0为A的特征值， 则f在正交变换X=QY下的标准形为3y12。 。
1 1 1 a 1 1 a 3 1 0 a 1 0 1 1 1 0 3 a 1 a
则a=
。
答案 1
所以a=1。
19、设二次型f(x1, x2, x3)的标准形为 2y12-y22+4y32 则二次型的秩 ，正惯性指数 。 答案 3, 2
大一线性代数知识点例题
大一线性代数知识点例题1. 矩阵运算给定矩阵 A = [2 1; 3 4], B = [5 6; 7 8]，计算以下运算：a) 2A + 5Bb) ABc) BA2. 矩阵消元给定矩阵 C = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，通过列消元将其转化为矩阵 RREF。
3. 线性方程组求解给定线性方程组：2x + 3y - z = 14x + 2y + z = -2x - y + 2z = 3求解上述线性方程组的解集。
4. 向量空间以下向量组是否为向量空间？如果是，证明其为向量空间；如果不是，解释原因。
a) V = {(x, y) | x + y = 1}，其中 x 和 y 是实数。
b) V = {(x, y) | x^2 + y^2 = 1}，其中 x 和 y 是实数。
5. 线性变换给定线性变换 T：R^2 → R^3，使得 T((1, 0)) = (2, 1, 3) 和T((0, 1)) = (-1, 2, 0)。
a) 计算 T((3, 2))。
b) 判断 T 是否为一一映射。
6. 特征值和特征向量给定矩阵 D = [4 1; 2 3]，求其特征值和特征向量。
7. 内积和正交性给定向量 A = (3, -1, 2) 和向量 B = (-2, 5, 1)。
a) 计算 A 和 B 的内积。
b) 判断 A 和 B 是否正交。
c) 如果 A 和 B 是正交的，计算它们的夹角。
8. 最小二乘法给定数据点 (1, 2), (2, 3), (3, 4)，求使拟合的直线 y = ax + b 与这些数据点的距离最小化的最佳拟合直线。
以上是大一线性代数的一些知识点例题，通过这些例题的练习，可以加深对线性代数的理解，提升解题技巧。
希望能够为你的学习提供一些帮助。
线性代数应用题总结分类及经典例题
线性代数应用题总结分类及经典例题本文旨在总结线性代数中的应用题，并提供一些经典例题。
以下是对应的分类和例题：1. 线性方程组例题1：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + y - z = 5 \\x - 3y + 2z = -4 \\3x + 4y - z = 6 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。
例题2：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + 3y - z = 4 \\x - 2y + 3z = -1 \\3x + 4y - 2z = 7 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。
2. 矩阵与向量例题1：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
例题2：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1 \\2 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
3. 线性变换例题1：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2 \\3 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}5 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。
例题2：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\-2 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}3 \\4 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。
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例题例1、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143022011B ， 试计算：1）BA AB -；2）22B A -；3）))((A B B A --；4）B A T2。
解：1）;4189332141,6158228114,.2317116055⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=BA AB BA AB 2）22B A -;7263450149171402201181911472158⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3）))((A B B A --;100510182122100143022100143022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4）B A T2⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=412168223462220。
例2、求D=30124025312613442-----解：D 1812341358161812034130126158160-----=------= 14418120202303244-=----=求D=1111111111111111--- 解：D 82000020000201111-=---=例3、设A 为3阶方阵，且2=A ，则=-12A 4，=*A 4。
例4、设三阶方程B A ,满足关系式，BA A BA A +=-61，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7/10004/10003/1A ，则=B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛123。
例5、设A 为3阶方阵，且2=A ，求*123A A --的值。
解：因为,211*--==A A A A 所以21)1(432313111*1-=-=-=-=------A A A A A A。
例6、设矩阵B A ,满足如下关系式B A AB 2+=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。
解：A B E A B A AB =-∴+=)2(,2 。
E A E A 2,011210113222-∴≠-=--=- 可逆，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=∴--321011324461351341321011324121011322)2(11A E A B⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=9122692683。
例7、设n 阶矩阵A 和B 满足AB B A =+，（1）证明E A -为可逆矩阵；（2）证明BAAB =（3）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A 。
证明（1）E A E E B E A AB B A -∴=--∴=+,))((, 可逆。
（2）由（1）))()(())((E E A E B E B E A =--=--。
化简即得。
（3）B E B A B A AB =-∴+=)(, 。
由（1）知E B -可逆，所以，11100002030200012031)(--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=E B B A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20001310211。
例、已知n 阶矩阵A 满足3)(2A E A A =-，并求1)(--A E 。
证明： 3)(2A E A A =-，E A A A E =--+∴3222。
变形可得：E A A E A E =+--))((2。
因此)(A E -可逆，且21)(A A E A E +-=--。
例、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/5102/32/10001A ，则=-1*)(A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1040620004。
例、A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡323513123求1-∴A解：⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101211001200010123101011001200410123100010001323513123⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫----⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫---- ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫----⎝⎛→21021211233267100010001210212112922710001000321021211423100010103 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴-210212112332671A 。
例、问b a ,取何值时，下列方程组有非零解，并求其解。
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++020 0321321321x bx x x bx x x x ax解：)1(1211111a b b b aA -==，当0=b 或1=a 时，0=A ，方程组有非零解。
当0=b 时，R t t a x x x a a a A ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,111,0001101011011110110110111321。
当1=a 时，R t t x x x b b b b A ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,101,000010101012001011112111111321。
例、设有非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ 问λ为何值 时，此方程组有唯一解、无解或无穷多解？解：)1(003221103322133)1(33322133)1(3112132-=+=++=++++=++-+=λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλA 。
当1,0≠λ时，方程组有唯一解； 当0=λ时，,2)(3)~(,300001100213311001100213330301100213~=≠=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A R A R A 无解。
当1=λ时，,32)()~(,000032101101321032101101341611011214~<==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A R A R A方程组有无穷多解。
R t t x x x ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,121031321。
例、把向量β表示成向量4321,,,αααα的线性组合：)1,0,0,0(=β，)1,0,1,1(1=α，)1,3,1,2(2=α，)0,0,1,1(3=α，)1,1,1,0(4--=α。
解：设,44332211ααααβk k k k +++=则314321421424321321,0101,103002ααβ-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-=+++=++k k k k k k k k k k k k k k k k 。
例、研究下列向量组是线性相关还是线性无关：)2,0,1(),5,2,0(),3,2,1(321-=-=-=ααα；解：321,,021520321ααα∴=--- 线性相关。
例、问t 取何值时，下列向量组线性相关：),1,1(),1,,1(),1,1,(321t t t --=--=--=ααα。
解：因为向量组线性相关，所以2,1,0)2()1(2311111123-=∴=-+=--=------t t t t t tt t。
例、用Schmidt 正交化方法将下列向量组正交化： 1）)1,1,1(1=α，)1,1,0(2=α，)1,0,1(3=α； 2）)1,1,1(1-=α，)1,1,1(2-=α，)1,1,1(3-=α。
解：1）)1,1,1(11==αβ，=-=1111222),(),(ββββααβ32)1,1,0(-)1,1,1(=)1,1,2(31-，=--=222231111333),(),(),(),(ββββαββββααβ)1,1,2(3121)1,1,1(32)1,0,1(-⨯+-=（)21,21,0-2）)1,1,1(11-==αβ，=-=1111222),(),(ββββααβ31)1,1,1(+-)1,1,1(-=)4,2,2(31-，=--=222231111333),(),(),(),(ββββαββββααβ)4,2,2(3121)1,1,1(31)1,1,1(-⨯+-+-=（)0,1,1例、n 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量 线性无关 ；若n λλλ,,,21 是n 阶方阵A 的n 个特征值，则=∑=n i i 1λ∑=ni iia1，=∏=ni i1λA 。
例、已知三阶矩阵A 的三个特征值分别为3,2,1，则=A 6 ，=-1*)21(A 2/9 。
例、求下列矩阵的特征值和特征向量：1．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---122113221解：0)3)(3(2=+-=-λλλA E ， 因此，3,3321-===λλλ。
当31=λ时，解方程组0)3(=-X A E ，,0001101014221432243⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-A E故属于31=λ的特征向量为())0(,1,1,1≠k k T。
当332-==λλ时，解方程组0)3(=--X A E ，,0002101012221232223⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=--A E故属于332-==λλ的特征向量为())0(,1,2,1≠-k k T。
2．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛324202423解：,0)8()1(2=-+=-λλλA E因此,1,8321-===λλλ当81=λ时，解方程组,0)8(=-X A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0002/1101015242824258A E故属于81=λ的特征向量为()Tk 2,1,2。
当132-==λλ时，解方程组,0)(=--X A E,000000212424212424⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=--A E 故属于132-==λλ的特征向量为T T k k )1,2,0()0,2,1(21-+-，其中21,k k 不全为零。
例、设21,λλ是n 阶阵A 的特征值，21λλ≠，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明：21ξξ+不是A 的特征向量。
证明：用反证法。
若21ξξ+是A 的属于某特征值λ的特征向量，则 )()(2121ξξλξξ+=+A ， （1） 由于21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，所以 222111,ξλξξλξ==A A ， （2） 由（1）、（2）可得： 221121)(ξλξλξξλ+=+，所以θξλλξλλ=-+-2211)()(，因为21λλ≠，所以21,ξξ线性无关，因此λλλ==21。