线性代数习题及答案
(精品)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C)k n 2! (D)k n n 2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n4．001001001001000( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 25.001100000100100( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211 a a a a a a a a a D ，则 323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若a a a a a 22211211，则21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 29． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2 , 则 x ( ).(A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)011. 若2235001011110403D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组00321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式100111010100111.6．行列式100002000010n n .7．行列式01)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D 333231232221131211，则 323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321D ，j A 4)4,3,2,1( j 为D 中第四行元的代数余子式，则44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321D ，j A 4为)4,3,2,1(4 j a j 的代数余子式，则4241A A ，4443A A .16．已知行列式nn D10301002112531 ，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a33332222; 2．yxyx x y x y y x y x ；3．解方程0011011101110 x x xx ； 4．111111321321221221221 n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 )； 6. bn b b )1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b321222111111111； 8．xa a a a xa a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x; 10.211200000210001210001211．aa a aa a a a aD 1101100011000110001.四、证明题1．设1 abcd ，证明：011111111111122222222dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a .3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a .4．nj i i jni in nn nn n n n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333 c b a c ba 的充要条件是0 cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“ ;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n ;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ; 8.M 3 ; 9.160 ; 10.4x ; 11.1)( n n ; 12.2 ;13.0; 14.0; 15.9,12 ; 16.)11(!1 nk k n ; 17.3,2 k ; 18.7 k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ； 2. )(233y x ； 3. 1,0,2 x ; 4.11)(n k kax5.)111()1(00nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ;7. nk k kna b1)()1(; 8. nk k nk k a x a x 11)()(;9. nk k x 11; 10. 1 n ;11. )1)(1(42a a a . 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
线性代数课后习题与答案
《线性代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式： （1）2345 （2）2163- （3）xxx x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
(完整版)线性代数试题和答案精选版
线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内.错选或未选均无分。
1。
设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A. m+n B。
—（m+n) C。
n—m D. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A＊是Aの伴随矩阵,则A *中位于（1，2）の元素是（ )A。
–6 B。
6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A. A =0B。
B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
|A｜≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1B. 2C. 3D. 46。
设两个向量组α1，α2，…,αs和β1，β2,…，βs均线性相关，则（）A。
有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs(αs+βs)=0C。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0の数λ1,λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A。
所有r-1阶子式都不为0 B。
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ().(A) 24315 (B) 14325(C) 41523(D)243512．如果阶排列的逆序数是, 则排列的逆序数是( ).n n j j j 21k 12j j j n (A)(B)(C)(D)k k n -k n -2!k n n --2)1(3. 阶行列式的展开式中含的项共有()项.n 1211a a (A) 0(B)(C) (D)2-n )!2(-n )!1(-n 4．( ).=0001001001001000(A) 0 (B) (C) (D) 21-15.( ).=01100000100100(A) 0 (B) (C) (D) 21-16．在函数中项的系数是( ).1000323211112)(x x x x x f ----=3x (A) 0(B) (C)(D) 21-17. 若，则 ( ).21333231232221131211==a a a a a a a a a D =---=3231333122212321121113111222222a a a a a a a a a a a a D (A) 4 (B)(C) 2 (D)4-2-8．若，则 ( ).a a a a a =22211211=21112212ka a ka a(A) (B) (C) (D)ka ka -a k 2a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是, 第3行元的余子式依次为3,1,0,4-, 则(). x ,1,5,2-=x (A) 0(B)(C)(D) 23-310. 若，则中第一行元的代数余子式的和为().5734111113263478----=D D (A)(B)(C)(D)1-2-3-011. 若，则中第四行元的余子式的和为( ).2235001011110403--=D D (A)(B)(C)(D)1-2-3-012. 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组有非零解.k ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x ( )(A) (B)(C)(D)1-2-3-0二、填空题1. 阶排列的逆序数是.n 2)12(13)2(24-n n 2．在六阶行列式中项所带的符号是.261365415432a a a a a a 3．四阶行列式中包含且带正号的项是.4322a a 4．若一个阶行列式中至少有个元素等于, 则这个行列式的值等于n 12+-n n 0.5. 行列式.=01001110101001116．行列式.=-0100002000010 nn 7．行列式.=--0001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a 8．如果，则.M a a a a a a a a a D ==333231232221131211=---=3232333122222321121213111333333a a a a a a a a a a a a D 9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式.=--+---+---1111111111111111x x x x 11．阶行列式.n =+++λλλ11111111112．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式，为D 中第四行元的代数余子5678123487654321=D j A 4)4,3,2,1(=j 式，则.=+++44434241234A A A A 14．已知， D 中第四列元的代数余子式的和为.db c a c c a b b a b c a c b a D =15．设行列式，为的代数余子式，则62211765144334321-==D jA 4)4,3,2,1(4=j a j ，.=+4241A A =+4443A A16．已知行列式，D 中第一行元的代数余子式的和为nn D10301002112531-=.17．齐次线性方程组仅有零解的充要条件是.⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 18．若齐次线性方程组有非零解，则=.⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x k三、计算题1.; 2．； cb a d b a dc ad c b dc b a dc b a dc b a++++++++33332222yx yx x y x y y x y x +++3．解方程； 4．；0011011101110=x x xx 111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x5. ()；na a a a111111111111210n j a j ,,1,0,1 =≠6. bn bb ----)1(1111211111311117. ； 8．; na b b b a a b b a a a b 321222111111111xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 3212121219.;10.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x +++210001200000210001210001211．. aa a a a a a a aD ---------=111100011000110001四、证明题1．设，证明：. 1=abcd 011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a2．. 3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a -=++++++3．. ))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a dc b a +++------=4．.∏∑≤<≤=----=nj i i j n i i nnn nn nn n nna a a a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(1115．设两两不等，证明的充要条件是. c b a ,,0111333=c b a c ba 0=++cb a参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.n ”“-43312214a a a a 00!)1(1n n --; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.;1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---M 3-160-4x 1)(-+n n λλ2-13.; 14.; 15.; 16.; 17.; 18.009,12-)11(!1∑=-nk k n 3,2-≠k 7=k 三．计算题1．； 2. ； ))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-)(233y x +-3. ;4.1,0,2-=x ∏-=-11)(n k kax 5.;6. ;)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ))2(()1)(2(b n b b ---+- 7. ;8. ;∏=--nk k kna b1)()1(∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(9. ;10. ;∑=+nk k x 111+n 11. . )1)(1(42a a a ++-四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
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第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A) 24315 （B) 14325 (C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). （A ）k (B)k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.（A ） 0 (B ）2-n （C) )!2(-n (D ） )!1(-n4．=0001001001001000( )。
（A) 0 (B ）1- (C) 1 （D) 25。
=0001100000100100( ).（A) 0 (B)1- (C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（ ).(A) 0 （B)1- (C) 1 （D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ )。
（A ）ka （B)ka - （C ）a k 2 (D ）a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ )。
(A) 0 （B)3- (C) 3 (D) 210。
若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。
(A ）1- （B)2- （C)3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).（A)1- （B)2- （C)3- (D ）012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. （ )（A ）1- (B ）2- （C)3- (D)0二、填空题1。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线性代数练习题及答案
线性代数练习题及答案k120的充分必要条件是()。
2k1(A)k1(B)k3(C)k1且k3(D)k1或k32．若AB＝AC，当（）时，有B ＝C。
(A)A为n阶方阵(B)A为可逆矩阵(C)A为任意矩阵(D)A为对称矩阵a113．若三阶行列式a21a12a22a32a132a112a122a13。
2a23（）a31a23M，则2a212a22a332a312a322a33(A)－6M(B)6M(C)8M(D)－8M a某1某2某304．齐次线性方程组某1a某2某30有非零解，则a 应满足（）。
某某某0123(A)a0；(B)a0；(C)a1；(D)a1．5．设1,2是A某b的两个不同的解，1,2是A某0的基础解系，则A 某b的通解是（）。
(A)c11c2(12)11(12)(B)c11c2(12)(12)2211(C)c11c2(12)(12)(D)c11c2(12)(12)22二．填空题。
6．A=(1,2,3,4)，B=(1,-1,3,5)，则A·BT=。
7．已知A、B为4阶方阵，且A＝－2，B＝3，则|5AB|=|(AB)-1|=BO118.在分块矩阵A=中，已知B、C存在，而O是零矩阵，则OCA1。
1/8129．设D=251374142315,则A41A42A43A443712310．设矩阵A=235，则A的秩R(A)=471三．计算题（要求写清计算过程）11112311.设A111，B124，求3AB2A。
051111某12n1某2n12．计算行列式D12某n。
123某某1某25某3某4013．解齐次线性方程组某1某22某33某40。
3某某8某某023412/80101114．解矩阵方程A某B某，其中A111,B2010153某1某2某3a15．a取何值时，线性方程组a某1某2某31有解,并求其解。
某某a某1312四．证明题（每题5分，共10分）16.设向量组1,2,3线性无关，证明以下向量组线性无关：112，223，313。
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习题一 （A ）1．计算下列二阶行列式： （1）3125--； （2）log 11log a b b a )1b ,a 0,≠>且（b a ；（3）x x yx yx+-； （4）21111t t t +-+.解：1）= (-3)×5-(-1)×2=-13 2）=log log 10b a a b ⋅-= 3）=22()()x x y x y y -+-= 4）=(t +1)(t 2-t +1)-1=t 32．计算下列三阶行列式：（1）111101112---； （2）12111516312---； （3）0230b ac b ca-； （4）111c b ca ba---.解：1) =1×0×(-2)+1×1×(-1)+(-1)×1×1-(-1)×0×(-1)-1×1×1-(-2)×1×1=-1 2) =1×15×(-2)+2×16×3+(-1)×(-1)×1-(-1)×15×3-16×1×1-(-2)×2×(-1)=92 3) =2()30000b c ac a b c abc ⨯⨯+-⨯⨯+---= 4) =22222211abc abc b a c a b c +-+++=+++3．求下列各排列的逆序数，并说明它们的奇偶性： （1）264315； （2）542163.解：1）6Γ= 偶排列 2）9Γ= 奇排列4．确定i 和j 的值，使得9级排列 （1）1 2 7 4 i 5 6 j 9成偶排列； （2）3 9 7 2 i 1 5 j 4成奇排列.解：1）当8,3i j ==时成偶排列 2）当8,6i j ==时成奇排列5．利用行列式定义计算下列行列式（1）01001010010101D =； （2）12340000000000a a D a a =.解：1）(2143)21124334(1)1D a a a a Γ=-= 2）(2143)142332411234(1)D a a a a a a a a Γ=-=6．利用行列式性质计算下列行列式：（1）313023429722203-； （2）3211040220110102；（3）1234234134124123； （4）213131071242115-----.（5）xy x y y x y x x yxy+++;（6）222a b c a b c b c a b c a c a b++++++.解：1) =3120103430455223121--=-=--- 2) =10100002602100302=--3) =100010001113110010101601222124411111104-==--------4) =10001001138100085521005725401151143==------5) =00xx x y xx y yx y x x y x x x y y x y+++++ =0000x y xy y x x y x y y x y x y x y x-++--- 332()x y xyxy x y xy x x yy=+=-+-+- 6) =222a b c a bc b c a b c a c a b ++++++ =22a b c a b c a b cc b c a b c a c a b ++------++++ 111()22a b c cb c ab c ac a b--=++++++ =111()022022a b c b c a b c a c c a b --++++++++ 111()0()022a b c a b c a b a cc a b--=++++-++++ =32()a b c ++7．计算下列行列式：（1）11231323n n nD --=--K K M M M M；（2）111222121212n n n n a a a n a a a nD a a a n++++++=+++K K M M MMK（n ≥2）；（3）11221110001100011000010011n n n n a a a a D a a a +-----=---K K K MMMMMK K ；（4）0121111111000101210001n i n na a a D a i n a a +-=≠=L K K K MMMMMK K（其中0，，，，，）.解：1) 10001200!1n D n n-==-K K M M M O ML2) 1°当n =2时，12n D a a =-2°当n ＞2时，11111222222122120212n nn n n n a a a n a a n a a a n a a n D a a a na a n++++++++=+=++++L L L L M MOM M MOM LL3) 110000110000110010001000011n D +--==-L L L M M M O M M L L 4) 01211201111110000000010000nn n i i n na a a D a a a a a a a +=-⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑L L L L M M M O M M L L8．解方程：（1）2212134526032113212x x ---=--+--（2）11001()01001x y z x x y z y z=其中、、均为实数.解：1)22(9)(1)0x x --= 3x =±或1x =± 2)22211x y z ---=0x y z ===9．用克拉默法则解下列线性方程组： （1）123123133243421132411x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩（2）1234123423412342513232222420x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪++-=⎪⎨++=-⎪⎪-++=⎩解：1)1234112412141142311234111124311432113,,1211211211342342342324324324x x x --------====------------ 2) 122511*********1312131123103222322022221421422042D D D -----===---- 34251125111121113243220322211214D D ----==---- 312412341,0,,1D D D Dx x x x D D D D∴=======-10．k 取何值时，下面的方程组仅有零解？（1）320720230x y z kx y z x y z +-=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩（2）0020kx y z x ky z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩解：1) 当32163725630,,5213kk k --=-≠≠-即时仅有零解 2) 当1111(1)(4)0,14,211kk k k k k -=+-≠≠≠-即且时仅有零解（B ）1．填空题（1）设1234134()124123x f x x x=，则方程f (x )=0的根为____________；（2）1111111111111111xx y y +-+-=________________；（3）设行列式3040222207005322--，则第四行各元素余子式之和的值为__________；（4）n 阶行列式0001000000001n a a D a a=L LMM M M M L L =__________ （5）设n 阶行列式13521120010301n n D n-=L L LM M M M L则D n 的第一行各元素的代数余子式之和11121n A A A +++=L ______________.解：1) ()(2)(3)(4)0f x x x x =---= 2,3,4x x x ∴=== 2) =22x y 3) -28 4) 2nn a a--5) 21!(1)nk n k =-∑2．选择题（1）下列行列式中，不等于零的是（ ）.A ．1231110.50.50.5--- B. 1231110.5 1.5 2.5 C. 1531210.542.5D. 111412125---- （2）已知2122231112132122233111321233133132331121122213232223322a a a a a a a a a m a a a a a a a a a a a a a a a =---+++，则=（ ）. A ．6m B ．-6m C ．12m D ．-12m（3）多项式10223()71043173xx x f x x-=--中的常数项是（ ）.A ．3B ．-3C ．15D ．-15（4）设行列式1234123412341234()a a a a x a a a x a f x a a x a a a xa a a --=--，则方程()f x =0的根为（ ）.A ．1234,a a a a ++B ．12340,a a a a +++C ．1234,a a a a --D ．12340,a a a a ----（5）n 阶行列式D n 为零的充分条件是（ ）. A ．主对角线上的元素全为零B ．有(1)2n n -个元素都等于零 C ．至少有一个（n -1）阶子式为零D ．所有（n -1）阶子式均为零 解：D 、A 、A 、B 、D3．证明：32222()22a b ca a bb c a b a b c ccc a b----=+---.证明: 左=111()2222a b c bb c a b ccc a b++----3111()00()0a b c b c aa b c c a b=++---=++---4．证明：1111111112222222222a bb c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++.解：11111111112222222222ab c c a b b c c a ab c c a b b c c a a b c c a b b c c a ++++=+++++++++左 =1112222ab c ab c a b c5．计算下列n 阶行列式：（1）0000100002001000000nD n n =-L LM M M M M M L L ； （2）123121221321321221n n n n n D n n nn n ---=----L L L M M M M M L ； （3）210001210000021012n D ---=--L L MM M M M L L；（4）12323413452121n n D n n =-L L L M M M M L.解： 1) (1)(2)((1),(2)1,)2(1)!(1)!n n n n n nD n n --Γ--=-=-L2) 11111111110222111120022211110001nn n n n D n n n ------------=--=---L L L L L L M M M O M M M M O M L L12(1)2(1)n n n --=-+ 3) 10000021001200100012n D n ---=--=+--L L L M M M O M M L 4) 1231341(1)145221111n n n n D n +=-L L L M M M O M L=1230111(1)01112111n n n n n-+-L L L M M M O M L(1)12(1)(1)2n n n n n +-+=-⋅6．用数学归纳法证明2112122222122122121111n n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a a a a a ++==++++L L L M M ML证明: 1°当n =2时,222112212212111a a a D a a a a a +==+++ 2°设n =k 时,2211k k D a a =+++L当n =k +1时,222211111k k k k k D D a a a a +++=+=+++L7．证明n 阶行列式2cos 100012cos 100012cos 00sin(1)sin 0002cos 1012cos n θθθθθθθ+=L L L M M M M M L L证明: 1°当n =2时,22cos 1sin312cos sin D θθθθ==2°设n =k 时,sin(1)sin k k D θθ+=当n =k +1时,1sin(2)sin(1)cot cos(1)sin k k k D D k k θθθθθ++=++++=8．试证：一元二次函数可由其图像上三个横坐标互不相等的点唯一确定.证明: 设二次函数为2y ax bx c =++,三点为112233(,),(,),(,)x y x y x y ,且123x x x ≠≠,则211122222333ax x c y ax x c y ax x c y ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 又2112222331101x x x x x x = 则方程组只有唯一的解a ,b ,c9．解线性方程组211121312112223221123111n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ---⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L L L L L L 其中(12)i j a a i j i j n ≠≠=，，，，.解：211112122212111()1n n i j j i nn nn n a a a a a a D a a a a a --≤≤≤-==-∏L L MM M O M L123,0n D D D x D =====L11231,0n D x x x x D∴======L10．若齐次线性方程且1234123412341234020300x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ 有非零解，则a 、b 应满足什么条件？解：当11112110113111a ab =-即2(1)4a b +=时,方程组有非零解.习题二 （A ）1．设矩阵232121a b a c A b c a b c +--⎡⎤=⎢⎥+--+-⎣⎦，且A O =，求a ，b ，c 的值.解: A =0时2302102100a b a c b c a b c +=⎧⎪--=⎪⎨+-=⎪⎪-++=⎩,则3,2,5a b c ==-=2．设201312A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，112215B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求（1）2A B +，（2）3A B -.解: 20111231022312215431A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 201112537333122159217A B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．如果矩阵X 满足2X A B X -=-,其中2112A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0220B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求X .解：2X A B X -=- 22X A B =+ 12X A B =+21022211220222---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭4．某石油公司所属的三个炼油厂A 1，A 2，A 3在2003年和2004年所生产的四种油品B 1，B 2，B 3，B 4的数量如下表（单位：104t ）：（1）作矩阵34A ⨯和34B ⨯分别表示2003年、2004年工厂A i 产油品B j 的数量； （2）计算A B +和B A -，分别说明其经济意义；（3）计算1()2A B +，并说明其经济意义.解: 1) 582715472201856525143A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 632513590302078028185B ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 2) 1215228916260381214553328A B ⎛⎫⎪+=⎪ ⎪⎝⎭上式表明:123,,A A A 三个在2003年,2004年生产1234,,,B B B B 四种油品的总产量.52211802215342B A --⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭上式表明：123,,A A A 三厂在2004年生产的1234,,,B B B B 四种与2003年相比的增加量.3) 12192614221()813019621455316422A B ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上式表明123,,A A A 三厂在2003年、2004年生产1234,,,B B B B 四种油品的平均产量.5．计算下列矩阵的乘积： （1）01121043⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （2）5112207432-⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦； （3）（-1，3，2）304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （4）213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（-1，2）； （5）112120124305--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（6）（1，-1，2）120201013112-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦解：1) 4312⎛⎫=⎪⎝⎭2) 126241114⎛⎫⎪=--⎪ ⎪-⎝⎭ 3) =54) 241236-⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭5) 1332⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭6) =156．设311212123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111210111B -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求（1）AB 和BA ；（2）AB-BA .解：1) 612610842AB -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 400410222AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2) 212220660AB BA -⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭7．求所有与A 可交换的矩阵： （1）1011A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）11001101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.解：1) 设a b X c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则XA =AX 得 a =d b =00aX ca ⎛⎫∴=⎪⎝⎭2) 设111222a b c Y a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则 YA AY =得 1220a a b === 12b c a == 1c b =00ab c Y a b a ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭8．设矩阵A 与B 可交换.证明：（1）22()()A B A B A B +-=-；（2）222()2A B A AB B ±=±+.解：1) 2222()()A B A B A AB BA B A B +-=-+-=- 2) 22222()2A B A AB BA B A AB B ±=±±+=±+9．计算（1）31111⎡⎤⎢⎥--⎣⎦； （2）1301n⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）2212301111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； （4）00000na b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （5）31111011100110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （6）1111111111111111n---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦解：1) 0000⎛⎫=⎪⎝⎭ 2) 1301n ⎛⎫=⎪⎝⎭3) 507527622⎛⎫⎪=⎪ ⎪---⎝⎭4) 000000n nn a bc ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭5) 13610013600130001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6) 2,1,nE n n A n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数2为奇数10．设2210()f x a x a x a =++，A 是n 阶矩阵，定义2210()f A a A a A a E =++. （1）如果2()1f x x x =-+211312110A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求()f A .（2）如果35)(2+-=x x x f⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3312A 求)(A f .解：1) 2713()823210f A A A E ⎛⎫⎪=-+= ⎪ ⎪-⎝⎭2) 200()5300f A A A E ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭11．设521341A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，320201B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 计算（1）AB T ；（2）B T A ；（3）A T A .解：1) 32521199203411701TAB --⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭2) 21211042341TB A ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3) 34222206262TA A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭12．设某港口在一月份出口到三个地区的两种货物的数量以及两种货物的单位价格、重量、体积如下表：（1）利用矩阵乘法计算经该港口出口到三个地区的货物总价值、总重量、总体积各为多少？ （2）利用（1）的结果计算经该港口出口的货物总价值、总重量、总体积为多少？解：1) 0.20.35820655335200010008000.0110.05827633.8120013005000.120.5840770346⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2) 82065533511810827633.81191.884077034611956⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭总价值为1810,总重量为191.8,总体积为195613．设A 为n 阵对称矩阵，k 为常数.试证kA 仍为对称矩阵.证明: 设111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M L,则 111212122212()n n T n n nn ka ka ka ka ka ka kA kA ka ka ka ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M L则kA 为对称矩阵14．（1）证明：对任意的m ×n 矩阵A ，A T A 和AA T 都是对称矩阵.（2）证明；对任意的n 阶矩阵A ，A +A T 为对称矩阵，而A -A T 为反对称矩阵. 解：1) 证明: ()()TTTT TTA A A A A A ==Q ()()T TT TTTAA A A AA == ,TTA A AA ∴都是对称矩阵2) ()(),TTT TTTTA A A A A A A A A A +=+=+=++为对称矩阵 ()()()TTT TTTA A A A A A A A -=-=-=-- 则TA A -为对称矩阵15．设A 、B 是同阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .解：()TTTAB AB B A AB BA AB =⇔=⇔=16．判断下列矩阵是否可逆.若可逆，利用伴随矩阵法求其逆矩阵： （1）5432⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）1326-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； （3）021111312⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； （4）10120123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.解：1) 1123522A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭2)不可逆3) 1153444131444131222A -⎛⎫- ⎪⎪⎪=-⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭4) 11001102211033A -⎛⎫ ⎪⎪⎪=-⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭17．设n 阶矩阵A 可逆，且det A =a ，求1det A -，det *A .解：1AA E -=Q 111det det AA a-==∴ *det AA A E =⋅∴*11det (det )n n A A a --==18．设A 为n 阶矩阵，A ≠O 且存在正整数k ≥2，使k A O =.求证：E A -可逆，且121()k E A E A A A ---=++++L证明: 21()()k E A E A A A --+++L2121()k k k E A A A A A A E A E E A --=++++----=-=-L L 21K E A A A -=+++L19．已知n 阶阵A 满足232A A E O --=.求证：A 可逆，并求A -1。