线性代数教案-线性方程组与矩阵
线性代数教案11
逆矩阵的性质
1. 如果A可逆，则A有唯一的逆矩阵；
2. 如果A可逆，且AB＝I，则BA＝I；
如果A可逆，且BA＝I，则AB＝I；
3. 如果A，B都可逆，则AB也可逆，且 ( AB)1 B 1 A1
4. 如果A可逆，则A1可逆，且 ( A1 )1 A
5. 如果A可逆，则A的每一行每一列都不能全为零。
,
B
B11 B21
分块矩阵数乘：
B12 B22
,
A
B
A11 A21
B11 B21
A12 A22
B12 B22
A
A11 A21
A12 A22
分块矩阵的乘法：矩阵A的列数等于B的行数，A的列的分
法与B的行的分法相同
AB
A11B11 A21B11
A12 B21 A22 B21
A11B12 A21B12
返回
矩阵的数乘
数 与矩阵A的乘积记作
返回
矩阵的转置
把矩阵A的各行变成同序数的列得到的新矩阵称为A 的转置（Transpose），记为 AT
例如
注意：将A的各列变成行同样能得到A的转置。 A为m×n的矩阵，则 AT 为n×m的矩阵。
对称矩阵的定义：AT A
返回
逆矩阵的唯一性
如果A可逆，则A有唯一的逆矩阵。 证明：设B和C都是A的逆矩阵，那么
矩阵A是m×n矩阵，可以记为 Amn
几种特殊的矩阵
1. 行矩阵； 2. 列矩阵； 3. 零矩阵； 4. n阶方阵； 5. 三角矩阵； 6. 对角矩阵（Diagonal Matrix）； 7. 单位矩阵（Identity Matrix）.
矩阵相等
如果两个矩阵A，B有相同的行数和相同的列数，并 且对应位置的元均相等，则称矩阵A与矩阵B相等， 记为A＝B
线性代数试讲教案
线性代数试讲教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法，能够运用线性代数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过试讲，培养学生的逻辑思维能力、表达能力和合作能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对线性代数的兴趣，提高学生对数学学科的认识和尊重。
二、教学内容1. 第一章：矩阵及其运算1.1 矩阵的概念与性质1.2 矩阵的运算规则1.3 矩阵的逆2. 第二章：线性方程组2.1 线性方程组的定义2.2 高斯消元法解线性方程组2.3 克莱姆法则3. 第三章：向量空间与线性变换3.1 向量空间的概念与性质3.2 线性变换的概念与性质3.3 线性变换的矩阵表示4. 第四章：特征值与特征向量4.1 特征值与特征向量的定义4.2 特征值与特征向量的求解方法4.3 矩阵的对角化5. 第五章：二次型5.1 二次型的概念与性质5.2 二次型的标准形5.3 二次型的判定定理三、教学方法1. 采用试讲的形式，让学生自主学习、合作探讨，教师进行指导与点评。
2. 通过举例、解决问题，引导学生理解和掌握线性代数的基本概念和方法。
3. 利用数学软件或板书，展示线性代数运算过程，提高学生的直观理解能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在试讲过程中的表达、思考和合作能力。
2. 作业与练习：检查学生对线性代数概念、方法和应用的掌握程度。
3. 阶段性测试：评估学生在一段时间内对线性代数的总体掌握情况。
五、教学资源1. 教材：线性代数教材，如《线性代数及其应用》等。
2. 课件：制作与教学内容相关的课件，辅助学生理解和记忆。
3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等，用于展示线性代数运算过程。
4. 板书：用于在课堂上展示线性代数运算步骤和关键公式。
六、第六章：线性空间与线性映射6.1 线性空间的概念与性质6.2 线性映射的概念与性质6.3 线性映射的例子与性质七、第七章：内积与正交性7.1 内积的概念与性质7.2 正交性的概念与性质7.3 施密特正交化与格拉姆-施密特正交化八、第八章：特征值与特征向量的应用8.1 特征值与特征向量的应用概述8.2 矩阵的对角化与应用8.3 二次型与应用九、第九章：线性代数在工程与科学中的应用9.1 线性代数在工程中的应用9.2 线性代数在科学研究中的应用9.3 线性代数在其他领域的应用10.2 线性代数在实际问题中的应用案例分析10.3 线性代数的进一步学习与研究建议六、教学方法1. 采用试讲的形式，让学生自主学习、合作探讨，教师进行指导与点评。
线性方程组和矩阵
电路的转移矩阵分别为
1 0
R1 1
和
1 1 R2
10 .
• i1
v1
•
R1
串联电路
i2 • i2
v2
•
梯形网络
R2
并联电路
i3 •
v3
•
4、线性方程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 L LLLLLLL
11
不存在数 x 和 y 使 x y 1 和 x y 2 同时成立 , 故方程组
②无解 ; 方程组 ③ : 设 s 为任一数 , 那么 x1 x2 s 是 ③ 的解 , 从而方程组③ 有无限多个解.
这样看来 , 对于线性方程组需要讨论以下问题 : (1) 它是否有解? (2) 在有解时它的解是否惟一 ? (3) 如果有多个解, 如何求出它的所有解?
到站
为了便于计算,把表中的
广州 青岛 成都 拉萨
改成１,空白地方填上 0（变 定性为定量）就得到一个数
广州 0
发站 青岛
1
1 0
1 1
0 0
表:
这个数表反映 了四城市间交
成都 1
1
0
0
3、 电路是电子元件的神经系统 . 参数的计算是电路
设计的重要环节. 其依据来自两个方面，一是客观需要， 二是物理定律.
本次课(§1~ §2 )的要点
一、内容
1、矩阵是一张数表.
2、矩阵与线性变换的一一对应 .
3、矩阵的线性运算
① ②
加法 数乘
: :
对应元素相加. 每个元素倍乘 .
4、矩阵的乘法 (重点)
线性代数教材讲解ppt课件
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
0
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx siny, sinx cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之
间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.
线性代数教案
线性代数教案一、引言线性代数是数学的重要分支，广泛应用于各个领域，如工程、物理、计算机科学等。
本教案旨在通过系统的学习和实践，帮助学生建立起对线性代数概念和技巧的正确理解和运用能力。
二、教学目标1. 掌握线性代数的基本概念，如矩阵、向量、线性方程组等；2. 熟悉线性代数的运算法则和性质；3. 学会运用线性代数解决实际问题；4. 提高学生的抽象思维和逻辑推理能力。
三、教学内容1. 向量空间1.1 向量的定义和表示1.2 向量的线性组合和线性相关性1.3 向量空间的性质和运算规律2. 矩阵2.1 矩阵的定义和表示2.2 矩阵的运算法则和性质2.3 矩阵的秩和逆矩阵3. 线性方程组3.1 线性方程组的基本概念和解的存在性3.2 线性方程组的解的唯一性和解的结构3.3 线性方程组的应用4. 特征值与特征向量4.1 特征值和特征向量的定义和性质4.2 对角化和相似矩阵4.3 特征值与特征向量的应用四、教学方法1. 讲授法：通过讲解线性代数的基本概念和原理，引导学生建立起知识体系。
2. 案例分析法：通过实际问题，让学生应用线性代数的方法进行求解，加深对理论知识的理解和应用能力。
3. 实际操作法：通过编写程序或使用数学软件，让学生进行实际计算和模拟，提高操作技能和实践能力。
4. 小组讨论法：组织学生进行小组讨论，促进合作学习和思维碰撞，培养团队合作精神和批判性思维。
五、教学评估1. 课堂测试：每个知识点结束后进行简单测试，检验学生对基本概念和运算法则的掌握程度。
2. 作业布置：每次课后布置作业，包括理论题和计算题，检验学生对理论知识和实际应用的理解和掌握情况。
3. 实验报告：要求学生完成线性代数实验，撰写实验报告，包括实验目的、方法、结果和讨论等，检验学生的实践操作能力和实验分析能力。
4. 期末考试：针对全面的课程内容进行期末考核，考察学生对线性代数的整体掌握情况。
六、教学资源1. 教材：推荐《线性代数》（第三版）李尚志著，清华大学出版社，作为教学参考书。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
数学教案应用矩阵解决线性方程组
数学教案应用矩阵解决线性方程组教案：应用矩阵解决线性方程组引言：本教案旨在教授学生如何使用矩阵的方法解决线性方程组。
线性方程组是数学中常见的问题，矩阵作为一种有效的工具，可以简化求解过程，提高计算的效率。
通过学习本教案，学生将能够了解线性方程组的基本概念、矩阵的运算方法，并能够熟练地应用矩阵解决线性方程组的问题。
一、线性方程组的基本概念1.1 线性方程组的定义及示例- 讲解什么是线性方程组及其基本形式- 通过示例引出解线性方程组的必要条件二、矩阵的基本概念和运算2.1 矩阵的定义及示例- 介绍矩阵的基本概念- 通过示例引出矩阵的行、列、元素等概念2.2 矩阵的加法和减法- 讲解矩阵的加法和减法的定义和运算法则- 通过示例演示矩阵的加法和减法运算2.3 矩阵的数乘和乘法- 介绍矩阵的数乘和乘法的定义和运算法则- 通过示例演示矩阵的数乘和乘法运算三、矩阵表示线性方程组3.1 矩阵的行向量和列向量- 讲解矩阵的行向量和列向量的定义和性质- 通过示例说明矩阵的行向量和列向量在线性方程组中的应用3.2 线性方程组的矩阵表示- 介绍线性方程组和矩阵之间的对应关系- 通过示例将线性方程组转化为矩阵的形式四、使用矩阵解决线性方程组4.1 矩阵方程的化简- 讲解如何使用矩阵的运算简化线性方程组- 通过示例演示如何将线性方程组转化为矩阵方程4.2 矩阵方程的求解- 介绍如何使用矩阵的逆矩阵求解矩阵方程- 通过示例演示如何求解矩阵方程得到线性方程组的解五、应用矩阵解决实际问题5.1 将实际问题转化为线性方程组- 介绍如何利用实际问题中的条件构造线性方程组- 通过示例将实际问题转化为线性方程组的形式5.2 使用矩阵求解实际问题- 讲解如何应用矩阵解决实际问题- 通过示例演示如何使用矩阵的方法求解实际问题六、综合练习与拓展6.1 练习题- 准备一些练习题供学生进行巩固和实践- 涵盖不同难度的题目，包括基本题和应用题6.2 拓展与应用- 引导学生思考矩阵在其他领域中的应用- 鼓励学生做进一步的拓展研究，提出自己的思考和见解结语：通过本教案的学习，学生将掌握使用矩阵解决线性方程组的方法，并能够应用到实际问题中。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、引言1. 课程目标：使学生理解线性代数的基本概念，掌握线性方程组的求解方法，了解矩阵和行列式的基本性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
2. 教学内容：本章主要介绍线性代数的基本概念、线性方程组的求解方法、矩阵和行列式的基本性质。
3. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
二、线性方程组1. 教学目标：使学生理解线性方程组的含义，掌握线性方程组的求解方法，能够运用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容：（1）线性方程组的概念及其解的含义；（2）线性方程组的求解方法（高斯消元法、矩阵法等）；（3）线性方程组在实际问题中的应用。
3. 教学方法：通过具体案例分析，引导学生理解线性方程组的概念，运用高斯消元法和矩阵法求解线性方程组，并讨论线性方程组在实际问题中的应用。
三、矩阵及其运算1. 教学目标：使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，了解矩阵在数学和实际中的应用。
2. 教学内容：（1）矩阵的概念及其表示方法；（2）矩阵的运算（加法、数乘、乘法）；（3）矩阵的其他相关概念（逆矩阵、转置矩阵等）；（4）矩阵在数学和实际中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，探讨矩阵在其他相关概念中的应用，并了解矩阵在数学和实际中的重要作用。
四、行列式1. 教学目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，了解行列式在线性方程组求解中的应用。
2. 教学内容：（1）行列式的概念及其表示方法；（2）行列式的计算方法（按行（列）展开、性质的应用等）；（3）行列式在线性方程组求解中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，并了解行列式在线性方程组求解中的应用。
五、线性空间与线性变换1. 教学目标：使学生了解线性空间的概念，掌握线性变换的定义和性质，了解线性变换在数学和实际中的应用。
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第一章线性方程组与矩阵
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材
第一章 第一节 矩阵的概念及运算 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 矩阵的定义、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、矩 阵的转置 同济版《线性代数》
课的类型 教学手段 教学难点
作业布置
新知识课 黑板多媒体结合 矩阵的乘法、矩阵的转置
kaij
.
mn
4. 矩阵的数乘运算满足的运算规律：
(1) k A B kA kB ；
(2) (k l) A kA lA ；
(3) (kl) A k(lA) l(kA) ；
(4) 1A A ；
(5) 1 A A ；
(6) 0 A Omn .
三、矩阵乘法：
1. 矩阵乘法的定义：设矩阵 A (aij ) 是一个 m p 矩阵，矩阵 B (bij ) 是一个 p n 矩阵，定义矩阵 A 与 B
的乘积是一个 m n 矩阵 C (cij ) ，其中矩阵 C (cij ) 的第 i 行第 j 列元素 cij 是由矩阵 A 的第 i 行元素
ai1, ai2, , aip 与矩阵 B 的第 j 列相应元素 b1j , b2 j , , bpj 乘积之和，即
p
cij = aikbkj ai1b1 j ai2b2 j aipbpj . k 1
a12 a22
a1n a2n
x1 x2
a11x1 a12 x2 a1n xn a21x1 a22 x2 a2n xn
.
am1
am2
amn xn
am1 x1
am2
x2
amn xn
再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示： Ax .
(3) 分块矩阵的乘法：设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵，要求矩阵 A 的列分块方式与矩阵 B 的行分块方式
保持一致，而对矩阵 A 的行分块方式及矩阵 B 的列分块方式没有任何要求和限制. 不妨设
A11 A12 A1k
B11 B12 B1u
A
A21
A22
A2k
2. 矩阵乘法满足的运算规律（假设运算都是可行的）：
(1) 结合律： ABC =A BC ；
(2) 矩阵乘法对矩阵加法的分配律： A B C =AB AC ， A B C =AC BC ；
(3) (kA)B A(kB) k AB ；
(4) Em Amn Amn En Amn ； (5) Oms Asn Omn ； AmsOsn Omn . 3. 方阵的方幂满足的运算规律（这里 k, l 均为非负整数）：
1 3
，求
A
B
和
2
A
B
.
1 1 0
例2
求矩阵
A
3 2
1 2
1 0
与
B
1 2
1 1
11 的乘积 AB .
例3
求矩阵
A
1 2
1 2
与
B
2 6
1 3 的乘积 AB 及 BA .
例 4 设有线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 amn xn bm ,
矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
称为该线性方程组的系数矩阵.
令x
x1 x2
，
b1 b2
，有：
am1
am2
amn
xn
bm
4
Ax
a11 a21
，
B
B21
B22
B2u
，
At1
At 2
Atk
Bk1
Bk 2
Bku
其中 Ai1, Ai2 ,, Aik 的列数分别等于 B1 j , B2 j ,, Bkj 的行数，则
C11 C12 C1u
AB
C21
C22
C2u
，
Ct1
Ct 2
Ctu
其中
k
Cij = Ait Btj Ai1B1 j Ai2 B2 j Aik Bkj . t 1
二、矩阵的线性运算：
1. 矩阵的加（减）法：设 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是两个同型矩阵，则矩阵 A 与 B 的和为
a11 b11 a12 b12 a1n b1n
A
B
a21
b21
a22 b22
a2n
b2n
，
am1
bm1
am2 bm2
amn
bmn
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1
am2
amn
称为一个 m n 矩阵，简记为
aij
，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
aij
.
mn
数 aij 位于矩阵
aij
的
第 i 行第 j 列，称为矩阵的 i, j 元素，其中 i 称为元素 aij 的行标， j 称为元素 aij 的列标.
矩阵 A 与 B 的差为 A B
aij bij
.
mn
2
2. 矩阵加法满足的运算规律：设 A, B, C 是任意三个 m n 矩阵，则 (1) 交换律： A B B A ；
(2) 结合律： A B C A B C ；
(3) A Omn Omn A=A .
3. 矩阵的数乘：设矩阵 A (aij )mn 的则 kA Ak
(4)
分块矩阵的转置：设
A
A11 A21
A12 A22
A1k A2k
，则
AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
AtT1 AtT2
At1
At 2
Atk
A1Tk A2Tk AtTk
(5) 分块对角阵 设 A 是 n 阶方阵，若 A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，且这些非零子块都是
2. 矩阵的表示：一般地，常用英文大写字母 A, B, 或字母 , , , 表示矩阵，例如 A aij ， B bij ，
Amn ， Bmn 等等.
3. 特殊矩阵：(1) 11 的矩阵 A a ，也记为 A a .
(2) 行矩阵，也称为 n 维行向量： a1, a2 ,, an .
B1t B2t
，
As1
As2
Ast
Bs1
Bs 2
Bst
其中 Aij 和 Bij 的行数相同、列数相同，则有
A
B
A11 A21
B11 B21
A12 B12 A22 B22
A1t A2t
B1t B2t
.
As1
Bs1
As2 Bs2
Ast
Bst
A11 A12 A1t
一个小矩阵称为 A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
2. 分块矩阵的运算：
(1) 分块矩阵加（减）运算：设 A 、 B 都是 m n 矩阵，对两个矩阵的行和列采用相同的分块方式，不妨设
A
A11 A21
A12 A22
A1t A2t
，
B
B11 B21
B12 B22
(2)
分块矩阵的数乘运算：
矩阵的分块方式没有特别规定，对任意的分块
A
A21
A22
A2t
，都有
As1
As2
Ast
6
kA
kA11 kA21
kA12 kA22
kA1t kA2t
.
kAs1
kAs 2
kAst
所以在矩阵的数乘运算中，对矩阵的分块可以根据矩阵本身的特点而定.
1
(3)
列矩阵，也称为
n
维列向量：
a1 a2
.
an
(4)
n
阶方阵
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
.
an1
an 2
ann
(5)
下三角矩阵
a11 a21
0
a22
0 0
与上三角矩阵
a11 0
a12 a22
a1n a2n
课的类型 教学手段 教学难点
新知识课
黑板多媒体结合
分块矩阵的乘法和转置运算
参考教材 同济版《线性代数》
作业布置 课后习题
大纲要求 了解分块矩阵及其运算规律，熟悉矩阵的按行分块和按列分块。
教 学 基本内容
一、基本内容：
1. 分块矩阵：对于行数和列数较高的矩阵 A ，运算时常用一些横线和竖线将矩阵 A 分划成若干个小矩阵，每
1
0
3
2
1
0
3
1 0 1 0
1 2 0 0
例2
设
A
1 1
1 0
0 0
1 0
，
B
2 1
1 0
0 0
0
1
，求
AB
.
0
1
0
0
0
1 1
0
例3 设 ei 0, , 0, 1, 0, , 0T 为第 i 个分量为1而其余元素全为 0 的列向量，则 n 阶单位
矩阵可以分块为 En e1, e2 , , en . 将矩阵 A 按列分块为 A= A1, A2 , , An ，其中 Ak 为矩阵
Ak Al Akl ； Ak l Akl .
3
四、矩阵的转置：