线性代数第一章矩阵的基本概念 - 副本
《线性代数》第一节矩阵
相反，非零元只出现在对角线及其下（或左） 方的方阵为下三角[形矩]阵(lower triangular matrix)
记作 L ( left ).
1
0 0
如
L 2 1 0
3
1 5
1
是个 3 阶下三角阵
一般而言，对n阶矩阵A=[aij]，当且仅当 i>j 且
aij =0时A为上三角阵；而当且仅当 i< j 且aij = 0 时 A为下三角阵；
矩阵概念
1 m n常个用元大，写排黑成斜m体行字n母列如（A横、称B、行C，， ·····记之，
纵称列必）要的时矩也型可阵以列以（下表标）来区别不同的矩阵，
a11
如Aa112，A2，
·····
a1n
a
21
在书a2写2 矩阵时a，2n也 有将(2-1)
am1
称为维是
简称为m
mamn2[aan型1n11的]矩矩a阵阵mnaa. 1n(nnma或triaax1n)11
就向量而言，称其元为分量，分量的个数即 为向量的维。故所谓n维向量就是 n 维数组，即 n个数的一个有序数组，亦即是个n×1的列矩阵 或 1 × n的行矩阵. 这样, 称（2-3）是二维向量。
今后凡未作特别说明，讲到向量均指列向量。
概念 在用同一个字母代表不同向量时，常以下标区别，
n 个元，如排：成a1m, a行2 ,··n··列··（横称行，
而 diag (δ1 ,δ2 ,·····,δn ) 表示一组对角元分 别为δ1 ,δ2 ,·····,δn的 n 阶对角阵， 详细写出就是
diag ( 1 , 2 , , n ) def
01
0
2
0
0
线性代数课件--第一章矩阵
数与m n矩阵 A (a ij)的 乘积 仍是m n矩 阵，记 为A, 即
A
( a ij ) mn
a11 a 21
a m1
a12 a 22
am2
a1n a2n
a mn
解 析 几 何 中 定 义 的 向 量 乘 以 一 个 数 的 规 则 与 定 义1.6相 同 。
矩阵的数乘运算满足下列运算定律(设A、B为m n矩阵，1， 2是数)：
例1.4设有城市x1,x2, ,xm,它们之间有高 速公路a1,a2, ,an相连(这些公路是单向道， 方向用箭头表示)，如图定义
x2
a1
a2
x1
a5
x3
a4
a3
x4
1.1 矩阵的概念
定义
1
mij -1
0
若
x
i
是
a
的
j
起
点
若
x
i
是
a
的
j
终
点
若
x
i
不
是
a
的
j
端
点
矩阵M = (mij )称为该图的关联矩阵。上图的关联矩阵为
具 有 相 同 行 数 和 列 数 的 矩 阵 才 能 相 加|减 。
例如
50
45
60 35
80 62
40 50
55 42
50 63
90 95
115 77
130 125
2
1
3 1 03
2 5
3 0
0 1 13
4 1
1 1
3 1
0 2
0
4
1.2 矩阵的运算
定义1.6 矩阵的数乘
线性代数第一章 矩阵
11矩阵看作是一个数，但数不能看成是矩阵.
若一个矩阵的所有元素都为0，称它
为m n零矩阵，记为 0mn
0 0 L 0
0mn
0 M
0L MM
0 M
0
0
L
0
定义1.2
主对角线，主对角元
设A是n阶矩阵，元素ai i称为A的第i主对角线元 元素a11, a22 , , an n组成A的主对角线
a11 M
L
am1 L
a1 n M
bM1
称为方程组的增广矩阵，
amn bm
增广矩阵 A%与线性方程组具有一一对应关系。
例 1.解方程组:
x1 2x2 x3 0 2x2 8x3 8
4x1 5x2 9x3 9
解: （方程 1）*4 + （方程 3）：
称A为上三角矩阵。
同样，若在n阶矩阵A中，当i j时都有aij 0，
称A为下三角矩阵。
5 1 2 4
0
2
4
3
0 0 3 5
0
0
0
7
1 0 0 0
2
3
0
0
0 5 4 0
6
8
9
1
第二节 矩阵的运算
矩阵相等
若两个m n矩阵A和B的对应元素都相等，即 ai j bi j (1 i m, 1 j n),
a1n
a2n
amn
（1.1）
称为m n矩阵。矩阵常用大写黑体字母表示。数aij 称为矩阵A的第i行第j列的元素，简称(i, j) 元素。
基础公共课复习资料-线性代数知识点汇总
第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。
A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
线性代数—矩阵的基本概念
n
注 对角阵是主对角元素不全为零, 其余元素都为零的方阵.
注 对角元素足以确定对角方阵本身.
(6) 标量阵和单位阵
当一对角阵的对角元全为同一非零常量时称为标量
阵(scalar matrix) ,如
5 0 0 0
K
0 0 0
5 0 0
0 5 0
0 50
1 0 0
形如
E
En
0
1
0
的方阵,称为单位阵或称
(1)零行(即其元素全为零的行)位于全部非零行的下方(如 果矩阵有零行的话);
(2)非零行的首非零元 (即位于最左边的非零元) 的列标随 其行标严格递增.
定义 若梯矩阵具有如下特征就称之为简化梯矩阵 (1) 非零行的首非零元为1; (2) 非零行的首非零元所在列的其余元素皆为零.
例
2 1 1 3
A
3
2
1
0
1
5 4 3 2 1
7 6 5 4 3
2、一些特殊的矩阵
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
至少有一个元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例
1
9
0 6
3 4
5
3
是一个2×4实矩阵;
13 6 2i
2
2i
2
是一个3×3 复矩阵;
2 2 2
1
2 3 5 9 是一个1×4实矩阵;
2
是一个3×1实矩阵;
yA x′
α
O
x
写成矩阵形式，记为
过渡矩阵
x y
cos
sin
sin x '
cos
y
'
例 （线性代数方程组）一般形式的线性方程组，即
线代第一章、矩阵
n
n
a11 a21 An = M a n1
a12 a22 M an 2
L a1n L a2 n L M L ann
付对角线
主对角线
（3）一阶矩阵就是一个数。 A = (a ) = a
几种比较特殊的矩阵：
只有一行的矩阵称为行矩阵， 只有一行的矩阵称为行矩阵， = (a1 a2 Lan ) 行矩阵 A
0 a22 L 0 的方阵， 的方阵， L L L an2 L ann 0 L
称为下三角矩阵 称为下三角矩阵
●形如
λ1 0 L 0 0 λ2 L 0 A= M M M 0 0 L λn
特点:不在主对角线上的元素全为 ，这种方阵称为 特点 不在主对角线上的元素全为0， 不在主对角线上的元素全为 对角矩阵，记作 diag(λ1 λ2 L λn ) 对角矩阵， 特别的，当λ1 =λ2 = ...=λn=λ时, 称A为数量矩阵。其 特别的， 为数量矩阵。 中λ=１时，就是单位矩阵。 λ=１ 就是单位矩阵。
A 1 = A2 0
0 A3
怎么样就 成为对角 矩阵？
A 1 A= O Am
阶方阵A的分块矩阵为 设n阶方阵 的分块矩阵为 阶方阵
A2
除主对角线上的子块为非零子块外,其余子块都为 除主对角线上的子块为非零子块外 其余子块都为 零矩阵,且Ai(i=1,2,…,m)为方阵 则A称为分块对角矩 零矩阵 且 为方阵,则 称为分块对角矩 为方阵 称为 阵(或准对角矩阵 或准对角矩阵).
a 0 A= 1 0
1 0 0 A 1 a 0 0 A2 = A , 0 b 1 3 1 1 b A4
线性代数中的矩阵：概念与基本性质
线性代数中的矩阵：概念与基本性质矩阵是线性代数中最基本、也是最常用的概念之一。
它是由若干个按照规定大小和次序排列的数构成的矩形阵列，常用大写字母表示。
下面将介绍矩阵的概念与基本性质。
一、矩阵的定义设有m行n列的数a_ij排成一个m×n的矩形阵列，则称这个m×n的阵列为一个矩阵，记作A=(a_ij)，其中1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵A中，a_ij称为矩阵A的第i行第j列的元素，第i行的元素排列在一起，构成了矩阵A的第i行，第j列的元素排列在一起，构成了矩阵A的第j列。
二、矩阵的基本性质1、矩阵的加法设矩阵A=(a_ij)与B=(b_ij)的大小及相对应的元素都相同，则A 与B的和C=A+B的元素c_ij=a_ij+b_ij，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵加法具有结合律、交换律和分配律。
2、矩阵的数乘设k是一个数，矩阵A=(a_ij)，则kA的元素为(k·a_ij)，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵数乘同样具有分配律和结合律。
3、矩阵的乘法设矩阵A=(a_ij)的大小为m×p，矩阵B=(b_ij)的大小为p×n，矩阵C=(c_ij)的大小为m×n，则称C=AB，如果c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ipb_pj，1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵C中，第i行第j列的元素c_ij是矩阵A的第i行的元素和矩阵B的第j列的元素的乘积和。
矩阵乘法不具有交换律。
4、矩阵的转置设矩阵A=(a_ij)的大小为m×n，则称A的转置矩阵为A^T=(b_ij)，大小为n×m，其中b_ij=a_ji。
矩阵的转置具有分配律和结合律。
5、矩阵的逆设方阵A的大小为n×n，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=E，其中E是n阶单位矩阵，那么称矩阵A是可逆的。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
如果矩阵A是可逆的，则其逆矩阵唯一。
线性代数 第一章、矩阵
张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
98
89
90 90
87 86
72
98
97 84 75 87
85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。
am1
am 2
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0
0
5
0
0
就是一个数量矩阵
0 0 5 0
0
0
0
5
也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
M M O M
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A
a21
a22
0
0
L
1
特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,
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例如 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
(6)方阵
1 0
E
En
0
1 O
0 0
O
0 0
1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）.
(7)元素之间满足关系 aij a ji (i, j 1, 2,L n) 的方阵
a11 a12 L
其中√ 表示有航班.
到站
北京 成都 广州 上海
为了便于计算,把表
北京
发站 成都
0
1
1 0
11 11
0 0
中的√ 改成１,空白 地方填上０,就得到一
广州 1 0 00 11 个数表:
上海
0
11 00
0
这个数表反映
了四城市间交
通联接情况.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
(aij
)mn
amn
称为矩阵A的负矩阵，记作－A
转置矩阵
定义 由矩阵 A [aij ]mn 的各行换成序号相同的列， 同时把各列换成同序号的行，所得到的 n矩阵m
a11
a21 L
a12 a22 L
L L L
a1n
a2n L
a
m1
am 2
L
amn
A
nm
a11 a21 L am1
a12 a22 L am2
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2
是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4 是一个 11 矩阵.
是一个 1 4 矩阵,
负矩阵
定义 由矩阵 A [aij ]mn 元素的相反数构成的矩阵
a11 a12 L
a21
a22
L
L L L
am1
am2
L
a1n
a2n L
第一章 矩阵的概念与运算
矩阵是线性代数的一个主要研究对 象，也是数学上的一个重要工具。矩阵 的应用已经渗透到了包括自然科学、人 文科学、社会科学在内的各个领域。在 矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作 用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些 基本规则与技巧。
一、矩阵的基本概念 二、矩阵的线性运算 三、矩阵的乘法 四、初等变换与初等矩阵
L L
a2n
L
副对角线 an1 an1 L ann
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 , ,an ,
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵
a1
B
a2 ,
an
称为列矩阵(或列向量).
不全为0
1 0
（3）形如
0
2
0 O 0
0
O
0
的方阵,称为对角
n
矩阵(或对角阵）.
记作 A diag1,2 , ,n .
§1.1矩阵的基本概念
一、矩阵概念的引入
1、某班级同学早餐情况
姓名 馒头 包子 鸡蛋 粥
张三
4
2
2
1
李四
0
0
0
0
王五
4
9
8
6
为了方便，常用下面的数表表示
4 2 2 1
0 4
0 9
0 8
0 6
这个数表反映 了学生的早餐 情况.
2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四城市之间的航线图
成都
北京
广州
上海 为了方便，常用下面的数表表示
3.
线性方程组
a21 x1
a22 x2
a2n xn b2
的解取决于
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
系数 aiji, j 1,2, ,n,
常数项 bi i 1,2, ,n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
对应元素相等,即
aij bij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
例1 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
（4）主对角线左下方或右上方的元素全为零 的方阵
a11 a12 L
0
a22 L
L
0
OL 0
L L
a1n
a11 0 L 0
a2n
或
a21
a22
L
O
0
L
L L L L
ann
an1
an2
L
ann
分别称为上三角矩阵或下三角矩阵.
（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零
矩阵记作 omn 或 o .
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
am1
am1
L
a1n
a2n
M
amn
元素 行标 列标
称为 m n型矩阵.简称 m n 矩阵.
记作： A (aij )mn
A (aij )
Amn
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
为元素的方阵
a11 a12 L
a12
a22
L
L L L
a1n
a2n
L
a1n
a2n
L
ann
称为A的共轭矩阵，记作 A [aij ]mn
四、同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同
型矩阵. 例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
a12
a22
L
a1n
a2n
称为对称矩阵
L L L L
a1n a2n L ann
A AT
元素之间满足关系aij a ji (i, j 1, 2,L n)的方阵
0 a12 L
a12
0L
L L L
a1n
a2n
L
a1n
a2n
称为反对称矩阵
L
0
A AT
(8)当 A [aij ]mn为复矩阵时，以 aij 的共轭复数 aij
L L L L
称为矩阵A的转置矩阵，记作 AT 或 A
a1n
a2n
L
amn
三、几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 6 2i 2 2 2
2 2 2
是一个3 阶方阵.
主对角线
a11 a12 L a1n
方阵
A
a21 L
a22 L
b1 b2
对线性方程组的
研究可转化为对
an1 an2 ann bn 这张表的研究.
类似的矩形数表在许多问题中都存在着，经过科
学的抽象就形成一个重要的数学概念——矩阵.
二、矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的 m行 n列的数表