矩阵直积PPT课件
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线性代数矩阵及其运算ppt课件
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
4 . 同型矩阵 两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵
5. 矩阵 AB 相等 充要条件是:
1）A、B是 同 型 矩 阵
2）ai j bi j(第i，j位 置 上 的 元)素 相 等
证明 （1）、（2）、（3）易证，下证明(4). 设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
负矩阵 : A= ( aij)
减法：Ａ B =Ａ+ ( B)
2.矩阵的数乘
定义2.3 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：
a11 a12 ... a1n
a1
k
dia(ga1,a2,an)
a2
;
kI
k
an
k
5. 上（下）三角形矩阵
a11 a12 a1n
A
a 22
a
2
n
a
nn
b11
B
b21
b22
bn1
bn2
bnn
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
矩阵直积
,t )nt，B=(1,
,
s
)则 ps
A B=(1 1,
,1 s ,
,t 1,
,t
s
) npts
.
注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.
证明：1)由定义得
(aij )
(cij
)
(bij ) (dij )
F
(aij )
(cij
)
F F
(bij (dij
) )
F F
)
(A
B
2
2
)
(AkBk );
范数有以下性质：
命题：1)x 时，x 是范数为一的向量（单位化）;
x 2) -x = x ; 3)x，y V,有 x y x y .
证明：只证3） 我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
定义2：设V是有限维线性空间，x , x 是V中任意两种
范数，若存在正数k1及k2，使得x V,都有：
k1
x
x
k2
x
，
称 x 与 x 是等价的.
定理1：有限维线性空间中的任何两种范数等价.
证明：设V是n维线性空间，e1, , en是V的一组基，则x V，
有唯一表达式： x=1e1 nen (e1, , en ) , 其中 =(1, ,n )T为x的坐标向量.
A C
F F
BF
D
F
2)设 =(a1, ,an )T ,则
a1
a1 B a1 (1, ,s )
B
an
an B an (1, ,s )
a1 1,a1 2
大学数学矩阵ppt课件
，达到降维的目的。
矩阵运算过程
02
构建协方差矩阵，计算特征值和特征向量，选择主成分进行投
影。
应用场景
03
高维数据处理、数据可视化、异常检测等。
图像处理和计算机视觉中矩阵运算实例
图像处理基础
图像可以表示为矩阵，矩阵运算可用于图像处理的各种操作，如 滤波、变换等。
计算机视觉应用
矩阵运算在计算机视觉领域有广泛应用，如目标检测、图像分割等 任务中的特征提取和降维处理。
拓展延伸：广义逆矩阵、张量等概念简介
广义逆矩阵
介绍广义逆矩阵的概念、性质及其在解决实际问题中的应用，如最小二乘法等。
张量简介
引入张量的概念、性质及其在数学、物理和工程领域的应用，为学生提供更广阔的视野。
THANKS
感谢观看
适用于求解中小规模线性方程组，具有计算简单、直观易懂等优点。
矩阵求逆方法及性质讨论
要点一
矩阵求逆方法
包括伴随矩阵法、初等行变换法等，用于求解方阵的逆矩 阵。
要点二
逆矩阵性质讨论
探讨逆矩阵的唯一性、性质及其在线性方程组求解中的应 用。
线性方程组解存在性判定
齐次线性方程组解存在性 判定
利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关 系，判断齐次线性方程组是否有非零解。
具体实例
卷积神经网络中的卷积运算、图像压缩中的离散余弦变换等。
机器学习算法中优化问题转化为矩阵形式求解
机器学习优化问题
许多机器学习算法可以转化为优 化问题进行求解，如线性回归、
支持向量机等。
矩阵形式表示
优化问题可以表示为矩阵形式，便 于使用矩阵运算进行高效求解。
求解方法
常用的求解方法包括梯度下降法、 牛顿法等，这些方法可以通过矩阵 运算实现并行计算，提高求解效率 。
《直积》课件-优质公开课-人教A版选修3-4精品
直积
直积的定义与性质
定义：设A=(a ij ) mn , B=(bij ) pq , 称分块矩阵 a11B a12 B a12 B a B a B a B 22 2n 21 a B a B a B m2 mn mpnq m1 为A与B的直积(张量积或Kronecker积).记为A B=(a ij B) mpnq .
A
k 2 A ，A C mn ;
其中x0 =(e1 ,, en ) ',y0 =(e1 , , en )', ',' S.
x( ) V, 设 x 1e1 n e n , 将x单位化得 2 2 i i i 1 i 1 x' x' x k1 k2 .而此时 = ，故 k1 x x' x' x则y i ei V，则有
i 1
(1 , , n )- (1 , , n ) = x y x y
( i i ei ) ( ei ) ( i i )
2 2 i 1 i 1 i 1 n n 1 2 n 1 2
B=( 1 , , s ); 3)设A=(1 , , t )nt，B=(1 , , s )ps则
A B=(1 1 , ,1 s , , t 1 , , t s )npts .
注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.
2 2 2 2
x 2 2 Re( x, y ) y x 2 2 x
2 2
x 2 2 ( x, y ) y x 2 y
2
2 2
y 2 y
直积的定义与性质
定义：设A=(a ij ) mn , B=(bij ) pq , 称分块矩阵 a11B a12 B a12 B a B a B a B 22 2n 21 a B a B a B m2 mn mpnq m1 为A与B的直积(张量积或Kronecker积).记为A B=(a ij B) mpnq .
A
k 2 A ，A C mn ;
其中x0 =(e1 ,, en ) ',y0 =(e1 , , en )', ',' S.
x( ) V, 设 x 1e1 n e n , 将x单位化得 2 2 i i i 1 i 1 x' x' x k1 k2 .而此时 = ，故 k1 x x' x' x则y i ei V，则有
i 1
(1 , , n )- (1 , , n ) = x y x y
( i i ei ) ( ei ) ( i i )
2 2 i 1 i 1 i 1 n n 1 2 n 1 2
B=( 1 , , s ); 3)设A=(1 , , t )nt，B=(1 , , s )ps则
A B=(1 1 , ,1 s , , t 1 , , t s )npts .
注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.
2 2 2 2
x 2 2 Re( x, y ) y x 2 2 x
2 2
x 2 2 ( x, y ) y x 2 y
2
2 2
y 2 y
6-3_矩阵Kronecker积
n a1i bi 1 B1 B2 i 1 n a= 2 i bi 1 B1 B2 i 1 n a b BB mi i 1 1 2 i 1
n i 1 n
B1 , B2 可乘，则
b1 s B2 b2 s B2 bns B2
a1n B1 b11 B2 b12 B2 a2 n B1 b21 B2 b22 B2 amn B1 bn1 B2 bn 2 B2
a b B B 1 i is 1 2 i 1 n a 2 i bis B1 B2 i 1 n ami bis B1 B2 i 1
mm nn A C , B C 定理3： 设 ，则
（ 1）
| A B || A | | B |
n
m
（ 2）
tr ( A B) tr ( A) tr ( B)
Department of Mathematics
证明：设 1 , 2 ,...,m 是 的特征值，
J 是 A 的约当标准型。则存在非奇异阵 P
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
Department of Mathematics, College of Sciences
第 六 章
矩阵分析
Department of Mathematics
§6.3 矩阵Kronecker积
矩阵的Kronecker积（直积）是一种重要的 矩阵乘积，它不仅在矩阵理论的研究中有着广 泛的应用，而且在诸如信号处理与系统理论中
Department of Mathematics
证明：我们仅证明（5），
n i 1 n
B1 , B2 可乘，则
b1 s B2 b2 s B2 bns B2
a1n B1 b11 B2 b12 B2 a2 n B1 b21 B2 b22 B2 amn B1 bn1 B2 bn 2 B2
a b B B 1 i is 1 2 i 1 n a 2 i bis B1 B2 i 1 n ami bis B1 B2 i 1
mm nn A C , B C 定理3： 设 ，则
（ 1）
| A B || A | | B |
n
m
（ 2）
tr ( A B) tr ( A) tr ( B)
Department of Mathematics
证明：设 1 , 2 ,...,m 是 的特征值，
J 是 A 的约当标准型。则存在非奇异阵 P
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
Department of Mathematics, College of Sciences
第 六 章
矩阵分析
Department of Mathematics
§6.3 矩阵Kronecker积
矩阵的Kronecker积（直积）是一种重要的 矩阵乘积，它不仅在矩阵理论的研究中有着广 泛的应用，而且在诸如信号处理与系统理论中
Department of Mathematics
证明：我们仅证明（5），
矩阵乘法的ppt课件
分步矩阵乘法
总结词
将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算。
详细描述
分步矩阵乘法是一种将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算的方法。这种方法可以 降低计算复杂度，提高计算效率。同时，通过逐步计算，可以更好地理解矩阵乘法的运
算过程。
04
矩阵乘法的应用
在线性代数中的应用
线性方程组的求解
矩阵乘法可以用于求解线性方程 组，通过将系数矩阵与增广矩阵 相乘，得到方程的解。
线性最小二乘法
矩阵乘法可以用于求解线性最小二乘问题，通过将系数矩阵与观测 矩阵相乘，得到最小二乘解。
插值和拟合
矩阵乘法可以用于插值和拟合数据，通过将系数矩阵与观测矩阵相 乘，得到插值或拟合函数。
在计算机图形学中的应用
3D模型变换
01
矩阵乘法在计算机图形学中广泛应用于3D模型变换，包括平移、
旋转和缩放等操作。
矩阵乘法的PPT课件
目 录
• 矩阵乘法的基本概念 • 矩阵乘法的性质 • 矩阵乘法的计算方法 • 矩阵乘法的应用 • 矩阵乘法的注意事项
01矩阵乘Βιβλιοθήκη 的基本概念定义矩阵乘法
矩阵乘法是一种数学运算，通过将一个矩阵与另一个 矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行和列都有一定 的数量。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有一个行索引和一个列索引，用 于标识其在矩阵中的位置。
矩阵乘法的规则
1 2
矩阵乘法的条件
两个矩阵A和B可以进行乘法运算，当且仅当A的 列数等于B的行数。
矩阵乘法的步骤
将A的列向量与B的行向量对应相乘，然后将得 到的结果相加，得到新的矩阵C的元素。
3
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
《直积》课件
a1
1,
an
,
a1
s
an
a1
1,
an
a1
,
s
an
( 1 ,, s) .
直积的基本性质： 1)k(AB)=(kA)B=A(kB),k为常数； 2)分配律(A+B)CACBC,C(A+B)CACB; 3)结合律(AB)CA(BC); 4)吸收律(AB)(CD)(AC)(BD),AC与BD有意义.
证明：只证3） 我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
x y xy
n
例 1： x=(1,2, ,n)TCn,定 义x1 i, xm axi,
i1
1in
A k) ( B 1 B 2
B) ; k
2 ) ( A 1 A 2A k)(B 1 B 2 B k) ( A 1 B 1) (A 2 B 2) (A kB k) ;
范数有以下性质：
命题： 1)x时，x 是范数为一的向量（单位化） ;
x 2) -x = x ; 3)x，yV,有x y xy .
a1
a n
a 1 B a1 (1,
B
a n B an (1,
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推论：
1)(A B)k =Ak Bk,k=1,2,L ；
2)(A
I n
)(I m
B)
(Im
B)(A
I n
)
A
B.(乘法可交换)
性质4可推广到一般情形：
1)(A 1
B )(A
1
2
B 2
)L
(A k
B k
) (A1A 2
L
Ak )(B1B2 L
B ); k
2)(A 1
A 2
L
A
k
)(B1
B 2
L
B
当x 时, x
0，由于
x
和
x
都是1,L
,
的连续函数，
n
故
f(1,L
,n )=
x x
仍是1,L
,
的连续函数，考虑有界闭集
n
n
S={ =(1,L ,n )T| i 2 =1}, S为R n (或Cn )中的单位球面.因为 i 1
f(1,L
,n )=
x ，x ，所以f 在Ｓ上无零点．
1
,L
,
a1 M
s
an
an
a1 M
1
,L
an
,
a1 M
s
an
( 1,L
, s ).
直积的基本性质： 1)k(A B)=(kA) B=A (kB),k为常数； 2)分配律(A+B) C A C B C,C (A+B) C A C B; 3)结合律(A B) C A (B C); 4)吸收律(A B)(C D) (AC)(BD),AC与BD有意义.
定理1：1)两个上三角矩阵的直积是上三角阵; 2)两个对角矩阵的直积是对角阵; 3)In Im Im In Imn.
直积具有以下运算规律：
命题1：1)
A C
B D
F=
A C
F F
B D
F F
;
2)设为列向量，且B=(1,L ,s ),则
B=( 1,L , s );
3)设A=(1,L
第五章 矩阵的直积
第一节 直积的定义与性质
定义：设A=(aij )mn , B=(bij ) pq , 称分块矩阵
a11B
a
21B
a12B L a22B L
M M
am1B am2B L
a12B
a
2
nB
M
a mnB mpnq
为A与B的直积(张量积或Kronecker积).记为A B=(aijB)mpnq .
i 1
i 1
i 1
n
1
k( i i 2 )2 ,
i 1
n
1
其中 k ( ei 2 )2 为常数.所以(1,L ,n )= x 是1,L ,n的连续函数.
i 1
现在证明定理的结论，设 x , x 是V中任意两种范数，要
证明存在正数k1及k2，使得x V,都有：k1
x
x k2
x.
当x=时，显然成立.
可断言V中任一范数 x 都是关于1,L ,n的连续函数，令
n
(1,L ,n ) x ,则y iei V，则有 i 1
n
(1,L ,n )-(1,L ,n ) = x y x y (i i )ei i 1
n
n
1n
1
( i i ei ) ( ei 2 )2 ( i i 2 )2
k
)
(A1B1
)
(A
B
2
2
)
L
(AkBk );
范数有以下性质：
命题：1)x 时，x 是范数为一的向量（单位化）;
x 2) -x = x ; 3)x，y V,有 x y x y .
证明：只证3） 我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
2
2
2
2
x 2 2 x y y 2 x y 2
2
22
2
2
2
所以 x+y x y .
2
2
2
n
1
例2：设1 p ,x=(1,2,L ,n )T Cn ,定义 x p ( i p ) p ,
i 1
则 x 是Cn中的范数.称为p-范数. p
p=1时，为1-范数；p=2时，为2-范数； 令p ,得-范数.这三种范数为常见范数.
A C
F F
BF
D
F
2)设 =(a1,L ,an )T ,则
a1
a1 B a1 (1,L ,s )
M
B
M
M
an
an B an (1,L ,s )
a1 1,a1 2 L ,a1 s
M
an 1,an 2,L ,an s
a1 M
,t )nt，B=(1,L
,
s
)则 ps
A B=(1 1,L
,1 s ,L
,t
1,L
,t
s
) npts
.
注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.
证明：1)由定义得
(aij )
(cij
)
(bij ) (dij )
F
(aij )
(cij
)
F F
(bij (dij
) )
F F
n
1
x ( 2
i 2 )2 =
xH x
(x, x),即 x 是由酉空间C n 2
i 1
中内积诱导的范数,故由Cauchy不定式得
x+y 2 (x y, x y) (x, x) (x, y) ( y, x) ( y, y) 2
x 2 2 Re(x, y) y 2 x 2 2 (x, y) y 2
例如：A=
a c
b d
,
B=
2 3
，则
A
B=
aB cB
2a
bB dB
=
3a 2c 3c
2b
2a
3b 2d 3d
,
B
A=
2A 3A
=
2c 3a 3c
2b
2d
.
3b
3d
A B, B A的阶数相同，但一般A B B A.直积不 满足交换律. 由直积的定义容易推出以下定理：
x y xy
n
例1：x=(1,2 ,L ,n )T Cn ,定义 x 1 i , x max i ,
i 1
1in
n
1
x ( 2
i
2 )2 ,则
x
，x
1
及
x
均是C n中的范数.
2
i 1
证明：不难验证 x ，x 均是范数，对于 x ，正定性和
1
2
齐次性显然满足.下证满足三角不定式：
设x=(1,2 ,L ,n )T , y=(1,2 ,L ,n )T C n.注意到
定义2：设V是有限维线性空间，x , x 是V中任意两种
范数，若存在正数k1及k2，使得x V,都有：
k1
x
x
k2
x
，
称 x 与 x 是等价的.
定理1：有限维线性空间中的任何两种范数等价.
证明：设V是n维线性空间，e1,L , en是V的一组基，则x V，
有唯一表达式： x=1e1 L nen (e1,L , en ) , 其中 =(1,L ,n )T为x的坐标向量.