西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题矩阵的相似变换
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北航矩阵论课件1.2
三、线性变换的矩阵和线性空间 的同构
设 dim V=n, T L(V,V),取定V上的一组基e1 , , en , 令 Te j a1 j e1 anj en ,1 j n, 采用矩阵记法: T(e1 , , en )=(Te1 , , Ten )=(e1 , , en )A, a11 a21 这里，A= an1 a12 a1n a22 a2 n (aij ) nn F nn . an 2 ann
注1: 特征值与特征向量是否存在依赖于V所在的数域F，
1 0 1 2 如矩阵 的特征多项式为 f ( ) 1. 1 1 0
注2 : 当 dim V=n很大时，上述求法太繁琐，可借助于计算机. 注3 : E (i ) { X F n | (i I-A) X 0} N (i I-A)(解空间).由 亏加秩定理有r (i I-A) dim N (i I-A) n, 所以E (i )的维数为 dim E (i ) n r (i I-A) 称为i的几何重数.
易验证N(T)为V的子空间，R(T)为W的子空间，称N(T) 及R(T)为T的核空间和像空间.并称dimN(T)为T的零度 (或亏)，dimR(T)为T的秩，一般有以下定理：
定理1(亏加秩定理)设T L(V,W), V为有限维， 则N(T)及R(T)均为有限维，且 dimN(T)+dimR(T)= dim V 即T的亏加秩等于其定义域的维数.
0 x
D : C [a,b] C[a,b],
(1)
D( f ( x)) f '( x), f ( x) C [a,b].
(1)
二、核、像空间，亏加秩定理
西北工业大学《线性代数》课件-第1章
记
b1 a12 a13
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
行列式
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
n(n 1)
此排列为偶排列。
三、对换的定义
定义1.4 在一个排列中，将某两个元素对调，其 余元素不动，即可得一新排列，这一过 程称为对换．
线
性
代
数
第一章
行列式
行列式
行列式是线性代数中的重要工具， 在以后学习求解线性方程组、求逆矩 阵、判断向量组的线性相关性、求矩 阵的特征值、判断二次型的正定性等 方面都要用到。
行列式
❖ 主要内容：
§1 二、三阶行列式 §2 排列及其逆序数
§3 n 阶行列式的定义
§4 行列式的性质 §5 行列式按行（列）展开 §6 克莱姆法则
nn 1,
2 当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
(3) 1 3(2n 1)(2n)(2n 2)4 2 解 1 3 (2n 1)(2n)(2n 2)(2n 4（)从4“2头”开始
00
0
0
2
4 2n 2
0 0 2 4 2n 1
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
行列式
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
矩阵论第一章第二节PPT课件
分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且
西北工业大学《线性代数》课件-第5章
定理5.2 设 是A 的特征值, x 是对应的特征
向量,f (x)是多项式，则
(1) f ()是f (A)的特征值,对应的特征向量仍是x; (2) 若f ( A) O,则对A的任意一个特征值,有f () 0，
即 是f (x)的零点.
证明
(1)由Ax x Ak x Ak1(Ax) Ak1x k x
pm1, pm2, , pmrm是对应m的线性无关特征向量，
则向量组 p11, p12 , , p1r1 p21, p22 , , p2r2
pm1, pm2 , , pmrm 线性无关.
例5 (2005 数一 4分)
设1, 2 是矩阵A的两个不同的特征值，对应的 特征向量分别为 1,2 ，则 1, A(1 2) 线性无关
特征值,对应的特征向量分别为p1, p2, , pm ,则 p1, p2, , pm线性无关. 证明 对 m 用数学归纳法证明.
1。当 m 1 时，p1 0 p1 线性无关；
。
2
假设在m-1时，结论成立，则当
m
时，设
k1 p1 k2 p2 km pm 0 (1)
用A乘(1)式两边，由Ap1 1 p1，Ap2 2 p2， , Apm m pm，
(A i E)x 0 的非零解向量------基础解系， 即为 i对应的特征向量。
2 1 1
例1 求Α 0 2 0 的特征值和特征向量.
4
1
3
解 ⑴ A的特征多项式
2 1 1 det(Α Ε) 0 2 0 ( 1)( 2)2
4 1 3
⑵ 因此A的特征方程 det(ΑΕ) ( 1)( 2)2 0
的充要条件是 B
(A) 10 (B) 20 (C) 1=0
向量,f (x)是多项式，则
(1) f ()是f (A)的特征值,对应的特征向量仍是x; (2) 若f ( A) O,则对A的任意一个特征值,有f () 0，
即 是f (x)的零点.
证明
(1)由Ax x Ak x Ak1(Ax) Ak1x k x
pm1, pm2, , pmrm是对应m的线性无关特征向量，
则向量组 p11, p12 , , p1r1 p21, p22 , , p2r2
pm1, pm2 , , pmrm 线性无关.
例5 (2005 数一 4分)
设1, 2 是矩阵A的两个不同的特征值，对应的 特征向量分别为 1,2 ，则 1, A(1 2) 线性无关
特征值,对应的特征向量分别为p1, p2, , pm ,则 p1, p2, , pm线性无关. 证明 对 m 用数学归纳法证明.
1。当 m 1 时，p1 0 p1 线性无关；
。
2
假设在m-1时，结论成立，则当
m
时，设
k1 p1 k2 p2 km pm 0 (1)
用A乘(1)式两边，由Ap1 1 p1，Ap2 2 p2， , Apm m pm，
(A i E)x 0 的非零解向量------基础解系， 即为 i对应的特征向量。
2 1 1
例1 求Α 0 2 0 的特征值和特征向量.
4
1
3
解 ⑴ A的特征多项式
2 1 1 det(Α Ε) 0 2 0 ( 1)( 2)2
4 1 3
⑵ 因此A的特征方程 det(ΑΕ) ( 1)( 2)2 0
的充要条件是 B
(A) 10 (B) 20 (C) 1=0
第一章(第一二节)矩阵的概念及基本运算PPT课件
（上、下、中），（下、上、中），（下、中、上）。
性 共六种。那么齐王的赢得矩阵应为：（6×6 维的矩阵）
田忌策略
代
3
1
1
1 √-1
1
齐
根据上面的矩阵，事 实上田忌和齐王获胜的
-√1 3 1 1 1 1 王 可能性是完全相同，那
数
1 1
1 1
3 √-1
13
1 1
1
√-1
策 略
么齐王为什么每次都会 输100金呢？关键就是齐 王先公布排阵方式，而
再根据大儿子比二儿子大几岁可知甲的三个儿子年龄分别代代数数设a省的两个城市a间的交通网络图如下图中每条线上的数字表示两个城市间的不同通路总数请用矩阵表示它们之间的通路信息
《线性代数与概率统计》 之
线性代数
Tel：13925128576
e-mail：yzjdoctor@， yangzhj@
线 到一个列数为3的矩阵（不妨假设按儿子大小的顺序排列）：
性
大 36
18
代 12
9
9
数6
6
4
二 小和
虽然我们并不知道高楼的窗户
1
1 38 数，但乙是知道的，因此如果窗户
2 3
1 1
21
数为38、21、16、14、11、10，那 么甲无须说第三句话，乙就可以说
16 出甲三个儿子的年龄。但事实是乙
4
1
14 无法说出，说明他们甲的三个儿子
线 们满足
(1)m = p 且n = q；
性 (2)aij=bij，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。
代
则称A与B相等，记为A=B。
数
即： A 与B 两个矩阵的维和相对应的
矩阵论简明教程(整理全)PPT课件
Example 1
设A, B Cnn ,证明 A B
证：
B AB AB
A
AB A
B AB B
B A B A AB 0 AB
AB AB
Example 2
设A, B, C, D Cnn ,且A可逆，AC CA,
证明 A
B AD CB
CD
证：
A C
BA
0 AD
0D 0D CD
2 A B 1mn C D 1mn B A
CD
AB
DC
3 A B m A B
CD
CD
3 EA
C
EB E
D
0
0 A
I
n
C
B
D
E 0
0A In C
B D
AB E
CD
A C
BF DF
A
a11
,
a22
,L
, ann
ann
3、三角矩阵
a11 a12 ... a1n
上三角矩阵
0
a22
...
a2n
M M O M
0
0
...
ann
a11 下三角矩阵 a21
M an1
0 ... a22 ... MO an2 ...
0
0
;
A 的行向量组的极大线性无关组中向量的个数
2 rank A r
A 的列向量组的极大线性无关组中向量的个数
3 rank A r
A 的最高阶非零子式的阶数
西北工业大学矩阵论PPT课件
+
x 2
=θ
+
x 2
=
x 2
+θ
=
x 2
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
4
例 6 在线性空间V 中，下列结论成立．
0x = θ ：1x + 0x = (1 + 0)x = 1x ⇒ 0x = θ
kθ = θ ： kx + kθ = k( x + θ ) = kx ⇒ kθ = θ
(−1)x = (− x) ： (−1)x = (−1)x + [ x + (− x)] = [(−1)x + 1x] + (− x) = (− x)
+
aE 12 12
+
aE 21 21
+
aE 22 22
坐标为
α
=
(
a 11
,
a 12
,
a21 ,
a22 )Τ
(2)
取基
B 1
=
1 1
1 1 ,
B 2
=
0 1
1 1 ,
B 3
=
0 1
0 1
,
B 4
=
0 0
0 1
A
=
a 11
(
B 1
−
B 2
)
+
a 12
(
B 2
−
B 3
)ห้องสมุดไป่ตู้
+
a
21
(
B 3
−
B 4
)
+
aB 22 4
+L+ cm xm
矩阵论——讲稿
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
例 3 K = R 时， R n —向量空间；
R m×n —矩阵空间
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
3
Pn[t]—多项式空间； C[a,b] —函数空间 K = C 时， Cn —复向量空间； Cm×n —复矩阵空间 例 4 集合 R + = {m m是正实数 } ，数域 R = {k k是实数 } ．
0
a 12
a
22
ai
j1
I
S 2
=
{A
=
a11
0
0
a
22
a 11
, a22
∈
R}
S 1
U
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a
22
aa 12 21
=
0,
ai
j
∈
R}
S 1
+
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a 22
ai j ∈ R}
2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．
2．减法运算：线性空间V 中， x − y = x + (− y) ．
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2100 3100 2100 3100
2100
例 求解一阶线性常系数微分方程组
ddt x1 2x1 x2 x3
ddt x2 x1 2x2 x3
d dt
x3
x1
x2
2 x3
解令
x
x1 x2 x3
，
dx dt
d dt
d dt
d dt
x1 x2 x3
， A
2 1 1
一次因式方幂的乘积， 并分别写出这些方幂
(相同的按出现的次数计数)，称之为A的初等因子，
本题中A的初等因子为
2 和 ( 2)2 第三步：对每个初等因子( i )ri 作出 ri 阶
Jordan块
i
1
i
1
i
ri
ri
所有初等因子对应的Jordan块构成的Jordan矩阵 J
即是A的Jordan标准形。本题中A的Jordan标准形为
1 1
10
1 0 0，
1 0
3 0 ( 3)( 2)， 1 2
3
1
1 2，
1
1 1
0 ( 2)， 2
1 1 ( 2)， 1 0 2，
11
1 2
1 0 ( 1)( 2)
1 2
所以
D2() 2
又 det(I A) ( 2)3，故
D3() ( 2)3
；
1 1 2
解 第一步：对 I A 用初等变换化为Smith
标准形：
3
I A 1
1
3
1
1
1
0
c2 ( 1) c1
1 0
1 2 2 4 4
0
r1( 3) r2
r3 r2
0
0
2
2
0 ( 2)2
0
c2 c3 r1(1)
1
0
0
0
2
2
0 ( 2)2 0
故A的Jordan标准形为
2 J
2
1
(或
J
2
1 2
)
2
2
2 1 1 1
2)
A
2 1
2 2
1 1 1 2
0 0 0 3
解 可求得 det(I A) ( 1)3( 3)
所以A的特征值为 1 2 3 1, 4 3
又对应 1只有一个线性无关的特征向量
(0, 1, 1, 0)T
2
例 已知一个12阶矩阵的不变因子是
1,1,, 1，( 1)2，( 1)2( 2)，
9
( 1)2( 2)(2 3)2
求A的Jordan标准形。 解 A的初等因子为
( 1)2，( 1)2，( 2)，( 1)2，( 2) ( 3i)2，( 3i)2
故A的Jordan标准形为：
1 1
1 0
0
2 2
0
2
r2 2 r3
r2 (1)
0
0
1 0
0
( 2)
0 0
r2 r3
c3c3
0
0
1 0
0
0 0
0 0 ( 2)
A的不变因子为 d1() 1, d2() , d3() ( 2)
A的初等因子为 , , 2
A的Jordan标准形为
0 J 0
1 0
0
0
0
2
1 0
0
( 2)2
0 0
0
0
2
r1 r2
r2 r3
c2 c3
1 0
0 2
0 0
0
0
( 2)2
从而A的不变因子为
d1() 1, d2() 2, d3() ( 2)2
第二步： 再把A的每个次数大于零的不变因子
(此处是 d2() 和 d3()) 分解成关于 的不同的
1
2 0 0 0 2 0 1 1 1
( 2)2 1 3 1 1
( 2)( 2)3
A的特征值为
1 2, 2 3 4 2
对于 1 2，求解 (2I A)x 0，由于
3
2I
A
1 1
1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 2 1
1 1 2
则微分方程组可写成矩阵形式
d x Ax dt
可求得
P
1 0
1 1
11，使得
1 1 0
P 1AP
1
2
3
令 x Py，其中 y ( y1, y2, y3)T。
注意到 d(Py) P d y，代人前一式得
dt
dt
P d y APy， 即 d y y，
dt
dt
注 可求得 det(I A) ( 1)5且 rank(I A) 2，
此时A对应5重特征值1有3个线性无关的特征向量，
直接按特征向量法无法确定A的Jordan标准形。
解设
1 A1 0
0
0 1 0
2 0 1
，A2
1 2
0，则 A A1
1
O
O 。 A2
可求得 det(I A1) ( 1)3且 rank( I A1) 1， det(I A2) ( 1)2且 rank(I A2) 1，
(c1,c2,c3 任意)
§3 Jordan 标准形介绍
例 求下列矩阵的Jordan标准形：
1)
3 A 1
1
解 可求得
1 1
0 0
；
1 2
det(I A) ( 2)3
所以A的特征值为 1 2 3 2 又对应 2 有2个线性无关的特征向量
(1, 1, 0)T, (0, 0, 1)T
1 1 1 0
同解方程组为 x1 x4, x2 x4, x3 x4
基础解系为
(1, 1, 1, 1)T
对应 1 2 的全部特征向量为
k1(1, 1, 1, 1)T (k1 0)
对于 2 3 4 2，求解 (2I A)x 0, 由于
1 1 1 1 1 1 1 1
2I
A
1 1
§2 相似对角化
例 下列矩阵是否可对角化？若可以，试求出
相似变换矩阵和相应的对角矩阵：
1)
2 A 1
1 2
11；
1 1 2
解 可求得 det(I A) ( 1)( 2)( 3)
A的特征值为 1 1, 2 2, 3 3
因为A的特征值互异，所以A可对角化。
又对应的特征向量分别为
p1
( 1)( 2)( 3)
A的特征值为
1 1, 2 2, 3 3
对于1 1，求解 (I A)x 0，由于
1 1 I A 1 1
1 0 1 1
0 1
0 1 1 0
0 1
1 0
1 1 1 0 2 0 0 0 0
同解方程组为
x1 x2
Hale Waihona Puke x3，基础解系为 0(1, 0, 1)T
1 1 1 1
3)
A
1 1
1 1
1 1
11。
1 1 1 1
1 1 1 1
解 det(I A) 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
r2 r4 0 2 0 2
r3 r4 0
1
0 2 2 1 1 1
1 1 1 3
c4 c2 0 c4 c3 0
第一章 矩阵的相似变换
§1 基本概念
例 求下列矩阵的特征值与特征向量：
1)
2 A 1
1 2
11；
1 1 2
2 1 1 解 det(I A) 1 2 1 r1 ( 2) r3
1 1 2 r2 r3
0 3 ( 2)2 1
0 3 1
1 1
2
( 3) 1 2 4 3 1 1
所以A1和A2的Jordan标准形分别为
1
J1
1 1，
1
J2 1
1 1
故A的Jordan标准形为
J J1
1
11
J2
1
1 1
1
例 已知多项式
f () 8 96 4 33 42 1 g() 3 52 7 3 求用 g()除 f () 所得的商式和余式。
故A不可对角化。
1 1 1 1
3)
A
1 1
1 1
1 1
11。
1 1 1 1
解 可求得 det(I A) ( 2)( 2)3
所以A的特征值为 1 2 3 2， 4 2
对应三重特征值2有三个线性无关的特征向量
(1, 1, 0, 0)T，(1, 0, 1, 0)T， (1, 0, 0, 1)T
2
J 2 1
2
2)
1 A 3
1 3
2 6
。
2 2 4
1 1
解 I A 3 3
2 6
c1( 1) c2
c3 2c2
2 2 4
0
( 2)
1
3
0
2
r2 ( 3) r1
r3 2 r
c1c2
2
2
1
0
0
0
( 2)
2
c2 2c3
0 2
写成分量形式为
d dt
y1
y1，
d dt
y2
2 y2，
d dt
y3
3 y3
解之得 y1 c1 et , y2 c2 e2t , y3 c3 e3t