矩阵分析(课堂PPT)
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矩阵分析课件
1 13
3 3 3
1
2
0
1
3 3
3
1 3
2 3
1
1 3
向量 A第一组基下的坐标为
x1
7 3
,
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
y1 y2 y3 y4
123
3
1
3
1 3
1 3 2 3
0 0 0
1 1
13 3 1 3
x1 1
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
i a1i1 a2i2 anin
a1i
1,2,
,
n
a2i
,
i 1, 2,
,n
ani
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12
a1n
1, 2,
,
n
1
,2
,n
a21
a22
a2
n
an1 a2
ann
称 n 阶方阵
记为Ｐ
矩阵分析课件(2-1)
定义2.1.6. 称（2.1.3）式中右边的
对角形 - 矩阵为A （）的smith标准形， 称d1 ( )，d 2 ( ), ..., d r ( )为A （）的不变 因子。
上述定理说明，任何 - 矩阵（ A ）都 与它的smith标准形等价。
引入符号：
ri：表示矩阵的第i行；Ci：表示矩阵的第i列；
如果A1 ( )中至少有一个元素不为0，不妨设 左上角元素不为0，对A1 ( )重复A( )的讨论过 程， ； 最后将对角形中主对角线上元素变为 首系为1，因此，有 d1 ( )
. d r ( ) A( ) ， 0 . 0 其中d（ 的且d （ | di （ j ）是首1 i ） 1 ） ( j 1, 2, , r； i 1, 2, , r - 1).
r （或 Ci） rj (或C j )：表示互换矩阵的第i , j i 两行（或两列）；
Cri (或CCi )：表示矩阵的第i行（或列）乘常数C；
（） ri rj：表示将矩阵的第i行乘上 （）后
加到第j行上；
（）C i C j：表示将矩阵的第i列乘上 （）后
加到第j列上。
验证可知： 1 P ( i , j ) P ( i , j )，P ( i (c )) P ( i ( ))， c -1 P ( i , j( （） )) P ( i , j(- （） )).
-1 -1
与线性代数中的证明类似，可以证明：
定理2.1.2： 对一个m n的 - 矩阵A （）
定理2.1.4 任意一个非零的n阶 - 矩阵A( ) 都等价于一个对角矩阵，即 d1 ( ) ... d r ( ) A( ) （2.1.3） 0 ... 0 其中r 1, d i ( )是首系为1的多项式且 d i ( ) | d i 1 ( )，（i 1, 2...r - 1）。
矩阵分析第5章课件
例：取n维线性空间的分量全为1的向量 e=(1,…,1)T为例. 易见 ‖e‖=1; ‖e‖2=n; ‖e‖1=n. 它们之间的大小关系是: ‖e‖<‖e‖2<‖e‖1. 命题:对n维线性空间的任意向量x成立 ‖x‖ ‖x‖2 ‖x‖1 n‖x‖ n‖x‖2 n‖x‖1 n2‖x‖ … 证:‖x‖= max{|x1|,…,|xn|} (i=1n|xi|2)1/2 = ‖x‖2 ((|x1|+…+|xn|)2)1/2 = ‖x‖1 n max{|x1|,…,|xn|} = n‖x‖
第五章 向量与矩阵范数 前言
• 向量与矩阵范数是向量与矩阵的一个重要数 字特征---用它可以建立向量集或矩阵集的 拓扑结构,从而便于研究向量或矩阵序列,向 量或矩阵级数的收敛性质.因此,这一章的理 论在数值分析及其它领域中十分有用. • 本章是本课程重点内容之一.所有5节都要认 真学好.最后一节(矩阵幂级数)是研究矩阵 函数的重要工具.
Holder不等式与Minkowski不等式
• 下面两个不等式对本章的理论推导十分有用 • Holder不等式:对任意给定p>1和q=p/(p-1) (>1,即(1/p)+(1/q)=1)及任意ak,bk0成立 k=1nakbk (k=1nakp)1/p(k=1nbkp)1/p. (C-S不等式为其(p=2时)特例) • Minkowski不等式:对任意给定p1成立 (k=1n|ak+bk|p)1/p (k=1n|ak|p)1/p+(k=1n|bk|p)1/p
ACmn 定义 ‖A‖= maxi,k|aik| 则‖A‖显然是向量范数(向量的无穷大范数),但它 不是矩阵范数,反例如下:
1 1 1 1 1 2 A 1 1 , B 0 1 , AB 1 2
第五章 向量与矩阵范数 前言
• 向量与矩阵范数是向量与矩阵的一个重要数 字特征---用它可以建立向量集或矩阵集的 拓扑结构,从而便于研究向量或矩阵序列,向 量或矩阵级数的收敛性质.因此,这一章的理 论在数值分析及其它领域中十分有用. • 本章是本课程重点内容之一.所有5节都要认 真学好.最后一节(矩阵幂级数)是研究矩阵 函数的重要工具.
Holder不等式与Minkowski不等式
• 下面两个不等式对本章的理论推导十分有用 • Holder不等式:对任意给定p>1和q=p/(p-1) (>1,即(1/p)+(1/q)=1)及任意ak,bk0成立 k=1nakbk (k=1nakp)1/p(k=1nbkp)1/p. (C-S不等式为其(p=2时)特例) • Minkowski不等式:对任意给定p1成立 (k=1n|ak+bk|p)1/p (k=1n|ak|p)1/p+(k=1n|bk|p)1/p
ACmn 定义 ‖A‖= maxi,k|aik| 则‖A‖显然是向量范数(向量的无穷大范数),但它 不是矩阵范数,反例如下:
1 1 1 1 1 2 A 1 1 , B 0 1 , AB 1 2
矩阵分析课件
一、线性空间的概念 几何空间和 n 维向量空间的回顾 推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算的性质刻画
常见的线性空间
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 i 1 R mn ；C mn 。 ix a i aiR} Pn [x]={p(x)= ：
0
1
]
5 向量的长度 定义： || || = ( , ) 性质： || k || =k || || ；
Cauchy 不等式：
， [Vn(F)；(，)], | (，) | || || || || 。 || ＋|| || || ＋|| ||
如果
W1=L{1，2，…， m }，
W2=L{1，2，…， k}，
则 W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…， k }
3 、维数公式
子空间的包含关系： W1 W1 W2 W1 W2 Vn ( F ) W2
dimW1W2 dim Wi dimW1＋W2 dimVn（F）。
子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ： 定理1· 8 设 W=W1＋W2，则下列各条等价： （ 1） W=W1W2 （ 2） X W，X=X 1＋X2的表 是惟一的 （ 3） W中零向量的表示是惟一的 （ 4） dim W =dimW1＋dimW2
例1 P12 eg18 例2 设在Rn×n中，子空间 W 1={A AT =A } ， W2={B BT= –B }， 证明Rn×n=W1W2。 例3 子空间W的“直和补子空间”
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算的性质刻画
常见的线性空间
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 i 1 R mn ；C mn 。 ix a i aiR} Pn [x]={p(x)= ：
0
1
]
5 向量的长度 定义： || || = ( , ) 性质： || k || =k || || ；
Cauchy 不等式：
， [Vn(F)；(，)], | (，) | || || || || 。 || ＋|| || || ＋|| ||
如果
W1=L{1，2，…， m }，
W2=L{1，2，…， k}，
则 W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…， k }
3 、维数公式
子空间的包含关系： W1 W1 W2 W1 W2 Vn ( F ) W2
dimW1W2 dim Wi dimW1＋W2 dimVn（F）。
子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ： 定理1· 8 设 W=W1＋W2，则下列各条等价： （ 1） W=W1W2 （ 2） X W，X=X 1＋X2的表 是惟一的 （ 3） W中零向量的表示是惟一的 （ 4） dim W =dimW1＋dimW2
例1 P12 eg18 例2 设在Rn×n中，子空间 W 1={A AT =A } ， W2={B BT= –B }， 证明Rn×n=W1W2。 例3 子空间W的“直和补子空间”
矩阵分析课件(1-1,4)
其中k , l 表示数域F中的任意数, , 表示V中任意元素. 称这样的V 为数域F 上的线性空间.
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.6-1
T
−1
15
∴ BA=E, 即T是满秩的线性变换.
⇐ T (α , α , S (α 1 , α 2 ,
1 2
, α n ) = (α 1 , α 2 ,
,α n ) A
, α n ) = (α 1 , α 2 ,
,α n ) A
−1
∴ TS = ST = I. 例： 设T 是n维线性空间V 的线性变换， T 在V的一个基
§3.6 线性变换的矩阵
取V 的基 α1 , α 2 , 表示，有
, α n , V中任意向量β可由基线性
β = (α 1 , α 2 ,
⎡ k1 ⎤ ⎢k ⎥ ⎛ n ⎞ n T 的坐标 ⎢ 2 ⎥ 唯一确定， ( β ) = T ⎜ ∑ kiα i ⎟ = ∑ kiT (α i ), ⎢ ⎥ ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎢ ⎥ ⎢ kn ⎥ ⎣ ⎦ T由它在基上的作用 T(αi) 唯一确定，自然地得到
1
⎡ k1 ⎤ ⎢k ⎥ ⎢ 2⎥, ,α n ) 即β由它在基 α 1 , α 2 , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ kn ⎥ ⎣ ⎦
,α n 下
线性变换与矩阵的联系.
定义：设 α 1 , α 2 ,
, α n是数域F上n 维线性空间V的一个基，
, T (α n ) 可由基 α 1 , α 2 ,
T (α 1 ) , T (α 2 ) ,
由线性变换的定义易知，T 是V 的线性变换. ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T (α i ) = (α1 , α 2 , , α n ) A ⎢1 ⎥ i i = 1, 2, ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ T (α i ) = (α1 , α 2 , , α n ) Aei ⎣ ⎦ T ( α 1 , α 2 , , α n ) = ( T ( α 1 ) , T ( α 2 ) , , T (α n ) )
−1
15
∴ BA=E, 即T是满秩的线性变换.
⇐ T (α , α , S (α 1 , α 2 ,
1 2
, α n ) = (α 1 , α 2 ,
,α n ) A
, α n ) = (α 1 , α 2 ,
,α n ) A
−1
∴ TS = ST = I. 例： 设T 是n维线性空间V 的线性变换， T 在V的一个基
§3.6 线性变换的矩阵
取V 的基 α1 , α 2 , 表示，有
, α n , V中任意向量β可由基线性
β = (α 1 , α 2 ,
⎡ k1 ⎤ ⎢k ⎥ ⎛ n ⎞ n T 的坐标 ⎢ 2 ⎥ 唯一确定， ( β ) = T ⎜ ∑ kiα i ⎟ = ∑ kiT (α i ), ⎢ ⎥ ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎢ ⎥ ⎢ kn ⎥ ⎣ ⎦ T由它在基上的作用 T(αi) 唯一确定，自然地得到
1
⎡ k1 ⎤ ⎢k ⎥ ⎢ 2⎥, ,α n ) 即β由它在基 α 1 , α 2 , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ kn ⎥ ⎣ ⎦
,α n 下
线性变换与矩阵的联系.
定义：设 α 1 , α 2 ,
, α n是数域F上n 维线性空间V的一个基，
, T (α n ) 可由基 α 1 , α 2 ,
T (α 1 ) , T (α 2 ) ,
由线性变换的定义易知，T 是V 的线性变换. ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T (α i ) = (α1 , α 2 , , α n ) A ⎢1 ⎥ i i = 1, 2, ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ T (α i ) = (α1 , α 2 , , α n ) Aei ⎣ ⎦ T ( α 1 , α 2 , , α n ) = ( T ( α 1 ) , T ( α 2 ) , , T (α n ) )
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
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第六章 矩阵函数 §1矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式
定义： 已知 ACnn和关于变量 x 的多项
式
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0
那么我们称
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
为 A 的矩阵多项式。
设
A1
A
A2
O
Ar
A1k
0O
O
i
1
i
E
H
0
Jik (i ) (i E H )k
ik E c1kik1H ck2ik2H 2 L
c H di 1 k (di 1) di 1 ki
H 2是把Ｈ中的１向上平移一行，类推之。
n
ak ik
k 0
n
k 0
ak
J
k i
(i
)
n
akc1kik1 L
k 0 n
akik O
0 2 0 0
0 f (1)
0
0
0
1
3 2
f '(1) 0
0
1 2
f (1) 1 0 2
f (1) 4 f ' (1)
3 f ' (1)
2 f ' (1)
0 f (1)
0
8 f '(1)
6 f ' (1)
f (1) 4 f '(1)
35 0 72 27 1 54
18 0 37
an (PJP1)n an1(PJP1)n1
L a1(PJP1) a0I
(PJP1)n PJ n P1
P(an J n an1J n1 L a1J a0I )P1
Pf (J )P1
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
我们称上面的表达式为矩阵多项式 f ( A) 的
定义：已知 ACnn 和关于变量 x 的多
项式
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0
如果 f (x) 满足 f ( A) Onn ，那么称 f (x)
为矩阵 A 的一个零化多项式。
定理：已知 ACnn， f ()为其特征多项式
，则有 f ( A) Onn
我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。
证明：A PJP1
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(
i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
i 是特征根，其重数（代数重复度） di
故
f (i ) f (i ) L f (di 1) (i ) 0
f (Ji ) 0 f ( A) 0
定义：已知 ACnn，在 A 的零化多项式中，
次数最低且首项系数为1的零化多项式称为
的最A小多项式，通常记为
m。( )
最小多项式的性质：已知 ACnn ，那么 （1）矩阵 A 的最小多项式是唯一的。 （2）矩阵的任何一个零化多项式均能被 m()
0 di di
d1 d2 L dr
J1
J
J2 O
O
J
r
有
m() ( 0 )dr
结论：A的最小多项式是A的最后的一个不变因子。
例 2 ：已知对角块矩阵
A = diag( A1, A2,L , Ar ) ， m1(), m2(),L , mr () 分别为子块
A1, A2,L , Ar 的最小多项式，则 A 的最小
2 0 5
求 f ( A)。
解：首先求出矩阵的 A 的Jordan标准形 J 及其相似变换矩阵 P
1 0 0
J
0
1
1
0 0 1
0 4 1 P 1 3 0
0 2 0
那么有
0 1
3 2
P1 0
0
1 2
1 0
2
f ( A) Pf (J )P1
0 4 1 f (1)
1
3
0
0
k 0
O
n di 1 k di 1 a c k k i
k 0
M
n
ak c1k ik1
k 0
n
akik
k 0
di di
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
总结:设 A PJP1 f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
例 已知多项式
f (x) x4 2x3 x 1
与矩阵
3 0 8
A
3
1
6
Jordan表示。其中
i
Ji
(i
)
1
i O
O
(i 1, 2,L , r) 1
i di di
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki
L
ik O
O
c di 1 kdi 1 ki
M
c1 k1 ki ik
di di
注
i
Ji
(i
)
1
i O
O
i
1
i di di
i
O
0 1
一定具有如下形状
m() ( i )k
其中1 k di 。但是当k di 时
m(Ji ) (Ji i I )k
0 0 L 1 L
0 0O O
0OO
O0
0
0
L
1
L
Odi di
0
0
因此有
m() ( i )di
同理若
对应初等因子
0 1
Ji
0 O
O 1
( 0 )di
i 1, 2,L , r
整除。 （3）相似矩阵有相同的最小多项式。
如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们 考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。
例 1 ：已知一个Jordan块
i
Ji
1
i O
O
1
i di di
求其最小多项式。
解：注意到其特征多项式为 f () ( i )di ，则由上面的定理可知其最小多项式 m()
AkΒιβλιοθήκη A2k OArk
f
( A1
)
f
(
A)
f ( A2 ) O
f ( Ar )
设 A为一个 n 阶矩阵， J 为其Jordan标准
形，则
A PJP1 Pdiag(J1, J2,L , J r )P1
Pdiag(J1(1), J2(2 ),L , J r (r ))P1
于是有
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
多项式为
[m1(), m2(),L , mr ()] 即为 m1(), m2(),L , mr () 的最小公倍式
定义： 已知 ACnn和关于变量 x 的多项
式
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0
那么我们称
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
为 A 的矩阵多项式。
设
A1
A
A2
O
Ar
A1k
0O
O
i
1
i
E
H
0
Jik (i ) (i E H )k
ik E c1kik1H ck2ik2H 2 L
c H di 1 k (di 1) di 1 ki
H 2是把Ｈ中的１向上平移一行，类推之。
n
ak ik
k 0
n
k 0
ak
J
k i
(i
)
n
akc1kik1 L
k 0 n
akik O
0 2 0 0
0 f (1)
0
0
0
1
3 2
f '(1) 0
0
1 2
f (1) 1 0 2
f (1) 4 f ' (1)
3 f ' (1)
2 f ' (1)
0 f (1)
0
8 f '(1)
6 f ' (1)
f (1) 4 f '(1)
35 0 72 27 1 54
18 0 37
an (PJP1)n an1(PJP1)n1
L a1(PJP1) a0I
(PJP1)n PJ n P1
P(an J n an1J n1 L a1J a0I )P1
Pf (J )P1
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
我们称上面的表达式为矩阵多项式 f ( A) 的
定义：已知 ACnn 和关于变量 x 的多
项式
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0
如果 f (x) 满足 f ( A) Onn ，那么称 f (x)
为矩阵 A 的一个零化多项式。
定理：已知 ACnn， f ()为其特征多项式
，则有 f ( A) Onn
我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。
证明：A PJP1
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(
i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
i 是特征根，其重数（代数重复度） di
故
f (i ) f (i ) L f (di 1) (i ) 0
f (Ji ) 0 f ( A) 0
定义：已知 ACnn，在 A 的零化多项式中，
次数最低且首项系数为1的零化多项式称为
的最A小多项式，通常记为
m。( )
最小多项式的性质：已知 ACnn ，那么 （1）矩阵 A 的最小多项式是唯一的。 （2）矩阵的任何一个零化多项式均能被 m()
0 di di
d1 d2 L dr
J1
J
J2 O
O
J
r
有
m() ( 0 )dr
结论：A的最小多项式是A的最后的一个不变因子。
例 2 ：已知对角块矩阵
A = diag( A1, A2,L , Ar ) ， m1(), m2(),L , mr () 分别为子块
A1, A2,L , Ar 的最小多项式，则 A 的最小
2 0 5
求 f ( A)。
解：首先求出矩阵的 A 的Jordan标准形 J 及其相似变换矩阵 P
1 0 0
J
0
1
1
0 0 1
0 4 1 P 1 3 0
0 2 0
那么有
0 1
3 2
P1 0
0
1 2
1 0
2
f ( A) Pf (J )P1
0 4 1 f (1)
1
3
0
0
k 0
O
n di 1 k di 1 a c k k i
k 0
M
n
ak c1k ik1
k 0
n
akik
k 0
di di
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
总结:设 A PJP1 f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
例 已知多项式
f (x) x4 2x3 x 1
与矩阵
3 0 8
A
3
1
6
Jordan表示。其中
i
Ji
(i
)
1
i O
O
(i 1, 2,L , r) 1
i di di
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki
L
ik O
O
c di 1 kdi 1 ki
M
c1 k1 ki ik
di di
注
i
Ji
(i
)
1
i O
O
i
1
i di di
i
O
0 1
一定具有如下形状
m() ( i )k
其中1 k di 。但是当k di 时
m(Ji ) (Ji i I )k
0 0 L 1 L
0 0O O
0OO
O0
0
0
L
1
L
Odi di
0
0
因此有
m() ( i )di
同理若
对应初等因子
0 1
Ji
0 O
O 1
( 0 )di
i 1, 2,L , r
整除。 （3）相似矩阵有相同的最小多项式。
如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们 考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。
例 1 ：已知一个Jordan块
i
Ji
1
i O
O
1
i di di
求其最小多项式。
解：注意到其特征多项式为 f () ( i )di ，则由上面的定理可知其最小多项式 m()
AkΒιβλιοθήκη A2k OArk
f
( A1
)
f
(
A)
f ( A2 ) O
f ( Ar )
设 A为一个 n 阶矩阵， J 为其Jordan标准
形，则
A PJP1 Pdiag(J1, J2,L , J r )P1
Pdiag(J1(1), J2(2 ),L , J r (r ))P1
于是有
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
多项式为
[m1(), m2(),L , mr ()] 即为 m1(), m2(),L , mr () 的最小公倍式