矩阵分析课件
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波士顿矩阵分析PPT课件
❖ 金牛产品
20%
❖ 明星产品
❖ 问题产品
❖ 狗类产品
10%
0
10
1
0.1
.
战略业务单元的动态性及周期
❖ 问题业务
❖
明星战略业务单元
❖
金牛业务
❖
消亡或落入不利SBU
❖
进入老年期
❖
加入新的
SBU进入新循环
.
对每一项战略业务单元可采用以下四种战略之一：
❖ 其一：少投资或不投资以回收资金，获得短期现金 流而不管长期影响（金牛）
.
❖ 中国农科院一位不愿具名的专业人士披露，海尔不 用洗衣粉洗衣机实际上是在洗衣机的内部预先放置了一 种磷酸盐表面活性剂(生产洗涤剂的一种原料)，并通过 塑料管进入洗衣机的内筒，而这也是这种洗衣机在运行 过程中可以产生大量泡沫的原因之一。
❖ 据悉，该表面活性剂市场销售的
谢谢大家！
.
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
波士顿矩阵分析
小组成员： 王思齐 李海霞 陈凤 胥蔚
.
.
波士顿矩阵图法
是20世纪60年代由美国波士顿 咨询集团(Boston Consulting Group,BCG)开发出的一种用于对 具有多产品/多业务组合的综合类 公司进行战略评估和分析的工具。
.
波士顿矩阵法
此方法把SBU按增长率和份额分为如下四种
.
金牛产品——海尔波轮全自动洗衣机
❖ 波轮全自动洗衣机自2000年以来，在整体洗衣 机中的比例一直攀升，2003至今一直超过六成的市 场份额，在中国洗衣机市场上占有绝对优势。波轮 洗衣机在中国市场占据主导地位一方面来自消费者 受传统消费观念的影响，另一方面因为滚筒洗衣机 价位较高，普通消费者支出能力有限所致。
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§4.2
10
这样就得到方阵 A 的 QR 分解.
方阵的QR分解在数值计算中起着重要的作用，它是 计算矩阵的全部特征值和求解线性方程组的有力工具.
⎡ 1 1 1⎤ 例： 求矩阵 A = ⎢ −1 1 0 ⎥ 的 QR 分解. ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡1⎤ ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ 解： A = (α 1 , α 2 , α 3 ) , α = ⎢ −1⎥ , α = ⎢1⎥ , α = ⎢0 ⎥ 1 3 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢1⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, α m 使得
, β k 〉， = 1, 2, k , m.
证明： 用数学归纳法. 取 α 1 = β 1 . 则 k=1, 结论成立. 假设已作出r个两两正交的向量 α 1 , α 2 ,
〈α1 , α 2 ,
,α k 〉 = 〈 β1 , β 2 ,
〈α 1 , α 2 ,
,α k 〉 = 〈 β1 , β 2 ,
现在将这个正交基中每个向量单位化，即取
αi . γi = || α i || 则 γ 1 , γ 2 , , γ n 就是V 的一个标准正交基. 推论2：n维实内积空间V 中任意正交向量组 α1 , α 2 , , α s
都可以扩充成V 的一个正交基. 证明： α1 , α 2 ,
α1 , α 2 , , α s 线性无关. 由基的扩充定理知，存在向量 α s +1 , α s + 2 , , α n 使 α 1 , α 2 , , α s , α s +1 , α s + 2 , , α n
由施密特正交化方法得：
15
⎡1 ⎤ ⎢0⎥ , β 1 = α1 = ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ 1/ 2 ⎞ (α 2 , β 1 ) β = ⎜ 1 ⎟ , β2 = α2 − 1 ⎜ ⎟ ( β1 , β1 ) ⎜ −1 / 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ( α 3 , β 1 ) β − (α 3 , β 2 ) β = ⎜ 1 ⎟ , β3 = α3 − 1 2 ⎜ ⎟ β1 , β1 ) β2 , β2 ) ( ( ⎜1⎟ ⎝ ⎠
这样就得到方阵 A 的 QR 分解.
方阵的QR分解在数值计算中起着重要的作用，它是 计算矩阵的全部特征值和求解线性方程组的有力工具.
⎡ 1 1 1⎤ 例： 求矩阵 A = ⎢ −1 1 0 ⎥ 的 QR 分解. ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡1⎤ ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ 解： A = (α 1 , α 2 , α 3 ) , α = ⎢ −1⎥ , α = ⎢1⎥ , α = ⎢0 ⎥ 1 3 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢1⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, α m 使得
, β k 〉， = 1, 2, k , m.
证明： 用数学归纳法. 取 α 1 = β 1 . 则 k=1, 结论成立. 假设已作出r个两两正交的向量 α 1 , α 2 ,
〈α1 , α 2 ,
,α k 〉 = 〈 β1 , β 2 ,
〈α 1 , α 2 ,
,α k 〉 = 〈 β1 , β 2 ,
现在将这个正交基中每个向量单位化，即取
αi . γi = || α i || 则 γ 1 , γ 2 , , γ n 就是V 的一个标准正交基. 推论2：n维实内积空间V 中任意正交向量组 α1 , α 2 , , α s
都可以扩充成V 的一个正交基. 证明： α1 , α 2 ,
α1 , α 2 , , α s 线性无关. 由基的扩充定理知，存在向量 α s +1 , α s + 2 , , α n 使 α 1 , α 2 , , α s , α s +1 , α s + 2 , , α n
由施密特正交化方法得：
15
⎡1 ⎤ ⎢0⎥ , β 1 = α1 = ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ 1/ 2 ⎞ (α 2 , β 1 ) β = ⎜ 1 ⎟ , β2 = α2 − 1 ⎜ ⎟ ( β1 , β1 ) ⎜ −1 / 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ( α 3 , β 1 ) β − (α 3 , β 2 ) β = ⎜ 1 ⎟ , β3 = α3 − 1 2 ⎜ ⎟ β1 , β1 ) β2 , β2 ) ( ( ⎜1⎟ ⎝ ⎠
矩阵分析与处理 (2)优秀课件
1
A
0
0
0
an2 an 0
1
0
0
an3 an 0
0
0
0
a1 an
0 0 0 1
a0 an
0
0
0
0
p(x) 称为A的特征多项式， p(x) =0的根称为A的特征根。
MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan(p)， 其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系 数排在前，低次幂排在后。
函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。
例2-7 求(x+y)4的展开式。 在MATLAB命令窗口，输入命令： pascal(5)
ans =
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
15
1
4
10
20
35
1
5
15
35
70
矩阵次对角线上的元素1,4,6,4,1即为展开式 的系数。
3.2 矩阵结构变换
3.2.1 对角阵与三角阵
例3.4 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。 命令如下： format rat %以有理形式输出
H=hilb(4)
H=invhilb(4)
(4) 托普利兹矩阵 托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外， 其他每个元素都与左上角的元素相同。生 成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它 生成一个以x为第一列，y为第一行的托普 利兹矩阵。这里x, y均为向量，两者不必等 长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普 利兹矩阵。例如
(2) 构造对角矩阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生 一个m×m对角矩阵，其主对角线元素即为 向量V的元素。 diag(V)函数也有另一种形式diag(V,k)，其功 能是产生一个n×n(n=m+|k|)对角阵，其第k 条对角线的元素即为向量V的元素。
矩阵分析课件-第六章
cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.5
⎛ n ⎞ T (α + β ) = T ⎜ ∑ ( k i + l i ) α i ⎟ ⎝ i =1 n ⎠ n n = ∑ ( ki + li )β i = ∑ ki β i + ∑ li β i = T (α ) + T ( β ) ,
i =1 i =1 i =1
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ T ( λα ) = T ⎜ λ ∑ kiα i ⎟ = T ⎜ ∑ λ kiα i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ n = ∑ λ k i β i = λ T (α ) .
11
⎡ kTT −1 (α ) ⎤ = T −1 ⎡ kT T −1 (α ) ⎤ T ( kα ) = T ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −1 ⎡T kT −1 (α ) ⎤ = T −1T kT −1 (α ) =T ⎣ ⎦ = kT −1 (α ) .
−1 −1
(
) (
( )(
)
)
注：当T 可逆时,可以定义T 的负整数幂,即 ∀n ∈ Z + , n −n −1 定义 T = T .
§3.5
线性变换（线性映射）
定义： 若在数域F 的线性空间V上，有一种规则T,使得 ' V中任意向量α 对应于V中唯一向量α T (α ) , 规则T 称为V 的变换， ' 称为α的像，α 称为 α ' 的原像. α
T : V ⎯⎯ V →
α
α = T (α )
'
如果变换T 又满足下面条件： ∀α , β ∈V 和 k ∈ F 有
α = T (α ) = Aα ∈ R
'
n
⇒ T是线性变换，由方阵A所确定的线性变换也
通常用A表示.
矩阵分析课件(1-1,4)
其中k , l 表示数域F中的任意数, , 表示V中任意元素. 称这样的V 为数域F 上的线性空间.
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
矩阵分析第8章课件
(齐次方程解空间N(A)={xCn|Ax=0}也称为A的核
) ④(1)有无穷多解的充要条件是 rank A < n dim N(A)= n-rank A= n-r > 0
减号逆定义8.1.1
定义:若一般线性方程组 Ax=b, ACmn,xCn,bCm (1) 对任意bR(A)的解都可表示为x=A-b,则矩阵 A-Cnm 称为A的一个减号逆. 因为当ACnnn时,(1)的解都可表示为 x=A-1b,所以,在此情形下A有唯一减号逆: A-=A-1. 这一事实说明减号逆是普通逆矩阵 的推广.
Y
Z
W C , Z C
, X C
Er 0
, Y C
( nr )r
其中
AA-A=A PAA-AQ=PAQ=
W X Er 上式左边 = PAQ PAQ Y Z 0 W 0 0 Er 0 0 0 0 0 W 0 Y
第八章 矩阵的广义逆序言
矩阵的广义逆矩阵(简称广义逆)是可逆方阵的 逆矩阵概念的推广.推广后的广义逆矩阵不仅 仍然适用于可逆方阵,更适用于奇异方阵,甚 至适用于行列数不相等的长方阵. 广义逆矩阵除了上述理论意义之外,还有更大的 应用价值.广义逆矩阵是计算许多实际问题的 有效工具,特别在数值分析中十分有用. 本章重点介绍减号逆(广义逆矩阵),左逆,右逆, 自反广义逆和加号逆(伪逆矩阵)等五种广义 逆.
1 2 1/ 2 5 / 2 | 0 1/ 2 0 1 0 11/ 2 5 / 2 | 2 1 / 2 0 1 3 0 | 1 0 0 0 1 3 0 | 1 0 0 0 0 0 | 3 2 1 0 0 0 0 | 3 2
(8.1.5).(在下式中令V=X-A-,W=XAA-即可)
) ④(1)有无穷多解的充要条件是 rank A < n dim N(A)= n-rank A= n-r > 0
减号逆定义8.1.1
定义:若一般线性方程组 Ax=b, ACmn,xCn,bCm (1) 对任意bR(A)的解都可表示为x=A-b,则矩阵 A-Cnm 称为A的一个减号逆. 因为当ACnnn时,(1)的解都可表示为 x=A-1b,所以,在此情形下A有唯一减号逆: A-=A-1. 这一事实说明减号逆是普通逆矩阵 的推广.
Y
Z
W C , Z C
, X C
Er 0
, Y C
( nr )r
其中
AA-A=A PAA-AQ=PAQ=
W X Er 上式左边 = PAQ PAQ Y Z 0 W 0 0 Er 0 0 0 0 0 W 0 Y
第八章 矩阵的广义逆序言
矩阵的广义逆矩阵(简称广义逆)是可逆方阵的 逆矩阵概念的推广.推广后的广义逆矩阵不仅 仍然适用于可逆方阵,更适用于奇异方阵,甚 至适用于行列数不相等的长方阵. 广义逆矩阵除了上述理论意义之外,还有更大的 应用价值.广义逆矩阵是计算许多实际问题的 有效工具,特别在数值分析中十分有用. 本章重点介绍减号逆(广义逆矩阵),左逆,右逆, 自反广义逆和加号逆(伪逆矩阵)等五种广义 逆.
1 2 1/ 2 5 / 2 | 0 1/ 2 0 1 0 11/ 2 5 / 2 | 2 1 / 2 0 1 3 0 | 1 0 0 0 1 3 0 | 1 0 0 0 0 0 | 3 2 1 0 0 0 0 | 3 2
(8.1.5).(在下式中令V=X-A-,W=XAA-即可)
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矩阵分析
教材：矩阵分析 史荣昌等编
参考书 矩阵分析引论 矩阵论
罗家洪编 程云鹏编
矩阵理论是一门最有实用价值的数学 理论。 在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理， 系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化 技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切 的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和 发展。
本课程只介绍矩阵理论中最经典的一部分。 它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门 课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特 别向量、矩阵、二次型的相关内容。
(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0) 都是R3 的基。R3 是3维线性空间。
要验证：１．向量组 无关．２．任一向量 可以由它们表示．
例 2 实数域 R 上的线性空间R22 中的向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1, 1 1, 0 1, 1 0
（8） k( ) k k
V中的元素称 为向量
称这样的 V 为数域 F 上的线性空间。
例 1 全体实函数集合 RR 构成实数域 R上的
线性空间。 按函数的加法和数乘函数
例的集2合复C数m域n m为Cm上C的上全的体线性m空间n。型矩阵构成
按矩阵的加法和数乘矩阵
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
am an
例7 在 R中满足Hilbert条件的无限序列组成的
子集合不构成 R 上的线性空间。Hilbert条件是：
级数 an 2 收敛
例8
n 1
在R
中有界的无限序列组成的子集也构成
R 上的线性空间。一个无限序列 [a1, a2, a3,L ]
称为有界的，如果存在一个实数 r ， 使得
ai r,i 1,2,L
, yn
T
，那么我们有：
x1
(1,2 ,L
,
n
)
x2
M
xn
y1
y1
(1, 2 ,L
,
n
)
y2
M
(1,2,L
,
n
)
P
y2
M
yn
yn
x1 y1
x2
P
y2
M M
xn
yn
称上式为坐标变换公式。
例 1 在4维线性空间 R22 中，向量组
第一章 线性空间和线性映射
第一节 线性空间 一： 线性空间的定义与例子
实数域R 复数域C
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集和 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 g来表示, 并且
这两种运算满足下列八条运算律：
运算的结果是 V中的元素
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n（新的） 是 n维线性空间 V 的两组基底，它们之间的关系为
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
的充分必要条件是 1 ,2 , ,m中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
定理 4：设向量组A :1,2 , ,m线性无关,而向量 组B :1, ,m ,b 线性相关,则向量 b必能由向量组
A线性表示,且表示式是唯一的.
最大（线性）无关向量组
定义3 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
定理1:线性空间有唯一的零元素,任一元素有唯一的 负元素.
证 : 设01，02是两个零元素,则有 01 01 02 02
设元素x有两个负元素x1, x2
x x1 0, x x2 0 x1 x1 0 x1 (x x2 )
(x1 x) x2 0 x2 x2
二： 线性空间的基本概念及其性质
P
a21
a22
L
a2n
L L L L
an1 an2 L
ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可 以写成
1, 2,L , n 1,2 ,n P
定理：过渡矩阵 P 是可逆的。
提示ＰＸ＝０ 只有零解
任取 V ，设 在两组基下的坐标分别为
x1, x2,L
, xn
T
与
y1, y2,L
123
1 3
1
0 0
1 13
3 3 3
1
2
0
1
3 3
3
1 3
2 3
1
1 3
向量 A第一组基下的坐标为
x1
7 3
,
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
y1 y2 y3 y4
123
3
1
3
1 3
1 3 2 3
0 0 0
1 1
4
)
2 1
1 1
2 1
1 0
0
1
1
1
2 0 2 1
(1, 2 , 3
, 4)
1 0
1 2
1 1
3 1
1 2 2 2
(1, 2 , 3 , 4 ) (1,2,3,4 )P
2 0 2 1 1 1 1 1
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k e a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]ຫໍສະໝຸດ ai F, i 1,2,3,
1 (2,1, 0,1)T
2 (1, 1,1,1)T
2 (0,1, 2, 2)T
3 (1, 2,1,1)T
3 (2,1,1, 2)T
4 (1, 1, 0,1)T
4 (1,3,1, 2)T
并求＝（x1,x2 ,x3 ,x4）在基
1, 2, 3, 4的坐标。
1 1 1 1
(1,
2
,
3
,
i a1i1 a2i2 L anin
a1i
1,2,L
,
n
a2i
M
,
ani
i 1, 2,L , n
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12 L a1n
1, 2,L
,
n
1
,2
,n
a21 L
a22 L
L L
a2
n
L
an1
a2 L
ann
称 n 阶方阵
记为Ｐ
a11 a12 L a1n
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
例 6 在R中满足Cauchy条件的无限序列组成的
子集合也构成 R 上的线性空间。Cauchy条件是： 0,N 0, 使得对于 m,n N 都有
那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩；
（6）等价的向量组秩相同。
例 1 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n 为一
组互不相同的实数。
例 2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
定义2 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 , , km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组 A是线性相关的，否则称它线性无关．
定理3 向量组 1,2 , ,（m当 m 时2 ）线性相关
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0, 0 0 , 1 0 , 1 1
都是 R22的基。 R22 是4维线性空间。
例 3 实数域 R 上的线性空间 R[ x]n 中的向量组 1, x, x2,, xn
与向量组
1, x 2,(x 2)2,,( x 2)n
都是 R[ x]n 的基底。R[ x]n 的维数为 n 1.
定义１
给定向量组A :1,2 ,
,
，对于任何一
m
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这
个线性组合的系数.
给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2， ,m，使
b 11 2 2 m m
函数组
sin x,cos x,sin2 x,cos2 x,,
sinn x,cosn x , n 4.
是线性相关的函数组。
教材：矩阵分析 史荣昌等编
参考书 矩阵分析引论 矩阵论
罗家洪编 程云鹏编
矩阵理论是一门最有实用价值的数学 理论。 在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理， 系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化 技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切 的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和 发展。
本课程只介绍矩阵理论中最经典的一部分。 它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门 课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特 别向量、矩阵、二次型的相关内容。
(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0) 都是R3 的基。R3 是3维线性空间。
要验证：１．向量组 无关．２．任一向量 可以由它们表示．
例 2 实数域 R 上的线性空间R22 中的向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1, 1 1, 0 1, 1 0
（8） k( ) k k
V中的元素称 为向量
称这样的 V 为数域 F 上的线性空间。
例 1 全体实函数集合 RR 构成实数域 R上的
线性空间。 按函数的加法和数乘函数
例的集2合复C数m域n m为Cm上C的上全的体线性m空间n。型矩阵构成
按矩阵的加法和数乘矩阵
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
am an
例7 在 R中满足Hilbert条件的无限序列组成的
子集合不构成 R 上的线性空间。Hilbert条件是：
级数 an 2 收敛
例8
n 1
在R
中有界的无限序列组成的子集也构成
R 上的线性空间。一个无限序列 [a1, a2, a3,L ]
称为有界的，如果存在一个实数 r ， 使得
ai r,i 1,2,L
, yn
T
，那么我们有：
x1
(1,2 ,L
,
n
)
x2
M
xn
y1
y1
(1, 2 ,L
,
n
)
y2
M
(1,2,L
,
n
)
P
y2
M
yn
yn
x1 y1
x2
P
y2
M M
xn
yn
称上式为坐标变换公式。
例 1 在4维线性空间 R22 中，向量组
第一章 线性空间和线性映射
第一节 线性空间 一： 线性空间的定义与例子
实数域R 复数域C
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集和 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 g来表示, 并且
这两种运算满足下列八条运算律：
运算的结果是 V中的元素
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n（新的） 是 n维线性空间 V 的两组基底，它们之间的关系为
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
的充分必要条件是 1 ,2 , ,m中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
定理 4：设向量组A :1,2 , ,m线性无关,而向量 组B :1, ,m ,b 线性相关,则向量 b必能由向量组
A线性表示,且表示式是唯一的.
最大（线性）无关向量组
定义3 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
定理1:线性空间有唯一的零元素,任一元素有唯一的 负元素.
证 : 设01，02是两个零元素,则有 01 01 02 02
设元素x有两个负元素x1, x2
x x1 0, x x2 0 x1 x1 0 x1 (x x2 )
(x1 x) x2 0 x2 x2
二： 线性空间的基本概念及其性质
P
a21
a22
L
a2n
L L L L
an1 an2 L
ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可 以写成
1, 2,L , n 1,2 ,n P
定理：过渡矩阵 P 是可逆的。
提示ＰＸ＝０ 只有零解
任取 V ，设 在两组基下的坐标分别为
x1, x2,L
, xn
T
与
y1, y2,L
123
1 3
1
0 0
1 13
3 3 3
1
2
0
1
3 3
3
1 3
2 3
1
1 3
向量 A第一组基下的坐标为
x1
7 3
,
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
y1 y2 y3 y4
123
3
1
3
1 3
1 3 2 3
0 0 0
1 1
4
)
2 1
1 1
2 1
1 0
0
1
1
1
2 0 2 1
(1, 2 , 3
, 4)
1 0
1 2
1 1
3 1
1 2 2 2
(1, 2 , 3 , 4 ) (1,2,3,4 )P
2 0 2 1 1 1 1 1
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k e a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]ຫໍສະໝຸດ ai F, i 1,2,3,
1 (2,1, 0,1)T
2 (1, 1,1,1)T
2 (0,1, 2, 2)T
3 (1, 2,1,1)T
3 (2,1,1, 2)T
4 (1, 1, 0,1)T
4 (1,3,1, 2)T
并求＝（x1,x2 ,x3 ,x4）在基
1, 2, 3, 4的坐标。
1 1 1 1
(1,
2
,
3
,
i a1i1 a2i2 L anin
a1i
1,2,L
,
n
a2i
M
,
ani
i 1, 2,L , n
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12 L a1n
1, 2,L
,
n
1
,2
,n
a21 L
a22 L
L L
a2
n
L
an1
a2 L
ann
称 n 阶方阵
记为Ｐ
a11 a12 L a1n
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
例 6 在R中满足Cauchy条件的无限序列组成的
子集合也构成 R 上的线性空间。Cauchy条件是： 0,N 0, 使得对于 m,n N 都有
那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩；
（6）等价的向量组秩相同。
例 1 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n 为一
组互不相同的实数。
例 2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
定义2 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 , , km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组 A是线性相关的，否则称它线性无关．
定理3 向量组 1,2 , ,（m当 m 时2 ）线性相关
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0, 0 0 , 1 0 , 1 1
都是 R22的基。 R22 是4维线性空间。
例 3 实数域 R 上的线性空间 R[ x]n 中的向量组 1, x, x2,, xn
与向量组
1, x 2,(x 2)2,,( x 2)n
都是 R[ x]n 的基底。R[ x]n 的维数为 n 1.
定义１
给定向量组A :1,2 ,
,
，对于任何一
m
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这
个线性组合的系数.
给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2， ,m，使
b 11 2 2 m m
函数组
sin x,cos x,sin2 x,cos2 x,,
sinn x,cosn x , n 4.
是线性相关的函数组。