矩阵多项式计算例题
矩阵多项式的逆矩阵求解方法
Ｏ
“ （ ） ， （ ） ＋ ｖ （ ） 七 （ ） ＝ １ ， 则ｕ （ Ａ ） 为要求的多项式的
Ａ的多项式 ， 如果存在矩阵 Ｃ ， 使得 （ Ａ ） ｆ （ ａ ） ｃ＝ Ｅ ， 则称矩阵多
项式 Ａ ） 是可逆 的， 又称矩 ｃ阵为矩阵多项式 Ａ ） 的逆矩阵。 当矩 阵多项式 Ａ ） 可逆 时 ， 逆矩阵 Ｃ 由矩阵多项 式 Ａ ） 唯一确
Ａ Ｅ － Ａ ＝ ［ ， １ ｛ ・ ・ ｌ ０ ０ ｊ
ｋ （ ｘ 、 ＝Ｘ 一２ ｘ ＋１
一
ｒ １ ２－ ６ ］
ｆ １ ０ ０ １
（ ， （ ） ＋ １ Ｌ ２ 一 ＋ ２ ） ） ＝
一３ ） 将 Ａ代入可求 出 ｆ （ ｌ Ａ ） 的逆
“ （ ） － 厂 （ ） ＋ ｖ （ ） （ ） ＝ １ 且“ （ Ａ ） ＝［ ｆ （ Ａ ） ｒ
证 充分性
若（ ｆ （ ） ， ｋ （ ） ） ＝１ 则存在 ｕ （ ｘ ） ， ｖ （ ｘ ） 使得 “ （ ， （ ＋ ｖ （ ） （ ） ＝ １ 将 Ａ代入 ｕ （ Ａ ） ｆ （ Ａ ） ＋ ｖ （ Ａ ） ｋ （ Ａ ） ＝Ｅ， 其中 （ Ａ ） ＝０， 所以“ （ Ａ ） ， （ Ａ ） ＝ ￡ ，
再通过线性代数一般方法求 出
ｒ ４ ２ — ６ 、
（ ） ＝一
［ 厂 （ ） ］ ～ ： １ ； ｌ ３— ３ ｌ
。 ｌ １ １－ １ Ｊ
２ 由多项式 的性质求逆矩阵 文章首先引入一个 例题 例 ２若 Ａ是个 １ １ 阶方阵 ， 且有 Ａ 一 ５ Ａ ５ Ｅ成立 ， 证明 Ａ 一 ３ Ｅ 是可逆 的， 并求 Ａ 一 ３ Ｅ 的逆 矩 阵 。
／， ． ． ● ， ． ．， ． ． ． ． ●． ●
线性代数第二章矩阵试题及答案
第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。
例如.2 -1 0 1 1 _1110 22 5 4 -2 9<3 3 3 -1 8丿是一个4 5矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素，位于第i行第j列的数称为（i,j）位元素。
元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。
两个矩阵A和B相等（记作A = B）,是指它的行数相等，列数也相等（即它们的类型相同），并且对应的元素都相等。
2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。
n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。
下面列出几类常用的n阶矩阵，它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵：对角线外的的兀素都为0的n阶矩阵.单位矩阵：对角线上的的兀素都为1的对角矩阵，记作E（或I）.数量矩阵：对角线上的的兀素都等于一个常数c的对角矩阵，它就是cE上三角矩阵:对角线下的的兀素都为0的n阶矩阵.下二角矩阵:对角线上的的兀素都为0的n阶矩阵.对称矩阵：满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j,i）位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵：满足A T=-A矩阵•也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j ,i）位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.）正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。
_ 2（1）A是正交矩阵A T=A-1（2）A是正交矩阵 A =1阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足：①如果它有零行，则都出现在下面。
②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。
把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。
矩阵运算
即
A× B = C.
注意：
( ai1
ai 2
b1 j b2 j L ais ) M b sj
= ai1b1 j + ai 2b2 j + L + ais bsj
= ∑aikbkj = cij
k= 1 s
例1.求矩阵
1 0 3 −1 A = 2 1 0 2
所 以 0 17 T ( AB) ＝ 14 13 － 10 3
解法2：
( AB )
T
= B A
T
T
1 4 2 2 1 = 7 2 0 0 3 −1 3 1 −1 2
0 17 = 14 13. − 3 10
0 0 = 0 0
2. 运算律 1) 矩阵的乘法一般不满足交换律 2) （AB）C = A（BC） 3) λ (AB) = (λA) B = A(λ B), 4) A ( B + C ) = AB + AC ( B + C ) A = BA + CA ( 其中λ为数 );
3. 设E为单位矩阵
T T T
= E − 4XX + 4X( X X) X
T T
T
= E − 4XX + 4XX
T
T
=E
五、方阵的 行列式 1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵A的行列式， 记作 |A| 或 detA 。
2、运算律
T
1 A ).
= A;
n
2). λA = λ A;
例8 设
1 1 2,β 1 α = = 2 3 1 3
MATLAB语言：数据分析与多项式计算习题与答案
一、单选题1、若A为矩阵，则语句max(A(:))的功能是（）。
A.函数调用错误B.求矩阵每行的最大元素C.求矩阵每列的最大元素D.求整个矩阵的最大元素正确答案：D2、设P是多项式系数向量，A为方阵，则函数polyval(P,A)与函数polyvalm(P,A)的值（）。
A. 一个是标量，一个是方阵B.都是标量C.值不相等D.值相等正确答案：C3、在MATLAB命令行窗口输入下列命令：>> p=[1,-2];>> x=roots(p)则x的值为（）。
A.2B. -2C.1D.-1正确答案：A4、在以下四种数据插值方法中，具有保形性的方法是（）。
A.linearB.nearestC.pchipD.spline正确答案：C5、最小二乘法中的误差最小指的是（）。
A.误差的平均值最小B.误差之和最小C.误差的平方和最小D.误差的积最小正确答案：C6、当实验或测试所获得的样本数据有误差时，适合用来估算数据的方法是（）。
A.数据插值B.曲线拟合C.方程求解D.求平均值正确答案：B7、曲线拟合通常所采用的函数是（）。
A.随机函数B.多项式函数C.指数函数D.三角函数正确答案：B二、多选题1、下列四种插值计算方法中，经过每一个样本点的方法是（）。
A.linearB.nearestC.pchipD.spline正确答案：A、B、C、D2、以下属于曲线拟合方法功能的是（）。
A.估算数据B.预测趋势C.总结规律D.证明定理正确答案：A、B、C3、若a、b为多项式系数向量，a=[1,2]，b=[3,4,5]，要将两个多项式相加，以下不正确的是（）。
A.a+bB.[0,a]+bC.[a,0]+bD.a+b(1:2)正确答案：A、C、D4、设有三个多项式，其系数向量分别为q、r、s，现在求它们的乘积，可以使用的命令有（）。
A.conv(q,r,s)B.conv(conv(q,r),s)C.conv(q,conv(r,s))D.conv(conv(s,r),q)正确答案：B、C、D三、判断题1、数据插值可以通过已知数据估算采样区间内的未知数据。
线性代数案例
线性代数案例线性代数案例Cayler-Hamilton 定理【实验⽬的】1．理解特征多项式的概念2．掌握Cayler-Hamilton 定理【实验要求】掌握⽣成Vandermonde 矩阵的vander 命令、求矩阵特征多项式系数的poly()命令、求矩阵范数的norm 命令及矩阵多项式运算的polyvalm 命令【实验内容】Cayler-Hamilton 定理是矩阵理论中的⼀个⽐较重要的定理，其内容为：若矩阵A 的特征多项式为1121)det()(+-++++=-=n n n n n a s a s a s a A sI s f Λ则有()0,f A =亦即11210n n n n a A a A a A a E -+++++=L假设矩阵A 为Vandermonde 矩阵，试验证其满⾜Cayler-Hamilton 定理。
【实验⽅案】Matlab 提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly()，但是poly()函数会产⽣⼀定的误差，⽽该误差在矩阵多项式求解中可能导致了巨⼤的误差，从⽽得出错误的结论。
在实际应⽤中还有其他简单的数值⽅法可以精确地求出矩阵的特征多项式系数。
例如，下⾯给出的Fadeev-Fadeeva 递推算法也可以求出矩阵的特征多项式。
()1111,1,2,...,,,2,...,kk k k k c tr AR k n k R I R AR c I k n--?=-=??==+=该算法⾸先给出⼀个单位矩阵I ，并将之赋给1R ，然后对每个k 的值分别求出特征多项式参数，并更新k R 矩阵，最终得出矩阵的特征多项式的系数k c 。
该算法可以直接由下⾯的Matlab 语句编写⼀个()1poly 函数实现：Function c=poly1(A) [nr,nc]=size(A);if nc==nr % 给出若为⽅阵，则⽤Fadeev-Fadeeva 算法求特征多项式 I=eye(nc); R=I; c=[1 zeros(1,nc)];for k=1:nc,c(k+1)=-1/k*trace(A*R);r=A*R+c(k+1)*I;endelseif (nr==1 \ nc==1) % 给出为向量时，构造矩阵A=A(isfinite(A));n=length(A) ; % 出去⾮数或⽆界的特征根c=[1 zeros(1,n)];for j=1:nc(2:(j+1))=c(2:(j+1))-A(j).*c(1:j);endelse % 参数有误则给出错误信息error (’Argument must be a vector or a square matrix.’)end.【实验过程】>> A = vander([1 2 3 4 5 6 7]);运⾏结果：A =1 1 1 1 1 1 164 32 16 8 4 2 1729 243 81 27 9 3 14096 1024 256 64 16 4 115625 3125 625 125 25 5 146656 7776 1296 216 36 6 1117649 16807 2401 343 49 7 1>> A运⾏结果：aa1 =+009 *如调⽤新的poly1()函数，则可以得出如下的精确结果。
第九章__多项式矩阵
例3 ：求下列矩阵的最小多项式
(1)
3 2 2 B=1 8 2 −2 −14 −3
−1 −2 6 (3) C = −1 0 3 −1 −1 4
n
n −1
+ L + a1 A + a 0 I
−1= an (ຫໍສະໝຸດ PJP = P (an Jn
−1
) + a n −1 ( P J P
n −1
)
n −1
+
−1
L + a1 ( P J P = Pf (J )P
−1
) + a0I
n −1
+ a n −1 J
+ L + a1 J + a 0 I ) P
−1
di
例2 ：已知对角块矩阵 A = diag( A1 , A2 ,L , Ar ) ,而 而
m1 (λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 分别为子块 A1 , A2 ,L , Ar
的最小多项式， 的最小多项式，则 A 的最小多项式为
[m1 ( λ ), m2 (λ ),L , mr (λ )] 的最小公倍数。 即为 m1 ( λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 的最小公倍数。
3 0 (4) D = 0 0
1 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 5
解： （1）首先求出其 ）首先求出其Jordan标准形为 标准形为
−1 J =0 0 所以其最小多项式为
0 −1 1 0 −1 0
( λ + 1) 。
线性代数第二章矩阵及其运算2-3
二、逆矩阵的概念
定义 7 设 Ａ是 n 阶方阵，若存在 n 阶方
阵Ｂ，使得 AB＝BA＝E （３） 则称矩阵 A 可逆，且称 B 是 A 的逆矩阵，记作 B＝A－１．
如果不存在满足（３）的矩阵 B，则称矩阵
A 是不可逆的．
现在的问题是，矩阵 A 满足什么条件时可逆？ 可逆方阵的逆阵是否唯一，如何求逆阵？可逆 矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题．
A A 2E O,
2
4 移项 得 A 1 1 分解因式 得
2 1 2
3 2 A 2E, A AB A 2 B, 求 B. 0 , AB A 2 B, 求 B. 3
A( 得 解 已知方程变形A E) 2E,
例 3 设 n 阶矩阵 A, B, A + B 均可逆, 证明
练习： 设n阶方阵A满足A2+2A-4E=0，则必有( A) A=E C) A-E可逆 B)A=-3E D) A+3E不可逆 )
解答：因为A与E是可交换的，依题意可得： A2+2A-4E=0 A2+2A-3E=E (A-E)(A+3E)=E， 根据逆矩阵的定义，(A-E)与(A+3E)互逆。故选C
伴随矩阵法.
练习： A,B均为n（n≥3）阶方阵，且AB=0，则A与B（ A) 均为零矩阵 C) 至少有一个奇异阵 B) 至少有一个零矩阵 D) 均为奇异阵 ）
解答：可以等式两边同取行列式 AB=0 |AB|=0 |A||B|=0，故选C
练习： A,B,C为同阶方阵，A可逆，则下列命题正确的是( A) 若AB=0，则B=0 C) 若AB=CB,则A=C 解答：可以等式两边同乘A-1 AB=0 A-1AB = A-10 EB=0，故选A B)若BA=BC,则A=C D) 若BC=0,则B=0或C=0 )
矩阵及其运算习题课2课件
(6) 主对角线以下(上)的元素都为零的方阵称为上(下)三角 矩阵;
(7) 行列式 | A | 的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下
矩阵
A
A11 A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2
Ann
称为矩阵A 的伴随矩阵.
性质: AA* = A*A = | A | E.
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似．
矩阵及其运算习题课2
n 1 1
例1: 设
A
n 1
n
n n1
n
1
n 1
n
,
计算A2
1 n
1 n
1 n
n 1 n
例2: 设A ac db, 试将 f() = | E–A |写成的多项式, 并验证 f(A) = O.
例3:
设A,
(2) 证明: AB|A||DCA 1B|. CD
矩阵及其运算习题课2
二、 典 型 例 题
n 1 1
例1: 设
A
n 1
n
n n1
n
1
n 1
n
, 计算A2 .
1 n
1 n
1 n
n 1 n
解: 由于
An1n 111
1
n1
1
1 1
n 1
矩阵及其运算习题课2
n1
1
1
2
证明(1): 当A = O时, | A |的所有代数余子式均为0,
从而A* = 0, 故| A* | = 0.
当 A O且| A | = 0时, 用反证法证明.
假设| A* | 0, 则有A*(A*)–1 = E,
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矩阵多项式计算例题
在数学中，矩阵多项式被广泛地应用于科学技术和工业领域。
这种类型的矩阵被定义为一种矩阵，其系数项是任意多项式。
在实际应用中，矩阵多项式可以帮助人们很好地解决各种工程和科学问题。
本文将介绍一些矩阵多项式计算的例题，以帮助读者更好地理解矩阵多项式的概念和应用。
例题一：计算矩阵多项式f(A)，其中A=[1 2;3 4]，f(x)=x^2+2x+3。
解析：首先将f(x)表示为其在矩阵A上的计算结果，即：f(A)=A^2+2A+3I，其中I表示单位矩阵。
将矩阵A带入上式，得：f(A)=[1 2;3 4]^2+2[1 2;3 4]+3[1 0;0 1]
根据矩阵乘法和矩阵加法的定义，可以将上式进一步计算，化简后得到：f(A)=[18 26;40 58]
因此，f(A)的值为：[18 26;40 58]
例题二：计算矩阵多项式f(A)，其中A=[3 4;5 6]，f(x)=(x+1)^3。
解析：将f(x)展开，得到：
f(x)=(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1。
再将f(x)表示为其在矩阵A上的计算结果，得：
f(A)=A^3+3A^2+3A+I。
将矩阵A带入上式，得：f(A)=[216 348;405 660]
因此，f(A)的值为：[216 348;405 660]
例题三：计算矩阵多项式f(A)，其中A=[1 0 1;0 -1 0;1 0 1]，f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1。
解析：将f(x)表示为其在矩阵A上的计算结果，得：f(A)=A^4+A^3+A^2+A+I。
将矩阵A带入上式，得：f(A)=[5 0 5;0 3 0;5 0 5]
因此，f(A)的值为：[5 0 5;0 3 0;5 0 5]
通过上述三个例题，我们可以看到矩阵多项式计算的基本步骤：先将多项式表示为矩阵形式，然后将矩阵带入多项式表达式中，最后计算矩阵乘积和矩阵加和来得到结果。
矩阵多项式计算的好处在于，它们可以像单项式一样进行加减乘除，并可与向量和矩阵的操作结合使用。
总之，矩阵多项式的应用非常广泛，包括信号处理、图像处理、控制理论、数值分析等领域。
通过上面的例题，我们可以更好地理解和掌握矩阵多项式的计算方法和应用。