第六章相似矩阵
特征值与特征向量计算第六章
其对应的特征向量为
因为 A xk = k xk
x1 x2 , x3 ,
, xn
所以 A-1 xk = k-1 xk
故k-1就是矩阵A-1的特征值，它们满足
n
1
n1
1
1
1
对应的特征向量仍为 x k 。因此，求矩阵 A 的按模最小特征 值，就相当于求其逆阵A-1的按模最大特征值n-1 ，这只需应用 幂法即可求得。
i
, n ， B
1
的特征向量与矩阵
A
相 同 。 为 了 加 速 求 得 ， 应 使 1 q 模 最 大 ， 且 。
q
2 q 2 1 q 1
易求得，
2 n
2
是一个很好的选择.可以验证，
2 q
1
此时 B 的模最大的特征根仍为 1 q ， 且模第二大的特 征根为 2 q 或 n q ， 由于 q q 2
i [1 1 i ( ) i ] 1 i 2 n i k k max{ 1 [1 1 i ( ) i ]} 1 i 2
k 1 n
i k ) i 1 i 2 n i k m ax [ 1 1 i ( ) i ] 1 i 2 1 1 i (
1 1 2
n q
2 n
n
2 1
， 因而，
过程可以加速。
这个办法也可用来求按模最小的特征值及相应 特征向量，只需令
1 n1 q 2
即可。
上述加速办法也称为移位法 .由于特征值分布 范围预先可由定理 6.1 先限定一个范围，但此范围 往往太大，实际使用时一般是通过多次实验找到合 适的 q 值使迭代过程有明显加速为止。
第6章 矩阵的相似变换
6 3 6 A= 6 3 6 −6 −6 −9
2
求特征值 A − λ E = − ( λ − 3 )( λ + 3 ) = 0
λ1 = λ2 = −3, λ3 = 3.
第2步 求线性无关的特征向量， 即求 ( A − λi E ) x = 0 的基础解系
λ1 = λ2 = −3,
⇔ Api = λi pi ( i = 1,L , n)
说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量， 就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它 拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。
-19-
定理 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线 性无关的特征向量。 推论 n 阶矩阵 A 如有 n 个不同的特征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。
Ap = λ p
特征值 λ 的特征向量。 把(1)改写为
(1)
则称λ 为A的特征值, 非零向量p称为A的对应于(或属于)
( A− λE) p = 0
⇔ A− λE = 0
(2)
λ 是A的特征值 ⇔ λ 使得 ( A − λ E ) x = 0 有非零解
( A − λ E ) x = 0 的所有非零解向量都是对应于 λ 的特征向量.
µ2
的特征值 O µn
解: 特征多项式
µ1 − λ A− λE = µ2 − λ O
对角阵的特征值 就是对角线元素
µn − λ
= ( µ1 − λ )( µ2 − λ ) L ( µn − λ ) = ( −1)n ( λ − µ1 )( λ − µ2 ) L ( λ − µn )
x1 = − x3 同解方程组为 ，令 x3 = 1, 得基础解系 x2 = x3 −1 基础解系的个数与 p3 = 1 特征值重数相等 1
矩阵分析课件-第六章
cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0
第六章_特征值问题与矩阵变换
⎛ − 1 1 0⎞ ⎟ ⎜ 例２ 求矩阵 A = ⎜ − 4 3 0 ⎟的特征值和特征向量 . ⎜ 1 0 2⎟ ⎠ ⎝
解
A的特征多项式为 −1− λ 1 0
2
3−λ 0 = ( 2 − λ ) (1− λ ) , 1 0 2−λ 所以A的特征值为 λ 1 = 2, λ 2 = λ 3 = 1. −4 当 λ 1 = 2时, 解方程( A − 2 E ) x = 0.由
A − λE =
⎛ − 3 1 0⎞ ⎜ ⎟ A − 2E = ⎜ − 4 1 0⎟ ⎜ 1 0 0⎟ ⎠ ⎝ 得基础解系
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ~ ⎜ 0 1 0 ⎟, ⎜ 0 0 0⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ p1 = ⎜ 0 ⎟ , ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
所以kp1(k ≠ 0)是对应于 1 = 2的全部特征向量 λ
若A与B相似 , B与C相似 , 则A与C相似 .
结论.n维线性性空间V上的一些线性变换σ在V的 不同基下的矩阵是相似矩阵。
二、相似矩阵与相似变换的性质
定理6.6:
;
求齐次线性方程组( A − λ E ) x = 0 的一个基础 x 解系
η 1 ,η 2 ,
,η t
可得 A 的属于特征值 λ 的全部特征向量 k 1η 1 + k 2η 2 + + k t η t 其中 k 1 , k 2 , , k t 为不全为零的常数 .
注、 n 次多项式的求根 问题一般并不容易， 在实际问题中常常应用 近似计算公式来求 特征值
6.2、矩阵的相似变换
(一)、相似变换与相似矩阵的性质
一、相似变换与相似矩阵概念
定义1 设A, B都是 n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使
线性代数第六章 矩阵的相似变换
第六章 矩阵的相似变换本章主要讨论方阵的特征值和特征向量、方阵的相似变换和对角化等问题.第一节 方阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量X 使关系式λ=AX X （6.1）成立，则称数λ为方阵A 的特征值；非零列向量X 称为A 对应于特征值λ的特征向量.将式（6.1）改写成()λ−=A E X 0， （6.2） 将（6.2）看成关于X 的齐次线性方程组，它有非零解当且仅当其系数行列式满足 0λ−=A E ， （6.3）即1112121222120λλλ−−=−n nn n nn a a a a a a a a a ， （6.4）这是以λ为未知数的一元n 次方程，称为A 的特征方程，其左端λ−A E 是λ的n 次多项式，记作()λf ，称为A 的特征多项式，特征方程的根就是A 的特征值.根据代数基本定理，在复数范围内，n 阶方阵A 有n 个特征值（重根按重数计算），记作12,,,λλλ n .求出特征值λi 后，将λi 代入齐次线性方程组（6.2）中，求解方程组()λ−=i A E X 0 （6.5） 的所有非零解向量，就是属于λi 的特征向量。
对不同的特征值逐个计算，可求得属于各特征值的全部特征向量.若非零向量X 是方阵A 的特征向量，则由（6.1）式可知，对任意实数0k ≠，有()()k k λ=A X X ，（6.6） 这表明k X 也是方阵A 的特征向量，因此属于同一特征值的特征向量有无穷多个；反之，不同特征值对应的特征向量必不相同，即一个特征向量只能属于一个特征值（证明留给读者作为练习）.由齐次线性方程组解的性质容易证得如下定理.定理1 设λ是方阵A 的特征值，12,,,s p p p 是属于λ的特征向量，则12,,,s p p p 的任意非零线性组合仍是属于λ的特征向量.例1 求141130002−−=A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式2141()130(2)(1)002λλλλλλλ−−−=−=−=−−−f A E ,所以A 的特征值为12λ=，231λλ==. 对于12λ=，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由3411012110011000000−−−=→−A E ，得基础解系 1111−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于12λ=的全部特征向量.对于231λλ==，解齐次方程组()−=A E X 0.由 241120120001001000−−−=→A E ，得基础解系 2210−=p ，所以222(0)≠k k p 是对应于231λλ==的全部特征向量. 例2 求204121103−−=A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式2204()121(1)(2)13λλλλλλλ−−−=−=−=−+−−f A E ,所以A 的特征值为11λ=−，232λλ==. 对于11λ=−，解齐次方程组()+=A E X 0.由104104131011104000−−+=→−A E ，得基础解系 1411−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于11λ=−的全部特征向量.对于232λλ==，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由 4041012101000101000−−−=→A E ，得基础解系 2010=p ，3101− = p ,所以2233+k k p p （2k ，3k 不同时为0）是对应于232λλ==的全部特征向量.二、特征值和特征向量的性质定理2* 设12,,,λλλ n 是n 阶方阵()=ij a A 的n 个特征值，则有（1）11n n i ii i i a λ==∑∑； （2）1ni i λ==∏A .其中1niii a=∑是A 的主对角元之和，称为方阵A 的迹，记作tr()A .证明 见附录六例3 设7414744y x −= −−A 的特征值为123λλ==，312λ=，求,x y 的值. 解 由定理2可得123123tr()7718331212108x x y λλλλλλ=++=++=+− A A 解之得4,1x y ==−.定理3 设λ是方阵A 的特征值，p 是A 的属于λ的任一特征向量，则有： （1）k R ∀∈，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量；（2）对任意非负整数k ，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量； （3）若()ϕA 是A 的m （m 为任意非负整数）次多项式，即01()m m a a a ϕ=+++A E A A ，则()ϕλ是()ϕA 的特征值，p 是()ϕA 的属于()ϕλ的特征向量；（4）若A 可逆，则0λ≠，且1λ是1−A 的特征值，p 是1−A 的属于1λ的特征向量；（5）若A 可逆，则λA是*A 的特征值，p 是*A 的属于λA的特征向量；（6）λ也是T A 的特征值.证明 （1）由λ=Ap p ，有k k λ=Ap p 成立。
研究生矩阵理论课后答案第6-7章
求矩阵的Jordan标准形与变换矩阵 求矩阵的Jordan标准形与变换矩阵 Jordan
由行列式因子定不变因子和初等因子:( :(参看 ①由行列式因子定不变因子和初等因子:(参看 0 λ − 2 0 第二章有关定义及结果). ).如 第二章有关定义及结果).如 λE-A= −1 λ −1 −1 )=λ行列式因子:D 行列式因子:D1(λ)=1; D2(λ)=λ-2;
第六章 矩阵函数
•矩阵函数一般定义:矩阵函数是从Cm×n到Cu×v的一 矩阵函数一般定义:矩阵函数是从C 个对应规则f:C 使对每个x 个对应规则f:Cm×n→Cu×v,使对每个x∈Cm×n,都 对应于唯一 f(x)∈ 唯一的 对应于唯一的f(x)∈Cu×v. 例如:det:C ,det(A)∈ 例如:det:Cn×n→C1×1,∀A∈Cn×n,det(A)∈C1×1; ,f(A)=2Af:Cn×n→Cn×n,∀A∈Cn×n,f(A)=2A-E∈Cn×n. 矩阵函数的概念十分广泛, •矩阵函数的概念十分广泛,其应用也相应地十分 广泛. 广泛. 我们仅限于讨论从C •我们仅限于讨论从Cn×n到自身的函数 f:Cn×n→Cn×n. 特别更限于最简单的矩阵多项式函数和由矩阵 矩阵多项式函数和由 特别更限于最简单的矩阵多项式函数和由矩阵 幂级数定义的矩阵函数. 幂级数定义的矩阵函数.
0 1 1 1 0 0 1 0 −1
. P -1=
0 1 0 1 −1 1 0 1 − 1
2 0 0 2 0 0 0 A − 2E = 1 1 1 − 2 = 1 −1 1 1 −1 3 2 1 −1 1 0 0 x = 1 , ( A − 2E)x = 1 1 1 1 0 z = 0 , ( A − 2E)z = 1 −1 1 0 00 −1 1 1 = 0 −1 1 1 0 0 1 −1 1 0 = 0 −1 1 −1
第六章矩阵的相似特征值和特征向量
第六章矩阵的相似特征值和特征向量矩阵的相似性：在线性代数中，如果两个矩阵具有相同的特征值，则它们被称为相似矩阵。
当两个矩阵A和B相似时，它们之间可以通过一个可逆矩阵P进行相互转换，即A=PBP^(-1)。
相似矩阵具有一些有用的性质和应用。
特征值和特征向量：一个n阶矩阵A的特征值是一个标量λ，满足方程Av=λv，其中v 是一个非零的n维向量，称为特征向量。
特征值和特征向量可以通过求解矩阵的特征方程来计算。
特征值和特征向量对于理解矩阵的性质和应用非常重要。
特征值和特征向量的求解：要求解矩阵的特征值和特征向量，可以通过以下步骤进行：1. 对于矩阵A，计算其特征方程det(A-λI) = 0，其中det表示矩阵的行列式，I为单位矩阵。
2.解特征方程，得到特征值λ1，λ2，...，λn。
3. 对于每个特征值λi，求解方程(A-λiI)v = 0，其中v为特征向量。
得到多组特征向量v1，v2，...，vn。
特征值和特征向量的性质：特征值和特征向量具有一些重要的性质：1.相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
2.特征向量可以用于将线性变换A表示为对角矩阵D的相似变换，即A=PDP^(-1)。
3.特征值的和等于矩阵的迹（主对角线上元素的和），特征值的乘积等于矩阵的行列式。
4.如果矩阵A是对称矩阵，则其特征向量是相互正交的。
特征值和特征向量的应用：特征值和特征向量在多个领域都有广泛的应用：1.物理学中，特征值和特征向量用于描述物理系统的振动模式和稳定性。
2.图像处理中，特征值和特征向量用于图像压缩、图像恢复等算法。
3.机器学习中，特征值和特征向量用于降维、主成分分析等特征提取方法。
4.工程学中，特征值和特征向量用于结构分析、系统控制等问题的求解。
总结：特征值和特征向量是矩阵相似性的重要概念，它们可以帮助我们理解矩阵的性质和应用。
通过求解特征方程，我们可以得到矩阵的特征值和特征向量。
它们具有许多有用的性质和应用，在多个领域中得到广泛的应用。
6-2 相似矩阵
B
相似， 或说矩阵 A 与 B 相似， 相似矩阵， 则称 B 是 A 的相似矩阵， 【性质】 若n阶方阵 与 B相似，则A与B的特征多项式相同 性质】 的特征多项式相同. 与 的特征多项式相同 (1)若 阶方阵 阶方阵A与 相似 相似， 相同的行列式,相同的秩 ，相同的特征值,相同的行列式 相同的秩 相同的特征值 相同的行列式
5 + a = 4 + b ∴ − (5a + 3) = −( 4 + 4b ) 6a − 6 = 4b
解得a = 5, b = 6
小结
1、相似矩阵的概念； 、相似矩阵的概念； 2、相似矩阵的性质及推论； 、相似矩阵的性质及推论；
作业 ： 173页习题 页习题6-2 页习题 2
第一节 特征值与特征向量
( x1 , x 2 , L , n )
那么
A ( x1 , x 2 ,L , x n ) =
或
( Ax1, Ax2 ,L, Axn ) = (λ1 x1, λ2 x2 ,L, λn xn )
第二节 相似矩阵
相似矩阵的概念及性质 方阵可对角化的条件及方法 问题与思考
6.2.2节 二（6.2.2节）、 方阵相似对角化问题
【定义6.3 】 若方阵 定义6.3 相似， A 能与一个对角阵 Λ相似，
则称 A 可以相似对角化. 【定理6.3 】 定理6.3 n 阶方阵 可以相似对角化的充要条件是 阶方阵A可以相似对角化的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量 有 个线性无关的特征向量
3 4 A= , 5 2
1 − 1 4 1 P = , Q = − 5 1 − 1 2
−1
1 − 1 3 4 1 − 1 1 9 −1 P AP = 5 2 − 1 2 = 2 4 − 1 2 4 1 3 4 4 1 − 2 −1 Q AQ = 5 2 − 5 1 = 0 − 5 1
第6章矩阵的特征值及特征向量的计算
λ
x
的特征值时， 是矩阵 A 的特征值时，相应的方程组 的特征向量。 ，称为矩阵 A 关于 λ 的特征向量。
(λ I − A) x = 0
的非零解
式及( 式看， 它只是代数方程求根及线性方程组求解的问题。 从 ( 6 . 1 ) 式及 ( 6 . 2 ) 式看 ， 它只是代数方程求根及线性方程组求解的问题 。 当 很小时（ 这种方法是可行的。 稍大时， 很小时（ 如 n = 2,3,4 ） ，这种方法是可行的。 但当 n 稍大时 ，多项式方 程是一个高次方程，求解它是一个很困难的问题。 程是一个高次方程，求解它是一个很困难的问题。 本章主要介绍四种目前在计算机上比较常用的计算矩阵的特征值和特征向 量的幂法、反幂法、雅可比法及雅可比过关法。 量的幂法、反幂法、雅可比法及雅可比过关法。
程序运行结果： 程序运行结果： Matrix 2.000000 3.000000 10. 10.000000 3.000000 3.000000 6.000000 Max EigenValue 11. 11.000002 Max EigenVector 0.500000 1.000000 0.750000
▪ 反幂法的基本思想
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值和相应的特征向 量的数值计算方法。 可逆， 量的数值计算方法 。 设某 n 阶矩阵 A 可逆 ， λ 和 ν 分别 的特征值和相应的特征向量， 为 A 的特征值和相应的特征向量 ， 并设 λi ≠ 0, i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n ， 1 −1 得 A −1 ν = 对 Aν = λ ν 两边同乘 A ， ν ，可见 A 和 A −1 的 λ 特征值互为倒数， 特征值互为倒数 ， 而且 ν 也是 A −1 的特征值 1 λ 的特征向 量。 A −1 的按模最大的特征值正是 A 的按模最小的特征值 的倒数， 的倒数 ， 用幂法计算 A −1 的按模最大的特征值而得到 A 的 按模最小的特征值的方法，称为反幂法。 按模最小的特征值的方法，称为反幂法。
第六章 矩阵的相似 特征值和特征向量教材
2 2
4 3
0 0
0
1 6
第 6章
2.3
矩阵的相似 特征值和特征向量
根与系 数 A 有相同 设 A 是 n 阶方阵，则 AT 与 的关系 Proof
特征值与特征向量的性质
Theorem 6.2
的特征值. Theorem 6.3 设 n 阶方阵 A = (aij) 的 n 个特征值为 1，2， ，n ，则
说明特征向量不是被特征值所唯一确定，相反，特
征值却是被特征向量所唯一确定。 一个特征向量只能属于一个特征值
若非零向量 x 是属于两个特征值 1，2 的特征向量, 1 x 2 x 则有 Ax 1x，Ax 2 x 即
于是 (1 2 ) x 0 又因为 x 0 所以 1 2 . A 的属于特征值 0 的全体特征向
A E 0 E A 0
ann ) n1 (1)n A ()
E A n (a11 a22
又因为 1，2， ，n 是 A 的全部特征值，故
E A ( 1 )( 2 ) ( n ) n (1 2 n ) n1 (1)n 12
2 2 1 1 3 5 2全部特征向量为 2 Solution : A 对应于 2 A k E 2 1 2 ( 1) (5 ) x （ k 是不为零的任意常数） 3 3 3 2 2 1
特征值是 1 2 1，3 5
未必有两 个
当 1 2 1， 解方程组 ( A E ) x 0 ( A 5E ) x 0 52 x 当 ， 解方程组 3x 1 0 2 2 x 0 1 2 3 0 1 4 2 2 1 1 x 0 x 1 解得基础解系 1 2 2 x 2 x 0 即 2 x 1 2 3 r 1 x 1 A 5E 2 4 2 0 1 1 1 2 x 3 2 x 2 x 0 解得基础解系
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这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵பைடு நூலகம்运算．
6.2.1、 相似矩阵的性质
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似.对A进 行运算 P1 AP称为对A进行相似变换 ,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 .
注 P1AP表示对n阶方阵A作一系列的初等行变换与 初等列变换，只是对初等变换的要求更高，即A右乘与 左乘的矩阵是互逆的。因此，相似变换是一种特殊的初 等变换，矩阵之间相似是矩阵之间等价的特殊情形.
从而也有 tr ( A) tr (B) 性质二、 见教材 P133 定理 5
性质3的一个推论 ：
若n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1,2,,n即是A的n个特征值.
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，相似矩阵的性质
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 A P，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
矩阵之间的相似关系具有如下等价关系
(1)反身性 A与A本身相似. (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
则A与C相似.
性质一：若 n阶方阵 A与 B相似，则有 1、 | A || B | 2、 R( A) R(B) 3、 A与 B有相同的特征多项式和 特征值 ;