线性代数第五章答案

第五章 相似矩阵及二次型

1. 试用施密特法把下列向量组正交化:

(1)⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;

解 根据施密特正交化方法

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==11111a b , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=-=101]

,[],[1112122b b b a b a b ,

⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b

(2)⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a

解 根据施密特正交化方法

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-==110111a b

⎪

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b

⎪

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b

2. 下列矩阵是不是正交阵:

(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--

-1

21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.

(2)⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛----

--979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.

3 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交阵

证明 因为 H T (E 2xx T )T E

2(xx T )T E 2(xx T )T

E 2(x T )T x T E 2xx T

所以H 是对称矩阵

因为

H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T )

E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E

所以H 是正交矩阵

4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A B 是n 阶正交阵, 故A 1

A T B

1

B T

(AB )T (AB )B T A T AB B 1A 1AB E

故AB 也是正交阵.

5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:

(1)⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----201335212;

解 3

)1(2013352

12||+-=-------=-λλ

λλλE A

故A 的特征值为1(三重). 对于特征值

1 由

⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+000110101101325213~E A

得方程(A E )x 0的基础解系p 1(1 1 1)T 向量p 1就是对应于特征值

1的

特征值向量.

(2)⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛633312321;

解 )

9)(1(6333123

21||-+-=---=-λλλλ

λλλE A

故A 的特征值为10 2

1

3

9.

对于特征值

1

0, 由

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110321633312321~A

得方程A x 0的基础解系p 1(1 1 1)T 向量p 1是对应于特征值

1

0的特征值

向量.

对于特征值

2

1, 由

⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+000100322733322322~E A

得方程(A E )x 0的基础解系p 2(1 1 0)T 向量p 2就是对应于特征值

2

1的

特征值向量 对于特征值

3

9, 由

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00021101113333823289~E A

得方程(A 9E )x 0的基础解系p 3(1/2 1/2 1)T 向量p 3就是对应于特征值

3

9的

特征值向量.

(3)⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛00

01001001001000

.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考） 解 22)1()1(0010100101

00||+-=----=

-λλλ

λλλλE A

故A 的特征值为121 34

1.

对于特征值

1

2

1, 由

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=+00

000000

0110100110

01011001101001~E A

得方程(A E )x 0的基础解系p 1(1 0 0 1)T p 2(0 1

1 0)T 向量p 1和

p 2是对应于特征值

1

2

1的线性无关特征值向量. 对于特征值

3

4

1, 由