第五章相似矩阵
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A的特征多项式可表示为：
| I A | ( 1 )( 2 ) (1 n )
n (1 2 n )n1 (1)n 12 n（. 5.6）
n
令 0,得 | A | (1)n 1 2 n ,即 | A | i . i 1
（2）因为
a11 | I A | a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
的行列式展开式中，主对角线上元素的乘积是其中一项：
( a11 ) ( a22 ) ( ann ). 而行列式展开后，每项为取自于不同行不同列的 n 个元素
乘积，展开式的其余项至多包含 (n 2)个主对角线上元素
. 因此，特征多项式中含 n 和 n1的项只能在主对角元
5.1.1 特征值和特征向量的概念
1. 定义5.1 设方阵 A [aij ] nn，若有数 和非零n
维向量X，使 AX X
（5.1）
成立，则称数 是方阵A的特征值，称向量X为方阵 A的对应于特征值 的特征向量。
问题是：如何找 与 X?
3 0 0
例1 设 A 0 3 0 由于 A 3I
问题：从上面例子可以看到，的一个特征值对应着无 穷多个特征向量. 那么的一个重特征值对应着多少个 线性无关的特征向量？而一个特征向量又能否对应不 同的特征值？这都是有待讨论的问题.
例4 设n阶方阵A满足等式 A2 A，证明A的特征值为1或0。
证 设 为A 特征值，则存在向量 X 0, 使 AX X .
3. 求一般矩阵A的特征值的方法。
将（5.1）式变形为：
(I A)X 0.
（5.2）
则齐次线性方程组（5.2）有非零解的充要条件是
| I A | 0.
a11 a12
即| A | a21 a22
a1n a2n 0
an1 an2 ann
4.特征多项式
为了方便起见，称 f ( ) | A | 为矩阵A
由此
A2 X A( AX ) A(X ) 2 X .
又 A2 A，故有 2 X X , 即 (2 )X 0.
因 此 X 0, 所 以 2 0,即 1或0.
例5 设 0 是方阵A对应于特征向量X的特征值，证明：
（1）对数 k , k0 是 kA 对应于特征向量X的特
征值；
（2）对正整数 l (l 向量X的特征值；
当 1 2 2 时,(2I A)X 0，即
3 3 3 0
3 3 3 X 0 ,
6 6 6 0
得解
X 1 k1[1, 1, 0]T k2 [1, 0, 1]T ,
因此，上式在 k1与k 2 不同时为0时，给出 A 关于
2 的全体特征向量 。
此时 2 是A的二重根，它对应有二个线性无
求一般矩阵A的特征值 零解，得到A的关于
i i
后，求方程组（5.2）的非 的全部特征向量。
例2 求下面矩阵A的特征值和特征向量。
1 3 3
A
3
5
3
6 6 4
解 1 3 3
| I A | 3 5 3 ( 2)2 ( 4).
6 6 4
由 | I A | 0 ，得
1 2 2, 3 4 .
求 得 特 征 向 量 ： X k [1, 1, 0]T , k 0 .
此时A的二重特征值-2,只对应一个线性无关的特征向量
[1, 1, 0]T . 当 4 时, (4I A)X 0，即
7 1 1 0 7 1 1 X 0 , 6 6 6 0
解得特征向量
X Leabharlann Baiduk [0, 1, 1]T , k 0 .
素乘积这一项中出现，故应有：
| I A | n (a11 a22 ann ) n1 (1)n | A |,
n
n
将它与（5.6）比较，即得 i aii .
i 1
i 1
6.方阵A的迹
n
n
tr（A）
i
aii
t 1
i 1
推论 n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值非零.
7.求一般矩阵A的对应特征值的特征向量的方法。
0 0 3
故任取
X R3 , X 0 都有 AX 3IX 3X.
由定义5.1，数3是A的特征值，任何一个非零三维向 量X都是A的特征向量。
2. 对类似上述特殊矩阵，较容易直接得到方程
AX X 的解X和数 。 但对一般方阵A而言， AX X
是绝大多数非零向量难以满足的方程，仅从矩阵A不 容易直接看出它的特征值和特征向量。
关的特征向量： [1, 1, 0]T , [1, 0, 1]T .
当 3 4 时,(4I A)X 0，即 求解得 X k [1, 1, 2]T .
3 3 3 0 3 9 3 X 0 , 6 6 0 0
k 0 给出A关于 4 的全体特征向量.
4 只对应一个线性无关的特征向量 [1, 1, 2]T .
的特征多项式
n 注： f ( ) 是一个 次多项式，方程 f () 0 在
复数域内必有n个根，它们就是矩阵的全部特征值. 从
而n阶方阵在复数域内有n个特征值.
例 求下面矩阵A的特征值。
1 3 3
A
3
5
3
6 6 4
解 1 3 3
| I A | 3 5 3 ( 2)2 ( 4).
2),
l0
1
是 Al 对应于特征
（3）若A是可逆的，则 向量X的特征值。
0
是
A1 对应于特征
例3 求
3 1 1 A 7 5 1
的特征值和特征向量。 6 6 2
解
3 1 1
| I A | 7 5 1 ( 2)2 ( 4) .
6 6 2
由| I A | 0，得 1 2 2, 3 4 .
当 1 2 2 时,(2I A)X 0，即
1 1 1 0 7 7 1 X 0 , 6 6 0 0
6 6 4
| I A | 0,得 1 2 2, 3 4 .
5.矩阵的特征值和矩阵的关系
定理5.1 设n阶方阵 A [aij ]nn
1 , 2 , , n , 则
(1) 12 n | A | .
的n个特征值为：
(2) 1 2 n a11 a22 ann .
证 (1）当 i , i 1, 2, , n 是的特征值时，
| I A | ( 1 )( 2 ) (1 n )
n (1 2 n )n1 (1)n 12 n（. 5.6）
n
令 0,得 | A | (1)n 1 2 n ,即 | A | i . i 1
（2）因为
a11 | I A | a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
的行列式展开式中，主对角线上元素的乘积是其中一项：
( a11 ) ( a22 ) ( ann ). 而行列式展开后，每项为取自于不同行不同列的 n 个元素
乘积，展开式的其余项至多包含 (n 2)个主对角线上元素
. 因此，特征多项式中含 n 和 n1的项只能在主对角元
5.1.1 特征值和特征向量的概念
1. 定义5.1 设方阵 A [aij ] nn，若有数 和非零n
维向量X，使 AX X
（5.1）
成立，则称数 是方阵A的特征值，称向量X为方阵 A的对应于特征值 的特征向量。
问题是：如何找 与 X?
3 0 0
例1 设 A 0 3 0 由于 A 3I
问题：从上面例子可以看到，的一个特征值对应着无 穷多个特征向量. 那么的一个重特征值对应着多少个 线性无关的特征向量？而一个特征向量又能否对应不 同的特征值？这都是有待讨论的问题.
例4 设n阶方阵A满足等式 A2 A，证明A的特征值为1或0。
证 设 为A 特征值，则存在向量 X 0, 使 AX X .
3. 求一般矩阵A的特征值的方法。
将（5.1）式变形为：
(I A)X 0.
（5.2）
则齐次线性方程组（5.2）有非零解的充要条件是
| I A | 0.
a11 a12
即| A | a21 a22
a1n a2n 0
an1 an2 ann
4.特征多项式
为了方便起见，称 f ( ) | A | 为矩阵A
由此
A2 X A( AX ) A(X ) 2 X .
又 A2 A，故有 2 X X , 即 (2 )X 0.
因 此 X 0, 所 以 2 0,即 1或0.
例5 设 0 是方阵A对应于特征向量X的特征值，证明：
（1）对数 k , k0 是 kA 对应于特征向量X的特
征值；
（2）对正整数 l (l 向量X的特征值；
当 1 2 2 时,(2I A)X 0，即
3 3 3 0
3 3 3 X 0 ,
6 6 6 0
得解
X 1 k1[1, 1, 0]T k2 [1, 0, 1]T ,
因此，上式在 k1与k 2 不同时为0时，给出 A 关于
2 的全体特征向量 。
此时 2 是A的二重根，它对应有二个线性无
求一般矩阵A的特征值 零解，得到A的关于
i i
后，求方程组（5.2）的非 的全部特征向量。
例2 求下面矩阵A的特征值和特征向量。
1 3 3
A
3
5
3
6 6 4
解 1 3 3
| I A | 3 5 3 ( 2)2 ( 4).
6 6 4
由 | I A | 0 ，得
1 2 2, 3 4 .
求 得 特 征 向 量 ： X k [1, 1, 0]T , k 0 .
此时A的二重特征值-2,只对应一个线性无关的特征向量
[1, 1, 0]T . 当 4 时, (4I A)X 0，即
7 1 1 0 7 1 1 X 0 , 6 6 6 0
解得特征向量
X Leabharlann Baiduk [0, 1, 1]T , k 0 .
素乘积这一项中出现，故应有：
| I A | n (a11 a22 ann ) n1 (1)n | A |,
n
n
将它与（5.6）比较，即得 i aii .
i 1
i 1
6.方阵A的迹
n
n
tr（A）
i
aii
t 1
i 1
推论 n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值非零.
7.求一般矩阵A的对应特征值的特征向量的方法。
0 0 3
故任取
X R3 , X 0 都有 AX 3IX 3X.
由定义5.1，数3是A的特征值，任何一个非零三维向 量X都是A的特征向量。
2. 对类似上述特殊矩阵，较容易直接得到方程
AX X 的解X和数 。 但对一般方阵A而言， AX X
是绝大多数非零向量难以满足的方程，仅从矩阵A不 容易直接看出它的特征值和特征向量。
关的特征向量： [1, 1, 0]T , [1, 0, 1]T .
当 3 4 时,(4I A)X 0，即 求解得 X k [1, 1, 2]T .
3 3 3 0 3 9 3 X 0 , 6 6 0 0
k 0 给出A关于 4 的全体特征向量.
4 只对应一个线性无关的特征向量 [1, 1, 2]T .
的特征多项式
n 注： f ( ) 是一个 次多项式，方程 f () 0 在
复数域内必有n个根，它们就是矩阵的全部特征值. 从
而n阶方阵在复数域内有n个特征值.
例 求下面矩阵A的特征值。
1 3 3
A
3
5
3
6 6 4
解 1 3 3
| I A | 3 5 3 ( 2)2 ( 4).
2),
l0
1
是 Al 对应于特征
（3）若A是可逆的，则 向量X的特征值。
0
是
A1 对应于特征
例3 求
3 1 1 A 7 5 1
的特征值和特征向量。 6 6 2
解
3 1 1
| I A | 7 5 1 ( 2)2 ( 4) .
6 6 2
由| I A | 0，得 1 2 2, 3 4 .
当 1 2 2 时,(2I A)X 0，即
1 1 1 0 7 7 1 X 0 , 6 6 0 0
6 6 4
| I A | 0,得 1 2 2, 3 4 .
5.矩阵的特征值和矩阵的关系
定理5.1 设n阶方阵 A [aij ]nn
1 , 2 , , n , 则
(1) 12 n | A | .
的n个特征值为：
(2) 1 2 n a11 a22 ann .
证 (1）当 i , i 1, 2, , n 是的特征值时，