矩阵相似的性质：矩阵相似例题
5[1].2矩阵的相似
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得特征向量 对 λ2 = 5 ，由
⎛1⎞ α1 = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠
⎛ 4 −4 −2 ⎞ ⎛2 ⎜ ⎟ ⎜ 5E − A = ⎜ 0 8 −4 ⎟ ⎯⎯ ⎜ 0 → ⎜ 0 −4 2 ⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 1 0 −1⎞ ⎛ 1 −2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎯⎯ ⎜ 0 −2 1 ⎟ ⎯⎯ ⎜ 0 −2 → → ⎜0 0 0 ⎟ ⎜0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 2⎞ 得特征向量 α2 = ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ 数学科学学院
于是有：
, λnα n ) ,
Aαi = λαi i
(i =1,2, , n).
列向量 α i是A的对应于特征值 λ i 的特征向量。
数学科学学院 徐
λ 由此可得： i是A的特征值，而相似变换矩阵P的
鑫
2008年11月1日星期六
n {α i }1为A的n个线性无关的特征 由于P可逆，故
向量.
n {α i } 1 充分性：设A有n个线性无关的特征向 充分性
2008年11月1日星期六
性质2 若A相似于B，则A与B有相同的特征多项式， 从而有相同的特征值。
−1 〖证〗设A相似于B,且存在可逆阵P,使 P AP = B,
于是
λ E − B = λ E − P−1 AP = P−1 (λ E − A) P
=| P −1 || λ E − A || P |=| λ E − A |
2 3 3 = − (λ + 1 ) −2−λ
所以A的特征值为 λ1 = λ 2 = λ 3 = −1. 把λ = −1代入( A − λE ) x = 0, 解之得基础解系 T ξ = (1,1,−1) ,
故A 不能化为对角矩阵.
第三节 相似矩阵
故 相似，则 故 · ·, n 即是 A 的 n 个特征值. 1 , 2 , ·
定理A 与 若矩阵 矩阵 B 相似 定理 若矩阵 矩阵 A B与 相似 , 且矩阵 A, 且矩阵
-1 与 -1 1A 可逆 则矩阵, B 也可逆 且 可逆, 则矩阵 B, 也可逆 且 A-1 与, B 相似 . B-1 相似.
量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵
的性质,可得
A ( P Λ P ) PΛ P
n n
1 n
1
3 (2) n 1 2 (2) n 3 3(2) n 2 3(2) n .
那么, 是否每个矩阵都能相似于对角矩阵? 如果能 相似于对角矩阵, 怎样求出这个对角矩阵及相应
能对角化的矩阵，我们称求对角矩阵 和可逆
矩阵 P 使 P-1AP = 的过程为把矩阵 A 对角化. 由前面的讨论可知, 当 A 的特征方程没有重根时, A 一定能对角化; 当 A 的特征方程有重根时,这时
A 不一定有 n 个线性无关的特征向量, 所以 A 不
一定能对角化.
三、矩阵对角化的步骤
二、相似矩阵的性质
相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系 具有下面的性质:
(1) 自反性 (2) 对称性
即一个矩阵与它自身相似; 即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,
则矩阵 B 也相似于矩阵 A;
(3) 传递性
即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,
而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C.
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的
步骤如下：
相似矩阵
性质 1. 定理 定理4.4 （P.184） A ~ B ⇒ A,B 的特征值相同。 的特征值相同。 ） A ~ B ⇐ A,B 的特征值相同。 的特征值相同。
1 0 1 − 1 例如： 例如： 与 1 0 1 0 证明思路： 证明思路：欲证 |λI-B|= |λI-A| 证明： 则存在可逆矩阵P， 证明：设 A B，则存在可逆矩阵 ，使得
注： 1. 能否取
− 1 0 − 2 P = ( X1 , X 3 , X 2 ) = 1 0 1 1 1 0 λi:－2 1 1 －
同一对角阵， 可能不唯一 可能不唯一。 同一对角阵，P可能不唯一。
能！
− 2 − 1 0 1 1 0 则 ＝ 2. 若 Λ＝ －2 ， P＝( X 2 , X 1 , X 3 ) = 1 0 1 1 1 -2 1 λ I: 1
§4.2
（一）、相似矩阵的概念及性质 ）、相似矩阵的概念及性质 概念 定义4.3（ 定义 （P183） 对于矩阵 、B，如果存在 ） 对于矩阵A、 ，如果存在 可逆矩阵P， 可逆矩阵 ，使
P −1 AP = B
则称 A与 B 相似， 记为 A B 与 相似， 记为: 化成” 即 A 可“化成” B . 注 不一定可逆。 （1） A, B 不一定可逆。 ） （2） 有以下几个结果： ） 有以下几个结果：
例
λ+2 0 0 λ −a −2 由 | λI − A |= − 2 λ − a − 2 = ( λ + 2) − 1 λ −1 − 3 −1 λ −1
由性质知， 与 有相同的行列式 有相同的行列式， 又 由性质知，A与B有相同的行列式， = λ2 − λ − 2
第六章相似矩阵
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵பைடு நூலகம்运算．
6.2.1、 相似矩阵的性质
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似.对A进 行运算 P1 AP称为对A进行相似变换 ,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 .
注 P1AP表示对n阶方阵A作一系列的初等行变换与 初等列变换，只是对初等变换的要求更高，即A右乘与 左乘的矩阵是互逆的。因此，相似变换是一种特殊的初 等变换，矩阵之间相似是矩阵之间等价的特殊情形.
从而也有 tr ( A) tr (B) 性质二、 见教材 P133 定理 5
性质3的一个推论 ：
若n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1,2,,n即是A的n个特征值.
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，相似矩阵的性质
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 A P，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
矩阵之间的相似关系具有如下等价关系
(1)反身性 A与A本身相似. (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
则A与C相似.
性质一：若 n阶方阵 A与 B相似，则有 1、 | A || B | 2、 R( A) R(B) 3、 A与 B有相同的特征多项式和 特征值 ;
4.2相似矩阵
2. 相似不变性
若A ∼ B，则
（1）r ( A) = r ( B ) （2） A = B
( P −1 AP = B ⇒ P −1 AP = B ⇒ P −1 A P = A = B )
（3） λ E − A = λ E − B ， 与B的特征值亦相同. A
A ∼ B ⇒ 有可逆阵P , 使得P −1 AP = B
∴ λ E − B = P −1 ( λ E ) P − P −1 AP = P −1 ( λ E − A ) P
= P −1 λ E − A P = λ E − A .
(4)
∑a = ∑ λ = ∑b
i =1 ii i =1 i i =1
n
n
n
ii
由相似不变性3， 由相似不变性 ，得 推论： 推论： 若 n 阶方阵 与对角阵 Λ = diag (λ 1 ,⋯ , λ n), 阶方阵A与对角阵 相似, 相似 则 λ1 , λ 2 , ⋯ , λ n即是 A的 n个特征值 .
=0
得 λ1 = λ2 = 2, λ3 = −7.
2 2 可见 P −1 AP = . －7
Hale Waihona Puke （2）求A的特征向量 ） 的特征向量
将 λ1 = λ2 = 2代入 ( λ1 E − A ) x = 0, 得方程组
x1 + 2 x2 − 2 x3 = 0 2 x1 + 4 x2 − 4 x3 = 0 −2 x − 4 x + 4 x = 0 1 2 3
−2 1 −2 例如 A = −5 3 −3 1 0 2
λ＋ 2 λ E－ A =
5 －1 －1 λ－ 3 0 2 3
矩阵相似例题
矩阵相似例题摘要：一、矩阵相似的定义与性质1.矩阵相似的定义2.矩阵相似的性质二、矩阵相似的判定方法1.秩相似2.行列式相似3.迹相似4.标准型相似三、矩阵相似的应用1.矩阵对角化2.线性变换的性质3.矩阵函数的性质四、矩阵相似的例题解析1.矩阵相似的判定例题2.矩阵相似的应用例题正文：矩阵相似是线性代数中的一个重要概念，它涉及到矩阵的性质及其应用。
本文将详细介绍矩阵相似的定义、性质、判定方法及其应用。
一、矩阵相似的定义与性质矩阵相似是指存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A 与矩阵B 满足关系式：B = P^(-1) * A * P。
其中，A 和B 称为相似矩阵。
矩阵相似具有以下性质：1.相似矩阵具有相同的特征多项式；2.相似矩阵具有相同的行列式值；3.相似矩阵具有相同的迹；4.相似矩阵具有相同的秩。
二、矩阵相似的判定方法矩阵相似的判定方法有多种，常见的有以下四种：1.秩相似：当两个矩阵的秩相等时，它们是相似矩阵；2.行列式相似：当两个矩阵的行列式值相等时，它们是相似矩阵；3.迹相似：当两个矩阵的迹相等时，它们是相似矩阵；4.标准型相似：当两个矩阵具有相同的标准型时，它们是相似矩阵。
三、矩阵相似的应用矩阵相似在许多领域都有广泛的应用，例如：1.矩阵对角化：通过矩阵相似可以将一个矩阵对角化，从而简化矩阵的运算和求解线性方程组；2.线性变换的性质：线性变换的性质可以通过矩阵相似进行研究；3.矩阵函数的性质：矩阵函数的性质也可以通过矩阵相似进行研究。
四、矩阵相似的例题解析以下是一些关于矩阵相似的例题：1.矩阵相似的判定例题：已知矩阵A 和B，如何判定它们是否相似？2.矩阵相似的应用例题：已知矩阵A，如何通过矩阵相似将其对角化？。
4.3 相似矩阵
2、相似与等价的关系： 矩阵A与B等价 存在可逆矩阵P,Q，使得 B PAQ 矩阵A与B相似 存在可逆矩阵P，使得 B P1AP
相似必等价；等价未必相似
第4章 相似矩阵及二次型 4
3、性质 定理1 如果n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.
1 0 … 0
P=
(1, …, n)
0 …
2
…
…0 ……
0 0 … n
=(11, …, nn)
(A1, …, An) = (11, …, nn) Ai = ii (i=1,2,…,n)
第4章 相似矩阵及二次型 9
一方面：
若A~ =
1 0 … 0 0 2 … 0
解 A的特征值为： 1 1, 2 3 3
3
1=1的一个特征向量 1 1
3
2= 3=3，解方程(3I－A)X=0，
1
得基础解系： 2
1
1
只有一个线性无关 的特征向量 不可对角化
第4章 相似矩阵及二次型 15
5
1 4
1
,
B
0
0 1
2
,
P
1
5
1 5 ,
P 1
6
1 6
1
6
,
1 6
P1 AP B
所以 A B
第4章 相似矩阵及二次型 3
一、方阵相似的定义及性质
1、概念 设A,B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得
P-1AP =B,
相似矩阵的例子
相似矩阵的例子
1. 嘿，你看那两个矩阵，就像一对双胞胎一样，比如说一个 2x2 的矩阵[1 2; 3 4]和另一个[1 2; 3 4]，这多明显是相似矩阵呀！这就好像是两个长得一模一样的人站在你面前，你能不觉得神奇吗？
2. 哇哦，再想想，像[2 4; 6 8]和[1 2; 3 4]这样的矩阵也是相似矩阵呢！可以类比成两个人穿着不同的衣服，但本质上还是很相似的呀，这是不是很有意思？
3. 嘿呀，还有那种有旋转变化的矩阵，就如同一个人在跳舞转身，比如[0 1; -1 0]经过某种变换后与另外一个矩阵相似，这难道不是很奇妙吗？
4. 你瞧，矩阵[3 0; 0 3]和矩阵[1 0; 0 1]也是相似矩阵哦，就好像两个不同性格的人其实有着相似的内心，这多特别呀！
5. 哎呀呀，再看看[0 1; 1 0]和[1 0; 0 1]这两个矩阵呀，是不是很像两片对称的树叶呀，可它们也是相似矩阵呢！
6. 还有啊，[2 0 0; 0 3 0; 0 0 4]和经过一些变换后的另一个矩阵也是相似矩阵呢，这就如同在一个大舞台上，虽然表现形式不同，但内在是相似的呀！
总之，相似矩阵有着各种各样神奇有趣的例子，就像生活中充满了各种奇妙的相似之处一样，真的是太让人大开眼界啦！。
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1 矩阵的相似
1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形
2 相似的条件
3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】）
矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似
定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质
（1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE.
（2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。
（3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。
已知有X,Y使B?X?1AX，
C?Y?1BY。
令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。
3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；
Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）
=秩（PA）=秩（AQ）
证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩
?1
（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）
（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即
P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)
证明设f(x)?anx?an?1x
nn
n?1
a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E
于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1B
n?1
kk
由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得
Bk?X?1AkX，
?1?1
anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X
?a1A?a0E?X
?anX?1AnX?an?1X?1An?1X? ?anBn?an?1Bn?1? ?f(B) 所以f(A)相似于
f(B)。
?a1X?1AX?a0E
a1B?a0E
（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；
证明设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式
?1?1
AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。
得B?CAC?C
又由性质（2）知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值?1,?2,
A的迹trA12?
矩阵有相同的迹
,?n，而
n，B的迹trB12?n，从而trA?trB，即相似
（4）A与B有相同的Jordan标准形；（5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。
证明设A与B相似，由性质2可知A?B，若A可逆，即A?0，从而B?0，故B
可逆；若A不可逆，即A=0，从而B=0,故B不可逆。
（6）若
?1
证明A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得B?PAP,C与D相似，即存在可逆矩阵Q,
A与B相似，B与D相似，则?
?A0B0?
?与相似。