矩阵相似的性质：矩阵相似例题
1 矩阵的相似
1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形
2 相似的条件
3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】）
矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似
定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质
（1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE.
（2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。
（3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。
已知有X,Y使B?X?1AX，
C?Y?1BY。
令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。
3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；
Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）
=秩（PA）=秩（AQ）
证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩
?1
（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）
（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即
P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)
证明设f(x)?anx?an?1x
nn
n?1
a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E
于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1B
n?1
kk
由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得
Bk?X?1AkX，
?1?1
anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X
?a1A?a0E?X
?anX?1AnX?an?1X?1An?1X? ?anBn?an?1Bn?1? ?f(B) 所以f(A)相似于
f(B)。
?a1X?1AX?a0E
a1B?a0E
（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；
证明设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式
?1?1
AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。
得B?CAC?C
又由性质（2）知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值?1,?2,
A的迹trA12?
矩阵有相同的迹
,?n，而
n，B的迹trB12?n，从而trA?trB，即相似
（4）A与B有相同的Jordan标准形；（5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。
证明设A与B相似，由性质2可知A?B，若A可逆，即A?0，从而B?0，故B
可逆；若A不可逆，即A=0，从而B=0,故B不可逆。
（6）若
?1
证明A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得B?PAP,C与D相似，即存在可逆矩阵Q,
A与B相似，B与D相似，则?
?A0B0?
?与相似。
5[1].2矩阵的相似
![5[1].2矩阵的相似](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/113236ec0975f46527d3e1ad.webp)
得特征向量 对 λ2 = 5 ，由
⎛1⎞ α1 = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠
⎛ 4 −4 −2 ⎞ ⎛2 ⎜ ⎟ ⎜ 5E − A = ⎜ 0 8 −4 ⎟ ⎯⎯ ⎜ 0 → ⎜ 0 −4 2 ⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 1 0 −1⎞ ⎛ 1 −2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎯⎯ ⎜ 0 −2 1 ⎟ ⎯⎯ ⎜ 0 −2 → → ⎜0 0 0 ⎟ ⎜0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 2⎞ 得特征向量 α2 = ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ 数学科学学院
于是有：
, λnα n ) ,
Aαi = λαi i
(i =1,2, , n).
列向量 α i是A的对应于特征值 λ i 的特征向量。
数学科学学院 徐
λ 由此可得： i是A的特征值，而相似变换矩阵P的
鑫
2008年11月1日星期六
n {α i }1为A的n个线性无关的特征 由于P可逆，故
向量.
n {α i } 1 充分性：设A有n个线性无关的特征向 充分性
2008年11月1日星期六
性质2 若A相似于B，则A与B有相同的特征多项式， 从而有相同的特征值。
−1 〖证〗设A相似于B,且存在可逆阵P,使 P AP = B,
于是
λ E − B = λ E − P−1 AP = P−1 (λ E − A) P
=| P −1 || λ E − A || P |=| λ E − A |
2 3 3 = − (λ + 1 ) −2−λ
所以A的特征值为 λ1 = λ 2 = λ 3 = −1. 把λ = −1代入( A − λE ) x = 0, 解之得基础解系 T ξ = (1,1,−1) ,
故A 不能化为对角矩阵.
第三节 相似矩阵
故 相似，则 故 · ·, n 即是 A 的 n 个特征值. 1 , 2 , ·
定理A 与 若矩阵 矩阵 B 相似 定理 若矩阵 矩阵 A B与 相似 , 且矩阵 A, 且矩阵
-1 与 -1 1A 可逆 则矩阵, B 也可逆 且 可逆, 则矩阵 B, 也可逆 且 A-1 与, B 相似 . B-1 相似.
量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵
的性质,可得
A ( P Λ P ) PΛ P
n n
1 n
1
3 (2) n 1 2 (2) n 3 3(2) n 2 3(2) n .
那么, 是否每个矩阵都能相似于对角矩阵? 如果能 相似于对角矩阵, 怎样求出这个对角矩阵及相应
能对角化的矩阵，我们称求对角矩阵 和可逆
矩阵 P 使 P-1AP = 的过程为把矩阵 A 对角化. 由前面的讨论可知, 当 A 的特征方程没有重根时, A 一定能对角化; 当 A 的特征方程有重根时,这时
A 不一定有 n 个线性无关的特征向量, 所以 A 不
一定能对角化.
三、矩阵对角化的步骤
二、相似矩阵的性质
相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系 具有下面的性质:
(1) 自反性 (2) 对称性
即一个矩阵与它自身相似; 即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,
则矩阵 B 也相似于矩阵 A;
(3) 传递性
即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,
而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C.
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的
步骤如下：
相似矩阵
性质 1. 定理 定理4.4 （P.184） A ~ B ⇒ A,B 的特征值相同。 的特征值相同。 ） A ~ B ⇐ A,B 的特征值相同。 的特征值相同。
1 0 1 − 1 例如： 例如： 与 1 0 1 0 证明思路： 证明思路：欲证 |λI-B|= |λI-A| 证明： 则存在可逆矩阵P， 证明：设 A B，则存在可逆矩阵 ，使得
注： 1. 能否取
− 1 0 − 2 P = ( X1 , X 3 , X 2 ) = 1 0 1 1 1 0 λi:－2 1 1 －
同一对角阵， 可能不唯一 可能不唯一。 同一对角阵，P可能不唯一。
能！
− 2 − 1 0 1 1 0 则 ＝ 2. 若 Λ＝ －2 ， P＝( X 2 , X 1 , X 3 ) = 1 0 1 1 1 -2 1 λ I: 1
§4.2
（一）、相似矩阵的概念及性质 ）、相似矩阵的概念及性质 概念 定义4.3（ 定义 （P183） 对于矩阵 、B，如果存在 ） 对于矩阵A、 ，如果存在 可逆矩阵P， 可逆矩阵 ，使
P −1 AP = B
则称 A与 B 相似， 记为 A B 与 相似， 记为: 化成” 即 A 可“化成” B . 注 不一定可逆。 （1） A, B 不一定可逆。 ） （2） 有以下几个结果： ） 有以下几个结果：
例
λ+2 0 0 λ −a −2 由 | λI − A |= − 2 λ − a − 2 = ( λ + 2) − 1 λ −1 − 3 −1 λ −1
由性质知， 与 有相同的行列式 有相同的行列式， 又 由性质知，A与B有相同的行列式， = λ2 − λ − 2
第六章相似矩阵
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵பைடு நூலகம்运算．
6.2.1、 相似矩阵的性质
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似.对A进 行运算 P1 AP称为对A进行相似变换 ,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 .
注 P1AP表示对n阶方阵A作一系列的初等行变换与 初等列变换，只是对初等变换的要求更高，即A右乘与 左乘的矩阵是互逆的。因此，相似变换是一种特殊的初 等变换，矩阵之间相似是矩阵之间等价的特殊情形.
从而也有 tr ( A) tr (B) 性质二、 见教材 P133 定理 5
性质3的一个推论 ：
若n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1,2,,n即是A的n个特征值.
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，相似矩阵的性质
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 A P，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
矩阵之间的相似关系具有如下等价关系
(1)反身性 A与A本身相似. (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
则A与C相似.
性质一：若 n阶方阵 A与 B相似，则有 1、 | A || B | 2、 R( A) R(B) 3、 A与 B有相同的特征多项式和 特征值 ;
4.2相似矩阵
2. 相似不变性
若A ∼ B，则
（1）r ( A) = r ( B ) （2） A = B
( P −1 AP = B ⇒ P −1 AP = B ⇒ P −1 A P = A = B )
（3） λ E − A = λ E − B ， 与B的特征值亦相同. A
A ∼ B ⇒ 有可逆阵P , 使得P −1 AP = B
∴ λ E − B = P −1 ( λ E ) P − P −1 AP = P −1 ( λ E − A ) P
= P −1 λ E − A P = λ E − A .
(4)
∑a = ∑ λ = ∑b
i =1 ii i =1 i i =1
n
n
n
ii
由相似不变性3， 由相似不变性 ，得 推论： 推论： 若 n 阶方阵 与对角阵 Λ = diag (λ 1 ,⋯ , λ n), 阶方阵A与对角阵 相似, 相似 则 λ1 , λ 2 , ⋯ , λ n即是 A的 n个特征值 .
=0
得 λ1 = λ2 = 2, λ3 = −7.
2 2 可见 P −1 AP = . －7
Hale Waihona Puke （2）求A的特征向量 ） 的特征向量
将 λ1 = λ2 = 2代入 ( λ1 E − A ) x = 0, 得方程组
x1 + 2 x2 − 2 x3 = 0 2 x1 + 4 x2 − 4 x3 = 0 −2 x − 4 x + 4 x = 0 1 2 3
−2 1 −2 例如 A = −5 3 −3 1 0 2
λ＋ 2 λ E－ A =
5 －1 －1 λ－ 3 0 2 3
矩阵相似例题
矩阵相似例题摘要：一、矩阵相似的定义与性质1.矩阵相似的定义2.矩阵相似的性质二、矩阵相似的判定方法1.秩相似2.行列式相似3.迹相似4.标准型相似三、矩阵相似的应用1.矩阵对角化2.线性变换的性质3.矩阵函数的性质四、矩阵相似的例题解析1.矩阵相似的判定例题2.矩阵相似的应用例题正文：矩阵相似是线性代数中的一个重要概念，它涉及到矩阵的性质及其应用。
本文将详细介绍矩阵相似的定义、性质、判定方法及其应用。
一、矩阵相似的定义与性质矩阵相似是指存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A 与矩阵B 满足关系式：B = P^(-1) * A * P。
其中，A 和B 称为相似矩阵。
矩阵相似具有以下性质：1.相似矩阵具有相同的特征多项式；2.相似矩阵具有相同的行列式值；3.相似矩阵具有相同的迹；4.相似矩阵具有相同的秩。
二、矩阵相似的判定方法矩阵相似的判定方法有多种，常见的有以下四种：1.秩相似：当两个矩阵的秩相等时，它们是相似矩阵；2.行列式相似：当两个矩阵的行列式值相等时，它们是相似矩阵；3.迹相似：当两个矩阵的迹相等时，它们是相似矩阵；4.标准型相似：当两个矩阵具有相同的标准型时，它们是相似矩阵。
三、矩阵相似的应用矩阵相似在许多领域都有广泛的应用，例如：1.矩阵对角化：通过矩阵相似可以将一个矩阵对角化，从而简化矩阵的运算和求解线性方程组；2.线性变换的性质：线性变换的性质可以通过矩阵相似进行研究；3.矩阵函数的性质：矩阵函数的性质也可以通过矩阵相似进行研究。
四、矩阵相似的例题解析以下是一些关于矩阵相似的例题：1.矩阵相似的判定例题：已知矩阵A 和B，如何判定它们是否相似？2.矩阵相似的应用例题：已知矩阵A，如何通过矩阵相似将其对角化？。
4.3 相似矩阵
2、相似与等价的关系： 矩阵A与B等价 存在可逆矩阵P,Q，使得 B PAQ 矩阵A与B相似 存在可逆矩阵P，使得 B P1AP
相似必等价；等价未必相似
第4章 相似矩阵及二次型 4
3、性质 定理1 如果n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.
1 0 … 0
P=
(1, …, n)
0 …
2
…
…0 ……
0 0 … n
=(11, …, nn)
(A1, …, An) = (11, …, nn) Ai = ii (i=1,2,…,n)
第4章 相似矩阵及二次型 9
一方面：
若A~ =
1 0 … 0 0 2 … 0
解 A的特征值为： 1 1, 2 3 3
3
1=1的一个特征向量 1 1
3
2= 3=3，解方程(3I－A)X=0，
1
得基础解系： 2
1
1
只有一个线性无关 的特征向量 不可对角化
第4章 相似矩阵及二次型 15
5
1 4
1
,
B
0
0 1
2
,
P
1
5
1 5 ,
P 1
6
1 6
1
6
,
1 6
P1 AP B
所以 A B
第4章 相似矩阵及二次型 3
一、方阵相似的定义及性质
1、概念 设A,B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得
P-1AP =B,
相似矩阵的例子
相似矩阵的例子
1. 嘿，你看那两个矩阵，就像一对双胞胎一样，比如说一个 2x2 的矩阵[1 2; 3 4]和另一个[1 2; 3 4]，这多明显是相似矩阵呀！这就好像是两个长得一模一样的人站在你面前，你能不觉得神奇吗？
2. 哇哦，再想想，像[2 4; 6 8]和[1 2; 3 4]这样的矩阵也是相似矩阵呢！可以类比成两个人穿着不同的衣服，但本质上还是很相似的呀，这是不是很有意思？
3. 嘿呀，还有那种有旋转变化的矩阵，就如同一个人在跳舞转身，比如[0 1; -1 0]经过某种变换后与另外一个矩阵相似，这难道不是很奇妙吗？
4. 你瞧，矩阵[3 0; 0 3]和矩阵[1 0; 0 1]也是相似矩阵哦，就好像两个不同性格的人其实有着相似的内心，这多特别呀！
5. 哎呀呀，再看看[0 1; 1 0]和[1 0; 0 1]这两个矩阵呀，是不是很像两片对称的树叶呀，可它们也是相似矩阵呢！
6. 还有啊，[2 0 0; 0 3 0; 0 0 4]和经过一些变换后的另一个矩阵也是相似矩阵呢，这就如同在一个大舞台上，虽然表现形式不同，但内在是相似的呀！
总之，相似矩阵有着各种各样神奇有趣的例子，就像生活中充满了各种奇妙的相似之处一样，真的是太让人大开眼界啦！。
第三节相似矩阵
第三节相似矩阵第三节相似矩阵分布图⽰★相似矩阵与相似变换的概念★例1 ★相似矩阵的性质★例2 ★相似矩阵的特征值与特征向量★矩阵与对⾓矩阵相似的条件★例3 ★例4★矩阵可对⾓化的条件★矩阵对⾓化的步骤★例5 ★例6★利⽤矩阵对⾓化计算矩阵多项式★矩阵对⾓化在微分⽅程组中的应⽤★例7 ★约当形矩阵的概念★例8 ★例9 ★例10★内容⼩结★课堂练习★习题4-3内容要点⼀、相似矩阵的概念定义1 设B A ,都是n 阶矩阵, 若存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1,则称B 是A 的相似矩阵, 并称矩阵A 与B 相似.记为B A ~.对A 进⾏运算AP P 1-称为对A 进⾏相似变换, 称可逆矩阵P 为相似变换矩阵. 矩阵的相似关系是⼀种等价关系，满⾜:(1) 反⾝性: 对任意n 阶矩阵A ,有A A 与相似; (2) 对称性: 若B A 与相似, 则B 与A 相似;(3) 传递性: 若A 与B 相似, 则B 与C 相似, 则A 与C 相似. 两个常⽤运算表达式： (1) ))((111BP P AP P ABP P ---=;(2) BP lP AP kP P lB kA P 111)(---+=+, 其中l k ,为任意实数.⼆、相似矩阵的性质定理1 若n 阶矩阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从⽽A 与B 的特征值亦相同.相似矩阵的其它性质: (1) 相似矩阵的秩相等; (2) 相似矩阵的⾏列式相等;(3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.三、矩阵与对⾓矩阵相似的条件定理2 n 阶矩阵A 与对⾓矩阵=Λn λλλ21相似的充分必要条件为矩阵A 有n 个线性⽆关的特征向量.注: 定理的证明过程实际上已经给出了把⽅阵对⾓化的⽅法.推论1 若n 阶矩阵A 有n 个相异的特征值n λλλ,,,21 ,则A 与对⾓矩阵=Λn λλλ21 相似.对于n 阶⽅阵A ,若存在可逆矩阵P , 使Λ=-AP P 1为对⾓阵, 则称⽅阵A 可对⾓化.定理3 n 阶矩阵A 可对⾓化的充要条件是对应于A 的每个特征值的线性⽆关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数. 即设i λ是矩阵A 的i n 重特征值, 则A 与Λ相似),,2,1()(n i n n E A r i i =-=-?λ。
相似矩阵的有关性质及其应用
相似矩阵的有关性质及其应用作 者 王国强 数学系 数学与应用数学专业 指导教师 金银来 数学系 教授摘要 若矩阵P 可逆,则矩阵P -1AP 与A 称为相似。
相似矩阵有很多应用。
例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。
本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。
关键词：相似矩阵；对角化；Jordan 标准型；特征向量；特征值Abstract: There are a lot of applications about similar matrix. For example, we candiscuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into. In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance.Keywords: similar matrices; diagonal matrix; Jordan ’s normal form; characteristic value; characteristic vector1 相似矩阵有关定义定义1.1设A,B 是n 阶方阵,如果存在可逆阵P 使得P -1AP=B,则称矩阵A 与B 相似.定义 1.2矩阵A 相似于对角阵,则称A 可相似对角化,即存在可逆阵P 使),,(2,11n diag AP P λλλ =-,n λλ,,1 为A 的n 个特征值.2 相似矩阵有关性质a. 已知P -1AP=B,即A 相似于B,则ⅰ) |A|=|B|; ⅱ) t r (A)=t r (B); ⅲ) |A-λI |=|B-λI |.b. 若A 与B 都可对角化,则A 与B 相似的充分条件是A 与B 由相同的特征多项式.c. A 的属于同一特征值i λ的特征向量的线形组合只要不是零向量, 仍是对应i λ的特征向量.d. A 的属于不同特征值的特征向量线形无关.e. 实对称矩阵A 的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交.f. 若λ是实对称矩阵A 的r 重特征值,则A 对应特征值λ恰有r 个线性 无关的特征向量.g. 任何一个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵J 相似. h. 对n 阶方阵A ，以下三条等价: ⑴A 可对角化;⑵A 有n 个特征值（重根按重数计），且∀r （＞1）重特征值λ; ⑶A 有n 个线性无关的特征向量.i. 对角化的基本方法有如下两种:特征值法,特征向量法.3 相似矩阵在微分方程中的应用许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）的问题.因此,如何求解微分方程（组）是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量,约当标准形在其中的应用.3.1 将常系数线性微分方程组⎝⎛+++=+++=+++=.;;22112222121212121111n nn n n n n n n n u a u a u a dtduu a u a u a dt du u a u a u a dt du (3-1)写成矩阵形式为Au dtdu= (3-2)其中u=(T n u u u ),,,21 ,n n ij a A *)(=为系数矩阵,令(3-2)式的解u=x e t λ, (3-3)即 (T n u u u ),,,21 =T n t x x x e ),,,(21 λ. 将(3-3)式代入（3-2）得λx e t λ=A x e t λ=Ax e t λ,化简得X AX λ=,即(3-3)式中λ为A 的特征值,X 为λ对应的特征向量;若A 可对角化,则存在n 个线性无关的特征向量,,,,21n x x x 于是得到(3-2)式的n 个线性无关的特解.u 1=111x e t λ, u 2=22x e t λ,, u n =n t x e n λ.它们的线性组合 =u c 1111x e t λ+c222x e t λ+…+cnn t x e n λ,(3-4)(其中n c c c ,,,21 为任意常数)为(3-1)式的一般解,将(3-4)式改写成矩阵形式u=),,,(21n x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ttt n e e e λλλ 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21, 记 c=(n c c c ,,,21 )T ,Λt e =diag (t t t n e e e λλλ,,,21 ) p=),,,(21n x x x ,则(3-1)式或(3-2)式有一般解c pe u t ∆=(3-5) 对于初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==∆=00,u t u u dt du(3-6) 解为01u p pe u t -∆=(3-7)因为t=0代入(3-5)式得 c=01u p -. 例3.1 解线性常系数微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+=.2;54;313212211x x dt dx x x dt dx x x dt dx 已知初始值为: .2)0(,1)0(,1)0(321=-==x x x解 本题的初始值问题为⎪⎩⎪⎨⎧-===Tx x Axdt dx)2,1,1()0(0其中 110450102A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,可得A 的约当标准形,即有可逆矩阵 P =012025111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-3001300021J AP P . 由(3-7)式,该初值问题的解为01x P Pe X tJ -=(3-8)其中 ,!)(!2)(2 +++++=n tJ tJ tJ I e ntJ(3-9)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n n n nn C J 30033000230013000211 (3-10)将(3-10)式代入(3-9)式得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t tJ e te e e e 333200000(3-11)再将(3-11)式及1,-P P 代入(3-8)式得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t tt t t t te t e e t e t e te e et x t x t x x 32333332321)34(2)61()31(21101202511300000111520210)()()( 例3.2 解线性微分方程组11111221221122221122..............................n n n n n n n nn n dx a x a x a x dt dx a x a x a x dtdx a x a x a xdt⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪⎪⎪=+++⎪⎩(3-12)解 令12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,12n dx dt dx dX dt dt dx dt ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组(3-12)可表示成矩阵形式 dXAX dt= (3-13)假设A 可以相似对角化,即存在可逆矩阵P ,使得112(,,,)n P AP diag λλλ-=其中12,,,n λλλ为A 的全部特征值.于是令X PY=(3-14) 其中12(,,,)T n Y y y y =,将式(3-14)代入式(3-13)，得()d PY APY dt= 即dYPAPY dt=(3-15)在上式两端同时左乘1P -,得112(,,)n dYP APY diag Y dtλλλ-==即111222n n n dy y dt dy y dtdy ydtλλλ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ 将上式积分,得121122,,,n tt t n n y C e y C e y C e λλλ===(3-16) 其中1C ,2C ,,n C 为积分常数.将式(3-16)代入(3-15)式,可得121122n t tt n n X C Pe C P e C P e λλλ=+++其中i P 为矩阵P 的第i 列,也是A 的对应于特征值i λ的特征向量,1,2,,i n =.3.2 对于n 阶线性齐次常系数微分方程1111()()()()0n n n n n n d x t d x t dx t a a a x t dt dtdt---++++=(3-17) 可令2112321,,,,n n n dx d xd xx x x x x dt dtdt--==== 于是可得与方程(3-17)同解的方程组12231121n n n ndx x dt dx x dt dx a x a x a x dt-⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=----⎪⎩(3-18)式(3-18)可写成矩阵形式dXAX dt=(3-19) 其中12(,,)T n X x x x =,12(,,,)T n dx dx dx dXdt dt dt dt=, 11010000001n n A a a a -=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组,然后再利用特征值和特征向量求解.例3.3 求解微分方程323234120d x d x dx x dt dt dt--+=(3-20)解 令21232,,x x dx d xx x dt dt===于是(3-20)式可变成等价的方程组122331231243dx x dt dx x dt dx x x x dt ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-++⎪⎩即dXAX dt= 其中 123(,,)T X x x x =,312(,,)T dx dx dx dX dt dt dt dt=,010*******A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可求得A 的特征值为1233,2,2λλλ===-，对应的特征向量分别为123(1,3,9),(1,2,4),(1,2,4)T T T X X X ===-于是由上例知,312112233t tt X C C C X eX e X e λλλ=++322123111322944t t t C C C e e e -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而3221123t t t C C C x x e e e -==++ 其中(1,2,3)i C i =为任意常数.4 相似矩阵在现实生活中的应用例4.1 污染与环境发展的增长模型——发展与环境已成为21世纪各国政府关注的重点,为了定量分析污染与工业发展间的关系，我们可提出以下的工业增长模型:解 设x 0是某地区目前的污染水平（以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位）,y 0是目前的工业发展水平（以某种工业发展指数为测量单位）,以5年作为一个期间,第t 个期间的污染和工业发展水平分别记为x t 和y t ,它们之间的关系是：1111322t t t t t t x x y y x y ----=+⎧⎨=+⎩t=1,2,…(4-1)记 A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2213 , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t y x α , 则(4-1)的矩阵形式为 ,1-=t t A αα t=1,2,… (4-2)如果已知该地区目前（亦称为基年）的污染和工业发展水平0α=[],00Ty x 利用(4-2)就可以预测第k 个期间该地区的污染和工业发展水平k α,这是因为由(4-2)可得.,,,0021201αααααααk k A A A A ====这表明k α可通过k A 求得,为此考察A 能否对角化,计算出A 的特征多项式.()f λ=|A E -λ|=)4)(1(2213--=----λλλλ由A 有2个相异的特征值1和4知,A 能对角化,所以可用性质来计算k A . 对于11=λ,解,0)(=-X A E 可得A 属于1的一个特征向量[].211T=ξ对于,42=λ解,0)4(=-X A E 可得A 属于4的一个特征向量[].112T=ξ令[],21ξξ=P 有A=[].411-P Pdiag[],424*22414*213112113140011211411⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-k k k k k kkPPdiag A 所以 k α=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-+-++=00000)42()4*22()41()4*21(31y x y x A kk kk kα (4-3)(4-3)就是所要的预测结果,对不同的0α值代入(4-3)即可求得k α.例如：若[]T110=α，有[]Tk kk 44=α,(实际上此时0α就是属于4的特征向量,所以[]);44400Tk kk k k A ===ααα若[],210T=α有[].42413111Tk k k +++-+-=α这些都表明,尽管工业发展水平可以达到相当高的程度,但照此模式发展，环境污染不容忽视.例 4.2 人口流动模型——假设某省城人口总数保持不变,每年有20％的农村人口流入城镇,有10％的城镇人口流入农村.试问该省城人口与农村人口的分布最终是否会趋向一个“稳定状态”？为解答这个问题，可设该省城人口总数为m,从今年开始,第k 年该省城的城镇人口和农村人口分别设为k x ,k y ,据题意有11110.90.20.10.8k k k kk k x x y y x y ----=+⎧⎨=+⎩ 即0.90.20.10.8A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ k k k x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则 110()k k k k A A A A αααα--====为计算k A ,仍考察A 能否对角化.计算出A 的特征多项式0.90.2()(1)(0.7)0.10.8f E A λλλλλλ--=-==----由于A 有2个相异的特征值1和0.7知,A 能对角化,所以可用性质来计算k A . 对于11λ=解()0E A X -=可得A 属于1的一个特征向量[]121Tξ=; 对于20.7λ=解(0.7)0E A X -=可得A 属于0.7的一个特征向量[]211Tξ=-. 令[]12P ξξ=,有1[10.7]A Pdiag P -=,11(0.7)k k A Pdiag P -⎡⎤=⎣⎦1021112(0.7)22*(0.7)111112330(0.7)1(0.7)12*(0.7)k k k k k ⎡⎤+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦利用 00x y m +=,可得00000002(0.7)22*(0.7)131(0.7)12*(0.7)2(2)(0.7)13(2)(0.7)k kkk k k kk x A y m x y m x y αα⎡⎤+-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤+-=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦从而有000021(2)(0.7)3311(2)(0.7)33kk k k x m x y y m x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩数列{}{},k k x y 的极限为21lim ,lim 33k k k k x m y m →∞→∞== 这表明该省城的城镇人口与农村人口的分布会趋于一个“稳定状态”:大约有23为城镇人口,13为农村人口. 例4.3 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收的新非熟练工补齐,新老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年一月统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为n x 和n y ,记成向量n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(a)求n+1n+1x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的关系式,并写成矩阵形式n+1n+1x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=A n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(b)验证14=1η⎛⎫ ⎪⎝⎭,2-1=1η⎛⎫⎪⎝⎭,是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值;(c)当111x 2=y 12⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，求n+1n+1x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【思路】本题的关键在于读懂题意,写出n+1x 与n+1y ,用n x ,n y 来表达的关系式:第n 年初熟练工与非熟练工所占百分比为n x 和n y ,第n+1年初的熟练工所占的百分比n+1x 由两部分构成。