矩阵相似的性质及应用开题报告
矩阵相似性质与应用研究报告
矩阵相似的性质与应用的研究1 引言矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教案中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。
矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。
由于矩阵相似的应用范围相当广泛。
本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。
2矩阵相似的定义与基本性质2.1矩阵相似的定义令为非奇异矩阵，考察矩阵的线性变换令线性变换的特征值为，对应的特征向量为，即将式代入上式，即有或令或，则式可以写作比较和两式可知，矩阵A和具有相同的特征值，并且矩阵B的特征向量是矩阵的特征向量的线性变换，即。
由于矩阵和的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似”。
于是：设、都是阶方阵，若有可逆方阵，使，则称是的相似矩阵。
或者说矩阵与相似。
对进行运算称为对进行相似变换。
可逆矩阵称为把变成的相似变换阵。
2.2矩阵相似的一些基本性质：自反性：。
对称性：则。
传递性：及可得：。
如果阶矩阵,相似，则它们有相同的特征值。
但逆命题不成立。
相似矩阵另外的一些特性：1>相似矩阵有相同的秩。
2>相似矩阵的行列式相等。
3>相似矩阵或都可逆，或都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆也相似。
4>则，、、<若，均可逆）、从而，有相同的特征值。
3 相似对角矩阵的有关性质3.1矩阵可相似对角化的引入与定义设是复数域上的维线性空间，是的一个线性变换。
又与是的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是。
则线性变换在这两组基下的矩阵与相似，即我们自然会问：矩阵可否相似与一个对角形矩阵？换言之，是否可以适当的选取第二组基，使得线性变换在这组基下的矩阵是个对角矩阵呢？我们逐步解决这个问题。
矩阵相似成立条件
矩阵相似成立条件矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵之间的一种特殊关系。
矩阵相似在许多领域中都有重要的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。
在本文中，我们将探讨矩阵相似的定义、性质和成立条件。
让我们来定义什么是矩阵相似。
设A、B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得\[P^{-1}AP = B\]，那么就称矩阵A和B是相似的，记作\[A \sim B\]。
这个定义告诉我们，如果两个矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P，使得\[P^{-1}AP = B\]，那么它们就是相似的。
接下来，我们来探讨矩阵相似的一些性质。
我们知道矩阵相似是一种等价关系，即它具有自反性、对称性和传递性。
具体来说，任意矩阵A，它自身是相似的；如果A相似于B，那么B也相似于A；如果A相似于B，B相似于C，那么A也相似于C。
我们知道相似矩阵具有相同的特征值。
也就是说，如果A和B是相似的，那么它们的特征值是相同的。
这一性质在分析矩阵相似时非常有用。
矩阵相似还保持了矩阵的性质，例如行列式、迹、秩等都是保持不变的。
那么，矩阵相似成立的条件是什么呢？要回答这个问题，我们需要从线性代数的角度来进行讨论。
我们知道，矩阵相似实际上是对矩阵进行相似对角化的一个表述。
也就是说，如果一个矩阵A相似于对角矩阵D，那么存在一个可逆矩阵P，使得\[P^{-1}AP = D\]。
这意味着，矩阵相似的一个重要条件是可对角化。
我们可以得出矩阵相似成立的一个重要条件：矩阵必须是可对角化的。
那么，什么样的矩阵是可对角化的呢？我们知道，一个矩阵A是可对角化的，当且仅当它有n个线性无关的特征向量。
这就引出了矩阵相似成立的另一个重要条件：矩阵A的n 个线性无关的特征向量。
也就是说，当一个矩阵A有n个线性无关的特征向量时，它是可对角化的，从而可以和对角矩阵相似。
除了可对角化和特征向量的条件外，矩阵相似还有一个重要的条件是特征多项式相等。
特征多项式是矩阵的一个重要性质，它与矩阵的特征值有着密切的联系。
矩阵相似变换的性质和方法及其在考研数学中的应用
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２３矩阵相似变换的性质和方法及其在考研数学中的应用矩阵相似变换的性质和方法及其在考研数学中的应用Һ许伟志㊀蒋凌云㊀（湖北经济学院，湖北㊀武汉㊀４３０２０５）㊀㊀ʌ摘要ɔ线性代数是大学数学教育中的重要组成部分，是考研数学中的核心板块之一．该学科抽象，概念多，定理多，性质多，这使得对基础概念与解题方法不熟练的学生无从下手．近年来，线性代数考研题的跨度比较大，一个题目在解答时可能涉及多个章节的知识点，这给考生复习带来了困难和阻力．但是，线性代数的题型和解题方法相对固定，有规律可循．为此，本文统计分析了近十年（２０１０ ２０２０）全国考研数学三中关于求相似变换矩阵的相关考题，分析总结了三类典型的出题模式及不同的解题方法与相应注意事项，以期对考研中教师辅导和学生复习应考有所帮助．ʌ关键词ɔ考研数学；相似矩阵；特征值与特征向量；可逆矩阵；正交矩阵矩阵相似与矩阵对角化［１］一直是考研的重要考点，其中求相似变换矩阵一直备受出题人的青睐［２］．本人对近十年（２０１０ ２０２０）全国研究生入学考试数学三试题中关于此知识点的出题情况及相关题型进行了分析和归类，给出了解题的应对方法和思路，以方便教师辅导和学生备考时更好地掌握和渗透此知识点．一㊁求相似变换矩阵的题型总体可以分为三类第一类为已知矩阵Ａ，Ｂ相似，且Ａ，Ｂ都为一般型矩阵（非对角阵，非对称矩阵），求可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ为对角矩阵，即为表１中的（１）类，属于常规题型．第二类为已知矩阵Ａ，Ｂ相似，且Ａ，Ｂ都为一般型矩阵，求可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ，这类题型计算量一般会大于第一类，表１中记为（２）类．第三类为用正交矩阵将实对称矩阵相似对角化的题型，这是考研的重点题型，出题频率很高，因为二次型的矩阵为实对称矩阵，所以这类题型就演变成了用正交变换化二次型为标准型的问题，表１中归为（３）类．求相似变换矩阵一般以大题形式出现，分值都为１１分，学生备考时应加以重视．表１㊀２０１０ ２０２０年出题情况２０１０２０１２２０１５２０１７２０１９２０２０（３）（２）（１）（３）（２）（２）（３）二㊁常见题型分析例１㊀（２０１５年，２１题，１１分）设矩阵Ａ＝０－２－３－１３－３１－２ａæèççöø÷÷与Ｂ＝１－２００ｂ００３１æèççöø÷÷相似．（１）求ａ，ｂ的值；（２）求可逆矩阵Ｐ，使得Ｐ－１ＡＰ为对角阵．分析㊀相似矩阵有５个共同点：特征多项式㊁特征值㊁行列式的值㊁迹和秩．本题可通过行列式和迹相等求出ａ，ｂ，然后求出特征值和特征向量，最后利用特征向量组合出可逆矩阵Ｐ．解题过程㊀（１）因为Ａ，Ｂ相似，所以有ｔｒ（Ａ）＝ｔｒ（Ｂ），Ａ＝Ｂ{⇒３＋ａ＝ｂ＋１＋１，２ａ－３＝ｂ{⇒ａ＝４，ｂ＝５．{（２）由λＥ－Ｂ＝λ－１２００λ－５００－３λ－１＝（λ－１）２（λ－５）＝０求得Ｂ的特征值为λ１＝λ２＝１，λ３＝５，则Ａ的特征值也为λ１＝λ２＝１，λ３＝５．当λ１＝λ２＝１时，由Ｅ－Ａ()ｘ＝０可得对应的两个线性无关的特征向量为ξ１＝２１０æèççöø÷÷，ξ２＝－３０１æèççöø÷÷．当λ３＝５时，由５Ｅ－Ａ()ｘ＝０可得对应的一个特征向量为ξ３＝－１－１１æèççöø÷÷．令Ｐ＝ξ１，ξ２，ξ３()＝２－３－１１０－１０１１æèççöø÷÷，则Ｐ可逆且Ｐ－１ＡＰ＝１１５æèççöø÷÷．点评㊀此类考题为常规题型，其应用了三个基本知识点：相似矩阵的共同点㊁特征值与特征向量的求法㊁相似变换矩阵Ｐ和对角阵Ａ的结构．考生在平时的备考中应常常训练到相关习题，得分的差异就在于学生对行列式和线性方程组的计算能力，所以希望学生在备考的过程中多增加计算能力的训练，多动手运算，避免眼高手低的情况出现．例２㊀（２０１９年，２１题，１１分）已知矩阵Ａ＝－２－２１２ｘ２００－２æèççöø÷÷与Ｂ＝２１００－１０００ｙæèççöø÷÷相似．（１）求ｘ，ｙ；（２）求可逆矩阵Ｐ，使得Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ．分析㊀本题与２０１５年的考题不同的是第（２）问，因为Ｂ并不是对角矩阵，解题思路为找到将Ａ，Ｂ相似对角化的变换矩阵Ｐ１，Ｐ２，然后找到Ａ，Ｂ相似变换的可逆矩阵Ｐ．解题过程㊀（１）Ａ，Ｂ相似⇒ｔｒ（Ａ）＝ｔｒ（Ｂ），Ａ＝Ｂ{⇒－４＋ｘ＝ｙ＋１，－２（－２ｘ＋４）＝－２ｙ{⇒ｘ＝３，ｙ＝－２．{（２）由（λＥ－Ｂ）＝０易得Ａ，Ｂ的特征值为λ１＝－２，λ２＝２，λ３＝－１．当λ１＝－２时，由（－２Ｅ－Ａ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为α１＝－１２４æèççöø÷÷；由（－２Ｅ－Ｂ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为β１＝００１æèççöø÷÷．当λ２＝２时，由（２Ｅ－Ａ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为α２＝－１２０æèççöø÷÷；. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２３由（２Ｅ－Ｂ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为β２＝１１０æèççöø÷÷．当λ３＝－１时，由（－Ｅ－Ａ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为α３＝－２１０æèççöø÷÷；由（－Ｅ－Ｂ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为β３＝－１３０æèççöø÷÷．令Ｐ１＝（α１，α２，α３），则Ｐ－１１ＡＰ１＝－２２－１æèççöø÷÷．令Ｐ２＝（β１，β２，β３），则Ｐ－１２ＢＰ２＝－２２－１æèççöø÷÷．所以Ｐ－１１ＡＰ１＝Ｐ－１２ＢＰ２，则Ｂ＝（Ｐ１Ｐ－１２）－１Ａ（Ｐ１Ｐ－１２）．令Ｐ＝Ｐ１Ｐ－１２＝－１－１－２２２１４００æèççöø÷÷０１－１０１３１００æèççöø÷÷－１＝－１－１－１２１２００４æèççöø÷÷，则Ｐ可逆且Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ．点评㊀此类考题是在常规的相似对角化的基础上求解两个非对角相似矩阵的可逆矩阵．此类题型只需弄清楚Ｐ－１１ＡＰ１＝λ１λ２λ２æèççöø÷÷＝Ｐ－１２ＢＰ２，则Ｂ＝（Ｐ１Ｐ－１２）－１Ａ（Ｐ１Ｐ－１２），从而求得相似中的可逆矩阵Ｐ＝Ｐ１Ｐ－１２．此类题型往往会涉及参数，需要利用相似矩阵的关系求得，还需要求得两个矩阵的相似对角化时的可逆矩阵，同时，对求矩阵的逆矩阵的乘法运算都要求熟练㊁准确．此类题型计算量大，综合性强，是近几年考此知识点的热门题型，学生备考时需多加训练．例３㊀（２０２０年，２０题，１１分）设二次型ｆ（ｘ１，ｘ２）＝ｘ２１－４ｘ１ｘ２＋４ｘ２２，经正交变换ｘ１ｘ２æèçöø÷＝Ｑｙ１ｙ２æèçöø÷化为二次型ｇ（ｙ１，ｙ２）＝ａｙ２１＋４ｙ１ｙ２＋ｂｙ２２，其中ａȡｂ．（１）求ａ，ｂ的值；（２）求正交变换矩阵Ｑ．分析㊀由ｆ＝ｘＴＡｘ＝（Ｑｙ）ＴＡ（Ｑｙ）＝ｙＴ（ＱＴＡＱ）ｙ＝ｙＴＢｙ知ＱＴＡＱ＝Ｑ－１ＡＱ＝Ｂ，问题就转化为由矩阵相似求参数，以及如何求得两个实对称相似矩阵变换的正交矩阵．解题过程㊀（１）设ｆ＝ｘＴＡｘ，ｇ＝ｙＴＢｙ，其中Ａ＝１－２－２４()，Ｂ＝ａ２２ｂ()．经正交变换ｘ＝Ｑｙ，ｆ＝ｘＴＡｘ＝（Ｑｙ）ＴＡ（Ｑｙ）＝ｙＴ（ＱＴＡＱ）ｙ＝ｙＴＢｙ，得ＱＴＡＱ＝Ｑ－１ＡＱ＝Ｂ，即Ａ，Ｂ相似，则㊀ｔｒ（Ａ）＝ｔｒ（Ｂ），Ａ＝Ｂ{⇒ａ＝４，ｂ＝１．{（２）由（λＥ－Ａ）＝０，易得Ａ，Ｂ的特征值为λ１＝０，λ２＝５．当λ１＝０时，由（０Ｅ－Ａ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为α１＝２１()；由（０Ｅ－Ｂ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为β１＝１－２()．当λ２＝５时，由（５Ｅ－Ａ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为α２＝１－２()；由（５Ｅ－Ｂ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为β２＝２１()．令Ｐ１＝α１（α１），α２（α２）æèçöø÷＝１５２１１－２()，Ｐ２＝β１（β１），β２（β２）æèçöø÷＝１５１２－２１()．则Ｐ１，Ｐ２为正交矩阵且Ｐ－１１ＡＰ１＝０５()＝Ｐ－１２ＢＰ２，可得Ｂ＝（Ｐ１Ｐ－１２）－１Ａ（Ｐ１Ｐ－１２）．令Ｑ＝Ｐ１Ｐ－１２＝１５４－３－３４()，则Ｑ为正交矩阵且ＱＴＡＱ＝Ｑ－１ＡＱ＝Ｂ．点评㊀用正交变换化二次型为标准型，这是考研的重点，几乎每年都考．当写出二次型的矩阵Ａ时，便成了 将实对称矩阵Ａ用正交矩阵相似对角化 的问题了．由于实对称矩阵的特征向量的特殊性质，用于相似变换的矩阵可以化为正交矩阵，所以近几年来有关二次型的许多考题其实质都是实对称矩阵的相似对角化的问题．这类题型一般计算量大，综合性强，融合了例２与例３的相关知识点以及所有相关计算，考生在考场上很容易因为思路不清晰，计算条理不顺畅而出错或放弃，所以对学生在备考阶段能自行整合知识点㊁自主归纳分析各类题型提出了要求．三㊁几点建议１．从近十年数学三考研真题来看，矩阵相似以及相似对角化出题比较频繁，有大题也有小题，但对于求相似变换可逆矩阵Ｐ的题型一般以大题形式出现，综合性强．这就要求学生对于基础知识中的相似矩阵的性质㊁求特征值㊁求特征向量㊁特征值与特征向量所具有的性质，以及相似的过程变换都需要熟练地掌握，并理解透彻．因此，笔者建议同学们首先要打牢基础，对于基本题型要多加练习，只有做到熟练掌握相关公式㊁性质和方法，对基础题型训练有素，才能很好地应对各种题型的变化．２．求相似变换矩阵的题型中，一般计算量都比较大，要求学生在掌握方法技巧的基础上，准确㊁迅速地运算出每一步的结果．所以，笔者希望同学们在平时的学习中要养成动手计算的习惯，不能盲目地追求方法技巧而忽视运算能力．复杂的运算能力是考研大纲中对考生的基本要求，这种能力的提升只有靠平时多加练习才能获得．３．学会知识的融会贯通．以２０２０年的第２０题为例，很多同学考完试后就感叹这一年的线性代数出题不常规．其实在老师看来，这题再常规不过了，只要你平时对每一个知识点的基础题型训练到位，同时在做题后能养成一个归纳分析的习惯，那么像这类既涉及二次型，又需要对相似的两个矩阵对角化的综合题，解决起来思路自然会很清晰，并且在出题人将矩阵降到了二维的基础上，计算也自然会很顺畅．所以，笔者建议考生在备考的强化阶段一定要自主归纳知识体系，在掌握基础知识点㊁基础题型后要学会思考每一章节知识点间的联系，对考试大纲进行分析，梳理知识点，归纳重要考点的典型考题的多种解题思路与方法，形成自己的数学思想方法，这样不仅能应付各类题型的变换，而且可以简化计算，提高速度．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学数学系．线性代数：第六版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．［２］李永乐．线性代数辅导讲义［Ｍ］．西安：西安交通大学出版社，２０１０．. All Rights Reserved.。
矩阵相似的几何意义
矩阵相似的几何意义
矩阵是线性代数中的重要概念，它在多个领域有广泛应用。
当两个矩阵具有相同的特征值和特征向量时，可以说它们是相似的。
那么，矩阵相似有什么几何意义呢？下面我们来详细探讨。
相似矩阵的定义
设A和B是n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，那么称A与B相似。
相似矩阵满足以下性质：
•相似矩阵具有相同的特征值。
•相似矩阵对应的特征向量具有一一对应的关系。
•相似矩阵具有相同的行列式和迹。
相似矩阵的几何意义
在几何学中，矩阵相似有着重要的几何意义。
具体来说，矩阵相似可以表示以下几个几何变换：
1.平移：如果两个矩阵A与B相似，那么它们表示的线性变换具有相同的
平移部分。
这意味着它们将向量按照相同的方向和距离进行平移。
2.旋转：如果两个矩阵A与B相似，那么它们表示的线性变换具有相同的
旋转部分。
这意味着它们将向量按照相同的角度进行旋转。
3.伸缩：如果两个矩阵A与B相似，那么它们表示的线性变换具有相同的
伸缩部分。
这意味着它们将向量按照相同的比例进行伸缩。
结论
矩阵相似在几何学中有着重要的意义，它能够描述线性变换的平移、旋转和伸缩等几何特征。
研究矩阵相似可以帮助我们更好地理解线性代数和几何学的关系，并应用到实际问题中。
矩阵相似与合同
矩阵相似与合同引言在线性代数中，矩阵是一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在研究矩阵时，我们经常会遇到矩阵相似和矩阵合同这两个概念。
本文将介绍矩阵相似和矩阵合同的定义、性质和应用。
矩阵相似矩阵相似是一种关系，用来描述两个矩阵之间的某种变换关系。
两个矩阵相似，意味着它们可以通过一个相似变换相互转化。
具体来说，对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP = B，则称矩阵A和B相似。
相似关系具有以下性质：1.相似关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。
2.相似矩阵具有相同的特征值。
3.相似矩阵具有相同的秩、行列式、迹等性质。
矩阵相似在实际应用中具有重要意义。
例如，在线性代数中，我们经常需要对矩阵进行对角化处理，而矩阵相似关系可以帮助我们找到相似矩阵来简化计算。
矩阵合同矩阵合同是另一种矩阵之间的关系。
与矩阵相似不同，矩阵合同是通过正交变换来定义的。
对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个正交矩阵P，使得PTAP = B，则称矩阵A和B合同。
合同关系具有以下性质：1.合同关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。
2.合同矩阵具有相同的正惯性指数和负惯性指数。
矩阵合同在实际应用中也具有重要意义。
例如，在数值计算中，我们经常需要将矩阵进行对称化处理，而矩阵合同关系可以帮助我们找到合同矩阵来简化计算。
相似与合同的关系矩阵相似和矩阵合同之间存在着一定的联系。
具体来说，如果两个矩阵相似，则它们一定是合同的。
这是因为如果矩阵A和B相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP = B，那么我们可以取正交矩阵Q等于P-1，则有QTAQ = B，即A和B是合同的。
然而，矩阵合同并不一定意味着矩阵相似。
换句话说，合同关系是相似关系的一个子集。
这是因为矩阵相似要求相似变换是可逆的，而矩阵合同要求正交变换是可逆的。
正交矩阵是一类特殊的矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵，因此正交变换一定是可逆的。
相似矩阵的定义及性质
,
2
则有
P 1 AP
1
1
.
即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应．
13
把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且 在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：
1. 由特征值、特征向量反求矩阵
例3：已知方阵 A 的特征值是 1 0,2 1,3 3,
二. 相似矩阵的定义及性质
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
则称矩阵 B是矩阵A 的相似矩阵，
或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 对 A进行运算 P－1 AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
即 A 与 B 相似。
25
再求乘积即为行列式的值。
设 f (x) x 3
A 的特征值是 2,4, ,2n 即 i 2i, A 3E 的特征值是 f (i ) 2i 3
n
A 3E 2i 3 (1) 1 3 (2n 3) i 1
20
方法2：已知 A有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，
2 3
1 1,2 2. A 可以对角化。
当 1 1 时， 齐次线性方程组为 A E x 0
系数矩阵
A
E
5 2
5 1
2
0
1
0
1
x1 x2
令x2 1得基础解系:
p1
矩阵相似成立条件
矩阵相似成立条件矩阵相似是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和应用中有着广泛的应用。
相似矩阵的概念源自于矩阵变换的相似性，两个矩阵如果相似，则它们表示着相同的线性变换，只是在不同的坐标系下进行表示。
本文将围绕着矩阵相似的定义、性质和成立条件展开详细的阐述。
一、矩阵相似的定义矩阵A和B是n阶的方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B成立，那么矩阵A和B就称为相似矩阵。
可以直观地解释为，如果存在一个可逆矩阵P，对矩阵A进行线性变换后得到的结果与矩阵B相同，那么这两个矩阵就是相似矩阵。
相似矩阵的概念使得我们可以在不同的坐标系下进行对同一线性变换的表示，从而对矩阵的特征值、特征向量等性质进行更深入的研究。
二、矩阵相似的性质1. 相似关系是一个等价关系相似矩阵的定义满足等价关系的三个条件，即自反性、对称性和传递性。
自反性是指矩阵A和自己相似，即存在可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=A成立。
对称性是指如果矩阵A和B相似，则矩阵B和A也相似。
传递性是指如果矩阵A和B相似，矩阵B和C相似，那么矩阵A和C也相似。
矩阵相似关系满足等价关系的性质。
2. 相似矩阵的特征值性质相同如果矩阵A和B相似，那么它们的特征多项式相同，从而有相同的特征值。
矩阵相似关系保持了矩阵特征值的性质，这一性质在矩阵的特征值分解、对角化等问题中具有重要的意义。
3. 相似矩阵的特征向量关系相似矩阵具有相同的特征向量，即如果矩阵A和B相似，它们的特征向量可以通过相同的线性变换关系得到。
这一性质在矩阵对角化和特征值问题的研究中有着重要的应用。
三、矩阵相似的成立条件1. 充分条件若n阶矩阵A与n阶矩阵B相似，即A∼B，则A与B有相同的特征值。
证明：设A与B相似，即存在非奇异矩阵P，使得P^{-1}AP=B，设x是A的一个特征向量，那么Px是B的一个特征向量。
A与B有相同的特征值。
2. 必要条件若n阶矩阵A与n阶矩阵B有相同的特征值，即A与B有相同的特征值。
相似矩阵的有关性质及其应用
相似矩阵的有关性质及其应用作 者 王国强 数学系 数学与应用数学专业 指导教师 金银来 数学系 教授摘要 若矩阵P 可逆,则矩阵P -1AP 与A 称为相似。
相似矩阵有很多应用。
例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。
本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。
关键词：相似矩阵；对角化；Jordan 标准型；特征向量；特征值Abstract: There are a lot of applications about similar matrix. For example, we candiscuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into. In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance.Keywords: similar matrices; diagonal matrix; Jordan ’s normal form; characteristic value; characteristic vector1 相似矩阵有关定义定义1.1设A,B 是n 阶方阵,如果存在可逆阵P 使得P -1AP=B,则称矩阵A 与B 相似.定义 1.2矩阵A 相似于对角阵,则称A 可相似对角化,即存在可逆阵P 使),,(2,11n diag AP P λλλ =-,n λλ,,1 为A 的n 个特征值.2 相似矩阵有关性质a. 已知P -1AP=B,即A 相似于B,则ⅰ) |A|=|B|; ⅱ) t r (A)=t r (B); ⅲ) |A-λI |=|B-λI |.b. 若A 与B 都可对角化,则A 与B 相似的充分条件是A 与B 由相同的特征多项式.c. A 的属于同一特征值i λ的特征向量的线形组合只要不是零向量, 仍是对应i λ的特征向量.d. A 的属于不同特征值的特征向量线形无关.e. 实对称矩阵A 的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交.f. 若λ是实对称矩阵A 的r 重特征值,则A 对应特征值λ恰有r 个线性 无关的特征向量.g. 任何一个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵J 相似. h. 对n 阶方阵A ，以下三条等价: ⑴A 可对角化;⑵A 有n 个特征值（重根按重数计），且∀r （＞1）重特征值λ; ⑶A 有n 个线性无关的特征向量.i. 对角化的基本方法有如下两种:特征值法,特征向量法.3 相似矩阵在微分方程中的应用许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）的问题.因此,如何求解微分方程（组）是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量,约当标准形在其中的应用.3.1 将常系数线性微分方程组⎝⎛+++=+++=+++=.;;22112222121212121111n nn n n n n n n n u a u a u a dtduu a u a u a dt du u a u a u a dt du (3-1)写成矩阵形式为Au dtdu= (3-2)其中u=(T n u u u ),,,21 ,n n ij a A *)(=为系数矩阵,令(3-2)式的解u=x e t λ, (3-3)即 (T n u u u ),,,21 =T n t x x x e ),,,(21 λ. 将(3-3)式代入（3-2）得λx e t λ=A x e t λ=Ax e t λ,化简得X AX λ=,即(3-3)式中λ为A 的特征值,X 为λ对应的特征向量;若A 可对角化,则存在n 个线性无关的特征向量,,,,21n x x x 于是得到(3-2)式的n 个线性无关的特解.u 1=111x e t λ, u 2=22x e t λ,, u n =n t x e n λ.它们的线性组合 =u c 1111x e t λ+c222x e t λ+…+cnn t x e n λ,(3-4)(其中n c c c ,,,21 为任意常数)为(3-1)式的一般解,将(3-4)式改写成矩阵形式u=),,,(21n x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ttt n e e e λλλ 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21, 记 c=(n c c c ,,,21 )T ,Λt e =diag (t t t n e e e λλλ,,,21 ) p=),,,(21n x x x ,则(3-1)式或(3-2)式有一般解c pe u t ∆=(3-5) 对于初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==∆=00,u t u u dt du(3-6) 解为01u p pe u t -∆=(3-7)因为t=0代入(3-5)式得 c=01u p -. 例3.1 解线性常系数微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+=.2;54;313212211x x dt dx x x dt dx x x dt dx 已知初始值为: .2)0(,1)0(,1)0(321=-==x x x解 本题的初始值问题为⎪⎩⎪⎨⎧-===Tx x Axdt dx)2,1,1()0(0其中 110450102A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,可得A 的约当标准形,即有可逆矩阵 P =012025111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-3001300021J AP P . 由(3-7)式,该初值问题的解为01x P Pe X tJ -=(3-8)其中 ,!)(!2)(2 +++++=n tJ tJ tJ I e ntJ(3-9)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n n n nn C J 30033000230013000211 (3-10)将(3-10)式代入(3-9)式得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t tJ e te e e e 333200000(3-11)再将(3-11)式及1,-P P 代入(3-8)式得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t tt t t t te t e e t e t e te e et x t x t x x 32333332321)34(2)61()31(21101202511300000111520210)()()( 例3.2 解线性微分方程组11111221221122221122..............................n n n n n n n nn n dx a x a x a x dt dx a x a x a x dtdx a x a x a xdt⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪⎪⎪=+++⎪⎩(3-12)解 令12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,12n dx dt dx dX dt dt dx dt ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组(3-12)可表示成矩阵形式 dXAX dt= (3-13)假设A 可以相似对角化,即存在可逆矩阵P ,使得112(,,,)n P AP diag λλλ-=其中12,,,n λλλ为A 的全部特征值.于是令X PY=(3-14) 其中12(,,,)T n Y y y y =,将式(3-14)代入式(3-13)，得()d PY APY dt= 即dYPAPY dt=(3-15)在上式两端同时左乘1P -,得112(,,)n dYP APY diag Y dtλλλ-==即111222n n n dy y dt dy y dtdy ydtλλλ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ 将上式积分,得121122,,,n tt t n n y C e y C e y C e λλλ===(3-16) 其中1C ,2C ,,n C 为积分常数.将式(3-16)代入(3-15)式,可得121122n t tt n n X C Pe C P e C P e λλλ=+++其中i P 为矩阵P 的第i 列,也是A 的对应于特征值i λ的特征向量,1,2,,i n =.3.2 对于n 阶线性齐次常系数微分方程1111()()()()0n n n n n n d x t d x t dx t a a a x t dt dtdt---++++=(3-17) 可令2112321,,,,n n n dx d xd xx x x x x dt dtdt--==== 于是可得与方程(3-17)同解的方程组12231121n n n ndx x dt dx x dt dx a x a x a x dt-⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=----⎪⎩(3-18)式(3-18)可写成矩阵形式dXAX dt=(3-19) 其中12(,,)T n X x x x =,12(,,,)T n dx dx dx dXdt dt dt dt=, 11010000001n n A a a a -=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组,然后再利用特征值和特征向量求解.例3.3 求解微分方程323234120d x d x dx x dt dt dt--+=(3-20)解 令21232,,x x dx d xx x dt dt===于是(3-20)式可变成等价的方程组122331231243dx x dt dx x dt dx x x x dt ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-++⎪⎩即dXAX dt= 其中 123(,,)T X x x x =,312(,,)T dx dx dx dX dt dt dt dt=,010*******A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可求得A 的特征值为1233,2,2λλλ===-，对应的特征向量分别为123(1,3,9),(1,2,4),(1,2,4)T T T X X X ===-于是由上例知,312112233t tt X C C C X eX e X e λλλ=++322123111322944t t t C C C e e e -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而3221123t t t C C C x x e e e -==++ 其中(1,2,3)i C i =为任意常数.4 相似矩阵在现实生活中的应用例4.1 污染与环境发展的增长模型——发展与环境已成为21世纪各国政府关注的重点,为了定量分析污染与工业发展间的关系，我们可提出以下的工业增长模型:解 设x 0是某地区目前的污染水平（以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位）,y 0是目前的工业发展水平（以某种工业发展指数为测量单位）,以5年作为一个期间,第t 个期间的污染和工业发展水平分别记为x t 和y t ,它们之间的关系是：1111322t t t t t t x x y y x y ----=+⎧⎨=+⎩t=1,2,…(4-1)记 A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2213 , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t y x α , 则(4-1)的矩阵形式为 ,1-=t t A αα t=1,2,… (4-2)如果已知该地区目前（亦称为基年）的污染和工业发展水平0α=[],00Ty x 利用(4-2)就可以预测第k 个期间该地区的污染和工业发展水平k α,这是因为由(4-2)可得.,,,0021201αααααααk k A A A A ====这表明k α可通过k A 求得,为此考察A 能否对角化,计算出A 的特征多项式.()f λ=|A E -λ|=)4)(1(2213--=----λλλλ由A 有2个相异的特征值1和4知,A 能对角化,所以可用性质来计算k A . 对于11=λ,解,0)(=-X A E 可得A 属于1的一个特征向量[].211T=ξ对于,42=λ解,0)4(=-X A E 可得A 属于4的一个特征向量[].112T=ξ令[],21ξξ=P 有A=[].411-P Pdiag[],424*22414*213112113140011211411⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-k k k k k kkPPdiag A 所以 k α=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-+-++=00000)42()4*22()41()4*21(31y x y x A kk kk kα (4-3)(4-3)就是所要的预测结果,对不同的0α值代入(4-3)即可求得k α.例如：若[]T110=α，有[]Tk kk 44=α,(实际上此时0α就是属于4的特征向量,所以[]);44400Tk kk k k A ===ααα若[],210T=α有[].42413111Tk k k +++-+-=α这些都表明,尽管工业发展水平可以达到相当高的程度,但照此模式发展，环境污染不容忽视.例 4.2 人口流动模型——假设某省城人口总数保持不变,每年有20％的农村人口流入城镇,有10％的城镇人口流入农村.试问该省城人口与农村人口的分布最终是否会趋向一个“稳定状态”？为解答这个问题，可设该省城人口总数为m,从今年开始,第k 年该省城的城镇人口和农村人口分别设为k x ,k y ,据题意有11110.90.20.10.8k k k kk k x x y y x y ----=+⎧⎨=+⎩ 即0.90.20.10.8A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ k k k x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则 110()k k k k A A A A αααα--====为计算k A ,仍考察A 能否对角化.计算出A 的特征多项式0.90.2()(1)(0.7)0.10.8f E A λλλλλλ--=-==----由于A 有2个相异的特征值1和0.7知,A 能对角化,所以可用性质来计算k A . 对于11λ=解()0E A X -=可得A 属于1的一个特征向量[]121Tξ=; 对于20.7λ=解(0.7)0E A X -=可得A 属于0.7的一个特征向量[]211Tξ=-. 令[]12P ξξ=,有1[10.7]A Pdiag P -=,11(0.7)k k A Pdiag P -⎡⎤=⎣⎦1021112(0.7)22*(0.7)111112330(0.7)1(0.7)12*(0.7)k k k k k ⎡⎤+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦利用 00x y m +=,可得00000002(0.7)22*(0.7)131(0.7)12*(0.7)2(2)(0.7)13(2)(0.7)k kkk k k kk x A y m x y m x y αα⎡⎤+-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤+-=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦从而有000021(2)(0.7)3311(2)(0.7)33kk k k x m x y y m x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩数列{}{},k k x y 的极限为21lim ,lim 33k k k k x m y m →∞→∞== 这表明该省城的城镇人口与农村人口的分布会趋于一个“稳定状态”:大约有23为城镇人口,13为农村人口. 例4.3 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收的新非熟练工补齐,新老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年一月统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为n x 和n y ,记成向量n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(a)求n+1n+1x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的关系式,并写成矩阵形式n+1n+1x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=A n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(b)验证14=1η⎛⎫ ⎪⎝⎭,2-1=1η⎛⎫⎪⎝⎭,是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值;(c)当111x 2=y 12⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，求n+1n+1x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【思路】本题的关键在于读懂题意,写出n+1x 与n+1y ,用n x ,n y 来表达的关系式:第n 年初熟练工与非熟练工所占百分比为n x 和n y ,第n+1年初的熟练工所占的百分比n+1x 由两部分构成。
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三、主要研究内容及提纲：
主要研究内容：相似矩阵的有关性质及一些应用。
提纲拟定如下：
实践意义：计算机的广泛应用为矩阵理论的应用开辟了广阔的应用前景，而相似矩阵的性质及应用在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。比如其在微分方程、自动控制理论基础等领域的应用，使其与相似矩阵的概念和性质能够相互融会贯通起来，更有利于学习者的掌握和应用。
二、研究方向的动态及本文创新点：
研究方向：由于矩阵相似的应用范围相当广泛。主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究。
[2]陈志杰,陈咸平,瞿森荣等编.高等代数与解析几何习题精解.北京：科学出版社, 2002. 2
[3]刘丁酉.高等代数习题精解.合肥:中国科学技术出版社, 2004. 9
[4]戴华.矩阵论.南京：南京航空航天大学出版社[M].2001.8
六、毕业论文进度安排：
1．选题
2013年06月10日——2013年09月01日
一、引言
二、矩阵相似的定义与基本性质
三、相似矩阵的有关性质研究
四、矩阵相似的应用
五、总结
四、研究的方法与手段：
1、通过互联网收集资料和参考书目；
2、利用图书馆来收集信息；
3、运用比较、归纳的方法，总结出相关结论。
五、应收集的资料及主要参考文献：
[1]许以超。线性代数与矩阵论[M].北京：高等教育出版社.
7．答辩
2013年12月17日——2013年12月27日
学生（签字）_________________
指导教师（签字）_________________
系主任（签字）_________________
2．开题报告
2013年09月03日——2013年09月09日
3．收集资料及实施研究
2013年09月10日——2013年10月07日
4．完成初稿
2013年10月08日——2013年11月15日
5．完成修改稿
2013年11月16日——2013年12月05日
6．完成定稿
2013年12月06日——2013年12月16日
山西师范大学现代文理学院
毕业论文(毕业设计)开题报告
论文题目：相似矩阵的性质及应用
系别：数计系
专业：数学与应用数学
班级：1102
姓名：郑丽鹏
学号：1190110204
指导教师：陈翠芳
二〇一四年九月十一日Βιβλιοθήκη 一、选题的理论意义与实践意义：
理论意义：矩阵理论不但是经典数学的基础，同时又是很有实用价值的数学理论。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相,那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。通过对相似矩阵的有关性质进行研究总结，提高对相似矩阵深入的研究。