(完整版)5-3.4相似矩阵
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5-3.4相似矩阵2
E B P 1 EP P 1 AP
P 1 ( E A) P
这表明A与B 有相同特征值
P 1 E A P E A
1 对角阵 的特征值为 1 , , n。 n
推论
A与B相似; E A E B ; 都与相似
即如何将方阵 A 对角化
1 设 P ( p1 , p2 ,, pn )， n 1 P AP
三、 矩阵的相似对角化的条件 ? 存在一个 阶可逆阵P , 使 P 1 AP n A与对角阵 相似
( Ap1 , Ap2 ,, Apn )
1 ( p1 , p2 , , pn ) AP P O ? n Api i pi , (i 1,2,, n) p 是否为特征向量？, Pi1 ,, pn为非零向量 (1 p1 , 2 p2 ,, n pn ) 1 , , n 是特征值 p1 , , pn 是特征 向量。 ,
解之得基础解系
2 1 1 , 0 0 2 0 . 1
把 1代入 E A x 0,
(1,1,1)T , 故A 不能相似为对角矩阵.
例 设
1 2 2 A 2 1 2 2 2 1
判断A是否可以对角化，
若可以对角化， 求出可逆阵P，
使得 P 1 AP 为对角阵，并求 A100
解 （1）求特征值 1 2 E A 2 1
0 X 22 1 1
1 1 0 X 11 1 , X 21 0 , X 22 1 , 线性无关，故A可对角化 1 1 1 5 1 1 0 1 P AP 1 (2) 令 P 1 0 1 则有 1 1 1 1
相似矩阵
点评：对给定的数字矩阵， 点评：对给定的数字矩阵，一般不用定义判别它 们是否相似，其判别法以后介绍。 们是否相似，其判别法以后介绍。
性质 1. 定理 定理4.4 （P.184） A ~ B ⇒ A,B 的特征值相同。 的特征值相同。 ） A ~ B ⇐ A,B 的特征值相同。 的特征值相同。
1 0 1 − 1 例如： 例如： 与 1 0 1 0 证明思路： 证明思路：欲证 |λI-B|= |λI-A| 证明： 则存在可逆矩阵P， 证明：设 A B，则存在可逆矩阵 ，使得
注： 1. 能否取
− 1 0 − 2 P = ( X1 , X 3 , X 2 ) = 1 0 1 1 1 0 λi:－2 1 1 －
同一对角阵， 可能不唯一 可能不唯一。 同一对角阵，P可能不唯一。
能！
− 2 − 1 0 1 1 0 则 ＝ 2. 若 Λ＝ －2 ， P＝( X 2 , X 1 , X 3 ) = 1 0 1 1 1 -2 1 λ I: 1
§4.2
（一）、相似矩阵的概念及性质 ）、相似矩阵的概念及性质 概念 定义4.3（ 定义 （P183） 对于矩阵 、B，如果存在 ） 对于矩阵A、 ，如果存在 可逆矩阵P， 可逆矩阵 ，使
P −1 AP = B
则称 A与 B 相似， 记为 A B 与 相似， 记为: 化成” 即 A 可“化成” B . 注 不一定可逆。 （1） A, B 不一定可逆。 ） （2） 有以下几个结果： ） 有以下几个结果：
例
λ+2 0 0 λ −a −2 由 | λI − A |= − 2 λ − a − 2 = ( λ + 2) − 1 λ −1 − 3 −1 λ −1
由性质知， 与 有相同的行列式 有相同的行列式， 又 由性质知，A与B有相同的行列式， = λ2 − λ − 2
性质 1. 定理 定理4.4 （P.184） A ~ B ⇒ A,B 的特征值相同。 的特征值相同。 ） A ~ B ⇐ A,B 的特征值相同。 的特征值相同。
1 0 1 − 1 例如： 例如： 与 1 0 1 0 证明思路： 证明思路：欲证 |λI-B|= |λI-A| 证明： 则存在可逆矩阵P， 证明：设 A B，则存在可逆矩阵 ，使得
注： 1. 能否取
− 1 0 − 2 P = ( X1 , X 3 , X 2 ) = 1 0 1 1 1 0 λi:－2 1 1 －
同一对角阵， 可能不唯一 可能不唯一。 同一对角阵，P可能不唯一。
能！
− 2 − 1 0 1 1 0 则 ＝ 2. 若 Λ＝ －2 ， P＝( X 2 , X 1 , X 3 ) = 1 0 1 1 1 -2 1 λ I: 1
§4.2
（一）、相似矩阵的概念及性质 ）、相似矩阵的概念及性质 概念 定义4.3（ 定义 （P183） 对于矩阵 、B，如果存在 ） 对于矩阵A、 ，如果存在 可逆矩阵P， 可逆矩阵 ，使
P −1 AP = B
则称 A与 B 相似， 记为 A B 与 相似， 记为: 化成” 即 A 可“化成” B . 注 不一定可逆。 （1） A, B 不一定可逆。 ） （2） 有以下几个结果： ） 有以下几个结果：
例
λ+2 0 0 λ −a −2 由 | λI − A |= − 2 λ − a − 2 = ( λ + 2) − 1 λ −1 − 3 −1 λ −1
由性质知， 与 有相同的行列式 有相同的行列式， 又 由性质知，A与B有相同的行列式， = λ2 − λ − 2
第六章相似矩阵
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵பைடு நூலகம்运算．
6.2.1、 相似矩阵的性质
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似.对A进 行运算 P1 AP称为对A进行相似变换 ,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 .
注 P1AP表示对n阶方阵A作一系列的初等行变换与 初等列变换，只是对初等变换的要求更高，即A右乘与 左乘的矩阵是互逆的。因此，相似变换是一种特殊的初 等变换，矩阵之间相似是矩阵之间等价的特殊情形.
从而也有 tr ( A) tr (B) 性质二、 见教材 P133 定理 5
性质3的一个推论 ：
若n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1,2,,n即是A的n个特征值.
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，相似矩阵的性质
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 A P，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
矩阵之间的相似关系具有如下等价关系
(1)反身性 A与A本身相似. (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
则A与C相似.
性质一：若 n阶方阵 A与 B相似，则有 1、 | A || B | 2、 R( A) R(B) 3、 A与 B有相同的特征多项式和 特征值 ;
线性代数5-3 方阵相似于对角矩阵的条件
(2) 由于A~B,所以A的特征值为
1 1 ,22,3 2.
由 A E x 0 ,求 A 的 特 征 值 .
当λ1=-1时，由
1 0 0
1 0 0
A
E
2
1
2
～
0
1
2
3 1 2 0 0 0
0
得基础解系:
P1
2
,
1
当λ2 ＝2时，
4 0 0 1 0 0
A
2E
2
2
(2 )若 A 与 B 相 ,且 似 A 可 ,则 逆 B 也,可 且 A 1 与 逆
B 1 相 ; 似 (3 )A 与 B 相 ,则 似 k与 A k相 B,k 为 似; 常数
(4)若 A 与 B 相,而 似 f(x)是一,多 则 f(A 项 )与式 f(B )相.似
２．相似变换与相似变换矩阵
0
2
0
.
3 1 1
0 0 y
（1）求x和y的值,
2求可P 逆 ,使 P 1 矩 A P 阵 B .
（同型题：习题课教程P132第11题）
解 (1)因为A~B,所以B的主对角线元素是A的特 征值.因此有
2x112y,
AE AE 0.
整理得xx
y 2, 0,
解得
x 0, y 2.
2
～
0
1
1
,
3 1 1 0 0 0
得基础解系:
P2
0
1
,
1
当λ3 ＝-2时，
0 0 0 1 0 1
A
2E
2
2
2
～
0
1
0
,
3 1 3
4.3 相似矩阵
即
5 1
a b
3 2
1 1
1 1
，
解之得1 a3 b0.
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小结
相似矩阵的定义
设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使 P1APB
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵. 注: 相似一定等价；或相似关系一种特殊的等价关系.
如果n阶矩阵A有n个线性无关的特征向使得Apii pi (i1 2 n).
于是(Ap1 Ap2 A pn) (1p1 2p2 n pn)
1
所以A(p1
对于232 解方程
得基础解系
(A2E)x0 p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T
所以对应于232的全部特征向量为k2p2k3p3(k2,k3不同时为0).
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例3.1
讨论
A
2 0
4
1 2 1
031
能否对角化?若能,把它对角化.
问题1:一个n阶矩阵A能否对角化？ 问题2:如何寻求可逆矩阵P 使P1AP为对角阵？
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三、方阵与对角阵相似的条件
一个n阶矩阵A能否对角化？如何寻求可逆矩阵P 使
P1AP为对角阵？
设P1AP 其中P(p1 p2 pn) diag(1 2
设n阶矩阵A与B相似 则有可逆矩阵P 使P1APB.
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二、相似矩阵的简单性质
设A B都是n阶矩阵 P1APB , 则A PBP1 ,
于是 Ak (PBP1 )k PBP1 PBP1 …PBP1 PBkP1 .
k个
4.3 相似矩阵
2
相似矩阵具备如下等价关系：
(1)反身性 A与A本身相似. A E 1 AE
( 2 )对称性 若A与B相似, 则B与A相似.
1 B P AP , P可逆 A ~ B
A P
1
1
B P 1 , P 1可逆
( 3 )传递性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
1 1 0 A 0 2 1 . 0 0 3
问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆矩阵 P 和 对角矩阵 , 使 P-1AP = . 解： 矩阵 A 的特征多项式为 1 1 0 |A E| 0 2 1 (1 )( 2 )( 3 ), 0 0 3
19
当 3 3
2 1 0 1 2 0 1 r （ 2 ） r r 1 2 1 A 3E 0 1 1 即： 0 1 1 0 r1 （1） 0 0 0 0 0 0 0 1 x1 2 x3 基础解系为： p2 得方程组 x2 x3 x x 3 3 所以 p3 是对应于 3 3 的特征向量.
即 A p1 , p2 , , pn p1 , p2 , , pn 令P ( p1 , p2 , , pn ), n
p1 , p2 , pn线性无关， P 0,
即P可逆
1 2 1 1 P AP ( p1 , p2 , , pn ) p1 , p2 , , pn n
由 P 1 AP , 得AP P ,
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn
于是有 Api i pi
相似矩阵 PPT课件
3 3 6
1 (1 , 1 , 1)T , 2 (1 , 1 , 0)T , 3 (1 , 1 , 2)T ,
令
1 1
P (1 , 2 3 ) 1 1
1 1,
1
0
2
0
则
P 1 AP
1
.
9
14
例3
4 判断矩阵 A 1
10 3
0
0 能否对角化，若能，
3 6 1
当 2 是特征方程的二重根， 则有 22 16 18 3a 0 , 解得 a 2 .
1 2 3 1 2 3 2E A 1 2 3 0 0 0 , 秩为1，
1 2 3 0 0 0
故 2 对应的线性无关的特征向量有两个,
从而A可相似对角化.
21
E A ( 2)(2 8 18 3a)
3 3 6 3 3 6
1 1 0
10 0
( 1) 2 1 3 ( 1) 2 3 3
3 3 6
3 6 6
3 3
( 1)
( 1)( 9) ,
6 6
11
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
3 3 6
1
对
1
0 ，0 E
A
2
2 1
3 1 3 0
22
一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A 能对角化，即存在可逆阵P，使得
P 1 AP ,
则 A PP 1 ,于是
An (PP 1 )( PP 1 ) (PP 1 )
P(P 1P)(P 1P) (P 1P)P 1 Pn P 1 ,
转化为对角阵求幂.
23
例7
设
A
1 2
12 , 求 A100 .
1 (1 , 1 , 1)T , 2 (1 , 1 , 0)T , 3 (1 , 1 , 2)T ,
令
1 1
P (1 , 2 3 ) 1 1
1 1,
1
0
2
0
则
P 1 AP
1
.
9
14
例3
4 判断矩阵 A 1
10 3
0
0 能否对角化，若能，
3 6 1
当 2 是特征方程的二重根， 则有 22 16 18 3a 0 , 解得 a 2 .
1 2 3 1 2 3 2E A 1 2 3 0 0 0 , 秩为1，
1 2 3 0 0 0
故 2 对应的线性无关的特征向量有两个,
从而A可相似对角化.
21
E A ( 2)(2 8 18 3a)
3 3 6 3 3 6
1 1 0
10 0
( 1) 2 1 3 ( 1) 2 3 3
3 3 6
3 6 6
3 3
( 1)
( 1)( 9) ,
6 6
11
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
3 3 6
1
对
1
0 ，0 E
A
2
2 1
3 1 3 0
22
一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A 能对角化，即存在可逆阵P，使得
P 1 AP ,
则 A PP 1 ,于是
An (PP 1 )( PP 1 ) (PP 1 )
P(P 1P)(P 1P) (P 1P)P 1 Pn P 1 ,
转化为对角阵求幂.
23
例7
设
A
1 2
12 , 求 A100 .
相似矩阵的定义及性质
P1A3P P1(3A)P P1EP
(P1AP)(P1AP)(P1AP) 3P1AP E
1
3 1
1
2
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
2
3
1
1
1
3
19
所以矩阵
B
能与对角阵相似。 23
（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
三. 矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化） 对 n 阶方阵 A，如果可以找到可逆矩阵 P， 使得 P1AP 为对角阵，就称为把方阵 A 对角化。
4
定理1： n 阶矩阵 A 可对角化（与对角阵相似） A 有 n个线性无关的特征向量。
推论：若 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值, 则 A 可对角化。（与对角阵相似） (逆命题不成立)
再求乘积即为行列式的值。
设 f (x) x 3
A 的特征值是 2,4, ,2n 即 i 2i, A 3E 的特征值是 f (i ) 2i 3
n
A 3E 2i 3 (1) 1 3 (2n 3) i 1
20
方法2：已知 A有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，
二. 相似矩阵的定义及性质
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
则称矩阵 B是矩阵A 的相似矩阵，
或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 对 A进行运算 P－1 AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
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反之不真
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
2
3 13
1 0 2
所以A的特征值为 1 2 3 1.
把 1代入E A x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能相似为对角矩阵.
例2
设 2 阶矩阵 A 的特征值为1, − 5, 与特征值
n
Ppi1 ,是否, p为n为特非征零向向量量？, (1 p1, 2 p2 ,, n pn )
1,, n是特征值, p1,, pn是特征向量。
P 的列向量 pi是与A相似的对角阵中相应对角元素 i的特征向量
A 与 对 角线阵性相相关似性？ A 有 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量
反之？
n P
关键是 P 可逆吗？
A 能否与对角阵 相似取决于
A 能否有 n 个线性无关的特征向量
且相似变换阵 P ( p1 , p2 ,, pn )
定理7 n 阶矩阵A与对角阵相似的充要条件 为 A 有n 个线性无关的特征向量.
A PP 1
为P 的列向量
推论(P.155) 若A有n 个互异的特征值，则 A与对角阵相 似。
1 0 2
解
1 2 2
(1)由 E A 2 2 4
2 4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入1E A X 0,得方程组
x1 2x2 2x3 0 2x1 4x2 4x3 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
0
1 0 , 2 1.
1
1
同理, 对3 7,由3E A x 0,
求得基础解系 3 1,2,2T
201
由于
0 1 2 0,
112
所以 1,2 ,3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角
化.
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
E A 5 3
E B P1EP P1AP P1(E A)P
P1 E A P E A
这表明A与B 有相ຫໍສະໝຸດ 特征值对 角 阵 1n
的
特
征
值
为1
,,
n。
A与B相似; E A E B ; 都与相似
推论
若A与 对 角 阵 1
n 相 似 ， 则1,
, n为A的特征值。
例1
A
3 5
11,
4 0
02, P 11
因为P1AP B(1)
而可逆矩阵是若干个初等矩阵的乘积, (1)式左端就相当于对A施行一系列的初等 行变换和列变换,因而秩不变.
(7)若A ~ B,则有A B;
P1AP B P1AP B P1 A P B
AB
(8)若A~B,则A,B或都可逆或都不可逆,且若A可逆,则
A1 ~ B1。
二、相似矩阵的性质
（1）自反性 A~A （2）对称性 若A~B，则B~A （3）传递性 若A~B，B~C，则A~C相似
(4) A ~ B, 则Ak ~ Bk （其中 k 是正整数） （5）若A~B ， (A) 是关于A 的多项式
则 ( A) ~ (B)
若A PB P1, 则 k个
Ak PB P1 PB P1 PB P1PB P1 P Bk P1.
由性质（7）有A B ,
从而A与B同时为0或不为0，
所以A与B或都可逆或都不可逆。
若A可逆，则有P1AP B (P1AP)1 B1
P1 A1(P1)1 P1 A1P B1
A1 ~ B1
定理6 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
证 设 A与B 相似，由条件知存在可逆阵P, 使P 1 AP B，
第三节 相似矩阵
相似矩阵的定义 相似矩阵的性质 利用相似变换将方阵对角化
一、相似矩阵的概念
定义 设A,B 都是 n 阶方阵,若有可逆矩阵P, 使 P1AP B
则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似 记作 A ~ B
对 A 进行运算 P1AP 称为对A进行相似变换 其中可逆矩阵 P 称为把A变成B的相似变换矩阵。
反之设1, 2 ,, n是A的特征值, 对应的特征向量为
p1 , p2 设P
,, pn . ( p1, p2 ,,
pn
)，
1
若p1P,可pn2逆,,, pn
线性无关
A与相似
AP ( Ap1 , Ap2 ,, Apn ) (1 p1, 2 p2 ,, n pn )
( p1, p2 ,, pn ) 1
15,验证 P 1 AP,并求Ak
A PP 1 Ak ( PP 1 )k Pk P 1
P 1
1 6
5 1
11
k
4k 0
0 (2)
k
Ak
1 6
54 5 4k
k (2)k 5 (2)
k
4k (2)k 4k 5 (2)k
问题：(1) A 满足什么条件时能与对角阵相似？
(2) A与对角阵相似时, 相似变换阵P及怎样求？
1
为对角矩阵，
即
0
0
2
0 0 ,
0 0 n
则 Ak Pk P 1, ( A) P ()P 1 ，而对于矩阵 有
k 1
k
k 2
(1 )
,则
()
0
k n
0
0
(2 )
0
0 0
(n )
利用上述结论可以很方便计算矩阵A 的多项式 ( A)
(6)若n阶矩阵A~B,则有秩A=秩B;
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a0 P Bn P1 a1 P Bn1 P1 an1 PB P1 an PE P1
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E) P1
P(B) P1.
特别地，若有可逆矩阵P,使 P1 AP
即如何将方阵 A 对角化
三、 矩阵的相似对角化的条件
A与对角阵相似 ?存在一个n阶可逆阵 P, 使 P 1 AP
设
P
( p1, p2 ,, pn
P 1AP AP P Api i
)，
1
n
pi,?(Oi
( p1 ,
1,2,, n)
p2
( Ap1 , Ap2 ,, Apn )
,, pn ) 1
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
2
3 13
1 0 2
所以A的特征值为 1 2 3 1.
把 1代入E A x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能相似为对角矩阵.
例2
设 2 阶矩阵 A 的特征值为1, − 5, 与特征值
n
Ppi1 ,是否, p为n为特非征零向向量量？, (1 p1, 2 p2 ,, n pn )
1,, n是特征值, p1,, pn是特征向量。
P 的列向量 pi是与A相似的对角阵中相应对角元素 i的特征向量
A 与 对 角线阵性相相关似性？ A 有 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量
反之？
n P
关键是 P 可逆吗？
A 能否与对角阵 相似取决于
A 能否有 n 个线性无关的特征向量
且相似变换阵 P ( p1 , p2 ,, pn )
定理7 n 阶矩阵A与对角阵相似的充要条件 为 A 有n 个线性无关的特征向量.
A PP 1
为P 的列向量
推论(P.155) 若A有n 个互异的特征值，则 A与对角阵相 似。
1 0 2
解
1 2 2
(1)由 E A 2 2 4
2 4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入1E A X 0,得方程组
x1 2x2 2x3 0 2x1 4x2 4x3 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
0
1 0 , 2 1.
1
1
同理, 对3 7,由3E A x 0,
求得基础解系 3 1,2,2T
201
由于
0 1 2 0,
112
所以 1,2 ,3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角
化.
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
E A 5 3
E B P1EP P1AP P1(E A)P
P1 E A P E A
这表明A与B 有相ຫໍສະໝຸດ 特征值对 角 阵 1n
的
特
征
值
为1
,,
n。
A与B相似; E A E B ; 都与相似
推论
若A与 对 角 阵 1
n 相 似 ， 则1,
, n为A的特征值。
例1
A
3 5
11,
4 0
02, P 11
因为P1AP B(1)
而可逆矩阵是若干个初等矩阵的乘积, (1)式左端就相当于对A施行一系列的初等 行变换和列变换,因而秩不变.
(7)若A ~ B,则有A B;
P1AP B P1AP B P1 A P B
AB
(8)若A~B,则A,B或都可逆或都不可逆,且若A可逆,则
A1 ~ B1。
二、相似矩阵的性质
（1）自反性 A~A （2）对称性 若A~B，则B~A （3）传递性 若A~B，B~C，则A~C相似
(4) A ~ B, 则Ak ~ Bk （其中 k 是正整数） （5）若A~B ， (A) 是关于A 的多项式
则 ( A) ~ (B)
若A PB P1, 则 k个
Ak PB P1 PB P1 PB P1PB P1 P Bk P1.
由性质（7）有A B ,
从而A与B同时为0或不为0，
所以A与B或都可逆或都不可逆。
若A可逆，则有P1AP B (P1AP)1 B1
P1 A1(P1)1 P1 A1P B1
A1 ~ B1
定理6 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
证 设 A与B 相似，由条件知存在可逆阵P, 使P 1 AP B，
第三节 相似矩阵
相似矩阵的定义 相似矩阵的性质 利用相似变换将方阵对角化
一、相似矩阵的概念
定义 设A,B 都是 n 阶方阵,若有可逆矩阵P, 使 P1AP B
则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似 记作 A ~ B
对 A 进行运算 P1AP 称为对A进行相似变换 其中可逆矩阵 P 称为把A变成B的相似变换矩阵。
反之设1, 2 ,, n是A的特征值, 对应的特征向量为
p1 , p2 设P
,, pn . ( p1, p2 ,,
pn
)，
1
若p1P,可pn2逆,,, pn
线性无关
A与相似
AP ( Ap1 , Ap2 ,, Apn ) (1 p1, 2 p2 ,, n pn )
( p1, p2 ,, pn ) 1
15,验证 P 1 AP,并求Ak
A PP 1 Ak ( PP 1 )k Pk P 1
P 1
1 6
5 1
11
k
4k 0
0 (2)
k
Ak
1 6
54 5 4k
k (2)k 5 (2)
k
4k (2)k 4k 5 (2)k
问题：(1) A 满足什么条件时能与对角阵相似？
(2) A与对角阵相似时, 相似变换阵P及怎样求？
1
为对角矩阵，
即
0
0
2
0 0 ,
0 0 n
则 Ak Pk P 1, ( A) P ()P 1 ，而对于矩阵 有
k 1
k
k 2
(1 )
,则
()
0
k n
0
0
(2 )
0
0 0
(n )
利用上述结论可以很方便计算矩阵A 的多项式 ( A)
(6)若n阶矩阵A~B,则有秩A=秩B;
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a0 P Bn P1 a1 P Bn1 P1 an1 PB P1 an PE P1
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E) P1
P(B) P1.
特别地，若有可逆矩阵P,使 P1 AP
即如何将方阵 A 对角化
三、 矩阵的相似对角化的条件
A与对角阵相似 ?存在一个n阶可逆阵 P, 使 P 1 AP
设
P
( p1, p2 ,, pn
P 1AP AP P Api i
)，
1
n
pi,?(Oi
( p1 ,
1,2,, n)
p2
( Ap1 , Ap2 ,, Apn )
,, pn ) 1