第5章 电磁波的辐射
电磁波的产生介绍电磁波的产生和辐射
电磁波的产生介绍电磁波的产生和辐射电磁波的产生与辐射电磁波是一种能量传播的方式，它由电场和磁场相互作用而产生。
本文将介绍电磁波的产生原理以及其在日常生活中的辐射现象。
一、电磁波的产生原理电磁波的产生依赖于振荡电荷。
当电荷在空间中振动或加速运动时，就会产生电场和磁场的变化，从而形成电磁波。
具体来说，当电荷振动时，会在其周围形成交替变化的电荷密度，从而形成电场的变化。
而电场的变化又会引起磁场的变化，两者相互耦合作用，一起传播出去，形成电磁波。
二、电磁波的辐射现象1. 光波光波是电磁波的一种，其频率范围在可见光的范围内，人眼能够感知。
太阳光就是一种光波的例子。
当太阳产生巨大的能量时，其中的电荷不断加速运动，产生电磁波，最终形成了太阳光辐射。
2. 无线电波无线电波是指频率较低的电磁波，它的应用非常广泛，包括无线电通信、广播、雷达等。
在无线电通信中，当发射设备产生电磁波并加以调制后，信号就会通过天线辐射出去，接收设备接收到信号后解调还原成原始信号。
3. 微波和雷达波微波是指频率介于无线电波和红外线之间的电磁波，其辐射源包括微波炉和雷达系统。
当微波炉工作时，它会产生高频电磁波，通过加热食物中的水分子来使其加热。
雷达系统则利用微波来探测目标，根据反射回来的微波信号来判断目标的位置和性质。
4. X射线和γ射线X射线和γ射线是频率很高的电磁波，具有较强的穿透能力。
在医学影像学中，医生利用X射线来观察人体的内部结构；而γ射线广泛应用于放射治疗和工业检测等领域。
5. 辐射安全问题尽管电磁波在生活中具有很多应用，但过度暴露于某些电磁波可能对人体健康产生影响。
因此，相关的辐射安全问题备受关注。
人们需要合理使用电子设备，如手机和微波炉，避免长时间过度接触电磁辐射。
结论电磁波的产生依赖于振荡电荷，通过电场和磁场的相互耦合作用而传播。
不同频率的电磁波具有不同的特性和应用，包括可见光、无线电波、微波、X射线、γ射线等。
在日常生活中，我们需要注意电磁辐射的安全问题，合理使用电子设备，保护好自己的健康。
中科大 电动力学 PPT
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规范变换与规范不变性
电磁矢势、标势具有相当大的人为选择的余地 两组不同的矢势标势，可以表示相同的电磁场
A
第十一周
A A
变换
t
A A B A A E t t
A A ei k x t 0 i k x t 0e
2
k 2 c2
洛伦兹规范下，描述平面波的
势仍有变换的自由度，可取
k k A 0
2
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第五章 电磁波辐射
§5.1 电磁场的矢势和标势
第十一周
§5.2 推迟势
波动方程的行波解 点源产生的电磁波 推迟势
§5.3 电磁辐射
§5.4 电磁波衍射 §5.5 麦克斯韦张量
《等离子体物理导论》
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达朗贝尔方程
洛伦兹规范下：
1 A 0 2 c t
第十一周
电磁场（电磁势）运动方程：
2 1 A 2 c 2 1 c2
A 0 J 2 t 2 t 2 0
2
d’Alembert方程
《等离子体物理导论》
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直角坐标下波动方程的解：平面行波
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电磁矢势标势满足的方程
电磁矢势、标势满足的方程 ♨
电磁波辐射的原理
电磁波辐射的原理一、引言电磁波辐射是指电磁场中能量的传播，广泛应用于通信、无线电、雷达、生物医学等领域。
本文将从电磁波的产生、性质以及与人类的关系等方面介绍电磁波辐射的原理。
二、电磁波的产生电磁波的产生与振荡电荷有关，当电荷受到外界激发或运动时，会引起电场和磁场的变化，从而产生电磁波。
电磁波由电场和磁场交替变化而构成，以光速在空间中传播。
三、电磁波的性质1. 频率与波长：电磁波的频率和波长是一对相互关联的量。
频率越高，波长越短，能量越大。
不同频率的电磁波在空间中传播的速度相同，都是光速。
2. 谱线：电磁波的频率范围非常广泛，从极低频到极高频覆盖了广泛的频率范围。
不同频率的电磁波被称为不同的谱线，如无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X射线和γ射线等。
3. 传播特性：电磁波在空间中传播时，呈直线传播，并且能够穿透空气、水、玻璃等透明物质，但被金属等导体所吸收。
电磁波的传播过程中不需要介质，可以在真空中传播。
四、电磁波与人类的关系1. 通信技术：电磁波作为一种信息传播的媒介，被广泛应用于通信领域。
通过无线电波和微波的传播，人们可以进行远距离的语音通话、数据传输和视频通信等。
2. 生物医学：电磁波在医学诊断中有重要应用，如X射线和核磁共振成像等。
它们可以穿透人体组织，获取内部结构的信息，帮助医生进行疾病的诊断和治疗。
3. 辐射安全：电磁波的辐射对人体健康有一定影响。
高频电磁波如紫外线、X射线和γ射线辐射强度较高，对人体组织造成伤害。
因此，人们需要遵守辐射安全规定，减少接触高强度电磁波的机会。
五、电磁波辐射的应用1. 无线通信：无线电波和微波的应用使得人们可以通过手机、电视、无线网络等实现远程通信和信息传输。
2. 遥感技术：利用电磁波的不同频谱，可以获取地球表面的各种信息，如气象预报、农作物生长监测和环境监测等。
3. 广播和电视：广播和电视节目的传播依赖于电磁波的传输，使得人们可以通过无线电和电视接收设备收听和观看节目。
电磁场理论-06 电磁波的反射和折射
Et
Ht
Hi
Hi
5、场的表示形式及相互关系 • 垂直极化情况：
Er
Ei
x
Et
E i r E ime
jk i r
ˆ y
jk r r ˆ E r r E rme y z Et r E tme jk t r y ˆ
reflected wave
Er
refracted wave (transmitted wave)
incident wave
ˆ n Ei
Et
1、1 2、 2
interface
三、坐标系设置及一些参量
• 入射波、反射波、折射波传播矢量：k 、k 、k i r t • 入射面： x ˆ 所确定的平面 k ki , n
2、其余步骤与垂直极化情况相同
三、全透射：
当r// 0或r = 0时，发生全透射
1 cos i 2 cos t 对于平行极化入射，r// 1 cos i 2 cos t
1
u1 cos i
r 0
2
u2
cos t
2
u2
1 sin 2 t
sin i
媒质的折射率：n1
r 1 r 1
n2 r 2r 2
4、若入射波垂直极化，反射波、折射波也是垂直极化； 若入射波平行极化，反射波、折射波也是平行极化；
• 垂直极化情况：
电场均垂直于入射面
• 平行极化情况：
电场均平行于入射面
Er
Ei
Hr
Et
Ht
Er
Ei
Hr
第五章 电磁波的辐射 §1. 电磁场的矢势和标势§2. 推迟势§3. 电偶极辐射(简介) 变化电流
2 c 1 2 2 t2 t( A c 1 2 t) 1 0
(x ,t)410Q(t rr/c)
—— 是点源的势
若点电荷不在原点 r = 0 处，而在 x’ 处，则rxx'
(x,t)410rQ(x',
tr) c
推迟势
在 x’ 处的点电荷的势
(x,t)410rQ(x',
tr) c
连续分布电荷的势
同样可得矢势
A ((x x ,, tt)) 4 4 0 1 r0 J r(x '(,x t', tc r )d c rV )d'V'
向外传播 向球心汇聚
参照 静电场： Q 4 0r
可设： f(tr) 1 Q(tr)
c 40 c
推迟势
验证在 r = 0 处， = f / r 是否满足原方程：
2c122t2 10Q(t)(r)
以原点为球心，作一小球面，半径 0，考察积分
V(2c12 t22)410Q(t rr/c)dV
0 ( 2c 1 2 t2 2)410Q (t rr/c)4r2dr
'A '
t
t
AA
对应同样的
E和B
t t
t
规范变换： (A,)
(A',')
一种规范 另一种规范
规范不变性：在规范变换下， E和B不变
3. D’Alembert 方程
(1) H B J ( D t A ) ( ( 真 A ) D 2A 0 E 空 ,0 JB 00 H 0 E ) t
电动力学第五章答案
v
v
解
v v 1 ∂ϕ A 与 ϕ 满足洛仑兹规范 故有 ∇ ⋅ A + 2 =0 c ∂t v Q ϕ = −∇ ⋅ Ζ 代入洛仑兹规范 有 v 1 ∂ v ∇ ⋅ A + 2 ⋅ (−∇ ⋅ Ζ) = 0 c ∂t
k
v v v v* ∴ 要使上式成立 仅当 k ⋅ a k = k ⋅ a k = 0时 v v v ∴ 故 证得当取 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 k ⋅ a k = 0 vv vv v v v v* ik ⋅ x 3 已知 A( x , t ) = ∑ [a k (t )e + ak (t )e −ik ⋅ x ]
第五章
电磁波的辐射
如果取 ϕ = 0
有
v v B = ∇× A v v ∂A E=− ∂t
代入方程
v v ∂D ∇× H = ∂t v ∇⋅D = 0
有
v v ∂D 1> ∇ × H = ∂t
v v ∂E ∇ × B = εµ ∂t
∴ 由 1>2>得
v ∇⋅ A = 0
2
kh
v v E , B 相互垂直 v v E , B 同相 振幅比为 υ v v
1
2 可表示的波正是符合条件的平面波
所以命题得证 4. 设真空中矢势 A( x , t ) 可用复数傅立叶展开为 A( x , t ) =
v v
v v
v d 2 a k (t ) v v 1 证明 a k 满足谐振子方程 + k 2 c 2 a k (t ) = 0 2 dt
2 当选取规范 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 3 把 E和B 用 a k 和 a k 表示出来
电动力学第五章
k •r
t
)
ei
(
k
•r
t
)
0
A
A ei(k •r t ) 0
ei
(
k
•r
t
)
0
由Lorentz规范条件 • A
ik
•
A
1 c2
(i )
0
1 c2
t
0
得
c2
k
•
A
由此可见，只要给定了 A，就能够拟定单色平面电磁波。
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
V
(r,t R )
c dV
4 0 R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内旳变化电荷和变化电 流在空间任意点激发旳标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中旳时刻是t R c ，而不是 t 这阐明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生旳场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一种传播时
1 c2
2A t 2
0J
达朗贝尔方程
A
和
分别
满足有源旳波动方程
例：求单色平面电磁波旳势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布旳自由空间中传播 旳，因而势旳方程（洛伦兹规范，达朗贝尔方程）变为齐次
波动方程：
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1
2A 0
c2 t 2
其平面波解为：
A
A0ei
(
(r
•
j
•
j)j•ຫໍສະໝຸດ 1 R]dV•
电磁波的产生与辐射
电磁波的产生与辐射电磁波是由变化的电场和磁场共同构成的一种波动形式。
电磁波的产生与辐射是电磁学中的重要概念，它们对我们的日常生活和科学研究具有重要意义。
本文将从电磁波的产生机制和辐射行为两个方面来探讨电磁波的相关知识。
一、电磁波的产生机制电磁波的产生是由于电荷的加速运动而引起的。
当电荷在空间中加速运动时，就会产生变化的电场和磁场，进而形成电磁波。
这个过程符合麦克斯韦方程组中的法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
举个例子来说明电磁波的产生过程。
当我们打开一个电灯开关，电流开始流过灯泡的电路，电子在电路中开始加速运动。
这个加速运动使得电子周围的电场和磁场发生变化，从而产生电磁波。
这些电磁波将沿着空间传播，最终到达灯泡的外部，使得我们能够看到光亮。
二、电磁波的辐射行为电磁波的辐射是指电磁波从产生源向周围空间传播的过程。
电磁波具有一定的特性和行为，其中包括传播速度、波长、频率等。
1. 传播速度电磁波在真空中的传播速度是一个常数，即光速，约为3×10^8米/秒。
光速是自然界最快的速度，它具有不可逾越的极限。
2. 波长和频率电磁波的波长和频率是密切相关的。
波长表示电磁波中一个完整波动的长度，通常用λ表示，单位是米。
频率表示单位时间内电磁波波动的次数，通常用ν表示，单位是赫兹（Hz）。
电磁波的波长和频率之间存在简单的关系，即波速等于波长乘以频率。
3. 能量和强度电磁波的能量与其强度相关。
电磁波的强度是指单位时间和单位面积上通过的能量，通常用瓦特/平方米（W/m^2）来表示。
电磁波的强度与电磁波的能量有关，能量较高的电磁波具有较大的强度。
电磁波的辐射行为是由电磁波的产生和传播机制共同决定的。
当电磁波从产生源发出后，会以波的形式向周围空间传播，直到遇到障碍物或被吸收。
电磁波的辐射行为具有很强的穿透力和传播性，可以传输能量和信息。
结论电磁波的产生与辐射是电磁学的基本概念，对于我们理解电磁现象和应用电磁技术具有重要意义。
电磁波的辐射与接收
电磁波的辐射与接收电磁波的辐射与接收是在科学技术领域中，特别是在通信技术领域中的一种非常重要的现象。
电磁波的辐射与接收的理解一直在促使人类的通信技术不断进步。
一、电磁波的辐射电磁波的辐射，简单来说，是由于电荷的振动或者加速度的变化产生的。
振动电荷产生电场，电场的变化产生磁场，反过来，磁场的变化又产生电场。
这样电场与磁场相互变化相互影响，形成了一种电磁现象，这就是电磁波。
电磁波的辐射可以用著名的麦克斯韦方程组来描述。
在无电流或无电荷的自由空间中，电磁波的传播符合波动方程，其解是空间和时间的函数，形象地描述了电磁波的辐射和传播规律。
二、电磁波的接收电磁波的接收，可以看作是电磁波的辐射的逆过程。
在接收设备中，由于电磁波传播至接收天线，天线中的自由电子将受到电磁波电场分量的作用并发生振动，产生电流，这样就实现了电磁波的接收。
电磁波的接收可以用电磁感应和谐振原理来解释。
天线中的自由电子受到电磁波的电场分量作用产生的共振电流，可以通过电子设备进行放大和处理，实现对电磁波信息的接收。
三、电磁波的辐射与接收的应用电磁波的辐射与接收的理解，加深了人类对自然界的认识，更为人类的通信技术的发展提供了强大的动力。
在无线通信领域，通过电磁波的辐射与接收，实现了信息的无线传递。
从最初的无线电报、到无线电视发射，再到现在的无线网络通信，无不离开对电磁波辐射与接收的理解和应用。
在天文观测领域，通过对电磁波的辐射与接收的研究，人们可以侦测到宇宙中远处天体发射出的电磁波，从而获取关于宇宙的重要信息。
综上所述，电磁波的辐射与接收是科技领域一种重要的现象，它让人们在通信、天文观测等领域取得了重大突破。
可见，深入理解和研究电磁波的辐射与接收对科技进步有着重要的推动作用。
辐射第5章
2020/4/29
第五章 逆Compton散射
11
§5.1 经典汤姆逊散射，散射截面
2020/4/29
Components:
Accretion disk:
UV/optical spectrum of NGC 5548: a typical Seyfert 1 Galaxy.（Peterson，1997）
2020/4/29
第五章 逆Compton散射
8
§5.1 经典汤姆逊散射，散射截面
Seyfert 1: Optical Spectrum, continue
其中 hi / mec2
对
1
，
T (1
2
26 2 5
)
；
对 1， 3T 1(log 2 1/ 2) 。
8
当入射光子频率极高(硬光子)，受到电子散射的概率非 常小。定性说明:入射电磁波频率太高，电子的惯性使 它来不及响应，电子受迫振荡弱，所以散射小。
2020/4/29
第五章 逆Compton散射
此外，对足够强的入射辐射场,电子相对论性振荡,偶
极近似失效。 线偏振光入射,散射出射光也是线
偏振的:
Erad
e c
n [ k 3r
{( n
)
}]ret
E
2020/4/29
第五章 逆Compton散射
5
§5.1 经典汤姆逊散射，散射截面
非偏振光入射 ：入射光的场强方向，在垂直于入射方 向的平面上随机取向。可看成两个相互独立的线偏振 波的迭加。所以散射波也可看成两线偏振波的叠加。
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第五章 电磁波的辐射
23
第五章 电磁波的辐射
24
上式说明平面波电磁场只依赖于矢势的 横向分量，对 加上任意纵向部分都不影 响电磁场值。这说明在平面波情形，即使加 上洛仑兹规范条件后， 和 仍然不是唯 一确定的，还剩下一些规范变换自由度。
第五章 电磁波的辐射
25
如果取
，即只取
具有横向分量，那么有
第五章 电磁波的辐射
Electromagnetic Wave Radiation
(2014.05.29)
第五章 电磁波的辐射
1
电磁波的辐射分为两大类，一类是高频交变电流 电荷激发的电磁波，称为电磁波的宏观辐射；另一类 是原子内部电子跃迁产生的辐射，称为电磁波的微观 辐射。 研究电磁辐射的方法和稳恒场情况一样，当考虑 由电荷、电流分布激发电磁场的问题时，引入势的概 念来描述电磁场比较方便。
它所激发的标矢为
因矢势的微分方程与标势的微分方程同构，故其解 也相似，所以一般变化电流分布所激发的矢势为
第五章 电磁波的辐射
36
2、推迟势 达朗贝尔方程的解称为推迟势
r ( x, t ) 1 c dV ( x, t ) r 4 0 V
r J ( x, t ) 0 c dV A( x , t ) r 4 V
不同规范条件下的势方程 （1） 采用库仑规范
库仑规范的特点是 标势所满足的方程 与静电场情形相同。 解出φ后代入第一式 再解出A即可确定E 和 B。
第五章 电磁波的辐射 19
（2） 采用洛仑兹规范
该方程组称为达朗贝尔方程。电荷产生标势波动， 电流产生矢势波动。离开电荷电流区域后标势和矢势都 以波动形式在空中传播，由它们导出的电场和磁场也以 波动形式在空中传播。电磁场的波动性质与规范无关。
第五章 电磁波的辐射
40
求解无界空间电磁波的一般程序 （1）由给定的电荷电流分布求出矢势和标势
（2）由矢势和标势求出电磁场
第五章 电磁波的辐射 41
推迟势满足洛伦兹规范条件 利用电荷守恒定律，我们可以验证推迟势满足 洛伦兹规范规范条件
电பைடு நூலகம்场的势为
第五章 电磁波的辐射
42
第五章 电磁波的辐射
43
第五章 电磁波的辐射 28
在两种规范下求得的电磁场相同。通过比较可看到：
库仑规范的优点 它的标势 φ 描述库仑作用，可直接由电荷分布ρ 求出，它的矢势 A 只有横向分量，恰好足够描述辐射 电磁波的两种独立偏振。
洛仑兹规范的优点 它的标势 φ 和矢势 A 构成的势方程具有对称性。 它的矢势 A 的纵向部分和标势 φ 的选择还可以有任 意性，即存在多余的自由度。
由r 和λ的关系决定的三个区域 （1） 近区 （ r<<λ）
这时有kr << 1，推迟因子eikr~1，因而场保持稳 恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，磁 场也和稳恒场相似。 （2） 感应区 （r ~ λ）
在辐射问题中应取 g=0。函数 f 的形式应由原点 处的电荷变化形式决定，考虑上述解过渡到恒定场的 情况，c→∞，应与恒定场中Q所激发的电势同形
r f (t ) c ( r, t ) r
Q 4 0 r
34
与静电情形对比
第五章 电磁波的辐射
因此在交变电磁场中应有相似的解，即
r (r , t ) Q(t ) 4 0 r c
在四种基本相互作用中，规范不变性是决定相互 作用形式的一条基本原理。传递这种相互作用的场称 为规范场。电磁场是人们最熟悉的一种规范场。从物 理观点来看，物理上可测量的量一定是规范不变的， 因此描述涉及电磁现象的物理规律的方程形式都应当 在规范变换下保持不变。
第五章 电磁波的辐射 12
从数学上来说，规范变换自由度的存在是由
13
（1）库仑规范
电场为 库仑规范下 为无源场(横场)，对应于感应电场
库仑规范下 -▽φ为无旋场(纵场)，对应于库仑电场 库仑规范的特点是E的纵场部分完全由φ描述,而 横场部分完全由A描述。这种划分对于讨论某些问题是 方便的。
第五章 电磁波的辐射 14
(2) 洛仑兹规范
辅助条件
即规定 是一个有旋有源场（即 包含横场 和纵场两部分），这个规范的特点是把势的基本方程 化为特别简单的对称形式，其物理意义特别明显。这 种规范在基本理论研究以及实际辐射问题中是方便的。
在电荷分布区域外面
第五章 电磁波的辐射 54
2、矢势
的展开式
三个线度 （1）电荷分布区域线度l ，它决定源点变化的范围；
（2）波长
，它反映了波的性质。
r
l
（3） 电荷到场点的距离r。
λ
本节只讨论分布于一个小区域内的电流所产生的 辐射。所谓电流作小区域分布是指 l<< λ, l<<r 。
第五章 电磁波的辐射 55
第五章 电磁波的辐射
44
所以
这里对r 的函数而言，有
第五章 电磁波的辐射 45
又因为
第五章 电磁波的辐射
46
即 于是
0
第五章 电磁波的辐射 47
其中
第五章 电磁波的辐射
48
代入洛伦兹规范
由电荷守恒定律
即得
和
的解满足洛伦兹规范条件
第五章 电磁波的辐射 49
§5.3 电偶极辐射（2014.06.02）
第五章 电磁波的辐射
51
其中 比较 得
第五章 电磁波的辐射 52
式中因子 是推迟作用因子，它表示电 磁波传到场点时有相位滞后kr。
根据电荷守恒定律 设 代入上式
得
第五章 电磁波的辐射
表明J，ρ不独立。
53
只要给定电流，则电荷分布ρ也自然确定了。从 而标势φ也就随之确定了。因而在这种情况下，电磁 波按下列顺序确定
2
除原点以外，
1 2 1 2 满足 2 ( r ) 2 2 0 r r r c t
第五章 电磁波的辐射 32
点电荷的解是球面波，随r 增大而减小，作代换
得u的方程 这是一维空间的波动方程。
第五章 电磁波的辐射 33
通解为
r r u (r , t ) f (t ) g (t ) c c
上式称为势的规范变换。通过规范变换得到的新的 一组势对应着同一个电磁场。
第五章 电磁波的辐射
10
证明：由
第五章 电磁波的辐射
11
当用势来描述电磁场时，客观规律应该和势的特 殊规范选择无关。当势作规范变换时，所有的物理量 和物理规律都应该保持不变，这种不变性称为规范不 变性(Gauge invariance)。
第五章 电磁波的辐射 20
例 试求单色平面电磁波的势。
解： （1）用洛仑兹规范条件求解
单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自由空 间中传播，因而势方程为波动方程
第五章 电磁波的辐射
21
代入洛仑兹规范条件 即得
这表明，只要给定了
，就可以确定单色平面电磁波。
第五章 电磁波的辐射 22
确定单色平面电磁波
第五章 电磁波的辐射
2
§5. 1 电磁场的矢势和标势
Vector and Scalar Potential of Electromagnetic
第五章 电磁波的辐射
3
§5.1
电磁场的矢势和标势
静电场
静磁场
第五章 电磁波的辐射
4
1、用势描述电磁场
第五章 电磁波的辐射
5
磁矢势
由于在时变情况下 静磁场，引入矢势A
电磁波是从交变运动的电荷系统辐射出来的， 在宏观情形电磁波由载有交变电流的天线辐射出 来；在微观情形，变速运动的带电粒子导致电磁 波的辐射。 本节研究宏观电荷系统在其线度远小于波长 情形下的辐射问题。
第五章 电磁波的辐射
50
1、计算辐射场的一般公式 当电流分布J给定时，计算辐射场的基础是推迟势
若电流是一定频率ω的交变电流，有
第五章 电磁波的辐射 31
根据标势 φ 所满足的方程
2 1 2 2 2 c t 0
设坐标原点处有一假想变化点电荷Q(t)，其电荷体 密度为， 在球坐标中方程化为
1 2 1 1 (r ) 2 2 Q(t )( x ) 2 r r r c t 0
第五章 电磁波的辐射 15
3、达朗贝尔方程 从麦克斯韦方程组推出矢势和标势所满足的方程
第五章 电磁波的辐射
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同理
第五章 电磁波的辐射
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将上述两个结论整理，得到
这是适用于一般规范的方程组，两个方程互相关 联的， A 、 φ 混杂在同一个方程中， 而且两个方程 的形式不对称。
第五章 电磁波的辐射 18
第五章 电磁波的辐射 29
§5.2 推迟势
Retarded Potential
第五章 电磁波的辐射
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1、达朗贝尔方程的解
矢势 A 和标势 φ ，在洛伦兹规范条件下有同样的 形式。而达朗贝尔方程式是线性的，它反映了电磁场 的叠加性，故交变电磁场中的矢势A 和标势 φ 均满足 叠加原理。因此，对于场源分布在有限体积内的势， 可先求出场源中某一体积元内变化电荷所激发的势， 然后对场源区域积分，即得出总的势。又因矢势 A 的 方程与标势 φ 的方程在形式上相同，故只需求出 φ 的 方程的解即可。
它们给出了分布在有限体积内的变化电荷与变 化电流在无界空间任意点所激发的标势和矢势。
第五章 电磁波的辐射 37
3、讨论 （1）推迟势给出空间点x在t时刻的矢势A和标势φ，它 们是由电荷电流分布激发的。
（2）空间点x在t时刻的矢势和 标势不是由x′处电荷电流同一 时刻的分布决定，而是由较早 时刻t-r/c的分布决定。也就是 说，电荷产生的物理作用不能 够立刻传至场点，而是在较晚 的时刻才传至场点，推迟的时 间是r/c，该时间正是电磁作用 从x′传到到场点 x花的时间。