电动力学复习总结第五章 电磁波的辐射2012答案
电动力学期末考试复习知识总结及试题
电动力学期末考试复习知识总结及试题第一章电磁现象的普遍规律一、主要内容：电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。
在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
完成由普通物理到理论物理的自然过渡。
二、知识体系：三、内容提要：1．电磁场的基本实验定律：（1）库仑定律：对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）（3）电磁感应定律①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。
②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。
（4）电荷守恒的实验定律,①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。
② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。
稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。
2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程其中：1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。
2当，过渡到真空情况：3当时，回到静场情况：4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。
介质中：3、介质中的电磁性质方程若为非铁磁介质1、电磁场较弱时：均呈线性关系。
向同性均匀介质：，，2、导体中的欧姆定律在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。
4．洛伦兹力公式考虑电荷连续分布，单位体积受的力：洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了它的正确。
说明：①②5.电磁场的边值关系其它物理量的边值关系：恒定电流:6、电磁场的能量和能流能量密度：能流密度：三．重点与难点1．概念：电场强度、磁感应强度、电流密度、极化强度、磁化强度、能流密度。
《电磁场与电磁波》课后习题解答(第五章)
《电磁场与电磁波》课后习题解答(第五章)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：习题及参考答案5.1 一个点电荷 Q 与无穷大导体平面相距为d ，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？解：用镜像法计算。
导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q ，位于和原电荷对称的位置。
当电荷Q 离导体板的距离为x 时，电荷Q 受到的静电力为2)2(042x Q F επ-=静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力2)2(042x Q f επ=在移动过程中，外力f 所作的功为d Q d dx dx Q dx f 016220162επεπ=⎰∞⎰∞= 当用外力将电荷Q 移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为dq8/2επ。
也可以用静电能计算。
在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能：d Q d Q Q d Q Q q q W 082)2(04)(21)2(042122211121επεπεπϕϕ-=-+-=+=移动点电荷Q 到无穷远处以后，系统的静电能为零。
因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为dq8/2επ。
5．2 一个点电荷放在直角导体内部（如图5-1），求出所有镜像电荷的位置和大小。
解：需要加三个镜像电荷代替 导体面上的感应电荷。
在（-a ，d ）处，镜像电荷为-q ，在（错误！链接无效。
）处， 镜像电荷为q ，在（a ，-d ）处，镜像电荷为-q 。
图5-1 5．3 证明：一个点电荷q 和一个带有电 荷Q 、半径为R 的导体球之间的作用力为]2)22(2[04R D DRq D D qR Q q F --+=επ其中D 是q 到球心的距离（D ＞R ）。
证明：使用镜像法分析。
电动力学-第五章-电磁波辐射
频率越高，辐射场强越大。
3）辐射场振幅与R成反比，即辐射场随着R的增加而衰减。这个
衰减并不是介质损耗引起的，而是球面波波阵面的扩张所致。
4）辐射场不仅与距离有关，还随sin变化。在 =00或θ = 1800方
向上，辐射场为零；在 = 900方向上，辐射场有最大值。即
天线辐射具有方向性。
21
物理与电子工程学院 张福恒
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电动力学
第五章 电磁波的辐射
电偶极射场有以下特性：
1）辐射场是沿径向方向传播的电磁波，E×H的方向为电磁波
传播方向；电场和磁场在空间各点同相位，且电场与磁场相
互垂直；在R为半径的球面上各点，电场相位相等，磁场相位
也同样相等，因此辐射场是球面TEM波。
2）辐射场强度与频率平方成正比，即在其它条件不变条件下，
电动力学
第五章 电磁波的辐射
§2 推迟势
电磁场的势实际上是四个相似的标量方程组。因此，只要求解 其中一个方程，其它方程的解也即可得到。我们首先求标势方 程的解。标势方程的解可用下面的方法求得。
见5-2附页
A(x,t) 0 J(x,t r / υ) dV
4 V
r
10
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d dt
R c
dp t
dt
0 4 Rc
d2 pt
dt
eR
17
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电动力学
而，
第五章 电磁波的辐射
E ( x, t )
ic k
B( x, t )
cB(x,t) eR
主这样，我们得到电偶极辐射场计算式：
电动力学-选择题填空题判断题问答题复习
《电动力学1》随教材复习题目一、章节容：第0章 矢量分析第一章 电磁现象的普遍规律第二章 静电场第三章 静磁场第四章 电磁波的传播第五章 电磁波的辐射二、题型1. 选择题，填空题，判断题、问答题2. 计算题（见教材例题）2018年5月第0章 矢量分析一、选择题0.1设222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=为源点到场点的距离，r 的方向规定为从源点指向场点，则有 （ B ）A. 0=∇rB. r r r ∇=C. 0=∇'rD. r r r'∇= 0.2位置矢量r 的散度等于 （B ）A ．0 B.3 C.r1 D. r 0.3位置矢量r 的旋度等于 （A ）A.0B.3C.r rD.3rr 0.4位置矢量大小r 的梯度等于 （ C ）A.0 B .r 1 C. r r D.3rr 0.5r 1∇=？ （ B ） A. 0 B.3r r - C.r r D .r 0.6⨯∇3r r =？ （A ） A. 0 B .r r C.r D.r 1 0.7⋅∇3rr =？（其中r ≠0） （ A ） A.0 B.1 C.r D.r1 二、填空题0.1位置矢量r 的散度等于（ 3 ）。
0.2位置矢量r 的旋度等于（ 0 ）。
0.3位置矢量大小r r r 。
0.4无旋矢量场可以引入(标)势来处理，无源矢量场可以引入(矢)势来处理。
0.5(无旋)矢量场可以引入标势来处理，(无源)矢量场可以引入矢势来处理。
三、判断题0.1标量场的梯度必为无旋场。
（√）0.2矢量场的旋度不一定是无源场。
(×) 0.3无旋场必可表示为标量场的梯度。
(√) 0.4无源场必可表示为另一矢量的旋度。
(√)第一章 电磁现象的普遍规律一、选择题1.1对于感应电场下面哪一个说确 （ D ）A 感应电场的旋度为零B 感应电场散度不等于零C 感应电场为无源无旋场D 感应电场由变化磁场激发1.2从麦克斯韦方程组可知变化电场是 ( B )A 有源无旋场B 有源有旋场C 无源无旋场D 无源有旋场1.3从麦克斯韦方程组可知变化磁场是 （ D） A 有源无旋场 B 有源有旋场 C 无源无旋场 D 无源有旋场。
《电动力学》教案 第五章.docx
第五章电磁波的辐射5. i把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）二部分，写出E和万的二部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。
解：令£=瓦+耳,厚=瓦+瓦J =万+兀,下角标L表示纵场即无旋场，T表示横场即无散场：V x = 0, V x = 0, V x = 0= 0, ▽・§ =0, V — 0于是从麦克斯韦方程组V.E = -^-,VxE = -—%初V.5 = 0,Vx§= LL J +4-—c2dt得：▽.瓦*,Vx瓦= o,4穿=-w£0c~ dtvx^ = 一皂,v・M = oT dt T和V.B, =0,VxB. =0,—^ = 0dtV.瓦= 00 77+4 军,v・M = 0c dt方程组（3）的前二个方程表明，时变电场的纵向分量虹由电荷激发，它与静电场（库仑场）一样是有散无旋场，故对应于库仑场；第三个方程表示万匕的时变率与电流的纵向分量7；有关，这方程其实与电流连续性方程关联，只要对其二边求散度，并利用第一个方程，即得电流连续性方程，方程组（4）表示，变化的磁场（横场）激发电场的横向分量瓦。
方程组（5）表示，磁场的纵向分量瓦是一个与空间从标和时间都无关的任意常矢量，只能有= 事实上，邮于迄今仍未发现磁单极子，磁场为无散场，它不可能有纵向分［解］电偶极子万的场作用于理想导体，经起导体出现表面电流，导体外的场是万的场与表面电流产生的场之叠加。
由于。
《人，故导体表面附近的场为似稳稳场，可近似作为静止，设导体表面为z=0的平面，并设其电势为零，即9l：=o=O如图5。
3 °令祚？。
/%,以万的像万产生的场代替导体表面电流产生的场，要保证上述边界条条件满足，应使p = -p = 一Qo。
e x，且位于z = 一。
/ 2［方法一］由于方与p‘等值反向,因此这系统总电偶极矩为零，但包含着磁偶极矩和电四极矩：回*鼻*万+（与a x（- ^）］=_捋凶/勺*=一〃讯=血5谖2 y D“ = D” = ^30 内z； = 3qla = 3p o a1=1D = e R»D = 3 p（）o（sin Ocos（j）e： + cos Oe x）e~'t，J,D = i3a）1' p u a（sin 6^ cos（/）e. + cos由基矢量变换e v = sin 0cos（l）e R + cos 8cos（f）e0 - sin。
电动力学第五章答案
v
v
解
v v 1 ∂ϕ A 与 ϕ 满足洛仑兹规范 故有 ∇ ⋅ A + 2 =0 c ∂t v Q ϕ = −∇ ⋅ Ζ 代入洛仑兹规范 有 v 1 ∂ v ∇ ⋅ A + 2 ⋅ (−∇ ⋅ Ζ) = 0 c ∂t
k
v v v v* ∴ 要使上式成立 仅当 k ⋅ a k = k ⋅ a k = 0时 v v v ∴ 故 证得当取 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 k ⋅ a k = 0 vv vv v v v v* ik ⋅ x 3 已知 A( x , t ) = ∑ [a k (t )e + ak (t )e −ik ⋅ x ]
第五章
电磁波的辐射
如果取 ϕ = 0
有
v v B = ∇× A v v ∂A E=− ∂t
代入方程
v v ∂D ∇× H = ∂t v ∇⋅D = 0
有
v v ∂D 1> ∇ × H = ∂t
v v ∂E ∇ × B = εµ ∂t
∴ 由 1>2>得
v ∇⋅ A = 0
2
kh
v v E , B 相互垂直 v v E , B 同相 振幅比为 υ v v
1
2 可表示的波正是符合条件的平面波
所以命题得证 4. 设真空中矢势 A( x , t ) 可用复数傅立叶展开为 A( x , t ) =
v v
v v
v d 2 a k (t ) v v 1 证明 a k 满足谐振子方程 + k 2 c 2 a k (t ) = 0 2 dt
2 当选取规范 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 3 把 E和B 用 a k 和 a k 表示出来
电动力学第五章
k •r
t
)
ei
(
k
•r
t
)
0
A
A ei(k •r t ) 0
ei
(
k
•r
t
)
0
由Lorentz规范条件 • A
ik
•
A
1 c2
(i )
0
1 c2
t
0
得
c2
k
•
A
由此可见，只要给定了 A，就能够拟定单色平面电磁波。
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
V
(r,t R )
c dV
4 0 R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内旳变化电荷和变化电 流在空间任意点激发旳标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中旳时刻是t R c ，而不是 t 这阐明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生旳场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一种传播时
1 c2
2A t 2
0J
达朗贝尔方程
A
和
分别
满足有源旳波动方程
例：求单色平面电磁波旳势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布旳自由空间中传播 旳，因而势旳方程（洛伦兹规范，达朗贝尔方程）变为齐次
波动方程：
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1
2A 0
c2 t 2
其平面波解为：
A
A0ei
(
(r
•
j
•
j)j•ຫໍສະໝຸດ 1 R]dV•
《电动力学(第三版)》电磁波的辐射chapter5_7
能流密度：S
1
EB
0
1. 电磁场的动量密度和动量流密度
电磁场也和其他物体一样具有动量. 辐射压力是电 磁场带有动量的实验证据.
电荷分布区域内的场和电荷之间由于相互作用 而发生动量转移.区域内的场和区域外的场也通过界 面发生动量转移.
动量守恒:单位时间从区域外通过界面S传入区
域V内的动量应等于V内电荷的动量变化率加上V内
E
0
t
EB
B 0
E
B
t
0
E
B t
B
电磁场内部的动量转移 电磁场的动量密度改变率
电磁场的动量密 度
g 0EB
E
E
E
E
1
E
2
E
E
E
E
2
E
E
E
E
1
E
2
2
EE
1
IIE2
EE
2 1
IIE
2
2
II是单位张量 v II II v v
第五章 电磁波的辐射
§5.7 电磁场的动量
内容概要
1. 电磁场的动量密度和动量流密度 2. 辐射压力 3. 电磁场理论总结
电磁场能量、动量概念
用能量守恒的概念将“能量”的概念赋予电磁场： 电磁场对物质的作用力做功体现了能量的变化. 若能量守恒成立，电磁场的能量概念可以确定. 场是空间分布的，因此有能量密度、能流密度的概念.
考虑介质时电磁场对物质的作用力
电f磁场E对D物EJ质(B介 质H)作 DB用 E力 (密D度HB)：DDtBB
D
E
B
H
t
H B
t
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第五章 电磁波的辐射一、 填空题1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ2、 若一电流J =40ωcos x 't z e ，则它激发的矢势的一般表示式为A=（ ） 答案： ⎰''-'=v Z rv d e c r t x A)(cos 4040ωπμ 3、 变化电磁场的场量E 和B 与势（A 、ϕ）的关系是E =（ ），B=（ ）答案： tAE ∂∂--∇=φ ,A B ⨯∇=4、 真空中电荷只有做（ ）运动时才能产生电磁辐射；若体系电偶极矩振幅0P 不变，当辐射频率有由ω时变为3ω，则偶极辐射总功率由原来的p 变为（ ）答案：加速，81P 05、 势的规范变换为='A （ ），='φ（ ）答案：ψ∇+='A A ，t∂∂-='ψφφ6、 洛仑兹规范辅助条件是（ ）；在此规范下，真空中迅变电磁场的势ϕ满足的微分方程是（ ）.答案： 012=∂∂+⋅∇t c A φ ，022221ερφφ-=∂∂-∇tc ，7、 真空中一点电荷电量t q q ωsin 0=，它在空间激发的电磁标势为（ ）.答案： rc rt q 004)(sin πεωφ-= 8、 一均匀带电圆环,半径为R,电荷线密度为λ,绕圆环的轴线以角速度ω匀速转动,它产生的辐射场的电场强度为（ ）.答案： 零 9、 真空中某处有点电荷ti e q q ω-=0那么决定离场源r 处t 时刻的电磁场的电荷电量等于（ ）.答案： )(0),(crt i e q t r q --=ω10、 已知自由空间中电磁场矢势为A ，波矢为K，则电磁场的标势φ =（ ）答案：A K c⋅=ωφ2,11、 真空中电荷）（t Q 距场点m 6109⨯,则场点0.2秒时刻的电磁场是该电荷在（ ）秒时刻激发的. 答案： 0.17s 12、 电偶极子在（ ）方向辐射的能流最强. 答案：过偶极子中心垂直于偶极距的平面13、 稳恒的电流（ ）(填写“会”或“不会”)产生电磁辐射. 答案：不会14、 已知体系的电流密度(,)J x t ',则它的电偶极矩对时间的一阶微商为（ ）答案：(,)vJ x t dv '⎰15、 短天线的辐射能力是由（ ）来表征的,它正比于（ ）答案：辐射电阻， 2()l λ16、 真空中, 电偶极辐射场的电场与磁场(忽略了1R 的高次项)之间的关系是（ ）答案： E cB n =⨯17、 电磁场具有动量,因此当电磁波照射到物体表面时,对物体表面就有（ ）答案： 辐射压力二、 选择题1.电磁势的达朗贝尔方程成立的规范换条件是（ ）A ． 210A c t ϕ∂∇⋅-=∂ B. 210A c tϕ∂∇⋅+=∂ C. 22210A c t ϕ∂∇⋅+=∂ D. 222210A c tϕ∂∇+=∂答案：B2.真空中做匀速直线运动的电荷不能产生（ ）A ．电场 B.磁场 C.电磁辐射 D.位移电流 答案：C 3.B 4.B3.关于电磁场源激发的电磁场，以下描述不正确的是（ ） A ．电磁作用的传递不是瞬时的，需要时间； B ．电磁场在传播时需要介质；C ．场源的变化要推迟一段时间才能传递至场点；D ．场点某一时刻的场是由所有电荷电流在较早的时刻不同时刻激发的. 4.一个天线辐射角分布具有偶极辐射的特性,其满足的条件是（ ） A ．波长与天线相比很短 B. 波长与天线相比很长 C. 波长与天线近似相等 D. 天线具有适当的形状 答案：B5.严格的讲,电偶极辐射场的（ ）A ．磁场、电场都是横向的 B. 磁场是横向的,电场不是横向的 C. 电场是横向的, 磁场不是横向的 D. 磁场、电场都不是横向的 答案：B6.对电偶极子辐射的能流,若设θ为电偶极矩与场点到偶极子中心连线的夹角,则平均能流为零的方向是（ ）A. 2πθ=; B. 4πθ=; C. 6πθ=D. πθ,0=答案：D7.电偶极辐射场的平均功率（ ） A ．正比于场点到偶极子距离的平方 B. 反比于场点到偶极子距离的平方 C. 与场点到偶极子距离的无关 D. 反比于场点到偶极子距离 答案：C 三、 问答题1、电磁波是怎样产生的。
你能否从微观方面来说明为什么电磁波遇到边界面时会发生反射和折射现象。
答：电磁波是由运动的电荷产生的，当电磁波遇到介质界面时，电场、磁场引起介质极化、磁化。
变化的电磁场使极化电荷产生振荡，生成的电磁波就是反射波和折射波.2、电磁规范，除洛仑兹规范外，还有所谓库仑规范，其附加条件是0∇⋅=A 。
试问：在规范变换式','A A A tϕϕϕϕ∂→=+∇=-∂中，怎样选择空时函数ϕ，才是为库仑规范？采用库仑规范时，电磁势方程取什么形式？解：规范变换式：''A A A tϕϕϕϕ→=+∇∂=-∂，有'()''A A A B A AEt tϕϕϕ∇⨯=∇⨯+∇⨯∇=∇⨯=∂∂-∇-=-∇-=∂∂即(',')A ϕ与(,)A ϕ描述同一电磁场。
① 采用库仑规范：22'0'()'00A A A A ϕϕϕ∇⋅=∇⋅=∇⋅+∇⋅∇=∇⋅+∇=⇒∇=，即在规范变换中当ϕ满足20ϕ∇=是，就是库仑规范。
② 采用库仑规范时，电磁势方程所取形式：3、在什么条件下可选取0ϕ=，0∇⋅=A 这样一种规范条件？此时，,E B 与势的关系是什么形式？解：若采用库仑规范，且 =0,J=0ρ的自由空间,势的方程变为：2222211 0 00A A c t c t A ϕϕ∂∂∇--∇=∂∂∇=∇= ① 当在空间没有电荷分布时，可以选取库仑场的标势0ϕ=，把0ϕ=代入①式，解得： ()0()0i k x t i k x t A A e B A A e ik A A A E i A t t ωωϕω--⎧⎪=⎪⎪⎡⎤=∇⨯=∇⨯=⨯⎨⎣⎦⎪∂∂⎪=-∇-=-=⎪∂∂⎩4、若用矢量场Z （常称为赫兹矢量）表示电磁势,ϕA 如下，ϕ=-∇⋅Z ， 21c t∂=∂ZA ,ϕA 还满足洛仑兹条件吗？解：洛论兹规范辅助条件为：210A c t ϕ∂∇+=∂，将21ZZ A c t ϕ=-∇∂=∂，代入得： 故满足洛伦兹条件。
5、我们此时此刻接收到的太阳光，大约是太阳上八分钟以前激发的，据此，试估算太阳与地球的距离。
解：根据推迟势解：00(,)(',)(,)',(,)'44r rx t J x t c c x t dv A x t dv rrρμϕπεπ'--==⎰⎰ 可以看出，电磁作用是有一定的传播速度，空间某点X 在某时刻t 的场值不是依赖于同一时刻的电荷电流分布，而是决定于较早时刻rt c -时电荷电流分布，反过来说。
电荷产生的物理作用不能够立刻传至场点，而是在较晚时刻才传至场点所以推迟的时间r c 正是电磁作用从源点'X 传至场点X 所需的时间，c 是电磁作用的传播速度。
所以太阳与地球距离811310860 1.4410m r ct s m s ==⨯⨯⨯=⨯.6、若已知自由空间电磁波的矢势y e t kz A A）（100102cos ⨯-=π，求电磁波的标势 φ及电场强度.解: 自由空间电磁波满足012222=∂∂-∇tA c A ,其解为）（t X K i e A A ω-⋅= 0实数形式为）（t x K A A ω-⋅= cos 0,与已知的y e t kz A A）（100102cos ⨯-=π比较,得y s r z z e A A e ce k K=⨯===，，10102πωω根据洛伦兹规范条件:得:02=⋅=A K c ωφ,电场强度0ωφi t AE =∂∂--∇= ）（t X K i e A ω-⋅ 0,取实数: 7、试证明：在洛仑兹条件成立的情况下，有限辐射体系在远区的标势可用公式ϕ=⋅cn A 表示。
证明：因为有限辐射体系在远区的矢势展开有：（仅考虑在一定频率的交变电流情形），第一项0()4ikR e A x P R μπ⋅⇒=，只保留1R 的最低次项，则有：A ikn A ∇=⋅。
依洛伦兹条件有： 2210,0i A ikn A cn A c t c ϕωϕϕ∂∇+=⋅-=⇒=⋅∂ 8、能否找到'0z A =的矢势'A ，'A 与A 描述同一个磁场。
（提示：挑选ψ满足z zψA ∂=-∂）。
解：因满足规范变换的(','),(,')A A ϕϕ描述同一电磁场， 即： ','A A tψψϕϕ∂=+∇=-∂ （ψ为任意标量函数） （1） (1)式的Z 分量为:'z z A A z ψ∂=+∂ 依题意要求'0Z A =，则Z A zψ∂=-∂，由以上分析知:只要选择一个标量函数ψ,使之满足Z A z ψ∂=-∂,必然可以找到矢势'A ,且'0z A =9、垂直放着的短天线（可看成电偶极辐射天线）向四周辐射电磁波。
当一个移动的接收台在远处接收信号时，问在什么位置收不到信号？什么位置收到的信号只是最强信号的二分之一？ 解：电偶极辐射的平均能流密度 222320sin 32PS n C Rθπε=, S 正比于2sin θ 这表明电偶极辐射具有方向性当0,θπ=时，没有辐射，90θ=的平面上辐射最强当1'2S S =时，21sin 2θ= sin θ= 45θ=10、电偶极矩辐射的矢势4P R0μA =π•⎡⎤⎣⎦，计算电磁场时，需要对A 作用算符∇，试证明作用的结果，相当于代换：ik ∇→n 。
解：0044ikRe A p p R Rμμππ⎡⎤==⎣⎦ 只保留R 的最低次项，因为∇作用R 分母上后所得项更小，可忽略。
即∇仅需作用于ikR e 上。
例如，令004p A Rμπ=， 11、一些荷质比em相同的带电粒子组成的体系，不会有电偶极辐射。
为什么？解：设体系有N 个粒子，第i 个粒子的质量为i m ，电荷为i e ，总质量为M ，则电偶极矩11''NNi i i i i i e P e x m x m ====∑∑①在v c 的非相对论情形，应用质心运动定理，设质心的矢径为R''i i i iim x m x R m M ==∑∑∑即'i im x MR =∑,得：iieP MR m =，代入①式得：eP MR m=由于系统不受外力，则质心加速度00R P =→=，所以没有电偶极辐射。
12、电磁场具有动量的证据是什么? 电磁场也遵从的动量守恒定律，说出f,g ,→→T 的物理意义。