选修2-1第一章椭圆的定义及方程课时作业
选修2-1 2.2.1椭圆及其标准方程
选修2-1 2.2.1椭圆及其标准方程一、选择题1、设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形2、若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A .y 28＋x 24＝1 B .y 210＋x 26＝1 C .y 24＋x 28＝1 D .y 26＋x 210＝13、方程x 2|a|－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)B ．(－3，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－3,1)4、椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( )A .⎝⎛⎭⎫0，±66 B ．(0，±1)C ．(±1,0)D .⎝⎛⎭⎫±66，05、椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．46、设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段二、填空题7、“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．8、P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是______，最小值是______．9、椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．三、解答题10、如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．11、已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．12、根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52.以下是答案 一、选择题1、D [由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.由题可得||PF 1|－|PF 2||＝2，则|PF 1|＝5或3，|PF 2|＝3或5. 又|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．]2、D [椭圆的焦点在x 轴上，排除A 、B ，又过点⎝⎛⎭⎫52，－32验证即可．]3、B [|a |－1>a ＋3>0.]4、D5、B [由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.]6、D [∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|，∴动点M 的轨迹是线段．]二、填空题7、m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋R a －c ＝n ＋R ，则2c ＝m －n .8、4 3解析 设|PF 1|＝x ，则k ＝x (2a －x )，因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴k max＝4，k min＝3.9、2120°解析∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F1PF2＝120°.三、解答题10、解以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，则B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30.由重心性质可知|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20.∵B 、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12， ∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点． ∴2c ＝|BC |＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10， b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264＝1，去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G (x ′，y ′)，A (x ，y )，则有x ′2100＋y ′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 3.故A 点轨迹方程为(x 3)2100＋(y 3)264＝1.即x 2900＋y2576＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．11、解 ∵|PM |＝|P A |，|PM |＋|PO 1|＝4，∴|PO 1|＋|P A |＝4，又∵|O 1A |＝23<4， ∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆， ∴c ＝3，a ＝2，b ＝1， ∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.12、解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4.梦想不会辜负每一个努力的人∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．由椭圆的定义知，2a ＝ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＝3102＋102＝210， ∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.。
人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案第一课时椭圆的简单几何性质
2．2．2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质预习课本P43～47，思考并完成以下问题1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？[新知初探]椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0) 范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e ＝ca(0<e <1) [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于a ( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c ( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，35答案：B3．若椭圆x 2a 2＋y 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )A ．32B ．12C ．22D ．52 答案：A4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案：32由标准方程研究几何性质[典例] [解] 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝5．∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)， 离心率e ＝c a ＝53．求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．[活学活用]已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35；(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e ＝35．利用几何性质求标准方程[典例] (1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． [解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5． 又∵e ＝c a ＝45，∴c ＝4．∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9．∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1．(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，则c ＝b ＝3， a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1．(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)． (2)离心率e ＝35，焦距为12．解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1．综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1．(2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，则b 2＝a 2－c 2＝64．当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1．综上所述，所求椭圆的标准方程为 x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1．求椭圆的离心率[典例] 设椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A ．36B ．13C ．12D ．33[解析] 法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33．法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a ．又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． [答案] D[一题多变]1．[变条件]若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．解：在△PF 1F 2中，∵∠PF 1F 2＝45°，∠PF 2F 1＝75°， ∴∠F 1PF 2＝60°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，椭圆的长轴长为2a ，则在△PF 1F 2中， 有m sin 75°＝n sin 45°＝2csin 60°， ∴m ＋n sin 75°＋sin 45°＝2csin 60°，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝sin 60°sin 75°＋sin 45°＝6－22． 2．[变条件，变设问]若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．解：由题意，知c >b ，∴c 2>b 2． 又b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－c 2， 即2c 2>a 2． ∴e 2＝c 2a 2>12，∴e >22． 故C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1．求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca 求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．层级一 学业水平达标1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A ．12B ．32 C ．34D ．64解析：选A 依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A ．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P ．若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A ．32B ．22C ．13D ．12解析：选D ∵AP ＝2PB ，∴|AP |＝2|PB |． 又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12．5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m ＝1，∵m <n <0，∴0<－n <－m ．∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m ． 6．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________．解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3； 当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163． 综上，m ＝3或m ＝163． 答案：3或1637．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1． 解得a 2＝45．∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1． 答案：x 245＋y 236＝18．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A ＝5F B 2，则点A 的坐标是________．解析：设A (m ，n )．由1F A ＝5F B 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋625，n 5．又A ，B 均在椭圆上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝⎛⎭⎫n 52＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1，所以点A 的坐标为(0,1)或(0，－1)． 答案：(0,1)或(0，－1)9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12．由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8．故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1．10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22．∴y 2＝ax －x 2．①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1．②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0， ∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x <a ，∴0<ab 2a 2－b 2<a ，即2b 2<a 2． 由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∴e >22． 又∵0<e <1，∴22<e <1． 层级二 应试能力达标1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长轴长、短轴长B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的顶点 解析：选B c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B ．2．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3．故选B ．3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A ．x 22＋y 24＝1B ．x 2＋y 26＝1 C ．x 26＋y 2＝1D ．x 28＋y 25＝1解析：选B 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝5．又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1． 4．(全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选A 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )， 由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |， 则|MF |＝m (a －c )a ．①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a．② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ， ∴e ＝c a ＝13．故选A ． 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为________．解析：在Rt △ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2．将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52． 因为e >0，所以e ＝5－12． 答案：5－12 6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．解析：由题意，知a ＝10，b ＝8，不妨设椭圆方程为x 2100＋y 264＝1，其上的点M (x 0，y 0)，则|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20．因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝ 925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，即8≤d ≤10． 答案：[8,10]7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，由m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，可知m >m m ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝ m (m ＋2)m ＋3， 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1． 于是椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1， 则a ＝1，b ＝12，c ＝32． 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0，⎝⎛⎭⎫32，0；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫0，－12，⎝⎛⎭⎫0，12．8．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 的左、右焦点，过点 F 1的直线交椭圆 E 于 A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |．(1)若|AB |＝4，△ABF 2 的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． 解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1．因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8． 故|AF 2|＝8－3＝5．(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ． 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ． 在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ． 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ．因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22．。
【红对勾】高中数学 2-2-2-2 椭圆几何性质的应用课时作业 新人教A版选修2-1(1)
课时作业12 椭圆几何性质的应用时刻：45分钟 分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．线段|AB|＝4，N 为AB 的中点，动点P 知足条件|PA|＋|PB|＝6，当P 点在同一平面内运动时，|PN|的最大值M ，最小值m 别离是( )A ．M ＝4，m ＝ 3B ．M ＝3，m ＝5C ．M ＝5，m ＝ 5D ．M ＝3，m ＝3解析：由|PA|＋|PB|＝6>|AB|＝4，∴P 的轨迹是以A 、B 为核心，N 为中心的椭圆．那么M ＝|PN|max ＝a ＝3，m ＝|PN|min ＝b ＝a 2－c 2＝9－4＝ 5.答案：B2．已知点(m ，n)在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，那么2m ＋4的取值范围是( ) A ．[4－23，4＋23] B ．[4－3，4＋3]C ．[4－22，4＋22]D ．[4－2，4＋2]解析：由8x 2＋3y 2＝24，得x 23＋y 28＝1.∴－3≤m≤3.∴4－23≤2m＋4≤4＋2 3.答案：A3．已知椭圆x 24＋y 2＝1的核心为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，那么点M 到y 轴的距离为( ) A .233 B .263C .33D .3 解析：由题意知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M(x 0，y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0，可得x 0＝±263.应选B . 答案：B4．假设AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的线段，F 1为椭圆的核心，那么△F 1AB 面积的最大值为( ) A ．6 B ．12C ．24D ．48图1解析：如图1，S△ABF 1＝S△AOF 1＋S△BOF 1＝2S△AOF 1.又∵OF 1＝c ＝3为定值，∴点A 与(0,4)重合时，OF 1边上的高最大，现在S△AOF 1的面积最大为12×4×3＝6. ∴S△ABF 1的最大值为12.答案：B5．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )A ．3B .11C ．2 2D .10图2解析：设与直线x ＋2y －2＝0平行的直线为x ＋2y ＋m ＝0与椭圆联立得，(－2y －m)2＋4y 2－16＝0，即4y 2＋4my ＋4y 2－16＋m 2＝0得2y 2＋my －4＋m 24＝0. Δ＝m 2－8(m 24－4)＝0，即－m 2＋32＝0，∴m＝±4 2.∴两直线间距离最大是当m ＝42时，d max ＝|2＋42|5＝10.答案：D 6．过点M(－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，那么k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2C .12D ．－12图3解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)则x 212＋y 21＝1 ① x 222＋y 22＝1 ② ①－②得x 1＋x 2x 1－x 22＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2＝－x 02y 0. ∵k 1＝y 1－y 2x 1－x 2，k 2＝y 0x 0， ∴k 1＝－12k 2.∴k 1·k 2＝－12. 答案：D二、填空题(每题8分，共24分)7．过椭圆x 25＋y 24＝1的右核心作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积为________．解析：由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A(0，－2)，B(53，43)． ∴S △AOB ＝12|OF||y A －y B |＝53. 答案：538．假设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的核心，那么在C 上知足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为________． 解析：∵椭圆C ：x 28＋y 24＝1，∴c ＝2. ∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，其短轴的端点为B(0,2)，A(0，－2)，∴∠F 1BF 2＝∠F 1AF 2＝90°.又短轴端点与F 1，F 2连线所成的角是椭圆上动点P 与F 1，F 2连线所成角中的最大角，∴在C 上知足PF 1⊥PF 2的点有2个．答案：29．假设直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，那么过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．解析：∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点 ∴|－4|m 2＋n 2>2∴m 2＋n 2<4即点P(m ，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故直线mx ＋ny ＝4与椭圆x 29＋y 24＝1也有两个交点． 答案：2三、解答题(共40分)10．(10分)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，(1)当直线和椭圆有公共点，求实数m 的取值范围．(2)求被椭圆截得的最长线段所在的直线方程．解：(1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0(*)．假设直线和椭圆有公共点，那么Δ＝(2m)2－20(m 2－1)≥0，即m 2≤54，解得－52≤m≤52. (2)设直线y ＝x ＋m 与椭圆4x 2＋y 2＝1交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，对方程(*)，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝m 2－15.|AB|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝2[－2m 52－4m 2－15]＝2510－8m 2. 当m ＝0时，线段|AB|取最大值2105，现在直线方程为y ＝x.11．(15分)已知中心在原点的椭圆C 的两个核心和椭圆C 1：4x 2＋9y 2＝36的两个核心是一个正方形的四个极点，且椭圆C 通过点A(2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)假设PQ 是椭圆C 的所截线段，O 是坐标原点，OP ⊥OQ 且P 点的坐标为(2，23)，求点Q 的坐标． 解：(1)由已知C 1：x 29＋y 24＝1得核心F 1′(－5，0)，F 2′(5，0)． 又椭圆C 与C 1的核心F 1，F 2，F 1′，F 2′是一个正方形的四个极点，椭圆的中心在原点， ∴F 1，F 2关于原点对称．∴F 1(0，－5)，F 2(0，5)．故设C ：x 2b 2＋y 2a2＝1(a>b>0)， ∵椭圆C 过点A(2，－3)，∴4b 2＋9a 2＝1且a 2－b 2＝5. 解出a 2＝15，b 2＝10.∴椭圆C 的方程为x 210＋y 215＝1. (2)设Q(x 0，y 0)，那么由OP ⊥OQ 得k OP ·k OQ ＝232·y 0x 0＝－1， 即y 0＝－16x 0.又∵x 2010＋y 2015＝1， 3x 20＋2(－16x 0)2＝30，∴x 0＝±3，点Q 的坐标为(3，－62)或(－3，62)． 12．(15分)(2020·北京高考)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的核心坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值．解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，因此c ＝a 2－b 2＝ 3.因此椭圆G 的核心坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知，|m|≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标别离为(1，32)，(1，－32)． 现在|AB|＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB|＝3. 当|m|>1时，设切线l 的方程为y ＝k(x －m)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标别离为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2. 又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km|k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 因此|AB|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝1＋k 2[64k 4m 21＋4k 22－44k 2m 2－41＋4k 2] ＝43|m|m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB|＝3，因此|AB|＝43|m|m 2＋3，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因为|AB|＝43|m|m 2＋3＝43|m|＋3|m|≤2， 且当m ＝±3时，|AB|＝2，因此|AB|的最大值为2.。
人教A版高中数学选修2-1课件【12】椭圆的定义及标准方程的应用
答案：D
3．已知 P 为椭圆 C 上一点，F1，F2 为椭圆的焦点，且|F1F2| ＝2 3，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆 C 的标准方程 为( ) x2 y2 A. ＋ ＝1 12 9 x2 y2 x2 y2 B.12＋ 9 ＝1 或 9 ＋12＝1 x2 y2 C. 9 ＋12＝1 x2 y2 x2 y2 D. ＋ ＝1 或 ＋ ＝1 48 45 45 48
解：由已知 a＝2，b＝ 3， 所以 c＝ a2－b2＝ 4－3＝1，|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2 中，由余弦定理，得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos120° ， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.②
5 答案：4
8．椭圆的两焦点为 F1(－4,0)、F2(4,0)，点 P 在椭圆上，若 △PF1F2 的面积最大为 12，则椭圆方程为__________．
解析：如图，当 P 在 y 轴上时△PF1F2 面积最大， 1 ∴2×8b＝12，∴b＝3， 又∵c＝4， ∴a2＝b2＋c2＝25. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为25＋ 9 ＝1.
第二章
圆锥曲线与方程
2． 2
椭
圆
课时作业(12)
椭圆的定义及标准方程的应用
①能利用椭圆的定义求轨迹方程； 作业 ②能利用相关点法求与椭圆有关 目标 的轨迹方程；③掌握与焦点有关的 三角形问题的方法技巧． 作业 设计 限时：40 分钟 满分：90 分
一、选择题：每小题 5 分，共 30 分． 1．到两定点 F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为 8 的点的轨迹 是( ) A．椭圆 C．圆 B．线段 D．直线
人教版数学高二选修2-1课后训练 2-2-1 椭圆及其标准方程
04课后课时精练一、选择题1．命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)；命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：∵乙⇒甲且甲D ⇒/乙， ∴甲是乙的必要不充分条件． 答案：B2．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F 在BC 上，则△ABC 的周长是( )A. 23B. 6C. 4 3D. 12解析：可知a ＝3，由椭圆的定义得|BF |＋|BA |＝|CF |＋|CA |＝2a ＝23，∴(|BF |＋|CF |)＋|BA |＋|CA |＝|BA |＋|CA |＋|BC |＝43，即△ABC 的周长为43，故选C.答案：C3. 焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为( )A. x 213＋y 212＝1B. x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1 C. x 213＋y 2＝1D. x 213＋y 2＝1或x 2＋y213＝1解析：显然，此题中并没有讲明椭圆的焦点在哪个轴上，题中也没有条件能够得出相应的信息，所以本题中的标准方程应有两种情况，所以排除A 和C ，又由于a 2＝13，c 2＝12，∴b 2＝1.答案：D4．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a < 2 B ．a <－2或a > 2 C ．－2<a <2D ．－1<a <1解析：由已知可得a 24＋12<1，∴a 2<2，即－2<a < 2. 答案：A5．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形解析：由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 由题可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.又|F 1F 2|＝2c ＝4， ∴△PF 1F 2为直角三角形． 答案：D6．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：将方程x 2＋ky 2＝2变形为x 22＋y 22k＝1.∵焦点在y 轴上，∴2k >2且k >0，∴0<k <1.答案：D 二、填空题7．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．解析：由已知椭圆的方程得a ＝23，b ＝3，c ＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．由于焦点F 1和F 2关于y 轴对称， ∴PF 2必垂直于x 轴．∴P (3，32)或P (3，－32)，|PF 2|＝32， |PF 1|＝2a －|PF 2|＝732. ∴|PF 1|＝7|PF 2|.答案：78．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：|AB |＝|F 1A |＋|F 1B |＝(2a －|F 2A |)＋(2a －|F 2B |)＝4a －(|F 2A |＋|F 2B |)＝20－12＝8.答案：89．M 是椭圆x 29＋y 24＝1上的任意一点，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，则|MF 1|·|MF 2|的最大值是________．解析：|MF 1|＋|MF 2|＝2a .|MF 1|·|MF 2|≤(|MF 1|＋|MF 2|2)2＝a 2＝9. 答案：9 三、解答题10．已知圆A ：x 2＋(y ＋6)2＝400，圆A 内一定点B (0,6)，圆C 过B 点且与圆A 内切，求圆心C 的轨迹方程．解：设动圆C 的半径为r ，则|CB |＝r . ∵圆C 与圆A 内切，∴|CA |＝20－r . ∴|CA |＋|CB |＝20.又|AB |＝12，∴|CA |＋|CB |＝20>|AB |.∴点C 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆． ∵2a ＝20,2c ＝12，∴a ＝10，c ＝6，b 2＝64. 又∵A 、B 在y 轴上，∴C 点的轨迹方程为y 2100＋x 264＝1. 11．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． ∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.12. 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点． (1)若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1，F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程．解：(1)椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A (1，32)在椭圆上，因此122＋(32)2b 2＝1，得b 2＝3，则c 2＝a 2－b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点K (x 1，y 1)，线段F 1K 的中点Q (x ，y )，则x ＝－1＋x 12，y ＝y 12，即x 1＝2x ＋1，y 1＝2y .因为点K (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 23＝1上，所以(2x ＋1)24＋(2y )23＝1，即(x ＋12)2＋4y 23＝1，此即为所求的轨迹方程．。
2.2.1椭圆及其标准方程-数学选修2-1
由椭圆的定义知
5 3 2 5 3 2 2 2 2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10 2 2 2 2
所以
a 10.
例 题 演 练
又因为 c 2,所以
b a c 10 4 6.
2 2 2
因此, 所求椭圆的标准方程为
x y 1 . 10 6
2
y
b
观察左图， 和同桌讨论你们能从中找 出表示c 、 a 的线段吗？
a c
o
x
a2-c2 有什么几何意义？
令 | OP | a c b
2 2
则方程可化为
x y 2 1 a b 0 2 a b
2
2
思考：当焦点在y轴上时，椭圆方程是什么？
x2 y 2 1.我们把形如 2 + 2 = 1(a > b > 0)叫做椭圆的标准方程 a b
结论：若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是（ 椭圆
）
若常数等于|F1F2|，则点M的轨迹是（ 线段F1F2） 若常数小于|F1F2|，则点M的轨迹（ 不存在 ）
椭圆的方程的推导
独立思考轨迹方程的一般步骤，并按其方法及提示独立 逐步求椭圆的一般方程。 y 以经过椭圆焦点 F1，F2 的直 建 线为 x 轴，线段F1F2的中垂线为y 轴，建立直角坐标系xoy。
y
数 学 归 纳
它表示焦点在x轴上的椭圆
o
x
y2 x2 2.也把形如 2 + 2 = 1(a > b > 0)叫做椭圆的标准方程 a b
y
F2 M
它表示焦点在y轴上的椭圆
o
F1
x
椭圆的标准方程有哪些特征呢？
20212022高中数学人教版选修21作业221椭圆及其标准方程系列一.docx
2. 2. 1椭圆及其标准方程基础巩固—、选择题1-椭圆2^ + 3/=12的两焦点之间的距离是( )A.2拆B. y［\0C. «D. 2^2［答案］D［详细分析］椭圆方程2^ + 3/=12可化为：f+ f =1,a2 = 6,胪=4, <? = 6-4 = 2, ：.2c = 2\fi.2.(2015-广东文)已知椭圆§ + 4=l(m>0)的左焦点为丹(-4,0),则〃7 =()A. 2B. 3C. 4D. 9［答案】B［详细分析］..•椭圆|| + 5=1(^>0)的左焦点为乩(-4,。
)，:.c = 4 = yl25-m2, :.m2 =9,m = 3,选B .3.(2015•海南中学期中考试)已知Fi,形是椭圆+ f =1的两个焦点，过点儿的直线交椭圆于点A, B,若|AB| = 5,则|时i| + |BFi| = ()A. 11B. 10C. 9D. 16［答案〕A［详细分析］由方程知«2=16,...2a = 8,由椭圆定义知，|*肝|奶| = 8, \BF!\ + \BF2\ =8, .\|AFi| + |AF2| + |BFi| + \BF2\ = |AFi| + |BFi| + \AB\ = 16,.•.|AFi| + |BFi|=ll,故选A.4.设定点Fi(0, - 3), F2(0,3),动点F满足条件|职| + |华| =。
+戋?>0),则点F的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段［答案］D9［详细分析］I« + ->6, AlPFil + \PF2\>6 =|F I F2|,.••选D.5.设P是椭圆法+书=1上一点,P到两焦点F5 的距离之差为2,则△尸皿是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形［答案］B［详细分析］由椭圆定义，知|PF I|+|PF2|=2“=8.又|PF I|-|PF2|=2,...|PF I|=5,\PF2\ = 3.又|HF2| = 2c = 2 寸16 - 12 = 4,△PF1F2为直角三角形.6.已知椭圆的两个焦点分别是Fi、F2, P是椭圆上的一个动点，如果延长FiP到Q, 使得\PQ\ = \PF2\,那么动点。
课时作业10：2.1.1 椭圆及其标准方程(一)
§2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程(一)一、选择题1．设椭圆x2m2＋y2m2－1＝1(m>1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m等于()A．6 B．3 C．2 D．4考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 C解析∵m2>m2－1，∴椭圆焦点在x轴上，∴a＝m，则2m＝3＋1＝4，∴m＝2.2．设P是椭圆x216＋y212＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案 B解析由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，不妨设|PF1|>|PF2|，∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．3．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为( )A ．1B ．－1 C. 5 D ．－ 5 考点 椭圆的标准方程 题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 A 解析 原方程可化简为x 2＋y 25k ＝1， 由c 2＝5k－1＝4，得k ＝1. 4．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( ) A ．2B ．8C ．4D.32考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 C解析 如图，F 2为椭圆右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8， ∴|ON |＝4.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程答案 B解析 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，所以c ＝ 3.因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 6．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对考点 椭圆的标准方程题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距答案 B解析 曲线x 225＋y 29＝1焦点在x 轴上．对于曲线x 29－k ＋y 225－k ＝1，∵0<k <9，∴25－k >9－k >0，∴焦点在y 轴上，故两者的焦点不同．∵25－9＝(25－k )－(9－k )＝16＝c 2，∴2c ＝8，故两者焦距相等．故选B.7．方程x 24＋m ＋y 22－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件是() A ．m ∈(－1,2)B ．m ∈(－4,2)C ．m ∈(－4，－1)∪(－1,2)D ．m ∈(－1，＋∞)考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 B解析 方程x 24＋m ＋y 22－m ＝1表示椭圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m >0，2－m >0，4＋m ≠2－m ，即m ∈(－4，－1)∪(－1,2)．由题意可得，所求m 的取值范围包含集合(－4，－1)∪(－1,2)．观察选项，故选B.8．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233B.263C.33D. 3考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 C解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→，由|MF 1|＋|MF 2|＝4，①又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(23)2＝12，②由①与②可得，|MF 1|·|MF 2|＝2，设M 到x 轴的距离为h ，则|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|·h ，h ＝223＝33. 9．已知椭圆x 2100＋y 264＝1的左焦点为F ，一动直线与椭圆交于M ，N 两点，则△FMN 的周长的最大值为( )A ．16B ．20C ．32D ．40考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 D解析 设右焦点为A ，一动直线与椭圆交于M ，N 两点，则△FMN 的周长l ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋2a －|MA |＋2a －|NA |＝4a ＋(|MN |－|MA |－|NA |)，由于|MA |＋|NA |≥|MN |，所以当M ，A ，N 三点共线时，△FMN 的周长取得最大值4a ＝40.二、填空题10．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________． 考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 3或5解析 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1.∴m －4＝1，m ＝5.当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3，∴m ＝3或5.11．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________． 考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 x 216＋y 212＝1 解析 方法一 依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1. 方法二 依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1. 12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 3解析 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，即4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴12PF F S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9， 又∵b >0，∴b ＝3.三、解答题13．求过点(0,4)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点的椭圆的方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 由9x 2＋4y 2＝36，得x 24＋y 29＝1， 则c ＝9－4＝5，焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1， 则a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝11，∴所求椭圆方程为x 211＋y 216＝1. 四、探究与拓展14．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 方法一 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 方法二 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2. 由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a； 在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a. 依题意有b 2a＝3，得b 2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.15．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值． 考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题解 (1)由题意得椭圆焦点在y 轴上，且c ＝1. 又∵3a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)如图所示，|PF 1|－|PF 2|＝1.又由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，|F 1F 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35.。
高中数学选修2-1课时作业7：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为( ) A ．5 B ．8C ．5或3 D ．8或5[解析] 当焦点在x 轴上时，m ＝4＋1＝5；当焦点在y 轴上时，4＝m ＋1，∴m ＝3，综上知，m ＝5或3.[答案] C2．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为( ) A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距[解析] 当0<k <9时，(25－k )－(9－k )＝25－9＝16＝c 2，∴c ＝4，而焦点一个在x 轴上，一个在y 轴上，∴两椭圆的焦点不同，因此，有相同的焦距，故选D.[答案] D3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )A.13B.33C.12D.32[解析] 依题意2a ＝4b ，即a ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝14a 2＋c 2，即34a 2＝c 2，∴c 2a 2＝34， ∴e ＝c a ＝32. [答案] D4．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为( ) A.1289B.1289或18C ．18 D.1283或6 [解析] 当焦点在x轴上时，a 2＝16，b 2＝m ，∴c 2＝a 2－b 2＝16－m ，∴e 2＝c 2a 2＝16－m 16＝⎝⎛⎭⎫132，∴m ＝1289，当焦点在y 轴上时，同理可求得m ＝18.综上知m 的值为1289或18. [答案] B5．直线y ＝x ＋1被椭圆x 2＋2y 2＝4所截得的弦的中点坐标是________．[解析] 把y ＝x ＋1代入x 2＋2y 2＝4得，x 2＋2(x 2＋2x ＋1)＝4，即3x 2＋4x －2＝0.设直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－43，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2＝－43＋2＝23. ∴x 1＋x 22＝－23，y 1＋y 22＝13.因此得弦AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13.[答案] (－23，13) 6．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r 1、r 2，则卫星远行轨道的离心率是__________．[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝r 2＋R ，a －c ＝r 1＋R ，∴2a ＝2R ＋r 1＋r 2,2c ＝r 2－r 1.∴e ＝c a ＝r 2－r 12R ＋r 1＋r 2. [答案] r 2－r 12R ＋r 1＋r 27．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c .以点O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过点P (a 2c，0)所作圆M 的两条切线互相垂直．则该椭圆的离心率为________．[解析] 如图，切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 为等腰直角三角形．∴a 2c ＝2a ∴e ＝c a ＝22. [答案]228．椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )(c ＞0)，离心率e ＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆的方程．解 ∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a －c ＝2－ 3.又e ＝c a ＝32， ∴a ＝2，c ＝ 3.∴b 2＝1.∴椭圆的方程为y 24＋x 2＝1. 9．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2 D ．1[解析] 画出示意图知，两曲线有两个交点，∴A ∩B 含有2个元素，子集有4个．[答案] A10．若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45B.35C.25D.15[解析] 依题意得2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝(a ＋c )2.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.解得e ＝35，或e ＝－1(舍去)． [答案] B11．直线l 过点M (1,1)，与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，求直线l 的方程．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，① x 224＋y 223＝1，② ①－②得x 1－x 2x 1＋x 24＋y 1－y 2y 1＋y 23＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－34·x 1＋x 2y 1＋y 2. 又M (1,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.∴直线l 的斜率为－34. ∴直线l 的方程为y －1＝－34(x －1)，即3x ＋4y －7＝0. 12．椭圆过点(3,0)点，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程． 解 当椭圆焦点在x 轴上时，则a ＝3，c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆的方程为x 29＋y 23＝1. 当椭圆的焦点在y 轴上时，则b ＝3，又c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27， 故椭圆的方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.。
高中数学2.2.1椭圆及其标准方程课时作业含解析人教A版选修2_1.doc
第二章 2.2 2.2.1请同学们认真完成练案[11]A 级 基础巩固一、选择题1．设F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( D ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( A )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 2225＋y 2100＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 2100＋y 2225＝1[解析] 将点(－3,2)代入验证，只有A 的方程满足，故选A ．3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D ) A ．x 24＋y 22＝1B ．y 24＋x 22＝1C ．y 216＋x 24＝1D ．x 216＋y 24＝1[解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D ． 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＝14n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝116n ＝14，故选D ．4．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是( B )A ．2B ．4C ．8D ．32[解析] 设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝12|MF 1|＝4.5．(2019－2020学年房山区期末检测)“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( A )A ．m ＞n ＞0B ．n ＞m ＞0C ．mn ＞0D ．mn ＜0[解析] 若方程表示椭圆，则m ，n ≠0，则方程等价为x 21m ＋y 21n ＝1，若方程表示焦点在y 轴上椭圆，则等价为1n ＞1m＞0，解得：m ＞n ＞0，故选A ．6．(2019－2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则△MF 1F 2的面积为( D )A ．53B ．103C ．215D ． 415[解析] 设M (m ，n )，m ，n ＞0，则m ∈(0,6)，n ∈(0，25)， 椭圆C ：x 236＋y 220＝1的a ＝6，b ＝25，c ＝4.设F 1，F 2分别为椭圆C 的左右焦点，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，|F 1F 2|＝2c ＝8， 因为|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝12，所以|MF 1|＞6，|MF 2|＜6， △MF 1F 2为等腰三角形，只能|MF 2|＝2c ＝8，则|MF 2|＝4， 由勾股定理得|MF 2|2＝(4－m )2＋n 2＝16， 又m 236＋n 220＝1，联立并消去n 得 m 2－18m ＋45＝0，且m ∈(0,6)，解得m ＝3，则n ＝15. 则△MF 1F 2的面积为12×8×15＝415.故选D ．二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__x 24＋y 23＝1__.[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 8．(福州市2019－2020学年高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为[解析] 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc ＝1，因为a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋1b2≥2，所以a ≥2，故长轴长的最小值为22，答案为2 2.三、解答题9．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)a ：c ＝13：5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2， ∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1. B 级 素养提升一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1、F 2分别在其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N是MF 1的中点，则|ON |的长为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由椭圆定义得|MF 2|＋|MF 1|＝2a ＝10， 因为|MF 1|＝2，所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点，所以|ON |＝|MF 2|2＝4.故选D ． 2．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( D )A ．x 225＋y 29＝1B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D ．3．(多选题)若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围可以是( AD )A ．a >3B ．a <－2C ．－2<a <3D ．－6<a <－2[解析] 由题意得a 2>a ＋6>0， 解得a >3或－6<a <－2，故选AD ．4．(多选题)直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值可以为( AB ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．12[解析] 椭圆方程化为标准形式为x 2＋y 210＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b ＝1.故选AB ．二、填空题5．下列命题是真命题的是__③__.①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．[解析] ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；③点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填③.6．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为__15__.[解析] 由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2a －|PF 2|＝10＋(|PM |－|PF 2|)≤10＋|MF 2|＝10＋32＋42＝15，∴|PM |＋|PF 1|的最大值为15. 三、解答题7．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b2＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为x29＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知0a2＋9b2＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为y281＋x29＝1.故椭圆的标准方程为y281＋x29＝1或x29＋y2＝1.8．如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．[解析]如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，故a＝52，b2＝a2－c2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.。
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课时作业9 椭圆及其标准方程
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离是( )
A．210 B.10
C.2 D．22
【答案】 D
【解析】 将椭圆方程化为标准方程为x26＋y24＝1，则a2＝6，b
2
＝4，c2＝2，
∴两焦点间距离为22.故选D.
2．(2013·全国卷大纲文)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个
焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且|AB|＝3，则C
的方程为( )
A.x22＋y2＝1 B.x23＋y22＝1
C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1
【答案】 C
【解析】 设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则a2＝b2＋1，当x
＝1时，y＝±b2a，∴|AB|＝2b2a＝3，∴a2＝32a＋1，即2a2－3a－2＝0.
∴a＝－12(舍去)或a＝2，∴b2＝3，∴方程为x24＋y23＝1.
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－8,0)，F2(8,0)，且椭圆上一点
到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A.x236＋y2100＝1 B.x2400＋y2336＝1
C.x2100＋y236＝1 D.x220＋y212＝1
【答案】 C
【解析】 由题意知椭圆的焦点在x轴上，所以可设椭圆的标准
方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由题意知2a＝20，所以a＝10，又c＝8，
所以b2＝a2－c2＝36.
4．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长
为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.x225＋y29＝1 B.y225＋x29＝1(y≠0)
C.x216＋y29＝1(y≠0) D.x225＋y29＝1(y≠0)
【答案】 D
【解析】 因为|AB|＝8，所以|CA|＋|CB|＝18－8＝10>8，所以点
C在以A、B为焦点的椭圆上，但由于A、B、C三点不共线，所以点
C的纵坐标y≠0，所以顶点C 的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．
5．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过P52，－32的
椭圆的标准方程是( )
A.x210＋y26＝1 B.y210＋x26＝1
C.x294＋y2254＝1 D.y294＋x2254＝1
【答案】 A
【解析】 设F1(－2,0)，F2(2,0)，
设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由题意得，
|PF1|＋|PF2|＝52＋22＋94＋52－22＋94
＝210＝2a，
∴a＝10，
又c＝2，∴b2＝6，椭圆的方程为x210＋y26＝1.
6．AB为过椭圆x2a2＋y2b2＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则
△AFB的面积最大值是( )
A．b2 B．bc
C．ab D．ac
【答案】 B
【解析】 ∵S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝12|OF|·|yA－yB|，
当A、B为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为2b.
∴△ABF面积的最大值为bc.
二、填空题(每小题10分，共30分)
7．若点P在椭圆x22＋y2＝1上，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，
且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．
【答案】 1
【解析】 由题意得|PF1|＋|PF2|＝22，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝4，
所以|PF1|·|PF2|＝2，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝1.
8．椭圆x212＋y23＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段
PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．
【答案】 ±34
【解析】 设F1(－3,0)，P(x，y)，M(0，y0)，则得－3＋x2＝0，∴
x＝3，将x＝3代入x212＋y23＝1，得y＝±32，∴y0＝y＋02＝±34.
9．椭圆x225＋y29＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF
1
的中点，则|ON|等于________．
【答案】 4
【解析】 设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知MF
2
＝10－2＝8.
又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，所以|ON|＝12|MF2|
＝4.
三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤)
10．(13分)设0≤α≤2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y
轴上的椭圆，则α的取值范围是多少？
【解析】 ∵x2sinα－y2cosα＝1，
∴x21sinα＋y2－1cosα＝1.
∵焦点在y轴上，∴a2＝－1cosα，b2＝1sinα，
∴ 1sinα>0，－1cosα>1sinα，即 sinα>0，－1cosα>1sinα，
∴－tanα>1，∴tanα<－1，
又α∈(0，π)，∴α∈(π2，3π4).
11．(13分)△ABC的三边a>b>c成等差数列，A、C两点的坐标
分别是(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程．
【分析】 由题意2b＝a＋c，即|BC|＋|BA|＝2|AC|＝4，结合椭圆
的定义求解．
【解析】 设点B的坐标为(x，y)，
∵a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2b，即|BC|＋|AB|＝2|AC|，
∴|BC|＋|BA|＝4.根据椭圆的定义知，点B的轨迹方程为x24＋y23＝1.
又∵a>b>c，∴a>c，即|BC|>|AB|，
∴(x－1)2＋y2>(x＋1)2＋y2，∴x<0，
∴点B的轨迹是椭圆的一半，方程为
x24＋y
2
3
＝1(x<0)．
又当x＝－2时，点B、A、C在同一直线上，不能构成△ABC，∴
x≠－2.
∴顶点B的轨迹方程为x24＋y23＝1(－2
是不能构成△ABC的情况应给予考虑，从而排除不能构成△ABC的点
B(－2,0)．
12．(14分)已知P是椭圆x24＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆上的
两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
【解析】 (1)由椭圆的定义，点P的轨迹是以F1，F2为焦点，
长轴长2a＝4的椭圆，且b＝1，c＝3，所以|PF1|＋|PF2|＝4.①
在△F1PF2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝43.所以S△PF1F2＝33.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得PF1→·PF2→<0，
即(x＋3，y)·(x－3，y)<0，所以－263