椭圆的定义及性质(课堂PPT)
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椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
椭圆ppt课件
02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例
椭圆的几何性质优秀课件公开课
切线斜率与法线斜率互为相反数的倒数。
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
椭圆的课件ppt
椭圆的焦点性质与离心率性质的应用
焦点性质
椭圆焦点位置决定了椭圆形状，当两个焦点距离越大，椭圆越扁平；当两个焦点 距离越小，椭圆越圆。
离心率性质的应用
离心率可以用于计算椭圆形状的变化，离心率越小，椭圆越圆；离心率越大，椭 圆越扁平。
椭圆的焦点三角形与离心率三角形
焦点三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为焦点三角形。
椭圆的范围与顶角
01
椭圆的范围是指椭圆上任一点到 椭圆中心的距离范围。对于标准 椭圆，这个范围是从-a到a的，其 中a是椭圆的长半轴长度。
02
椭圆的顶角是指椭圆上与两个焦 点相连的线段之间的夹角。对于 标准椭圆，这个夹角是90度。
椭圆的性质在生活中的应用
椭圆性质在生活中的应用广泛，例如在物理 学中，椭圆运动轨迹经常出现，如篮球投篮 、行星运动等；在工程学中，椭圆形状也经 常被用于建筑设计、汽车制造等方面。
转化方法
通过一些数学变换，可以将椭圆的参数方程或极坐标方程转化为另一种形式， 从而方便解的焦点与离心率
椭圆的焦点与离心率定义
椭圆焦点
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，与椭圆中心距离相等，连 接两个焦点的线段称为焦距。
离心率定义
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长 度的比值。
离心率三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为离心率三角形。
CHAPTER 04
椭圆的性质与运用
椭圆的对称性
椭圆的对称性是指椭圆关于坐标轴和原点都是对称的。这意味着无论从哪个方向开始，沿着坐标轴方 向移动，椭圆上的点都会以相同的形状和大小出现。
在椭圆中，与两个焦点距离之和等于定值的点构成的图形。这个定值是椭圆的长轴长度，与两个焦点 之间的距离之差等于短轴长度。
《椭圆的定义》课件
《椭圆的定义》ppt课件
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
椭圆的几何性质 课件(52张)
c 的等量关系．
[解] 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为 F1(－c， 0)，F2(c，0)．
依题意设 A 点坐标为－c，ba2， 则 B 点坐标为－c，－ba2， ∴|AB|＝2ab2．
由△ABF2 是正三角形得 2c＝ 23×2ab2， 即 3b2＝2ac． 又∵b2＝a2－c2，∴ 3a2－ 3c2－2ac＝0， 两边同除以 a2 得 3×ac2＋2×ac－ 3＝0， 解得 e＝ac＝ 33．
心率 e＝ac＝35，两个焦点分别是 F1(－3，0)和 F2(3，0)，椭圆的四个 顶点是 A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准 形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2＝ b2＋c2 求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
NO.3 当堂达标·夯基础
1．椭圆x92＋1y62 ＝1 的离心率(
)
A．
7 4
B．196
C．13
A [a2＝16，b2＝9，c2＝7，
设 A 点坐标为(0，y0)(y0＞0)， 则 B 点坐标为－2c，y20， ∵B 点在椭圆上，∴4ca22＋4yb202＝1，
解得 y20＝4b2－ba2c22， 由△AF1F2 为正三角形得 4b2－ba2c22＝3c2， 即 c4－8a2c2＋4a4＝0， 两边同除以 a4 得 e4－8e2＋4＝0， 解得 e＝ 3－1．
∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠PF2B＝60°．∵|OF2|＝c，∴ 点 P 的坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点 P(2c， 3c)．∵点 P
[解] 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为 F1(－c， 0)，F2(c，0)．
依题意设 A 点坐标为－c，ba2， 则 B 点坐标为－c，－ba2， ∴|AB|＝2ab2．
由△ABF2 是正三角形得 2c＝ 23×2ab2， 即 3b2＝2ac． 又∵b2＝a2－c2，∴ 3a2－ 3c2－2ac＝0， 两边同除以 a2 得 3×ac2＋2×ac－ 3＝0， 解得 e＝ac＝ 33．
心率 e＝ac＝35，两个焦点分别是 F1(－3，0)和 F2(3，0)，椭圆的四个 顶点是 A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准 形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2＝ b2＋c2 求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
NO.3 当堂达标·夯基础
1．椭圆x92＋1y62 ＝1 的离心率(
)
A．
7 4
B．196
C．13
A [a2＝16，b2＝9，c2＝7，
设 A 点坐标为(0，y0)(y0＞0)， 则 B 点坐标为－2c，y20， ∵B 点在椭圆上，∴4ca22＋4yb202＝1，
解得 y20＝4b2－ba2c22， 由△AF1F2 为正三角形得 4b2－ba2c22＝3c2， 即 c4－8a2c2＋4a4＝0， 两边同除以 a4 得 e4－8e2＋4＝0， 解得 e＝ 3－1．
∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠PF2B＝60°．∵|OF2|＝c，∴ 点 P 的坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点 P(2c， 3c)．∵点 P
《椭圆》ppt课件
解析：(1)∵|PF1|＋|PF2|＝14， 又|PF1|∶|PF2|＝4∶3， ∴|PF1|＝8，|PF2|＝6。 ∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2。 1 1 ∴S△PF1F2＝ |PF1|· |PF2|＝ ×8×6＝24。 2 2 x2 y2 (2)设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)。 a b 4 3 由点P(2， 3)在椭圆上知 2＋ 2＝1。 a b 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， 则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
第八章 解析几何
第五节
椭
圆
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
考纲 导学
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 2.了解圆锥曲线的简单应用。 3.理解数形结合的思想。
课前学案
基础诊断
夯基固本 基础自测
1．椭圆的概念 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数( 1 □
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x 2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2
图形
坐标轴 (－a,0) (0，－b) (a,0) (0，b) 2a 2c (0,1) (0，－a) (－b,0)
原点 (0，a) (b,0) 2b
a2－b2
1个规律——椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系 x 2 y2 给出椭圆方程 2＋ 2 ＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔a＞b＞0；椭圆的焦点在y轴上 a b ⇔0＜a＜b。 1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思 考时也要联想到图形。当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理 清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系。
椭圆的简单几何性质(共29张)-完整版PPT课件
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
顶点坐标
焦点坐标 半轴长
离心率
a、b、c 的关系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
则|PayF22 1|=bx22a+（1eya0>，b>|P0F）2同|=下理a焦:-eya点c02P。F为2其x0F中1a，c|P上F1焦|、点|P为FF2|叫2，焦P0半（径x0.,y0）为椭圆上一点，
c a2
PF2
( a
c
x0 ) a ex0
本堂检测
练习：P42 T2、3、5
D 1.椭圆
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率越大，椭圆越扁； 离心率越小，椭圆越接近圆。
思考：当e＝0时，曲线是什么？
当e＝1时曲线又是什么？
[3]e与a,b的关系:
e c a
a2 b2 a2
b2 1 a2
内容升华
两个范围，三对称 四个顶点，离心率
定义 标准方程
与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)
c
三、椭圆的焦半径公式
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)上一点P的横坐标是x0 ,
F1、F2分 别 是 椭 圆
PF1 a ex0 , PF2
的 左 、 右 焦点
a ex0。
，
且e为
离
心率
Y
，
则
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|PA|-|PB|>15时呢？
．Ｐ(目的地)
A
B
22
双曲线的定义
定义：平面内与两个定点F1、F2的距离 的差的绝对值等于常数2a(<|F1F2|)的点 的轨迹叫双曲线。这两个定点F1、F2 叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离 叫做双曲线的焦距2c。(o<a<c)
？：如果定义中没有“绝对值”这三个字，还是双曲线吗？
3
求方程的过程:
解(1)建系：以F1F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的 中垂线为y轴建立直角坐标系,则有两焦点坐标分别
为：F1(-c,0),F2(c,o)
(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据已知有：
|PF1|+|PF2| =2a
y
这个椭圆的一个标准方程为：
·F1
·P(x,y)
· o
F2
c
33
2
12
线ex的1:距椭离圆为的一5 ，个离焦心点率到为相应2 ，准 则椭圆的短轴4 长为多少？ 3
13
椭圆的性质的应用：
eg1:椭圆9x2+25y2-225=0上一 点到左准线的距离为2.5,则P到 右焦点的距离是( )
• (A) 8 (B) 25 (c) 7.5 (D) 7 8
14
eg2:椭圆
|PF1|+|PF2| =2a 这个椭圆的标准方程为：
o
x
·F1
x2 y2 1 b2 a2
( a>b>0,a2=b2+c52)
椭圆的标准方程
分类
图示
x2 a2
y2 b2
1
x2 y2 1 b2 a2
焦点 坐标 F1(-c,0) F2(c, 0)
F1(0,-c) F2(0, c)
共性
长轴长:2a 短轴长:2b 焦距: 2c (a2=b2+c2）
16
当差值为0时，即|PF1|=|PF2|时：
． P．
．
F1
． 轨迹是线段F1F2的中垂线
F2
17
当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时:
． 或|PF2|-|PF1|=|F1F2|时: P （可不可能）？
． ． ．． ．
P
F1
P?
F2
P
轨迹是分别以F1和F2为端 点的两条射线
18
当|PF1|-|PF2|的绝对值>|F1F2|
（假设不考虑职业道德）
20
分析：为了把问题简单化，我们先研究
． 司机刚好只收益15元的情形 Ｐ(目的地)
A
B
2|PA|-(|PA|+|PB|)=|PA|-|PB|=15
（注意: |PA|-|PB|=15<|AB|=20） 21
你会替司机出个主意了吗？
（要求: |PA|-|PB|=15且|AB|=20）
长轴：A1A2
短轴：B1B2
o
·A2 顶点：
F2
x A1(-a ,0)
A2(a,0)
B1
B1(0,-b)
B2(0 ,b) 4.离心率：
e c
a
8
椭圆的第二定义:已知点M(x,y)到 定点F(c,0)的距离和它到定直线 x
a2
的距离的比为常数 c (a>c>0)， c
求点M的轨迹方程 a
·M(x,y) · · o F
x
x2 y2 a2 b2 1
( a>b>0,
a2=b2+c2) 4
求方程的过程:
解(1)建系：以F1F2所在的直线为y轴，以线段 F1F2的中垂线为x轴建立直角坐标系,则有两焦 点坐标分别为：F1(0 , -c),F2(0,c )
(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据
已知有：y
·· F2 P(x,y)
P
．
．
F1
F2
• 不可能，因为在三角形中，两边之差小于第三边
19
• 理想化的问题：
• 一个出租汽车司机想从A地点送一个 乘客到达目的地后，然后返回B点的 家，已知A、B两点的距离为20公里 假设司机送客和返回家都是直线行 驶，假设汽车每行驶一公里耗费一 元，乘客每乘坐一公里付费二元， 请问这个司机怎样考虑接受乘客的 目的地，他才可能至少能收益15元？
23
双曲线的标准方程的求法：
步骤： 建
设
找等量
翻译等
化简
系
点
关系式
量关系
整理
• 为了体现双曲线的对称美，和我们研究数 学的由简单到复杂的思维规律，我们也选
择对称的建系方式，称如下建系所得的双 曲线方程为双曲线的标准方程：
y y
O
x
O
x
24
解:第(1)步：如图：以F1F2所在直线为x轴，
以线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系, 则点F1和点F2Y的坐标分别为(-c,0)、(c,0)
(这个方程是椭圆
的一个标准方程，
称这个定点F是
椭圆的一个焦，
定直线是椭圆的 x 一条准线，比值
叫这个椭圆的离
心率)
9
结论：椭圆有两条和它的 两个焦点相对应的准线
l' : x a2 c
·F1
·M(x,y)
· o
F2
l : x a2 c
x
10
结论：椭圆有两条和它的两 个焦点相对应的准线
x2 b2
y2 a2
1
与F2对应的准线l ' :方y程 ：a 2 c
与F1对应的准线方程：
l:ya
2
c
y
·F2
o
x
·F1
11
例1：求椭圆4x2+y2=2的准线方程
解：由已知有椭圆的标准方程为
x2 1
y2 2
1
椭圆的焦点在y轴上，
2
且a2=2, b2=0.5,c2=1.5
椭圆的两条准线方程为
y a2 2 2 6
问题： 一架救援机从A地出发进行
救援任务，之后必须回到B地加 油，已知飞机一次最多能飞行 500公里，而AB两地相距200公里， 问这架飞机能够救援到的区域是 怎样的？
1
|PA|+|PB|=500 |AB|=200
．P ．P
A
B
．
P
．
． P 2
P
椭圆的定义和标准方程
• 定义：平面内与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数2a(>|F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆。这两个定点 叫做椭圆的焦点，两个焦点的距 离2c叫做椭圆的焦距
x2 5
y2 4
1
的右焦点为F，
设点A (
5, 2
3),P是椭圆上一动点，
求使 | AP| 5| PF|取得最小值时
的P的坐标，并求出这个最小值
15
问题：平面内到两个定点F1，F2的距离 的差是定值||PF1|-|PF2||=2a的点P的轨迹
是什么？
(1)若这个定值为0，它表示什么？ (2)若这个定值=|F1F2|，它表示什么？ (3)若这个定值>|F1F2|，它表示什么？ (4)若这个定值非零且<|F1F2|,它表示什么？
6
椭圆的几何性质:(
x2 a2
y2 b2
1)
· A1 F1
1.范围:
B2
|x|≤a
|y|≤b
o
· A2
F2
x
椭圆位于直线x=±a 和直线y=±b所围成
的矩形区域内
B1
2.对称性：
关于x轴和y轴对称，
也关于原点中心对称
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椭圆的几何性质:(
x2 a2
y2 b2
1)
· A1 F1
3.顶点和长短轴：
B2