高二数学椭圆的定义PPT优秀课件
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椭圆的定义课件(2023版ppt)
椭圆的离心率为e = c/a，
04 其中c为椭圆的焦距，a
为椭圆的长半轴
椭圆的图形表示
椭圆的图形特征
椭圆是一种封闭的曲线图形，由两个焦点和
01
一条长轴组成。
椭圆的形状可以根据长轴和短轴的长度比例来
02
变化，当长轴和短轴相等时，椭圆变为圆。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常
03
数，这个常数叫做椭圆的焦距。
01
02
03
04
椭圆的性质与定理
椭圆的性质
椭圆的定义：平面 内到两个固定点的 距离之和等于常数 的点的轨迹
椭圆的焦点：椭圆 的两个固定点，决 定了椭圆的形状和 大小
椭圆的离心率：椭 圆焦点到椭圆中心 的距离与椭圆长轴 长度的比值，决定 了椭圆的扁平程度
椭圆的顶点：椭圆 与坐轴的交点， 决定了椭圆的位置 和方向
2
椭圆在物理学中 的应用：椭圆轨 道、椭圆振动等
3
椭圆在工程学中 的应用：椭圆形 建筑、椭圆形管
道等
4
椭圆在艺术设计 中的应用：椭圆 形构图、椭圆形
图案等
谢谢
椭圆的周长与面积可以通 过公式计算
椭圆的离心率决定了椭圆 的形状
椭圆的焦点决定了椭圆的 位置和方向
椭圆的方程
椭圆的标准方程：
x^2/a^2 + y^2/b^2 01
=1
椭圆的焦点在x轴和y轴
上的坐标分别为(a,0)和 03
(0,b)
椭圆的顶点坐标为(a,0) 05
和(0,b)
02
a和b分别表示椭圆的长 半轴和短半轴
椭圆的性质：椭圆具
2 有对称性、周期性、 可积性等性质，这些 性质在几何应用中具 有重要作用。
椭圆定义(公开课)ppt课件
x2
a2
y2 a2 c2
1
x2 a2
y2 b2
1
b2
a2 c2
（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答
椭圆的标准方程。）
椭圆的标准方程
y
M
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a b 0
b2 a2 c2
F1 o F2 x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a y
2.如果把细绳的两端拉 开一段距离，分别固定在图 板的两点处，套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，画出的 又是什么图形？这一过程中， 笔尖（动点）满足什么几何 条件？
数学实验
• (1)取一条细绳， • (2)把它的两端固定在板
上的两个定点F1、F2 • (3)用铅笔尖（M）把细
绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的 图形
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
星系中的椭圆
——仙女座星系
——“传说中的”飞碟
♦ 动画演示：太阳系行星的运动
土星
金星 太阳
地球
p3
月亮
木星
一、合作探究，形成概念：
请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下 任务，并思考相应问题。
1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点） 画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条 件？
结论：若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是（椭圆 ）
若常数等于|F1F2|，则点M的轨迹是（ 线段F1F2） 若常数小于|F1F2|，则点M的轨迹（ 不存在 ）
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
高二数学椭圆的定义课件
小结：
（1）椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和
等于 常数2a（大于|F1F2 | ）的点的轨迹叫椭圆。 若2a=2c,则轨迹表示线段.
（2）标准方程的两种形式
y2 x2 2 1 (a b 0) 2 a b
若2a<2c,则轨迹不存在。
x2 y2 2 1 (a b 0) 2 a b
椭圆方程的推导
基本步骤：
（1）建系设点 （2）表示集合 （3）列式
（4）化简
（5）证明
解：以焦点F1`F2所在直线为x轴，线段F1F2中点为坐标原点，建立 平面直角坐标系，则F1(-c,0)，F2(c,0)。设M(x, y)为椭圆上的任意一 点，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a。则 |MF1|＋|MF2|＝2a,即 y
C2= a2 - b2 C2= a2 - b2
给出椭圆标准方程怎样判断焦点在哪个轴 上？ 结论：哪个项的分母大,焦点就在相应的那 个变量轴上。反过来,焦点在哪个轴上,相应 那个项的分母就大.
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）椭 圆上一点P到两焦点距离的和等于10； 分析： 用待定系数法求椭圆方程该选用哪种形式？
椭圆定义的文字表述：
椭圆定义的数学语言
平面内与两个定点F1、F2 表述： (2a) 的距离的和 等于常数___ （大于|F1F2 |= ___ (2c)）的点 MF1 MF2 2a 的轨迹叫椭圆。 ( 2a>2c) 定点F1、F2叫做椭圆的焦 M 点。 两焦点之间的距离叫做焦 距__ F2 F1 (2c) 。
由椭圆的定义可知 2a>2c 即 a>c所以 令 a 2 c 2 b 2 b 0 得 两边同时除以 a 2 b 2
椭圆ppt课件
02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例
椭圆的课件ppt
椭圆的焦点性质与离心率性质的应用
焦点性质
椭圆焦点位置决定了椭圆形状，当两个焦点距离越大，椭圆越扁平；当两个焦点 距离越小，椭圆越圆。
离心率性质的应用
离心率可以用于计算椭圆形状的变化，离心率越小，椭圆越圆；离心率越大，椭 圆越扁平。
椭圆的焦点三角形与离心率三角形
焦点三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为焦点三角形。
椭圆的范围与顶角
01
椭圆的范围是指椭圆上任一点到 椭圆中心的距离范围。对于标准 椭圆，这个范围是从-a到a的，其 中a是椭圆的长半轴长度。
02
椭圆的顶角是指椭圆上与两个焦 点相连的线段之间的夹角。对于 标准椭圆，这个夹角是90度。
椭圆的性质在生活中的应用
椭圆性质在生活中的应用广泛，例如在物理 学中，椭圆运动轨迹经常出现，如篮球投篮 、行星运动等；在工程学中，椭圆形状也经 常被用于建筑设计、汽车制造等方面。
转化方法
通过一些数学变换，可以将椭圆的参数方程或极坐标方程转化为另一种形式， 从而方便解的焦点与离心率
椭圆的焦点与离心率定义
椭圆焦点
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，与椭圆中心距离相等，连 接两个焦点的线段称为焦距。
离心率定义
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长 度的比值。
离心率三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为离心率三角形。
CHAPTER 04
椭圆的性质与运用
椭圆的对称性
椭圆的对称性是指椭圆关于坐标轴和原点都是对称的。这意味着无论从哪个方向开始，沿着坐标轴方 向移动，椭圆上的点都会以相同的形状和大小出现。
在椭圆中，与两个焦点距离之和等于定值的点构成的图形。这个定值是椭圆的长轴长度，与两个焦点 之间的距离之差等于短轴长度。
椭圆的定义 课件——2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
横坐标伸缩为原来的
y sin( x )
1
y sin x
1
纵坐标伸缩为原来的A倍
y A sin( x )
(法2:先伸缩后平移)
y sin x
左右平移
y sin( x )
纵坐标伸缩为原来的A倍
y A sin( x )
y sin 2 x
定义理解
C点与F点关于弦l 对称，
C
弦l垂直平分线段FC，
从而 EC EF ；
F
E
又 OC R,即 OE EC R,
故 OE EF R.
也就是说，可以通过圆 周上的任意“点 C”
O
经过翻折与点 F重合的过程确定若干个 “点 E”.
弦l
OE EF R.
动点：E
定点：F、O
)
再关于x轴翻折
3
)
y=Asin(ωx+φ)的性质(A>0)
2
1.周期 : T
| |
2.值域 : [ A, A] ▲求指定区间上的值域
[例]求y 2 sin(2 x )在[0, )上的值域.
3
2
4
解 :∵ x [0, ), 2 x [ , )，结合 y sin t , t [ , 4 )的图象得 sin(2 x ) ( 3 ,1],
3
0
-1
0
π
y sin( x )
4
)的图象 ?
y sin( x )
y sin( x )
1
y sin x
1
纵坐标伸缩为原来的A倍
y A sin( x )
(法2:先伸缩后平移)
y sin x
左右平移
y sin( x )
纵坐标伸缩为原来的A倍
y A sin( x )
y sin 2 x
定义理解
C点与F点关于弦l 对称，
C
弦l垂直平分线段FC，
从而 EC EF ；
F
E
又 OC R,即 OE EC R,
故 OE EF R.
也就是说，可以通过圆 周上的任意“点 C”
O
经过翻折与点 F重合的过程确定若干个 “点 E”.
弦l
OE EF R.
动点：E
定点：F、O
)
再关于x轴翻折
3
)
y=Asin(ωx+φ)的性质(A>0)
2
1.周期 : T
| |
2.值域 : [ A, A] ▲求指定区间上的值域
[例]求y 2 sin(2 x )在[0, )上的值域.
3
2
4
解 :∵ x [0, ), 2 x [ , )，结合 y sin t , t [ , 4 )的图象得 sin(2 x ) ( 3 ,1],
3
0
-1
0
π
y sin( x )
4
)的图象 ?
y sin( x )
《椭圆的定义》课件
《椭圆的定义》ppt课件
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
椭圆定义PPT课件
若P为椭圆上任意一点且P(x0,y0)， 则|PF1|，|PF2|叫椭圆的焦半径
基本性质
方程 图形
A1
∣
返回
y B1
F1
A2 Y
∣
0
F2
A2
B1
＿
x
＿
F1 O F2
B2 X
B2 范围 对称性 顶点 离心率
关于x轴，y轴，原点 对称。
A1
关于x轴，y轴，原点对称。
L:
M
F1
y
F2Βιβλιοθήκη BA x练习2：
(1)
若椭圆
(2) 若椭圆右准线方程是x= 方程是______
25 焦距是6，则椭圆 3
设p(x0，y0)为椭圆上任一点
L2:
P
y
F1
d2
F2
A x
|PF1|，|PF2|叫椭圆的焦半径
三、小结： 本堂课主要探讨了以下两个方面的内容：
（1）椭圆的第二定义：
（2）椭圆的焦半径的概念
距离的比值是常
解：设动点M(x,y),则有： M
L: y F A x
B
所以，点M的轨迹是长短 轴分别是2a,2b的椭圆。
学习目标
1 熟练掌握椭圆定义及其标准方程。 2 掌握椭圆第二定义及焦半径的概念。 3 熟练掌握椭圆的基本性质并会简单应用。
椭圆的第二定义：
到定点的距离与到定直线的距离的 是一个椭圆。
椭圆的几何性质（第3课时） 已知 x2 25 + Y2 9
y B p
=1求下列问题：
p1
20 1 P1P2的长 F1 2 ︱PF1︱· ︱PF2︱ 3 S∆PF1F2 4 θ的取值范围 5 离心率e=___ 6 ︱BF1︱= p2 0
基本性质
方程 图形
A1
∣
返回
y B1
F1
A2 Y
∣
0
F2
A2
B1
＿
x
＿
F1 O F2
B2 X
B2 范围 对称性 顶点 离心率
关于x轴，y轴，原点 对称。
A1
关于x轴，y轴，原点对称。
L:
M
F1
y
F2Βιβλιοθήκη BA x练习2：
(1)
若椭圆
(2) 若椭圆右准线方程是x= 方程是______
25 焦距是6，则椭圆 3
设p(x0，y0)为椭圆上任一点
L2:
P
y
F1
d2
F2
A x
|PF1|，|PF2|叫椭圆的焦半径
三、小结： 本堂课主要探讨了以下两个方面的内容：
（1）椭圆的第二定义：
（2）椭圆的焦半径的概念
距离的比值是常
解：设动点M(x,y),则有： M
L: y F A x
B
所以，点M的轨迹是长短 轴分别是2a,2b的椭圆。
学习目标
1 熟练掌握椭圆定义及其标准方程。 2 掌握椭圆第二定义及焦半径的概念。 3 熟练掌握椭圆的基本性质并会简单应用。
椭圆的第二定义：
到定点的距离与到定直线的距离的 是一个椭圆。
椭圆的几何性质（第3课时） 已知 x2 25 + Y2 9
y B p
=1求下列问题：
p1
20 1 P1P2的长 F1 2 ︱PF1︱· ︱PF2︱ 3 S∆PF1F2 4 θ的取值范围 5 离心率e=___ 6 ︱BF1︱= p2 0
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( a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 ( a 2 c 2 )令 a2c2b2
a x2 2b y22 1(ab0)
椭圆的标准方程
椭圆标准方程
y
M
F1
O
F2 x
y
F2 M
O
x
F1
x2 y2 1(ab0)
a2 b2
椭圆的标准方程的形式：焦点随着分母
走，焦点在分母大的轴上。
例题精析
F1
F2
2a=2c时, 线段
2a<2c时, 无轨迹
椭圆标准方程
解 ： 设 点 M ( x , y ) , F 1 ( c , 0 ) , F 2 ( c , 0 ) M F 1M F 22a
即 ： ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2 a
( x c ) 2 y 2 2 a ( x c ) 2 y 2 •FF11
M
•M
FF•22 x
( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
a 2 c x a(x c )2 y 2
a 4 2 a 2 c x c 2 x 2 a 2 x 2 2 a 2 c x a 2 c 2 a 2 y 2
2.椭圆的标准方程。
x2 y2 1(ab0)
a2 b2
y2 x2 1(ab0)
a2 b2
3. 标准方程的简单应用。
作业:
P96习题 8.1
第1,2,4题
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
椭 圆 经 过 点 （ 2， 1） 。
解 ： 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上 ，
设 它 的 标 准 方 程 为 ： x 2y 2 1(ab0)
a 2 b 2
2 a 1 0 ,2 c 8 , a5,c4. b2 9.
所 以 所 求 的 椭 圆 方 程 为 ： x 2 y 2 1 . 2 59
点评：求椭圆方程首先要判断焦点的位置
即：0<k<4
所以k的取值范围为 0<k<4 .
例5、化简：
x 2 (y 3 )2x 2 (y 3 )2 10
分析： |MF1|+|MF2|=10， 2a=10，2c=6，
∴a=5，c=3，b=4
∴
y2 x2 1
25 16
y
F2(0,3)
M (x,y)
O
x
F1(0,-3)
小结：
1.椭圆的定义及焦点、焦距的概念。
长为_2__5___2_____
F2
P
O
x
F1
例3、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）满足a=4, b=1，焦点在 x轴上的椭圆 的标准方程为__1x_26___y_2___1___;
（2）满足a=4, c= 15，焦点在 y轴上的椭圆 的标准方程为__1_y_26___x_2____1__.
a5,c3 b2 16
点 A 的 轨 迹 方 程 是 ： x2y2 1(y 0)
2 51 6
练习：若方程4x2+kY2=1表示的曲线是 焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。
解：由 4x2+ky2=1
x2 y2
可得 1 1 1
4k
因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
所 以 1 1 k4
举出实例:
M
椭圆的定义： F1
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
F1、F2 ——焦点 |F1F2 | ——焦距（一般用2c表示）
|MF1|+ |MF2| = 2a
设∣F1F2∣= 2c, ∣MF1∣+∣MF2∣= 2a，则
c=0时,圆 M
2a>2c时, 椭圆
例 4： 求 适 合 下 列 条 件 的 椭 圆 的 标 准 方 程 ： （ 1 ） 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是 （ -4， 0） ， （ 4， 0） 椭 圆 上
一 点 到 两 焦 点 距 离 的 和 等 于 10； （ 2） 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是 （ 0， -2） ， （ 0， 2） ， 并 且
例 5 ： 已 知 B 、 C 是 两 个 定 点 ， B C 6 ， 且 A B C 的 周 长 等 于 1 6 ，
求 顶 点 A 的 轨 迹 方 程 ？ y
解 ： 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 ；
•A
3
3
A B A C 1 0 ,B C 6
•
•
B
Cx
点 A 的 轨 迹 是 椭 圆 ， 且 2 c 6 , 2 a 1 0
例2
已知椭圆的方程为：y2
x2
1，则
54
(1) a=___5__，b=___2____，c=____1___;
(2)焦点坐标为：_(0__,-_1_)_、__(_0_,_1_)_焦距等于___2____;
(3)曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一
个焦点F2的距离等于__2___5___3_，则三角形F1PF2的周 y
例1：已知椭圆的方程为： x2 y2 1 ，则 25 16
a=___5__，b=___4____，c=___3____，焦点坐标 为：(_3_,_0_)_、__(_-3__,0_)_ 焦距等于___6___;若CD为
过左焦点F1的弦，则三角形F2CD的周长为
____2_0___
Cy
F1 O
F2
x
D
a x2 2b y22 1(ab0)
椭圆的标准方程
椭圆标准方程
y
M
F1
O
F2 x
y
F2 M
O
x
F1
x2 y2 1(ab0)
a2 b2
椭圆的标准方程的形式：焦点随着分母
走，焦点在分母大的轴上。
例题精析
F1
F2
2a=2c时, 线段
2a<2c时, 无轨迹
椭圆标准方程
解 ： 设 点 M ( x , y ) , F 1 ( c , 0 ) , F 2 ( c , 0 ) M F 1M F 22a
即 ： ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2 a
( x c ) 2 y 2 2 a ( x c ) 2 y 2 •FF11
M
•M
FF•22 x
( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
a 2 c x a(x c )2 y 2
a 4 2 a 2 c x c 2 x 2 a 2 x 2 2 a 2 c x a 2 c 2 a 2 y 2
2.椭圆的标准方程。
x2 y2 1(ab0)
a2 b2
y2 x2 1(ab0)
a2 b2
3. 标准方程的简单应用。
作业:
P96习题 8.1
第1,2,4题
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椭 圆 经 过 点 （ 2， 1） 。
解 ： 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上 ，
设 它 的 标 准 方 程 为 ： x 2y 2 1(ab0)
a 2 b 2
2 a 1 0 ,2 c 8 , a5,c4. b2 9.
所 以 所 求 的 椭 圆 方 程 为 ： x 2 y 2 1 . 2 59
点评：求椭圆方程首先要判断焦点的位置
即：0<k<4
所以k的取值范围为 0<k<4 .
例5、化简：
x 2 (y 3 )2x 2 (y 3 )2 10
分析： |MF1|+|MF2|=10， 2a=10，2c=6，
∴a=5，c=3，b=4
∴
y2 x2 1
25 16
y
F2(0,3)
M (x,y)
O
x
F1(0,-3)
小结：
1.椭圆的定义及焦点、焦距的概念。
长为_2__5___2_____
F2
P
O
x
F1
例3、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）满足a=4, b=1，焦点在 x轴上的椭圆 的标准方程为__1x_26___y_2___1___;
（2）满足a=4, c= 15，焦点在 y轴上的椭圆 的标准方程为__1_y_26___x_2____1__.
a5,c3 b2 16
点 A 的 轨 迹 方 程 是 ： x2y2 1(y 0)
2 51 6
练习：若方程4x2+kY2=1表示的曲线是 焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。
解：由 4x2+ky2=1
x2 y2
可得 1 1 1
4k
因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
所 以 1 1 k4
举出实例:
M
椭圆的定义： F1
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
F1、F2 ——焦点 |F1F2 | ——焦距（一般用2c表示）
|MF1|+ |MF2| = 2a
设∣F1F2∣= 2c, ∣MF1∣+∣MF2∣= 2a，则
c=0时,圆 M
2a>2c时, 椭圆
例 4： 求 适 合 下 列 条 件 的 椭 圆 的 标 准 方 程 ： （ 1 ） 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是 （ -4， 0） ， （ 4， 0） 椭 圆 上
一 点 到 两 焦 点 距 离 的 和 等 于 10； （ 2） 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是 （ 0， -2） ， （ 0， 2） ， 并 且
例 5 ： 已 知 B 、 C 是 两 个 定 点 ， B C 6 ， 且 A B C 的 周 长 等 于 1 6 ，
求 顶 点 A 的 轨 迹 方 程 ？ y
解 ： 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 ；
•A
3
3
A B A C 1 0 ,B C 6
•
•
B
Cx
点 A 的 轨 迹 是 椭 圆 ， 且 2 c 6 , 2 a 1 0
例2
已知椭圆的方程为：y2
x2
1，则
54
(1) a=___5__，b=___2____，c=____1___;
(2)焦点坐标为：_(0__,-_1_)_、__(_0_,_1_)_焦距等于___2____;
(3)曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一
个焦点F2的距离等于__2___5___3_，则三角形F1PF2的周 y
例1：已知椭圆的方程为： x2 y2 1 ，则 25 16
a=___5__，b=___4____，c=___3____，焦点坐标 为：(_3_,_0_)_、__(_-3__,0_)_ 焦距等于___6___;若CD为
过左焦点F1的弦，则三角形F2CD的周长为
____2_0___
Cy
F1 O
F2
x
D