椭圆的定义与标准方程讲解
椭圆定义及其标准方程
x y 2 1(a b 0) 2 a b
F1
2
2
y
M
o
F2
x
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 25 9 1
例2椭圆的两个焦点的坐标
分别是（ - 2,0），（ 2,0），
5 3 并且经过点（ ,- ), 求椭圆的标准方程。 2 2
x2 y2 1 10 36
变式：焦点在y轴上，且经过点 的椭圆的标准方程 x 2 y2
x y (2) 1 答：在 144 169
2 2
2
2
y 轴。（0，-5）和（0，5）
判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则： 哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是a2.
Y
Y
M
M
F2(0 , c) X O F1(0,-c) X
F1 (-c,0)
2 2
O
F2 (c,0)
x y 2 1(a b 0) 2 a b
O
F2
x
设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、 F2的距离的和等于常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)。
由定义知：
MF1
MF1 MF2 2a
(x c )2 y 2
MF2
(x - c )2 y 2
2a
2
(x c )2 y 2 (x - c )2 y 2
D F2 C O F1 X
题型二：求标准方程
例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。 解： ∵椭圆的焦点在x轴上
.
∴设它的标准方程为:
2.1,1椭圆的定义与标准方程
♦再认识！
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
F2
x
O
F1
x
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
(2)当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为
y2 x 2 2 1 (a>b>0). 2 a b 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) a , 依题意,知 3 3 1, ⇒ 4 2 2 a b 1 2 b . 1 2 ( ) 5 2 1 2 a y2 x 2 1. 故所求椭圆的标准方程为 1 1 4 5
x2 y2 (1) 1 (4)9 x 2 25y 2 225 0 16 16 x2 y2 2 2 ( 5 ) 3 x 2 y 1 ( 2) 1 25 16 x2 y2 x2 y2 1 (3) 2 1(6) 2 24 k 16 k m m 1
M xx x
O
M
O F2
x F1
x
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”)
y
设P (x, y)是椭圆上任意一点， 椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)， 则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . P与F1和F2的距离的和为固定值 2a(2a>2c)
(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
椭圆的定义与标准方程
椭圆的定义与标准方程椭圆是数学中常见的几何图形，它由一个长轴和一个扁轴组成。
它是一种中心对称的闭合曲线，它的曲线有两个焦点。
椭圆有许多独特性，从美丽的外观和几何学的熟练应用，到数学中的有趣和复杂的性质，已被广泛运用于科学研究和实际应用中。
一、椭圆的定义椭圆是一种中心对称的图形，即椭圆的中心点与形状对称，可以通过对称轴对椭圆进行对称变换。
具体而言，当你沿着对称轴将椭圆的一段变换至另一段时，整个椭圆的线段形式都不变。
椭圆也有自己的焦点，它是椭圆的特征，椭圆上每个点到它的焦点之间的距离总是一定的。
如果一个图形有以上特征，那么它就可以称为椭圆。
二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程是一种二次曲线函数，是用来表达椭圆的函数。
椭圆的标准方程有两种形式，一种是椭圆的极坐标方程，一种是椭圆的笛卡尔坐标方程。
其中，椭圆的极坐标方程为：$$r=frac{acdot b}{sqrt{a^2cdot sin^2theta + b^2cdotcos^2theta}}$$其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$theta$是弧度。
椭圆的笛卡尔坐标方程为：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$(x,y)$是椭圆上一点的坐标。
三、椭圆的面积和周长椭圆的面积可以使用一下公式来计算：$$S = picdot a cdot b$$其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，S是椭圆的面积。
椭圆的周长也可以使用一下公式来计算：$$L = picdot sqrt{2a^2+2b^2}$$其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，L是椭圆的周长。
四、椭圆的应用椭圆在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在空间结构中，椭圆拱半圆形结构经常被采用，可以保证结构的稳定性和美观性；在机械设计中，椭圆可以用来表示运动轨迹，如摆式机构中的旋转椭圆运动；在有限元分析中，椭圆也是常见的几何模型，可以在求解具有椭圆表面的复杂问题时发挥应用；在建筑set设计中，椭圆的柱型、圆顶及其结合形式为建筑赋予了精美的外形，如圆形大厅、宝塔等。
椭圆(讲解部分)
显然|AF1|+|BF1|≥|AB|,当且仅当A,B,F1共线时周长最大,最大值为8 2.
答案
x2 y2
(1) + =1
(2)8 2
43
考法二 椭圆离心率问题的求法
例2
(1)(2019江西南康中学第二次大联考,10)椭圆G:
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的
两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M是椭圆上的一点,且满足F1M ·F2M =0.则椭圆离
解析 (1)如图所示,连MF2,由题意知F2(1,0).
∵直线m是线段PF2的垂直平分线,
∴|MP|=|MF2|,1|+|MF2|=4>|F1F2|=2.
∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且2a=4,2c=2.∴b2=3.
∴点M的轨迹方程为 x2 + y2 =1.
.故选D.
解法三:如图所示,当M在椭圆的上顶点M0处时,
由已知条件,知∠F1M0F2≥90°,因此∠F2M0O≥45°, 又∵M0F2=a,OF2=c.
∴e=
c a
=sin∠F2M0O,∵∠F2M0O∈
π 4
,
π 2
,
∴ 2 ≤e<1,故选D.
2
(2)由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a,
=0,即x02
+ y02
=c2①,又知点M在椭圆G上,∴ax022
+
y02 b2
=1②,
由①②联立结合a2-b2=c2解得
x02
=
a
2
(c2 -b2 c2
)
,由椭圆的性质可得0≤
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
椭圆及其标准方程
第一节 椭圆1．椭圆的定义(1) 第一定义：|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+ （21,F F 为焦点，c F F 2||21=为焦距） 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．（2）第二定义：)10(,||<<=e e dPF注：第二定义中焦点与准线应对应2．椭圆的标准方程（中心在原点，对称轴为坐标原点）(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+by ax ，其中( > >0，且=2a )(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx a y ，其中a ，b 满足： ．说明：（1）焦点在22,y x 分母大的对应的坐标轴上； （2）222c b a +=及c b a ,,的几何意义 （3）标准方程的统一形式：),0,0(122n m n m nymx≠>>=+适用于焦点位置未知的情形（4）参数方程：⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 3．椭圆的几何性质(对12222=+by ax ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；(4)离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．(5) 椭圆的准线方程为 ．【课前预习】1．若方程11322=-+-k ykx为焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是_______________2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是43，则此椭圆的标准方程是_____________3．若椭圆1222=+myx的离心率为21，则实数=m ______4．已知21,F F 为椭圆1422=+yx的左、右焦点，弦AB 过1F ，则AB F 2∆的周长为______85．已知椭圆121622yx+=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若6||2=MF ，则|ON|的长等于 .1 【例题讲解】例1：根据下列条件求椭圆方程（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P （3，0），求椭圆的方程； （2）中心在原点的椭圆，一条准线方程为5=y ，且它的离心率55=e ；（3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（4）中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，经过两点)2,3(),1,6(21--P P 小结：求椭圆的方法 例2：（1）椭圆1162522=+yx上一点P 到它的左焦点1F 的距离为6，则点P 到椭圆右准线的距离为_________（2）已知21,F F 是椭圆148:22=+yxC 的焦点，在C 上满足21PF PF ⊥的点P 的个数为________2小结：（3）椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，这个椭圆的方程是_________________1129,19122222=+=+yxyx（4）已知椭圆192522=+yx的焦点21,F F ，P 是椭圆上一点，9021=∠PF F ，则=∆21PF F S _______变式1： 6021=∠PF F ，则=∆21PF F S _______变式2：θ=∠21PF F ，则=∆21PF F S _______变式3：已知椭圆12222=+bya x的焦点21,F F ，椭圆上存在一点P ，使6021=∠PF F ，则离心率e 的取值范围是____________ 例3：关于离心率的运算（1）设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点B A ,，若1ABF ∆为正三角形，则椭圆的离心率为_________ （2）在平面直角坐标系中，椭圆12222=+by ax (a ＞b ＞0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e= .（3）在ABC ∆中，187cos ,-==B BC AB ，若以B A ,为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e=(4) 以椭圆12222=+by ax 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则e 的取值范围是_______________1215<<-e小结： 例4：（最值问题） （1）设P 是椭圆1162522=+yx上任意一点，F A ,分别为椭圆的左顶点和右焦点，则AFPA PF PA ⋅+⋅41的最小值为________-9变式：P 为椭圆13422=+yx上任一点，A 为右顶点，B 为下顶点则AB PA ⋅最大值为________（2）椭圆1162522=+yx内有两点)0,3(),2,2(B A P 为椭圆上一动点则||35||PB PA +的最小值为____319变式：若)0,3(-C 则||||PC PA +最大值为__________510+例5：设椭圆()22221,0x y a b ab+=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率2e =，点2F 到右准线为l 的距离为1）求,a b 的值；（2）设,M N 是l 上的两个动点，120F M F N ⋅=，证明：当M N 取最小值时，12220F F F M F N ++=。
高二数学课件：椭圆与椭圆的标准方程
3 2 5 2a ( ) ( 2) 2 2 2 3 1 10 10 2 2 2 10 , a 10 c 2, . 又 b 2 a 2 c 2 10 4 6. 3 2 5 ( ) ( 2) 2 2 2
解:设所求的标准方程为
建系： 建立适当的直角坐标系； 设点： 设M（x,y）是曲线上任意一点； 列式： 建立关于x,y的方程 f(x,y)=0； 化简： 化简方程f(x,y)=0. 检验： 说明曲线上的点都符合 条件（纯粹性）；符合 条件的点都在曲线上.
2、椭圆的标准方程
椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和为2a 怎样建立平面直角坐标系呢？
x y 2 1(a b 0) 2 a b
F1
2
2
y
M
o
F2
x
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 25 9 1
讲评例题
例2 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是
圆适合下列条件的标准方程。
5 3 （-2，0）、（2，0）并且经过点( , ) 求椭 2 2
解： （1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以 x2 y 2 设它的标准方程为 2 2 1 （a>b>0) 由椭圆的定义知，
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 1( x 5) 课堂练习 25 16
a b
.
y
A
B
o
C
x
4:课堂练习
x2 y2 1上一点P到一个焦点的距离为5， 1 椭圆 25 9
则P到另一个焦点的距离为（ A） A.5 B.6 C.4
D.10
x2 y2 1 的焦点坐标是（C ） 2.椭圆 25 169
椭圆的定义及标准方程
1、椭圆的定义： 、椭圆的定义：
椭圆定义
平面内到两个定点 的距离之和等于常 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 大于|F 椭圆。 数（大于 1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 ）的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 焦点 M 叫做椭圆的焦距。 叫做椭圆的焦距。 焦距
y x + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0 )
它也是椭圆 的标准方程。 的标准方程。
这样建立平面直角坐标系椭圆方程会是什 么样？ 么样？
y
M ( x, y )
F1 O F2
x
( x − c) y + 2 = 1 (a > b > 0 ) 2 a b
2 2
椭圆的标准方程
思考四: a、 思考四: a、b、c的几何意义
M
F1 F2
动画
椭圆的标准方程
2、椭圆的标准方程 、
怎样建立平面直角坐标系呢？ 怎样建立平面直角坐标系呢？
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
椭圆的标准方程
x y + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0)
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
这个方程叫做椭圆的标准方程， 这个方程叫做椭圆的标准方程， 椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在 轴上。 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。 焦点在x 如果椭圆的焦点在y 轴上， 如果椭圆的焦点在y 轴上，用类似的 方法，可得出它的方程为： 方法，可得出它的方程为：
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求首先，我们来回顾一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
其中，两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个重要的参数e，称为离心率，它是焦距与长轴长度之比的绝对值，即e=c/a，其中c为焦距。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程有两种形式：横轴为长轴和纵轴为长轴。
以横轴为长轴的椭圆为例，其标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中，a为长轴的长度，b为短轴的长度。
而以纵轴为长轴的椭圆的标准方程为：x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1。
接下来，我们将分别介绍如何求解这两种形式的椭圆标准方程。
首先是横轴为长轴的椭圆。
对于这种情况，我们可以根据椭圆的定义和标准方程的形式来求解。
首先，我们需要确定椭圆的焦点F1和F2的坐标以及长轴的长度2a和短轴的长度2b。
然后，根据标准方程的形式，我们可以直接得到椭圆的标准方程。
具体来说，我们可以通过观察椭圆的图像或者已知条件来确定a和b的值，进而得到标准方程。
接着，我们来看纵轴为长轴的椭圆。
对于这种情况，求解标准方程的方法与横轴为长轴的情况类似，只是长轴和短轴的长度对调了位置。
同样地，我们需要确定椭圆的焦点F1和F2的坐标以及长轴的长度2a和短轴的长度2b，然后根据标准方程的形式来求解。
在实际问题中，我们可能需要根据给定的条件来求解椭圆的标准方程，这就需要我们灵活运用椭圆的定义和标准方程的形式，结合已知条件来进行求解。
在求解过程中，我们还需要注意椭圆的性质和特点，这样才能准确地得到椭圆的标准方程。
综上所述，椭圆的标准方程求解方法是我们学习解析几何中的重要知识点，通过掌握这一方法，我们可以更好地理解和运用椭圆的相关知识。
希望本文所介绍的内容能够帮助大家更好地理解椭圆的标准方程的求解方法。
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所以 x c2 y2 x c2 y2 2a.
为化简这个方程, 将左边的一个根式移到右边, 得
x c2 y2 2a x c2 y2 ,
将这个方程两边平方, 得
x c2 y2 4a2 4a x c2 y2 x c2 y2,
整理得 a2 cx a x c2 y2 ,
截 面 与 圆 锥 侧 面 的 交线 是
一 个 圆.如 果 变 平 面 与 圆 锥 轴 线 的 夹 角, 会 得 到 什 么 图 形 呢?
如 图,用 一 个 不 垂 直 于 圆 锥 的轴 的 平 面 截 圆 锥,当 截 面 与 圆 锥 的 轴 夹 角 不 同 时,可 以 得 到 不 同 的 截 口 曲 线,它 们 分 别 是 椭 圆 、 抛 物 线 、 双 曲 线.我 们 通 常 把 圆 、 椭 圆 、 抛 物 线 、 双 曲 线统 称 为
距离叫做焦距 。焦距一般用 2c 表示, 常数一般用 2a 表示。
M
（理解定义时要注意条件：2a > 2c > 0 ）
A1
F1
F2
若 2a = 2c ,则动点的轨迹是: 线段F1F2.
若 2a < 2c ,则动点的轨迹又是什么呢? 不存在.
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思考 观察椭圆的形状,你认为怎样选择坐标
把细绳的两端拉开一段距离, 移动笔尖的过 程 中,细 绳 的 长 度 保 持 不 变,即 笔 尖 到 两 个 定 点 的 距 离 和 等 于 常 数.
到两个定点F1、F2的距离之和为定值（大于 |F1F2|）的点的轨迹是椭圆（ellipse）。这两 个定点叫作椭圆的焦点（focus），两个焦点 之间的距离称之为焦距（focus length）。
系才能使椭圆的方程简单?
类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程, 我
们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系,建
立 它 的 方 程.
如图2.1 2,以经过椭圆
y M
两焦点 F1, F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2的垂直平分 线为 y 轴,建立直角坐标 系xOy.
F1 c O c F2 x
图2.1 2
成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话
第二章 圆锥曲线与方程
2020年9月25日星期五12时32分19秒
成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话
认识椭圆 椭圆形成 椭圆定义 标准方程 例题讲解 课堂练习 课堂小结 作业布置
2.1.1 椭圆的定义 与标准方程
我 们 知 道,用 一 个 垂 直 于 圆 锥 的 轴 的 平 面截圆 锥, 截 口 曲 线
定 义： 平面内与定点距离等于定长的点的 集合(轨迹)叫做圆.
标准方程：
(x a)2 (y b)2 r2 x2 y2 r2
yy
r
OC
x
O
x
圆是与一定点的距离等于定长的点的集合。 那么,椭圆又是什么样的点的集合？ 椭圆的标准方程又是什么呢？
数学 实验
Hale Waihona Puke [1]取一条细绳，[2]把它的两端固定在板上的 两点F1、F2
上式两边再平方, 得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
[3]用铅笔尖（M）把细绳拉 紧，在板上慢慢移动看看画出 的图形
观察做图过程：
[1]绳长应当大于F1、F2之 间的距离。
[2]由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。
M
F1
F2
flsh椭圆定义1.exe演示1
几何画板演示2
探 究 取一 条定 长 的
细绳, 把它的两端都固
M
定在图板的同一点处 ,
2.1.1 椭圆的定义与标准方程
思考
1.注意观察小球的运动轨迹是个什么图形？
2.生活中还有哪些物品形状是椭圆
“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空
1、研究圆的方法:坐标法,利 用圆的方程来定量地研究圆 的性质.
2、圆的定义及标准方程是什么？
自然推广.17世纪初期, 笛卡儿发明了坐标系, 人们 开始在坐标系的基础上, 用代数方法研究圆锥曲 线.本章我们继续采用必修课程《数学2 》中研究直 线与圆所用的坐标法, 在探究圆锥曲线几何特征 的基础上, 建立它们的方程, 通过方程研究它们的 简单性质,并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关 的简单几何问题和实际问题, 进一步感受数形结 合的其本思想.
圆 锥 曲线conic sections
圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密
的关系.早在16、17 世纪之交,开普勒就发现行星 绕太阳运 行的轨道是一个椭圆;探照灯反射镜 面是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面;发电 厂冷却塔的外形线是双曲线 为什么圆锥曲 线有如此巨大的作用呢?我 们 可以从它们的几 何特征及其性质中找到答案. 圆 锥 曲 线 具 有 怎 样 的 几何 特 征 呢?如 何 研 究 圆 锥 曲 线 的 性 质? 事实上,圆锥曲线的发现与研究始于古希蜡.当时 人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切 相关的曲线, 它们的几何性质是圆的几何性质的
F1
F2
套上铅笔, 拉紧绳子, 移
动笔尖, 这时笔尖 动点
图2.1 1
画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一
段距离,分别固定在图板的两点处 (图2.11), 套
上铅笔 ,拉紧绳子,移动笔尖 ,画出的轨迹是什么
曲线 ? 在这一过程中, 你能说出移动笔尖 动点 满
足的几何条件吗?
操作打开的几何画板 ,形象地展现探究过程 .
下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的 坐标系, 建立椭圆的方程, 并通过方程研究椭 圆的性质.
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
椭圆定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|） 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的
设M x, y是椭圆上任意
一点 ,椭圆的焦距为 2c
y M
c 0,那么焦点F1 ,F 2的 坐标分别为 c,0, c,0.
F1 c O c F2 x
又设 M与F1 , F2的距离的 和等于2a .
图2.1 2
由椭圆的定义, 椭圆就是集合
P M || MF1 | | MF2 | 2a .
因为| MF1 | x c2 y2 ,| MF2 | x c2 y2 ,