椭圆标准方程式

课题：椭圆及其标准方程
教学目的：
1．理解椭圆的定义。

明确焦点．．焦距的概念．
2．熟练掌握椭圆标准方程。

会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程
3．能由椭圆定义推导椭圆的方程．
．4.启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑总维能力．
教学重点：椭圆的定义和标准方程
教学难点：椭圆标准方程的推导
教学方法：实际操作，引导发现
一、复习引入：
1．2003年l0月l5日，杨利伟乘由长征二号F火箭运载的神舟五号飞船首次进入太空。

他和技术专家的创举使得中国成为第三个掌握载人航天技术的国家。

神舟五号飞船运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而
算出它运行周期及轨道的的周长．
一．，说明椭圆在实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题)
2．复习求轨迹方程的基本步骤：
3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在
画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉
近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．
分析：(1)轨迹上的点是怎么来的?
（2)在这个运动过程中，什么是不变的?
答：两个定点，绳长．
即不论运动到何处，绳长不变(即轨迹上与两个定点距离之和不变)．
二、讲解新课：
1．椭圆定义：
平面内与两个定点21,F F ，的距离之和等于常数(大于21F F )的点的
轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注意：椭圆定义中容易遗漏的两处地方：
(1)两个定点——两点间距离确定．
(2)绳长——轨迹上任意点到两定点距离和确定．
思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁(一 线段)
在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆(一圆)． 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)．
2．根据定义推导椭圆标准方程； 。

取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴．
设P(x,y)为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)
则),0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于2a(2a>2c)(常数)
∴P={21PF PF P + =2a}
又=
1PF =2a ， 化简，得 (口2一口2)x2+a2y2=口2(口2一C2)，
由定义2a>2c J ．．．a2一c2>0
令．·．口2一c2=bz 代入，得 bZx2+aZy2=aZb2，
两边同除口262得芸a+譬b=l
‘ 二
此即为椭圆的标准方程．
它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是量卜c ，o)只(G ，o)，中心在坐标原点的椭圆方程． 其
中“2=口2+b2．
注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程．
如果椭圆的焦点在Y轴上(选取方式不同，调换墨y轴)焦．
点则变成只(0，一口)’马(嘎G)，只要将方程；+矿yZ=1中的毛y 调一
换，即可得
孚+著=1，也是椭圆的标准方程．
理解：(1)标准方程形式( )2+( )2=l
(2)x2，Y2中哪一个的分母大，则焦点就落在哪一个轴上。

(3)两种形式可以统一写成A2+印2=1，0>0,B>o,A#B)
三、练一练：
1、判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明a,b，写出焦点坐标。

(1)篓+￡：l (2)!+￡：l (3)三+善二：l
25 16 144 169 掰。

rt'／。

+l
2、将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标
(1)9x2+25y2=225 (2)h2+3y2=1 (3)血2+矽2=，0岱c<0，么≠B)
四、讲解范倒：X2 y2．
题组一：l、已知椭圆：万十话一工
(1)．椭圆的焦距是．焦点坐标是．
(2)．若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离是——．
(3)．若CD为过左焦点的弦，则△F2C!D的周长为——．
2、若方程x2卡砂2=2表示焦点在Y轴上的椭圆，则实数k取值范围是——．
3、若方程』二+j二：l表示椭圆，则实数k取值范围是——．
3+k 2一k ’
题组二：l、椭圆的焦点分别是只(一4，o)’R(4，O)。

椭圆上一点P到两个焦点的距离的和等于
1 0．求椭圆的方程．．，3 5、
2、椭圆的焦点分别是曩(o'一2)’E(o'一2)，并且椭圆经过点，【一芝，jJ，求椭圆的方程．
3、已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过两点分别是E(√6，1)，最(一√3，一√2)，求椭圆
的标准方程．
题组三：l、已知B，C是两个定点，睁cl=6且艘的周长等于l6，求顶点A的轨迹方程。

2、已知定圆C，：X2+Y2+4x=0和圆C，：x2+Y2—4x一60=0动圆M和定圆cl 外切、
和圆c2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
题组四：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x 轴作垂线段
PP’。

求线段PP 7中点M的轨迹。

题组五：已知椭圆戈2+2y2=4。

求以点P(1，1)为中点的弦AB所在的直线L 方程．
五、思考题：
实验思考l：将一个圆柱形水杯，从不同角度倾斜时，观察水面边界线的变化．
实验思考2：
整釜：一张纸片(如图l)
(其中点。

表示圆心，点F表示圆内除点。

以外的任意一点。

) 援僬：将圆纸片翻折，使翻折上去的圆弧通过点F(图2)，将折痕用笔画上颜色。

继
续上述过程，绕圆心一周。

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六、小结：
1．椭圆的定义及标准方程．
2．标准方程的形式特征和方程中a，b的确定及a，b，c的关系． 3．筛单的应用．。