椭圆及标准方程2
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
§2.2.1椭圆及其标准方程（2）编写：英德市第二中学，叶加修；审核：英西中学，刘东【学习目标】熟练椭圆方程的求解【知识回顾】1. 椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3.小结：【新知构建】用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上．(2)设方程：①依据上述判断设方程为 或 ．②在不能确定焦点位置的情况下也可设 ．(3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组．(4)解方程组，代入所设方程即为所求．例1 已知圆A ：(x ＋3)＋y ＝100，圆A 内一定点B(3，0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．例2 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．小结： 22125169x y +=【当堂练习】1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．小结：【课后作业】1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为( ) A ．5或3 B ．8 C ．5 D ．32. 如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0，1)3.椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．284. 一动圆过定点A (1，0)，且与定圆(x ＋1)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心轨迹方程是__________．5. 与椭圆x 2＋4y 2＝4有公共的焦点，且经过点A (2，1)的椭圆的方程为 ．6.△ABC 的三边a ＞b ＞c 且成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，求顶点B 的轨迹方程。
2.2.1.2 椭圆及其标准方程(2)
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
a 2 b2 c 2 (a c 0, a b 0)
哪个分母大，焦点就在哪个轴上
方法总结
椭圆的定义及其标准方程是学习椭圆 其他知识的基础. 学会运用定义思考 , 有时也是相当不 错的一个思考方向 . 即把不熟悉的问题往 熟悉的方向转化 , 定义是最原始 , 也是最容 易想到的地方.
主讲人：闫天霞
天津市第四十七中学
高二数学 选修2-1
第二章
曲线与方程
2.2椭圆及其标准方程（2）
2.2椭圆及其标准方程(二)
回顾：椭圆的定义
平面内与两个定点F1 、 F2 的距离之和等于定值 2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a ＞ |F1 F2 | 。
这两个定点叫做焦点；两定点之间的距离叫做
焦距，焦距|F1 F2 |用2c（c＞0）表示。 1. 满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ 平面内----这是大前提
y
A
点A，B的坐标分别是（-1，0）， （1，0），直线AM，BM相交于 点M，且直线AM的斜率与直线BM 的斜率的商是2，那么点M的轨迹 是什么？为什么？
思考题答案
思考题:点A，B的坐标分别是（-1，0），（1，0），直 线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的 斜率的商是2，那么点M的轨迹是什么？为什么？
例题讲解
例1 （ 1 ）已知椭圆的两个焦点 坐标分别是( 2,0), ( 2,0) 5 3 并且经过点( , ), 求它的标准方程。 2 2 解：因为椭圆的焦点在 x轴上，所以设它的标准 方程为 x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b 由椭圆定义知
5 3 2 5 3 2 2 2 2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10 . 2 2 2 2 a 10. 又 c 2, b 2 a 2 c 2 10 4 6 x2 y2 因此，所求椭圆的标准 方程为 1 10 6
§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)
MF + MF2 = 2a(2a > 2c > 0) 1
y y
a b F co 1
M M
F2 x
F 2
M
o
F 1
x
y2 x2 x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 2 a b a b
Q P ( x0 , y0 )在圆 x 2 + y 2 = 4上
2 2
y M 0
D
P
代 入 法
x
将 x0 = x ,
y 0 = 2 y代入上述方程 x2 + y2 = 1 4
得 x 2 + 4 y 2 = 4即
设点A 的坐标分别为（ ），（5 例4 设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）. 直线AM BM相交于点 AM， 相交于点M 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 − 4 ，求 9 的轨迹方程. 点M的轨迹方程. y
【课前练习】 课前练习】
x2 y 2 过 ， ， 1.(09山东 设椭圆 山东)设椭圆 山东 设椭圆E: 2 + 2 = 1 (a,b>0)过M(2， 2 )， a b N( 6 ,1)两点，O为坐标原点， 两点， 为坐标原点 为坐标原点， 两点 （I）求椭圆E的方程； ）求椭圆 的方程； 的方程 2 2 x y 两点, ， ， 两点 因为椭圆E: 2 + 2 = 1过M(2， 2 )，N( 6 ,1)两点 解:因为椭圆 因为椭圆 a b
PD， 为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD中点 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的坐标为(x,y)，点P的坐标为 ( x0 , y0 ) 解：设点M的坐标为 设点 的坐标为 ， 的坐标为 则
2.2.1椭圆及其标准方程(二)2
2.2.1椭圆及其标准方程（二）【教学目标】1.理解椭圆的定义及标准方程；2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程；3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学科素养】数学抽象、逻辑推理，数学运算.【教学重点】椭圆的定义及标准方程的推导.【教学难点】理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学法指导】教师启发讲授，学生探究学习.复习回顾问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？新知探究例2：如图，在圆422=+y x 上任意取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？ 点评：相关点法（代入法）（设计意图：利用直线中点坐标公式，探求动点轨迹）变式训练2：教材第50页B 组第一题例3：如图所示，设A ，B 的坐标分别是()()0,5,0,5-，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94-，求Ｍ点得轨迹方程。
（设计意图：把直线相关知识与椭圆结合到一起，加强知识之间的联系，以此培养学生 的知识串联能力）点评：参数法变式训练3：(教材第42页练习第4题)小结：求解与椭圆相关的轨迹问题的方法1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）1,4==b a ，焦点在x 轴上；（2）15,4==c a ，焦点在y 轴上；（3）52,10==+c b a2、椭圆2211625x y +=的焦点坐标为（ ）A (0, ±3)B (±3, 0)C (0, ±5)D (±4, 0)3、在方程22110064x y +=中，下列a, b, c 全部正确的一项是（ ） A a=100, b=64, c=36 B a=10, b=6, c=8C a=10, b=8, c=6D a=100, c=64, b=36 教材第42页练习第1题、第3题.课堂小结1.椭圆的概念及标准方程；2.求椭圆方程的方法.作业布置 习题2.2A 组5 、7板书设计椭圆及其标准方程1、椭圆的定义 例2： 例32、椭圆的标准方程课后感悟。
说课：椭圆及其标准方程 (2) 公开课一等奖课件PPT
二、过程意识
3、练习巩固，感悟新知----知识的运用
（1）写出适合下列条件的椭圆的标准方程（课本P40）
①a=4，b=1，焦点在x轴上
②a=4，c= 15 ，焦点在y轴上
如果该椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么P到
另一个焦点F2距离是---------------
（2）已知椭圆两个焦点的坐标分别为 (2,0),(2,0) ，并
图1
二、过程意识
现在请同学们将细绳的两端拉开一段距离，分别固 定在圆板的两点F1、F2处，移动笔尖一周，看看这时笔 尖画出的轨迹是什么图形？
这时候动点P满足的几何条件又是什么？学生不难说 出动点到两定点距离之和等于定长（常数）。
这时根据学生回答的情况结合
教具的演示让学生直观感知，假如 绳子的的长度（常数）小于或等于
36 16
36 16
D. x2 y2 1
64 4
二、过程意识
（4）如图：画出所给的椭圆的焦点的位 置，并说明理由。（补充练习）
y
x o
二、过程意识
说明：这个环节结合教学目标对教材例题、习 题进行了重组和加工，以学生的练习、感悟为 主，不预设例题，那个题目需要分析、讲解由 课堂实际而定，另外练习尽可能体现题形多样 性和层次性，以满足不同层次的学生的需要。 分析解答中注意发现学生思维的闪光点，注意 不同思维、方法的碰撞。 设计意图：不同于以往，这个环节通过放手让 学生自己练习、感悟，让学生在“游泳中学会 游泳”，以增强对学生能力培养的针对性和实 效性。
三、探究意识
y p
o
课外探究(2)
设计意图：通过创造性的使用 教材,一方面使针对教材内容所 开展的探究性活动成为一种真 x 实的可能；另一方面通过这样 的设计可逐渐培养学生自主学 习、自我探索的良好习惯，并 最终从根本上转变学生的学习 方式，同时为对学生数学学习 的过程性评价找到一种比较好 的形式和一个很好的落脚点。
椭圆的定义及其标准方程2 PPT
五、作
1.椭圆2x2 3y2 6的焦距是（ A ）
A. 2
B.2( 3 2 )
C 2 5 D.2( 3 2 )
2．已知椭圆经过点(2,1)，且满足
a b
2，则它的
标准方程是（ D ）
A. x2 y2 1
82
B.
4x2 y2 1 17 17
C 或 D 或 x2 y 2 1 82
x2 y2 1 20 4
4、P为椭圆
x2 5
y2 4
1
上的点，F1, F2是两焦点，
若 F1PF2 30，则 F1PF2 的面积是（ B ）
A 16 3 B 4(2 3) C 16(2 3) D 16 3
5已的知取c值是范椭围圆是ax 22
y2 1(a b 0)
b（2 D ）
的半焦距,则 b c
4x2 y2 1 17 17
x2 y2 1 82
4 y2 x2 1
17 17
3、若椭圆两焦点为F(-4,0),F(4,0),P在椭圆上,
且△PFF的最大面积是12.则椭圆方程是( C )
A B C D x2 y 2 1 36 20
x2 y2 1 28 12
x2 y2 1 25 9
a
A (1, +∞) B ( 2, ) C (1, 2) D (1, 2]
6.已F1知的F直1、线F与2椭是圆椭交圆于1x62M、y92 N两1的点两，个则焦△点M，N过F2 的周长为（ B ）
A.8
B.16
C.25
D.32
❖ 2、若P(-3,0)是圆 x2 y2 6x 55 0 内一定点，
动圆M与已知圆相内切且过P点，求动圆圆心
M的轨迹方程。
椭圆及其标准方程2
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， ＋ ＋
整理得： 整理得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．
步骤五：化简方程 步骤五： 因为a2(a2－c2) ≠0，所以两边同除以 a2(a2－c2)得：2 2
x y + 2 2 =1 2 a a −c
2 c x a a + + y c
2 2
(3 )
k 2 =
(x )得
+ a y
2
+ c ：
2
)
2
(4 )
a +
2
(3
+
2 2 2
)代
入
(4
2
(x + c
a =
2
)
2
c x a
2 c x + c − c
2
=
2
+
2
2 c x +
2
x
2
(a
x a
)x
y 2 − c
2
+
2
y
a 法
(a
一
a
2
− c
)
+
a
2
= 1下
养学生勇于探索，敢于创新的精神．
学习重点： 学习重点：
1、椭圆的定义 2、椭圆的标准方程
学习难点： 学习难点：
椭圆标准方程的推导
问题：
2011年11月1日，中国“神州8号”飞船发射成功，标 志着中国已经初步掌握空间交会对接能力，拥有建设简易空间实 验室，即短期无人照料的空间站的能力。请问：“神州8号”飞船 绕着什么飞行？运行的轨迹是什么？
椭圆及其标准方程2
如何得出椭圆的方程？根据曲线方程的一般步骤，可分为：
Ⅰ 建系设点
Ⅱ找等量关系 Ⅲ 列出代数方程 Ⅳ 化简方程等
Ⅰ 建系设点
遵循简单和优化的原则，充分利用图形的对称性，所以 我们可以选以两定点F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直 Y 平分线为Y轴，建立如图所示直角坐标系。 设 M(x,y)为椭圆上任意一 点，令|F1F2|=2c,则可得 F1（-c,0）,F2(c,0). F （ 1 -c,0） M(x,y)
棍上的两点F1、F2 [3]用铅笔尖（M）把 细绳拉紧，在板上慢 慢移动看看画出的图 形
M F1 F2
动画
探索新知
㈠ 椭圆定义：平面内与两定点F1、F2的距离之和等于
常数2a （ 2a大于|F1F2|）的点轨迹叫做椭圆。这两个定 点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距,记作2c。 若动点M满足条件:
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
y2 x2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 0,- c ，F2 0,c
a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
课后作业：
1．课堂作业：习题8.1：2，3.
2．课下作业 ：思考题
动圆与定圆 x 2 + y 2 4 y 32 0 相内切且过定圆内的一个定点A（0，-2）． 求动圆圆心P的轨迹方程．
下课啦！同学们再相会！
感谢大家的光临，请多提宝贵意见！
1)两个焦点分别是 F1(-3，0)， F2(3，0)，
且过点P (5,0),
x2 y2 设椭圆标准方程为: 2 + 2 1 a b 法二: c=3 PF + PF 2a
1 2
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x2 y 2 备选问题：已知经过椭圆 1的右焦点F2作垂直于x轴的 100 36 直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则AF1B的
40 周长为_____.如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长有变化吗？为
什么？
不会，因为AF1B周长＝AF1 F1B BF2 F2 A 4a
F1
F2
以椭圆两焦点F1，F2所在的直线为X轴，线段F1F2的垂 （）建系：_______________________________________ 1
直平分线为Y轴 _______________,建立直角坐标系。 （2）设点：设M(x,y)是椭圆上任意一点，焦距为2c(c>0),那么焦点 F1，F2的坐标分别是（-c，0），（c，0） ，设M与焦点F1，F2的距离 的和为 2a （其中 a c），
尝试练习一：1、在下列方程中，哪些是 椭圆的标准方程？如果是，请找出a,b,c 的值.
(1) (3) x
2
2
y
2
0
2
25 x 25
4 y 1 4
(2) (4)
x x
2
2
y y
2
1
2
16 2
9 1 9
2、根据椭圆的方程填空
x2 y2 (1) 1 100 36
则a 10 b 6 c 8 焦点坐标 (8,0),(8,0)
（2，0），并且经过点
求它的标准方程。
尝试练习二 写出适合下列条件的椭圆的标准方程
2
x 2 y 1 （1）a 4, b 1, 焦点在x轴上：________________ 16 2 y 2 x 1 16 （2）a 4, c 15，焦点在y轴上：________________
取一条定长的细绳,把两端拉开一段距离分别固定 在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔 尖，画出的是什么图形？该曲线满足的条件是什 么？
P M
MF1 MF2 定值
几何画板演示2
平面内与两定点的距离之和等于 大于F1F2 ) 常数 (的点的轨迹叫做椭圆。 M
这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
o （c,0）
F2
x
(4)化简：
2 2a （x-c） y 2 移项： （x+c） y _________________;
2 2
2 2 2 方程两边平方:（x+c） y 2 4a 2 4a （x c） y 2 x c） y 2 （ 2 2 整理移项: a （x c） y 2 ___________ a cx
上式两边再平方，得:a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y 2 a4 2a2cx c2 x2
a 2 c 2 ）x2 ( a 2 ) y2 a2 ( a 2 c 2 ) 整理得: （
x2 y2 2 2 2 两边同除以 ___________ ，得 2 2 1 a（a c ） 2 a a c 由2a 2c,即a c，所以a 2 c 2 0,
y y
A
A
F1 o
F2
B
x
F1 o
F2
B
x
1、椭圆的定义---注意：动点到两个定点的距离之和必 须大于两个定点的距离 2、焦点在x轴和y轴上的椭圆的标准方程分别为：
x2 y 2 y 2 x2 2 1， 2 2 1， a b 0) （ 2 a b a b
3、a, b, c之间的数量关系是a2 b2 c2，a b, a c
x2 y2 (2) 1 5 8
则a 2 2 b 5 c 3 焦点坐标 (0, 3),(0, 3)
(3)4 x 2 9 y 2 36
则a 3 b 2 c 5 焦点坐标 ( 5,0),( 5,0)
例题分析：
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2，0），
3 5 , , 2 2
y
M x, y
P M MF1 MF2 定值 （3）列式：由定有________________________, 2 2 （x+c） y 2 （x-c） y 2 2a 由距离公式有______________________________
（ c,0 ）
F1
x2 y 2 令b2 a 2 c 2，则 2 2 1 (a b 0) a b
思考
x2 y2 1、对于椭圆的标准方程 2 2 1(a b 0) 中的两个字母 a , b a b 及 c ，①结合“下图与椭圆方程的推导过程”，指出 a, b, c 分别指
1 1 的哪条线段 a PF PF2 , b OP , c OF OF2
x2 y2 y2 x2 1或 1 16 9 16 9 （3）a 4, c 7，焦点在坐标轴上：___________________
尝试练习三
1、一动点到两点 A 0, 4 , B 0, 4的距离之和为10 ，
x2 y2 1 . 9 25
则它的轨迹方程方程为
x0 2 x, y0 y
P( x0 , y0 )在圆x 2 y2 4上
2 2 x0 y0 4
y0 x x0 , y 2
y M
辅 助 点 法
x
P
将x 0 x ,
y0 2 y代入上述方程 x2 y2 4 y 2 4即
；
②它们之间的数量关系是 a
y
2
b c
2
2
。
P
j
F1
O
F2
x
y 2 x2 2 1 2 a b 2. 若焦点在y轴上，类似的求出椭圆方程为___________
标准方程 不 同 点
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
（思考）距离之和为8时，轨迹方程为
线段AB
.
2、如果椭圆
x2 y2 1上一点P到焦点 100 36
F1的距离等
于6，那么点P到另一个焦点的距离是 14 .
x 2 y 2 4 上任取一点P，向x轴作垂线段 例2 在圆
PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为 x0 , y0 则
y
y
M
F2
图形
F1
F2
x
F1
M
x
焦点坐标
定义
F1 c,0
F2 c,0
F1 0, c
F2 0, c
共 同 a、b、c 点 的关系
焦点位置 的判定
MF1 MF2 2a a 2c （2 ）
a 2 b2 c 2 (a b 0, c 0)
焦点在大数对应的轴上