第2课椭圆及其标准方程(2)
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。
椭圆的定义让我们可以从几何的角度来理解它，但更重要的是要掌握椭圆的数学性质和标准方程。
接下来，我们将详细介绍椭圆的数学性质和标准方程。
首先，我们来看椭圆的标准方程(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
这个方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。
通过这个方程，我们可以确定椭圆的位置、形状和大小。
其次，椭圆的离心率是一个重要的概念。
离心率e定义为焦点到中心的距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
离心率描述了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
另外，椭圆还有一个重要的性质是它的对称轴。
椭圆有两条对称轴，分别是x 轴和y轴，它们通过椭圆的中心，并且与椭圆的长轴和短轴垂直。
对称轴对于研究椭圆的性质和方程都有重要的作用。
除此之外，椭圆还与焦点、直径、引线等概念有着密切的联系，这些概念都是理解和研究椭圆的重要工具。
总之，椭圆是数学中重要的曲线之一，它有着独特的数学性质和几何特征。
通过掌握椭圆的标准方程和数学性质，我们可以更深入地理解和研究椭圆，为数学和科学的发展做出贡献。
希望本文对你对椭圆及其标准方程有所帮助，谢谢阅读！。
《椭圆及其标准方程》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第2课时)
PF1 PF2 16(2 3),
S
F1PF2
1 2
PF1
PF2 sin30 8 4
3.
巩固练习
例3:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程. 解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则B､C两点的坐标分
别为(-4,0)､(4,0).
|PA|,由于圆P与圆C相内切, ∴|PC|=r-|PA|, 即|PA|+|PC|=r=6. 因此,动点P到两定点A(0,2)､C(0,-2)的距离之和为6, ∴P的轨迹是以A､C为焦点的椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,∴b2=5.
∴所求动圆圆心P的轨迹方程为 x2 y2 1. 59
巩固练习
例3.如图，已知点A（-5，0），B（5，0）.直线AM，BM交于点M,且它们的斜率之积是- 4/9，求 点M的轨迹方程.
y M
直译法
A
O
B
x
巩固练习
练习：已知x轴上一定点A 1, 0, Q为椭圆 x2 y2 1
4 上任一点, 求AQ的中点M的轨迹方程.
[解]设中点M的坐标为x, y,点Q的坐标为x0, y0 ,
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
2.2.1椭圆及其标准方程第二课时
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
定义
图形 方程 焦点 a,b,c之间的关系
椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
§2.2.1椭圆及其标准方程（2）编写：英德市第二中学，叶加修；审核：英西中学，刘东【学习目标】熟练椭圆方程的求解【知识回顾】1. 椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3.小结：【新知构建】用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上．(2)设方程：①依据上述判断设方程为 或 ．②在不能确定焦点位置的情况下也可设 ．(3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组．(4)解方程组，代入所设方程即为所求．例1 已知圆A ：(x ＋3)＋y ＝100，圆A 内一定点B(3，0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．例2 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．小结： 22125169x y +=【当堂练习】1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．小结：【课后作业】1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为( ) A ．5或3 B ．8 C ．5 D ．32. 如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0，1)3.椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．284. 一动圆过定点A (1，0)，且与定圆(x ＋1)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心轨迹方程是__________．5. 与椭圆x 2＋4y 2＝4有公共的焦点，且经过点A (2，1)的椭圆的方程为 ．6.△ABC 的三边a ＞b ＞c 且成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，求顶点B 的轨迹方程。
2椭圆及其标准方程
2椭圆及其标准方程椭圆是平面几何中的一种特殊曲线，由一个固定点F（称为焦点）和一个固定直线L（称为准线）上的所有点P的位置关系定义。
对于任意点P，它到焦点F和准线L的距离之和等于常数2a，即PF+PL=2a。
首先，我们来定义椭圆的标准方程。
一个椭圆的标准方程如下：(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1其中，(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是椭圆的半径（轴长）。
通过标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要性质和特征。
1.中心坐标：椭圆的中心（h,k）是标准方程的两个平方项的系数的相反数，即(h,k)=(0,0)或(h,k)=(h,k)。
2.长轴和短轴：对于椭圆的标准方程，如果a>b，那么轴长a是椭圆的长轴，轴长b是椭圆的短轴。
反之，如果a<b，则轴长a是椭圆的短轴，轴长b是椭圆的长轴。
3.焦点坐标：标准方程中的a和b决定了椭圆的焦点坐标。
假设椭圆的中心是（h,k），那么焦点坐标可以通过以下公式计算：F = (h ± ae, k)其中e是椭圆的离心率，e=c/a，c是焦距，c^2=a^2-b^24.坐标轴与方位角：椭圆的标准方程与X轴和Y轴平行。
通过坐标轴与椭圆的交点，我们可以确定椭圆的方位角α。
如果a是椭圆的长轴，则α是X轴与长轴之间的夹角。
如果a是椭圆的短轴，则α是Y轴与短轴之间的夹角。
5.离心率：椭圆的离心率e=c/a决定了椭圆的形状。
当e=0时，椭圆退化为一个圆。
当0<e<1时，椭圆是一个实心的闭合曲线。
当e=1时，椭圆退化为一个抛物线。
当e>1时，椭圆是一个开放曲线，具有两个分离的曲线段。
6.曲率：椭圆上的曲率是指在其中一点的切线的弯曲程度。
在椭圆的两个焦点上，曲率最大；在椭圆的两个准线上，曲率最小。
7.相交角：两个椭圆可以相交，相交的部分被称为交点。
交点的个数和位置取决于两个椭圆的大小和位置相对于彼此。
总结起来，椭圆是一个具有特定形状和性质的图形。
椭圆及其标准方程二
第 8页
高考调研 · 高三总复习 · 数学 （理）
椭圆的弦长 AB 为椭圆的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0， y0)． (1)弦长 l＝|x 1－x2| 1＋k2＝|y 1－y2| b2x0 (2)kAB＝－ 2 . a y0 1 1＋ 2 . k
b2x0 (3)直线 AB 的方程：y－y0＝－ 2 (x－x0)． a y0 a2y0 (4)直线 AB 的垂直平分线方程：y－y0＝ 2 (x－x0)． b x0
基础知识
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高考调研 · 高三总复习 · 数学 （理）
x2 y2 椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的参数方程为 a b x＝acosθ (θ是参数)． y＝bsinθ
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高考调研 · 高三总复习 · 数学 （理）
x2 y2 点 P(x0，y0)和椭圆a2 ＋b2＝1(a>b>0)的关系： x02 y02 (1)P(x0，y0)在椭圆内⇔ a2 ＋ b2 <1． x02 y02 (2)P(x0，y0)在椭圆上⇔ 2 ＋ 2 ＝1． a b x02 y02 (3)P(x0，y0)在椭圆外⇔ a2 ＋ b2 >1．
x2 y2 35)＝1 404>0 ，∴直线 y＝2x－1 与椭圆 ＋ ＝1 相交． 9 4 方法二：∵直线方程 y＝2x－ 1 过点(1，1)，而 (1，1)在椭圆内部，故选 A.
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高考调研 · 高三总复习 · 数学 （理）
解析 方法一：∵直线方程 y＝2x－1 过点 (1，1)，而(1，1)在椭 圆内部，故选 A. y＝2x－1， 方法二： 由 x2＋y2＝1 得 10y2＋2y－35＝0， Δ＝22－4×10×(－ 9 4 x2 y2 35)＝1 404>0，∴直线 y＝2x－1 与椭圆 ＋ ＝1 相交． 9 4
说课：椭圆及其标准方程 (2) 公开课一等奖课件PPT
二、过程意识
3、练习巩固，感悟新知----知识的运用
（1）写出适合下列条件的椭圆的标准方程（课本P40）
①a=4，b=1，焦点在x轴上
②a=4，c= 15 ，焦点在y轴上
如果该椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么P到
另一个焦点F2距离是---------------
（2）已知椭圆两个焦点的坐标分别为 (2,0),(2,0) ，并
图1
二、过程意识
现在请同学们将细绳的两端拉开一段距离，分别固 定在圆板的两点F1、F2处，移动笔尖一周，看看这时笔 尖画出的轨迹是什么图形？
这时候动点P满足的几何条件又是什么？学生不难说 出动点到两定点距离之和等于定长（常数）。
这时根据学生回答的情况结合
教具的演示让学生直观感知，假如 绳子的的长度（常数）小于或等于
36 16
36 16
D. x2 y2 1
64 4
二、过程意识
（4）如图：画出所给的椭圆的焦点的位 置，并说明理由。（补充练习）
y
x o
二、过程意识
说明：这个环节结合教学目标对教材例题、习 题进行了重组和加工，以学生的练习、感悟为 主，不预设例题，那个题目需要分析、讲解由 课堂实际而定，另外练习尽可能体现题形多样 性和层次性，以满足不同层次的学生的需要。 分析解答中注意发现学生思维的闪光点，注意 不同思维、方法的碰撞。 设计意图：不同于以往，这个环节通过放手让 学生自己练习、感悟，让学生在“游泳中学会 游泳”，以增强对学生能力培养的针对性和实 效性。
三、探究意识
y p
o
课外探究(2)
设计意图：通过创造性的使用 教材,一方面使针对教材内容所 开展的探究性活动成为一种真 x 实的可能；另一方面通过这样 的设计可逐渐培养学生自主学 习、自我探索的良好习惯，并 最终从根本上转变学生的学习 方式，同时为对学生数学学习 的过程性评价找到一种比较好 的形式和一个很好的落脚点。
椭圆及其标准方程(第二课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
围是 (1,2.)
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a= ,b=1,焦点在x轴上;
(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.
(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点；
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
答案：(1)
(3)
x2 y2 1 6
x2
y2
1
16 12
y2 x2
(2)
1
25 16
(4) x2 + y2 =1 49
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a, b的值.
例3 ：将圆 x 2 y 2= 4上的点的横坐标保持不变，
纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，
则其焦距为（A） 8 m2
A.2 8 m2
B.2 2 2 m
C.2 m2 8
D. 2 m 2 2
4. a 6, c 1 ,焦点在y轴上的椭圆的标准方程
是
y2 x2 1
__3_6___35____.
例24 已知圆A：(x＋3)＋y＝100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程．
并且CF1=2,则CF2=_8__.
变题： 若椭圆的方程为16 x2 9y2 144 ,试口答完成（1）.
x2 y2 1 9 16
探究: 若方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴上的椭圆， k 2 3k
求k的取值范围; 若方程表示椭圆呢?
例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上；
高二数学椭圆及其标准方程2
把平面内与两个定点F1、F2的距离之和 （2a）等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫 做椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦 点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）
思 考
当2a=2c或2a<2c时情况将有什么变化?
M直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系,则F1(-c,0)，F2(c,0). 设M(x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆定 义得：
练习：
(1)、如果方程
x2
2
y2
1
1 表示
的曲线为椭圆，则λ的取值范围是 _________；
若表示焦点在x轴上的椭圆，则 ____________。
1 (2)AB是过椭圆 x2
y2
9 25
的左
焦点F1的弦, 则△ABF2的周长是多少?
1 (3)椭圆
x2 25
y2 16
的焦点是
F1, F2，P在椭圆上,若PF1的中点在Y轴 上,则|PF1|:|PF2|=______?
1、b2+c2=a2 2、焦点坐标：F1(0，-c)，F2(0，c)
例1 写出适合下列条件的椭圆标准方程：
(1)两个焦点的坐标为(-4,0)、(4,0)，椭圆 上一点P到两焦点的距离和为10；
(2)两焦点坐标为(0，-2)，(0,2)，并且椭 圆过点( 3 , 5 )
22
(3) 2b=6，两个焦点间的距离为8。
求轨迹（曲线）方程的一般步骤 （1）建立适当的坐标系，并设轨迹上任一点M （x，y）
（2）写出适合条件P的点的集合P{M|p(M)}
（3）用坐标表示条件p(x),列出方程f(x,y)=0 （4）化简f(x,y)=0为最简形式
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第2课 2.1.1椭圆及其标准方程（2）
类型四、与椭圆有关的轨迹问题
【课堂主体参与】
例1、（课本P34例2）在圆42
2=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 中点M 的轨迹是什么？为什么？
练习1、（课本P43 B 组第1）如图，x DP ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且2
3=DP DM
，当点P 在圆422=+y x 上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 与上述例题相比，你有什么发现？
例2、（课本P35例3）设点B A ,的坐标分别为)0,5(),0,5(-. 直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94-
，求点M 的轨迹方程.
练习2、已知ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为()()0,5,0,5-，且BC AC ,所在直线斜率之积等于)0(<m m ，试探究顶点A 的轨迹.
练习3、课本P36练习4
例3、（课本P42第1题）如果点),(y x M 在运动过程中，总满足关系式
10)3()3(2222=-++++y x y x ，点M 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.
练习3、（课本P42第7题）
如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点. 线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？为什么？
【课堂检测反馈】 1、已知两定点)0,2(),0,2(21F F -，动点M 到两定点的距离之和为M
2、已知 ∆ABC 的周长为36，求∆ABC 的顶点C 的轨迹方程。
【拓展深化】
1、求过点)0,2(A 且与圆03242
2=-++y x x 内切的圆的圆心C 的轨迹方程.
2、一动圆与已知圆1)3(:221=++y x O 外切，与圆81)3(:222=+-y x O 内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程. A P O
Q l。