椭圆及其标准方程教案
椭圆及其标准方程教案
《椭圆的标准方程》教案一、教学目标 （一）知识目标1、理解并掌握椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念。
2、掌握椭圆的标准方程。
（二）能力目标培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
（三）德育目标1、使学生认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的。
2、使学生通过运动规律，认清事物运动的本质。
二、教学重、难点及关键1、重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。
2、难点：椭圆标准方程的推导。
3、关键：突破难点要抓住“建立坐标系”和“化简方程”两个环节。
三、教学方法主要采用探究实践、任务驱动，启发与讲练相结合。
四、教具：主要采用多媒体课件 五、教学过程1、复习回顾：（1）点M 和N 的坐标分别为()()1122,,,x y xy 说出M 和N 两点之间的距离公式。
（2）求曲线方程的步骤是什么？（3）说出圆的定义和标准方程。
2、创设情景、引入概念（多媒体演示）茶叶罐、油罐车的横截面图片、神州六号绕地球运行的动画，描绘出运行轨迹。
提问：茶叶罐、油罐车的横截面、神州六号飞船的运行轨迹是什么图形？（椭圆）（板书课题）。
3、尝试探究、任务驱动、合作讨论，形成概念让学生拿出课前准备的纸板、细绳、图钉，教师先用多媒体演示画法，再让学生动手画椭圆，同时提醒学生注意绳长要大于两图钉之间的距离。
并让学生思考：椭圆上的点满足什么条件？教师启发、提问，并由学生分组讨论归纳出椭圆的定义，并写出定义式。
定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数2a （大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆。
其中两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距，记为2c 。
|MF 1|+|MF 2|=2a 4、标准方程的推导1、回顾求曲线方程的一般步骤（建系---设点---列式---化简）并将定义式坐标化。
()()a yc x yc x 22222=+-+++让学生化简该式，教师予以适当的点拨，得到：()()22222222caaya xca-=+-。
(完整)椭圆及其方程教案
椭圆及其标准方程一、教学目标 (一）知识目标1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及推导；2、掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距； (二)能力目标通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力; (三）学科渗透目标通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力二、教材分析1．重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程．（解决办法:用模型演示椭圆,再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．）2．难点:椭圆的标准方程的推导．(解决办法：推导分4步完成，每步讲解，关键步骤加以补充说明．） 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因． (解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)三、教学过程（一）创设情境,引入概念1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。
2、实验演示。
思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？ （二）实验探究，形成概念1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。
实验探究:保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离,画出的椭圆有什么变化？ 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹?2、概括椭圆定义引导学生概括椭圆定义M2F1F椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆. 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质? 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ （三）研讨探究，推导方程1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？2、研讨探究问题：如图已知焦点为21,F F 的椭圆，且21F F =2c,对椭圆上任一点M ，有a MF MF 221=+，尝试推导椭圆的方程。
思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简。
椭圆及其标准方程(优秀获奖教案)-椭圆及其标准方程教案
2.2.1椭圆及其标准方程（1）教学目标:重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：椭圆标准方程的建立和推导．知识点：椭圆定义及标准方程.能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情.自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义；2.探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法.考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错.拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课【创设情景】材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.材料2：20XX 年6月16日下午18时，“神州九号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州九号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州九号”运行轨道图片．【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆.通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想. 思考1:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?思考2:在圆的学习中我们知道,平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆． 学生分组做试验,教师同时做好指导:按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究.（提醒学生：作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件）思考:点M 运动时，12,F F 移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3.当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程， 师生共同总结规律：当1212||||||MF MF F F +> 时,M 点的轨迹为椭圆；当1212||||||MF MF F F +=时,M 点的轨迹为线段1F 2F ； 当1212||||||MF MF F F +<时,M 点的轨迹不存在． 【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．二、探究新知 （一）归纳定义思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？设椭圆上任一点为M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+【设计意图】通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.（二）椭圆标准方程的推导复习提问求曲线方程的一般步骤：（教师提问，针对对于学生回答情况做一总结） （1）建系、设点;（2）写出点的集合;（3）列式;（4）化简;（5）证明. 思考：如何建系，才能使求出的方程最简呢？由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较。
《椭圆及其标准方程》教案
《椭圆及其标准方程》教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程。
（2）能根据椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标、焦距等相关量。
2、过程与方法目标（1）通过动手操作，经历椭圆的形成过程，培养学生的动手能力和观察分析能力。
（2）通过椭圆标准方程的推导，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。
（2）通过小组合作学习，培养学生的合作精神和创新意识。
二、教学重难点1、教学重点（1）椭圆的定义。
（2）椭圆的标准方程及其推导。
2、教学难点（1）椭圆标准方程的推导。
（2）椭圆标准方程中 a、b、c 的关系及应用。
三、教学方法讲授法、探究法、演示法、讨论法四、教学过程1、导入新课通过展示生活中常见的椭圆形状的物体，如椭圆形的镜子、椭圆形的赛道等，引出本节课的主题——椭圆。
2、椭圆的定义准备一根绳子，将其两端固定在黑板上的两点 F1、F2，用铅笔拉紧绳子，移动铅笔，画出一个封闭的曲线。
让学生观察这个曲线的形状，引出椭圆的定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，记为 2c。
强调定义中的关键条件：（1）平面内。
（2）两个定点。
（3）距离之和为常数且大于焦距。
3、椭圆的标准方程（1）建系以经过椭圆两焦点 F1、F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系。
设椭圆的焦距为 2c（c>0），椭圆上任意一点 M 的坐标为(x,y)，焦点 F1、F2 的坐标分别为(c,0)、（c,0)。
（2）推导方程根据椭圆的定义，｜MF1| ＋｜MF2| ＝ 2a（2a ＞ 2c），则：＼（＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2} ＋＼sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2} ＝ 2a\）移项平方可得：＼（（＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2}）＾2 ＝（2a ＼sqrt{（x c)＾2＋ y^2}）＾2\）展开并整理得：＼（a^2 cx ＝ a\sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2}＼）再平方并整理得：＼（（a^2 c^2)x^2 ＋ a^2y^2 ＝ a^2(a^2 c^2)＼）因为\（b^2 ＝ a^2 c^2\）（其中 b>0），所以方程可化为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（a>b>0）这就是焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程。
椭圆及其标准方程讲课教案
椭圆及其标准方程讲课教案一、教学目标：1. 让学生理解椭圆的定义及其性质。
2. 引导学生掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用椭圆知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆的定义与性质2. 椭圆的标准方程3. 椭圆方程的求法4. 椭圆的应用三、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的定义、性质、标准方程及其求法。
2. 难点：椭圆方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究椭圆的定义与性质。
2. 利用图形演示法，让学生直观理解椭圆的标准方程。
3. 运用案例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
4. 采用小组讨论法，促进学生合作学习。
五、教学过程：1. 导入：通过展示生活中的椭圆实例，引导学生思考椭圆的定义。
2. 新课讲解：(1) 讲解椭圆的定义，引导学生理解椭圆的基本性质。
(2) 讲解椭圆的标准方程，让学生掌握椭圆方程的表示方法。
(3) 讲解椭圆方程的求法，引导学生学会运用数学方法解决问题。
3. 案例分析：分析实际问题，运用椭圆知识解决问题。
4. 巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调重点与难点。
6. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固椭圆知识。
六、教学目标：1. 让学生掌握椭圆的焦点和准线的概念。
2. 引导学生了解椭圆的离心率及其求法。
3. 培养学生运用椭圆的性质解决几何问题的能力。
七、教学内容：1. 椭圆的焦点和准线2. 椭圆的离心率3. 椭圆的参数方程4. 椭圆的图像特点5. 椭圆的应用八、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的焦点、准线、离心率的概念及其应用。
2. 难点：椭圆的参数方程及其图像特点。
九、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究椭圆的焦点和准线。
2. 利用几何画图软件，演示椭圆的焦点和准线。
3. 运用案例分析法，让学生运用椭圆性质解决几何问题。
4. 采用小组讨论法，促进学生合作学习。
十、教学过程：1. 导入：通过复习上一节课的内容，引导学生思考椭圆的焦点和准线。
椭圆及其标准方程教案
椭圆及其标准方程教案教案标题：椭圆及其标准方程教案教案目标：1. 了解椭圆的定义及其特征。
2. 理解椭圆的标准方程及其图像。
3. 掌握椭圆的重要性质和相关计算方法。
4. 能够应用椭圆的知识解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教师课件、教材、黑板、彩色粉笔、计算器等。
2. 学生准备：学生课本、笔记本、铅笔、直尺、圆规等。
教学过程：Step 1：引入椭圆的概念（10分钟）1. 教师通过引入椭圆的实际例子，如行星轨道、地球的椭圆形轨道等，激发学生对椭圆的兴趣。
2. 教师简要介绍椭圆的定义和特征，如离心率小于1、焦点和直径等。
Step 2：椭圆的标准方程（15分钟）1. 教师详细讲解椭圆的标准方程：x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2. 教师通过示例演示如何根据椭圆的特征确定标准方程中的参数a和b。
Step 3：椭圆的图像（15分钟）1. 教师指导学生绘制椭圆的图像，包括如何确定椭圆的中心、半长轴和半短轴等。
2. 学生根据教师的指导，使用直尺、圆规等工具绘制椭圆，并在图上标注相关参数。
Step 4：椭圆的性质和计算方法（20分钟）1. 教师介绍椭圆的重要性质，如焦点、顶点、离心率、直径等，并解释其意义。
2. 教师讲解椭圆的计算方法，如计算椭圆的周长、面积等，并通过实例演示应用方法。
Step 5：应用实例解决问题（20分钟）1. 教师提供一些实际问题，如椭圆的应用于建筑设计、天体运动等，引导学生运用椭圆的知识解决问题。
2. 学生个别或小组合作，通过分析问题、确定解题思路，应用椭圆的相关知识解决问题，并展示解题过程和结果。
Step 6：总结与评价（10分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并提醒学生复习重要知识点。
2. 学生进行自我评价，回答教师提出的问题，检查自己对椭圆及其标准方程的理解程度。
教学延伸：1. 鼓励学生在课后进一步研究椭圆的相关内容，并尝试解决更复杂的问题。
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
椭圆及其标准方程教案
椭圆及其标准方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解椭圆的定义及其性质；（2）掌握椭圆的标准方程及其求法；（3）能够运用椭圆的标准方程解决相关问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力；（2）利用数形结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学内容1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 椭圆的性质：（1）椭圆的两个焦点在x轴上，且距离为2c；（2）椭圆的长轴为2a，短轴为2b，其中a>b>0；（3）椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
3. 椭圆的标准方程求法：（1）已知椭圆的两个焦点坐标和长轴、短轴长度，求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的离心率e和长轴、短轴长度，求椭圆的标准方程；（3）已知椭圆上的三点坐标，求椭圆的标准方程。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）椭圆的定义及其性质；（2）椭圆的标准方程及其求法。
2. 教学难点：（1）椭圆标准方程的求法；（2）椭圆性质的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究椭圆的定义、性质和标准方程；2. 利用数形结合，让学生直观地理解椭圆的性质和标准方程；3. 设计具有针对性的练习题，巩固所学知识。
五、教学过程1. 引入：通过展示椭圆的实际应用场景，激发学生的兴趣，引出椭圆的定义；2. 讲解：讲解椭圆的性质和标准方程，引导学生理解并掌握；3. 例题：讲解椭圆标准方程的求法，分析解题思路，让学生跟随解题过程；4. 练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识；六、教学策略1. 采用互动式教学，鼓励学生提问和发表见解，提高学生的参与度；2. 利用多媒体课件，直观展示椭圆的性质和标准方程，增强学生的理解；3. 注重个体差异，针对不同学生的学习水平，给予适当的指导和帮助；4. 创设情境，引导学生运用椭圆的知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
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椭圆及其标准方程一、教学目标：1．知识与技能目标：（1）掌握椭圆定义和标准方程.（2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题.2．过程与方法目标：（1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.（2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法3．情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.二、教学重点、难点：1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。
2．难点：椭圆标准方程的推导。
三、教材与教法分析（一）、教材、学习者特征分析：本节课是圆锥曲线的第一课时。
它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。
因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容；椭圆的标准方程推导过程中，化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，学生初次遇到。
（二）、教学方法和教学策略分析：探究式、启发式教学方法，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形成师生互动的教学氛围。
以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。
充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。
让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。
四、教具：多媒体直尺、细绳、钉子、笔、小木黑板第一课时五、教学过程新课引入2010年10月1日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的嫦娥二号探月卫星升上太空，在太空中探索宇宙的奥秘。
这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。
“嫦娥二号”升空后，准确的进入预定轨道，它运行中期的轨道是一个椭圆。
在宇宙中还有许多天体的运行轨道也是椭圆，生活中也有许多椭圆形的实际例子。
由此看来，若要探索浩瀚宇宙的奥秘，解决日常生活中与椭圆有关的一些实际问题，需要对椭圆这一图形进行研究。
今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆的标准方程。
那么什么是椭圆呢？（一）认识椭圆，问题引出:1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆. （演示：天体运行轨道；生活实例：平面截圆锥等图片）2．对比圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。
如果将圆的定义中的“定点”改为“两定点”，“距离”改为“距离的和”，那么平面内到两定点的距离的和等于定长的点的集合（轨迹）是什么图形？（二）动手实验，亲身体验指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征.请三名同学上台画在黑板上.注：在本环节中不急于向学生交待椭圆的定义，而是先设计一个实验，一来是为了给学生一个创造实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践，为进一步上升到理论做准备。
先在画板上点两点F1、F2，取一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F1 、F2 两点处。
【演示一】当绳长等于| F1 F2|时，使笔尖贴紧绳子慢慢移动。
（1）、观察：笔尖的轨迹是一个什么图形？明确: 一条线段（2）、这条线段上的每一个点到F1 、F2两点的距离和都相等吗？明确:相等，而且都等于这条绳长【演示二】当绳子长大于| F 1 F 2|时，用笔尖把绳子拉紧，绳子尽量贴紧画板，使笔尖在画板上慢慢移动（学生亲手画），就可以在平面内画出一个椭圆（动画演示）（三）归纳定义【引导】根据画图的过程，请同学们思考椭圆上的点有什么共同特征？ 提问：（1）在画图的过程中，绳长变了吗？ 明确: 没有（2）在画图过程中，绳子始终是紧绷的，那么我们画出的曲线上的点到F 1 、F 2两点的距离之和始终满足什么关系？明确:与绳长相等.对，绳长没有发生变化，这说明椭圆上每一点到F 1 、F 2两点的距离的和都相等，且都是绳长这一定值。
这就说明，椭圆上的点除了要满足到两定点F 1 、F 2的距离和相等之外，这个距离和还要比| F 1 F 2|大。
请大家回想刚才的画图过程，使笔尖贴紧绳子且贴紧黑板（表明在同一平面内），又保证绳长大于| F 1 F 2|，这样就在平面内画出了椭圆，所有具有这些特征的点集在一起就形成了椭圆。
再次（运用几何画板的度量工具）演示椭圆上任意一点到两焦点的距离的和都相等（为定值）。
那么请同学们给椭圆下个定义吧！ 引导学生归纳出椭圆的定义。
椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
巩固练习：平面内有两定点A 、B ，它们之间的距离为6 cm .（1）若动点P 与A 、B 两点的距离和是定值，且 大于 （填大于、等于或小于）6 cm ，则它的轨迹是椭圆，定点A 和B 是椭圆的焦点。
它们之间的距离就是椭圆的焦距。
（2）若动点P 与A 、B 两点的距离的和等于6cm,则它的轨迹是 线段AB 。
（3）若动点P 与A 、B 两点的距离的和小于6cm ，则动点轨迹 不存在 。
（四）合理建系，推导方程为了进一步研究椭圆的特征，现在我们一起来推导椭圆的曲线方程:上一节我们知道了求曲线方程第一步，建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y ）表示曲线上任意一点M 的坐标。
在这儿“适当”二字应如何体现？由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较，从中选择比较简洁优美的形式确定为标准方程.已知椭圆的焦距)0(,2||21>=c c F F ，椭圆上的动点M 到两定点1F ,2F 的距离之和为a 2，求椭圆的方程.如图1，以两个定点1F ,2F 所在直线为x 轴，线段1F 2F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．设)0(221>=c c F F ，点),(y x M 为椭圆上任意一点，则{}a MF MF M P 221=+= （称此式为几何条件） 所以，得()()a y c x y c x 22222=++++- （实现集合条件代数化）为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得()()，22222y c x a y c x +--=++ 将这个方程两边平方，得（x+c ）2+y 2 = 4a 2 －4a()2222)(y c x y c x +-++-，整理得222)(y c x a cx a +-=-上式两边再平方，得2222222222422y a c a cx a x a x c cx a a ++-=+-,整理得)()(22222222c a a y a x c a -=+-注：这是本节的难点所在，通过课堂精心设问来突破难点： 1. 化简含有根号的式子时，我们通常用什么方法？ 2. 对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？图1由于化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，估计学生容易想到直接平方，这时可让学生预测这样化简的难度，从而确定移项平方可以简化计算。
为此，我首先启发学生如何去掉根号较好，让学生动手比较，最后得出移项平方化简方程比较简单，这样有利于培养学生的分析比较能力。
方程 )()(22222222c a a y a x c a -=+- 结构较复杂，不便记忆，还可以继续化简吗？由椭圆的定义可知，2a ＞2c,即a ＞c,所以22c a -＞0两边同除以)(222c a a -，得122222=-+ca y a x . 因为22c a -＞0不妨令222bc a =-，那么所得的椭圆方程可化为：12222=+b y a x ，)0(>>b a （1） 我们称方程（1）为椭圆的标准方程.它的焦点在x 轴上。
注：这里引入正数b （令b 2=a 2-c 2）,其目的是使方程形式简单、和谐，讲究对称美，便于记忆。
同时b 具有特定的几何意义，我们将在下一小节继续学习。
对标准方程的理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。
问题：如果焦点1F ,2F 在y 轴上，且1F ,2F 的坐标分别为：（0，-c ）,(0,c), a ,b 意义同上，那么椭圆的方程是什么呢？可让学生先猜想结论：22221y x a b+=（a ＞b ＞0），并说明理由。
让学生通过对 ()()a x c y x c y 22222=++++-进行观察，与前面对比。
实际上只要将前面的x 轴与y 轴互换，就可得到焦点在y 轴的椭圆的标准方程：12222=+bx a y ，)0(>>b a （2） 两种标准方程特点的比较：1. 两个方程中都有：a 2＝b 2+c 2，a>b>0, a>c>0,b 与c 大小不定。
2. 两个方程焦点位置的确定：哪个分式的分母大，焦点就在哪个轴上。
（五）应用举例，小结升华.例.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并经过点)23,25(- ，求它的标准方程。
分析：法一：可由椭圆的定义先求出2a,又已知c,故可求出方程。
法二：由焦点坐标知道a , b 的关系，再将已知点)23,25(-代入椭圆方程。
解法一、椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+b x a y （a ＞b ＞0）. 由椭圆的定义知2a =102)23(22523)225(2222=-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++, 所以a = 10又因为c = 2 ，所以b 2 = a 2 – c 2 = 10 – 4 = 6 . 因此，所求椭圆的标准方程为161022=+y x 解法二：因为c = 2 ,所以 a 2 = b 2 + 4所以可设椭圆方程为：142222=++by b x 把点（），2325-代入，可解得b 2 = 6 .所以a 2 = 10. 因此，所求标准方程为161022=+y x .巩固练习：1．如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是 14 。
2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a = 4 ,b = 1 ,焦点在x 轴上； 明确： 11622=+y x （2）a = 4 ,c = 15 ,焦点在y 轴上； 明确： 11622=+x y (3) a + b = 10 , c = 25 。
明确：1163622=+y x 或1361622=+y x 课堂小结：由学生总结本节课所学习到的知识和思想方法，教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评：1．知识总结：椭圆的定义，椭圆的标准方程 。