(完整版)《椭圆及其标准方程》(第一课时)教学设计
完整word版,《椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计
《椭圆及其标准方程（第一课时）》教学设计一、教学内容分析圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。
本节是《圆锥曲线与方程》的第一节课，是继必修课程《数学2》直线与圆之后对坐标法研究几何问题的又一次实际运用。
这节课主要研究椭圆定义及其标准方程，它是进一步研究椭圆几何性质的基础，同时它也为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。
因此，这节课有承前启后的作用，是本节乃至本章的重点。
二、学情分析（1）学生的知识储备分析：在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识，因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力，但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难．（2）学生的数学能力分析：学生通过几何图形来发现轨迹上点的特征的能力较强（数形结合），但计算能力较弱，在推导椭圆的标准方程时涉及到根式的两次平方，并且运算也较繁因此在方程的推导中会遇到障碍。
针对以上学情分析，在教学过程中，为了更好地培养学生自主学习能力，提高学生的综合素质，我主要采用探究式教学方法．一方面我通过设置情境、问题诱导充分发挥主导作用；另一方面学生通过对我提供的素材进行直观观察→动手操作→讨论探究→归纳抽象→总结规律的过程充分体现主体地位．使用多媒体辅助教学与自制教具相结合的设计方案，实现多媒体快捷、形象、大容量的优势与自制教具直观、实用的优势的结合，既突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性．三、设计思想本节课的设计力图贯彻“以人的发展为本”的教育理念，体现了“教师为主导，学生为主体”的现代教学思想。
无论是概念的形成还是方程的推导，都展示了完整的探究过程。
在概念形成中，通过动画演示、实验操作、定义归纳，学生经历了由感性上升到理性的过程，符合学生的认知规律,同时也培养学生动手操作与抽象概括能力。
高中数学_椭圆及其标准方程(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
椭圆及其标准方程(第一课时)教学设计【教学目标】1.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆的标准方程；进一步学习类比、数形结合的数学思想方法，理解坐标法及其应用．2.通过让学生积极参与，亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性；在探索椭圆标准方程过程中，培养分析和概括能力．【教学重点与难点】重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．难点：椭圆标准方程的推导与化简．【教学手段】运用多媒体和实物投影仪等辅助教学．【教学过程】一、创设情景、引入概念首先用多媒体演示地球绕太阳旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图．问一:地球绕太阳旋转的轨迹是什么图形？（椭圆）此外老师可以指出，在生活中，除椭圆外，还有抛物线、双曲线等例子．教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的．（说明：本环节由实际例子引入，让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有许多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力．）二、尝试探究、形成概念引导：曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹，那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的几何特征．学生实验：按课本上介绍的方法，学生用一块纸板，两个图钉，一根无弹性的细绳尝试画椭圆．让学生自己动手画图，同桌相互切磋，探讨研究．（提醒学生：作图过程中要注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件？）（说明：按学生的认识规律与心理特征，设置一系列递进的问题，让学生动手实践，在实验中引导学生自己观察椭圆上的点满足的几何条件，从而认识椭圆概念．）启发、归纳出椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距引导学生找定义的关键处：①平面曲线；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于| F 1F 2|．（说明：实验中发现椭圆的几何特征，可以挖掘出椭圆定义的内涵，使得学生对椭圆的定义留下深刻印象．）三、标准方程的推导由老师带学生回忆圆的方程的建立过程，归纳求曲线方程的一般步骤：建系→设点→列出方程→化简方程．建系一般应遵循简单、优化的原则．（说明：温故而知新，类比圆的方程的建立过程，归纳出求曲线方程的一般步骤，为下一步学习做好铺垫．）问二:怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？（说明：正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一，结合建立坐标系的一般原则── 利用曲线的几何特征，特别是对称性，可以使曲线方程简单化．可以从“对称美”、“简洁美”等角度作一定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系．）经学生讨论易得如下方案：1．建系．取过焦点12FF 的直线为x 轴，线段12FF 的垂直平分线为y 轴，建立坐标系．2．设点．设(,)M x y 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则12F (,0),F (,0)c c -．又设M 与12F ,F 距离之和等于a 2(c a 22>)．3．列式．依据椭圆的定义，有{}a MF MF M P 2:21=+=．221()MF x c y =++又，222()MF x c y =-+，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴．教师启发：这个方程形式复杂，应该化简．化简的目的是去掉根式，可两边平方．但这里有两个根式，如何平方更简捷？引导学生得出：应该用移项平方，再移项再平方的方法．（说明：在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而失败．在此应抓住机会加强运算技能的训练．）4．化简．通过移项, 两次平方后得到：)()(22222222c a a y a x c a -=+-，两边同除以222()a a c -，得 222221x y a a c +=-． （※） 由椭圆的定义可知，c a 22>,即a c >，022>-∴c a思考：观察下图，能从中找出表示22,,a c a c -的线段吗？由图可知，221212,,PF PF a OF OF c PO a c =====-．令22b PO ac ==-，那么（※）就是12222=+b y a x ．（0a b >>） 此即为椭圆的标准方程．它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程．问三：如果椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，a ，b ，c 意义同上，椭圆的方程形式又如何？学生讨论、交流，合情猜想可得，焦点变成12(0,),(0,)F c F c -,只要将方程12222=+b y a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y （0a b >>），它所表示的是焦点在y 轴上的椭圆标准方程．要求学生课后推导验证．（说明：发挥学生的直觉思维，类比得到焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．）引导学生注意理解以下几点：① 在椭圆的两种标准方程中，都有0>>b a 的要求；② 在椭圆的两种标准方程中，由于22a b >，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；③ 椭圆的三个参数,,a b c 之间的关系是222a b c =+，其中0,0,a b a c b c >>>>和大小不确定．四、例题讲解例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点53(,)22-,求它的标准方程 （先让学生分析解题思路．强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性．）解：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221x y a b+=．)0(>>b a 由椭圆的定义知c=2,222222105353(2)()(2)()2222a =+++=+--,所以10a =,所以2221046b a c =-=-=,所以,所求椭圆的标准方程为221106x y += 例2 如图，在圆的上任取一点P ，过点P 作x轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？（先让学生分析解题思路．寻求点M (,)x y 的坐标中,x y与点P 的00,x y 之间的关系,然后消去00,x y ,得到点M 的轨迹方程.这是解析几何中求点的轨迹方程常用的相关点法.还要注意引导学生分析例1与例2的不同点．）解：设点M 的坐标为(,)x y ,点P 的坐标为00(,)x y ,则点D 的坐标为0(,0)x .由点M 是线段PD 的中点,得00,2y x x y == 因为点P 00(,)x y 在圆224x y +=上,所以22004x y += ①把00,2y x x y ==代入方程①,得 2244x y +=,即2214x y += D所以点M 的轨迹是椭圆.（说明：由两个例题可以总结椭圆方程有两种求法：其一由定义求出a 与b ，根据条件写出方程；其二是由点与点之间的关系求椭圆标准方程，利用相关点法求出方程．可以达到渗透求轨迹的常用方法的目的．另外要注意求方程的基本步骤．）五、课堂练习，即时反馈1.如果椭圆22110036x y +=上一点P 与焦点1F 的距离等于6，那么点P 与另一个焦点2F 的距离是2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 4,1a b ==焦点在x 轴上；(2)4,a b =焦点在y 轴上；(3)10,a b c +==.3.已知A ，B 两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与BM 的斜率的商是２，点M 的轨迹是什么？为什么？六、知识整理，形成系统（由学生归纳）1．椭圆的定义（注意几何特征和三个条件）．2．推导椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系，直接法求轨迹方程）．3．求椭圆方程的方法（定义法、待定系数法求轨迹方程、相关点法求轨迹方程）．七、布置作业，巩固提高1．课本P109第3题．2．小组合作，解决课本P115第1题，P116第11题.3．探索题：结合课本P115第6题,利用信息技术手段,探索椭圆的不同几何作法.3.1.1椭圆及其标准方程学情分析在学习本节课之前,学生刚刚学习了直线与圆的方程,对曲线和方程的概念有了一定的了解,对用坐标法研究几何性质问题也有了初步的认识.因此,我们可以充分相信:在教师的合理引导下学生有独立探究有关点的轨迹的知识基础和学习能力.学生对椭圆图形有了一些实物实例的认识,对椭圆的简单的图像性质有了一些简单的认识,在学生头脑中虽然有一些椭圆的实物实例,但是没有上升到“概念”的水平,因此学生渴望通过探究来掌握椭圆的有关知识,有强烈的探索欲和求知欲,因此学生能在老师的引导下展开学习活动.但是由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度也较浅.但是我所教的班级学生数学成绩较好,学生的基础和接受能力相对于其他班级学生较强一点,在学习过程中遇到困难的可能性较小一些.但考虑到从研究直线与圆的方程,跨度较大,学生在思维上也会存在一些障碍.因此在探究的过程中应加强引导,细化步骤的问题,做好知识的铺垫.本节课在求椭圆的标准方程时,会遇到比较复杂的根式化简问题,通过课前进行化简比较复杂根式的专项练习,为学生自主学习本课扫清障碍.本节课按学生思维的方式,由易到难组织教学,培养学生观察、比较、分析概括的能力，在进一步培养学生数形结合和化归的数学思想的过程中，提高学生的自主学习能力.3.1.1椭圆及其标准方程效果分析本节课采用启发式与探究式相结合的教学方式,遵循学生的认知规律,以学生的全面发展为本,面向全体学生,使学习过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程.本节课让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，并灵活应用“创设情境，激发情意”、“全身活动，心灵体验”、“及时反馈，促进同化”的“贯穿要素”，同时借助于多媒体的合理运用，通过学生的动手操作、分组讨论、合作探究以及学生之间、师生之间的多向交流，在学习中着眼于培养学生良好的认知结构，注意适应学生的思维水平，积极促进其思维的发展.使学生始终处于思维活跃状态，使三维学习目标得以比较顺利地实现，同时重视学生的学习经历和经验，强调学生积极主动地学习.让学生获得基础知识、基本技能的过程成为学会学习的过程,促进学生全面发展.从而较好地突出了重点,突破了难点,抓住了关键.本节课面向全体学生,切实改进了学生的学习方式,做到学生在老师引导下有效学习,使学生会学习,乐于学习,为终身学习打下基础.3.1.1椭圆及其标准方程教材分析本节课是《普通高中教科书数学》(人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心编著)A 版选择性必修第一册第三章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时.在选择性必修一第三章,教材利用三种曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题.本节课是圆锥曲线的第一课时,它是学生在学习了第二章直线与圆的方程的基础上,进一步学习用坐标法研究曲线.由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本方法和理论基础.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实践，同时它也是进一步研究椭圆的几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上说，椭圆放在三种曲线之首，则是它的重要性就尤其突出.因此《椭圆及其标准方程》起到了承上启下的作用.本节课的学习具有非常重要的地位,是本章和本届的重点内容.3.1.1椭圆及其标准方程评测练习1.如果椭圆22110036x y +=上一点P 与焦点1F 的距离等于6，那么点P 与另一个焦点2F 的距离是设计意图:考查学生对椭圆定义的理解和掌握水平.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 4,1==焦点在x轴上；a b(2)a b==焦点在y轴上；4,(3)+==10,a b c设计意图:考查学生对椭圆标准方程的理解和掌握水平,以及分类讨论的数学思想.3.已知A，B两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率的商是２，点M的轨迹是什么？为什么？设计意图:考查学生对轨迹方程的掌握情况以及思维的严谨性.3.1.1椭圆及其标准方程课后反思本节课,通过对椭圆的认识及其方程的推导,培养了学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强了用坐标法解决圆锥曲线问题的能力.通过焦点在x轴和焦点在y轴上椭圆方程的对比总结,不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解,有助于学习目标的实现,而且使学生体会和学习类比的思想方法,为后面双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础.在教学过程中采用启发、探究相结合的教学方法,通过设置问题引导学生观察分析,使学生在独立思考的基础上进行合作交流,极大的激发了学生的积极性和创造性.在设计例题、习题时主要是放在了强化学生能用椭圆的定义来解决问题的意识和能力，更好的调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力.通过例1,例2的学习是学生认识到求点的轨迹方程的多种方法.通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生的探索精神。
椭圆及其标准方程一优秀教学设计精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版教学设计(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．（二)椭圆标准方程的推导13分钟1．标准方程的推导.教师引导学生得出椭圆方程，由a、b的关系判定焦点在哪一个坐标轴上。
2.教师给出表格和学生一起总结椭圆的方让学生自己去推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输”为“发现”。
教师结合猜想加以引导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)F1(-c，0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；F1(-c，0)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与8分钟，练习12分钟例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：1.教师引导学生得学生自己写解题过程 2.学生板演 3.学生讨论4.老师出示练习题（课件）学生做练习题（1）掌握椭圆方程a、b之间的关系 (2)掌握运用椭圆定义法、待定系数法求椭圆的标准方程。
椭圆及其标准方程教学设计（第一课时）一、教材分析《椭圆及其标准...
椭圆及其标准方程教学设计（第一课时）一、教材分析《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用 “曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。
从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上说，把椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线和圆分离独编一章，则椭圆的重要性就尤其突出。
因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点。
二、教学目标1、知识与技能：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导.2、过程与方法：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.3、情感态度与价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点.三、重点、难点1.重点：感受建立曲线方程基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。
2.难点：椭圆标准方程的推导四、教学方法本节课采用“启发式，探究式”的教学方法，以问题解决为中心，注重学生学习过程，关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，立足以学生的发现为主，教师引导为辅，着眼培养学生的思维能力和分析问题、解决问题的能力。
同时通过动态演示的直观性、形象性增进学生对数学本质的理解、提高教学效率。
五、教具准备：多媒体课件和画图板、图钉、无弹性细绳．六、教学过程：(一)创设情景，提出课题利用多媒体演示：九大行星的运行轨迹，神州七号的运行轨迹。
问题：它们的运行轨迹是什么图形？（椭圆） 设计意图：让学生从感性上认识椭圆。
(二) 自主探究，形成概念 问题：动点按照某种规律运动形成的轨迹叫曲线，那么椭圆是满足什么条件的轨迹呢？ 类比模仿：从熟悉的曲线开始研究，引导学生类比圆和椭圆，联想圆的定义，圆的定义：平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆。
人教课标版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程(第1课时)》教学设计
2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）一、教学目标 （一）学习目标 1.掌握椭圆的定义；2.掌握椭圆标准方程的推导和标准方程. （二）学习重点椭圆的定义及椭圆标准方程. （三）学习难点椭圆标准方程的建立和推导. 二、教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务 写一写：（1）定义：平面内与两个定点12,F F 距离的和 等于常数 c ，大于12||F F 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两定点间距离叫做 椭圆的焦距 .（2）椭圆的标准方程： 焦点在x 轴上： 2221(0)y a b a b+=>> .焦点在y 轴上： 2221(0)x a b a b+=>> .2.预习自测判断分别满足下列条件的动点M 的轨迹是否为椭圆（1）到点()12,0F -和点()22,0F 的距离之和为6的点的轨迹； （2）到点()12,0F -和点2(2,0)F 的距离之和为4的点的轨迹； （3）到点()12,0F -和点2(2,0)F 的距离之和为3的点的轨迹.【解题过程】当12||||2MF MF a +=，且122||a F F >的常数时M 点的轨迹为椭圆，故（2）（3）不是.【思路点拨】注意把握椭圆的定义. 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是.（4）已知动圆P 过定点(3,0)A -，并且与定圆22:(3)64B x y -+=内切，则动圆的圆心P 的轨迹是（ ）A.线段B.直线C.圆D.椭圆 【解题过程】设动圆P 与定圆B 内切于M ，由条件知：||||||||||8PA PB PM PB BM +=+==，故P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆.【思路点拨】利用椭圆的定义解题. 【答案】D （二）课堂设计 1.新知讲解探究一 创设情景，认识椭圆 ●活动① 归纳提炼概念画一画：①将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷紧，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是什么？②将绳子的两端分别固定在两个定点上，笔尖勾直绳子，移动笔尖，得到的是轨迹是什么？ 动画演示作图过程.提出问题：①作图过程中，哪些量没有变？哪些量变了？ ②为什么要求作图过程中笔尖要绷紧？③笔尖所对应的动点M 到定点的距离有什么长度之间的关系？ 总结：笔尖对应的动点M 到直线两个端点的长度之和固定不变.【设计意图】学生可通过动手实践的过程去体会“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”，从而对椭圆定义中的条件有直观深刻的认识.提出问题：根据刚才动手实践的过程，能否总结椭圆的定义？（同学自由发言，再由学生进一步补充完善）我们把平面内到两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的集合叫作椭圆.●活动② 辨析概念问题1：定义中的常数等于21F F ，则动点的轨迹是什么？问题2：定义中的常数小于21F F ，则动点的轨迹是什么？椭圆相关概念：两个定点1F ，2F 叫作椭圆的焦点．．．．．，两个焦点1F ，2F 间的距离叫作椭圆的焦距．．．．．. 【设计意图】使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风. 探究二 推导椭圆的标准方程 ●活动① 利用定义求方程动手演算：让学生动手，求推导焦点在x 轴上的椭圆的标准方程①建系：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？（利用椭圆的对称性特征）以直线21F F 为x 轴，以线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系.②设点：设焦距为()20c c >，则()()12,0,0F c F c -.设(),M x y 为椭圆上任意一点，点M 与点12F F 、的距离之和为()222a a c >.③列式：动点M 满足的几何约束条件: 122MF MF a += 2a =④化简：()()a y c x y c x 22222=+-+++1F 2F∴()()22222y c x a y c x +--=++∴两边同时平方、整理得：()222y c x acx a +-=-将上式两边平方、整理得：2222222222422y a c a cx a x a x c cx a a ++-=+-()()22222222c a a y a x c a-=+-122222=-+c a y a x 分析22c a -的几何含义，令222b c a =-得到焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为()012222>>=+b a b y a x焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是什么？（由学生动手列式，()()a c y x c y x 22222=-++++，引导学生观察焦点在x轴上与焦点在y 轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在y 轴上椭圆的标准方程）如果椭圆的焦点在y 轴上，其焦点坐标为()c F -,01，()c F ,02，用同样的方法可以推出它的标准方程()012222>>=+b a bx a y ●活动② 归纳梳理、理解提升 椭圆的标准方程及方程特点焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程： 12222=+b y a x （0>>b a ） 12222=+b x a y （0>>b a ）学生思考：（1）椭圆的标准方程中三个参数b c a ,,的关系怎样？（2）如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？总结方程特征：（1）.0,0222>>>>+=c a b a c b a ， （2）哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上.【设计意图】通过归纳总结让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解.有助于教学目标的实现，培养学生的总结归纳能力，而且使学生体会和学习类比的思想方法.●活动③ 互动交流、初步实践判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点的坐标（1）1162522=+y x （在x 轴上，焦点为()0,3-，()0,3）（2）116914422=+y x （在y 轴上，焦点为()5,0-，()5,0）（3）112222=++m y m x （在y 轴上，焦点为()1,0-，()1,0）●活动④ 巩固基础、检查反馈例1.已知a =c =，则椭圆的标准方程为（ ）A.2211312x y +=B.2211325x y +=或2212513x y += C.22113x y += D.22113x y +=或22113y x += 【知识点】椭圆的标准方程. 【解题过程】由222a b c =+知21b =. 【思路点拨】通过焦点的位置判断方程. 【答案】D同类训练 已知椭圆的焦点为(1,0)-和(1,0)，点(2,0)P 在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A.22143x y += B.2214x y += C.22143y x += D.2214y x += 【知识点】椭圆的标准方程. 【解题过程】由222a b c =+知23b =. 【思路点拨】通过焦点的位置判断方程. 【答案】A例2 椭圆22125x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.7D.8 【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由210a =知P 到另一个焦点的距离为8. 【思路点拨】通过定义122PF PF a +=计算. 【答案】D同类训练 已知F 1、F 2是椭圆 192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M 、N 两点，则三角形MF 2N 的周长为 . 【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由221212101020MN MF NF MF MF NF NF ++=+++=+=.【思路点拨】通过定义122PF PF a +=计算. 【答案】20. 3.课堂总结 知识梳理（1）椭圆的定义：平面内到两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的集合叫作椭圆.（2）椭圆的标准方程：焦点在x 轴上：12222=+by a x （0>>b a ）；焦点在y 轴上：12222=+bx a y （0>>b a ）.重难点归纳（1）区分焦点：哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上；（2）标准方程中,,a b c 的关系：.0,0222>>>>+=c a b a c b a ， （三）课后作业 基础型 自主突破1.设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是（ ）A.椭圆B.直线C.圆D.线段 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2. 【思路点拨】几何性质判断图形. 【答案】D.2.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是（ ） A.5 B.3或8 C.3或5 D.20 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1，∴m ＝5或m ＝3，故选C.【思路点拨】确定焦点位置再结合222a b c =+可得m 的值. 【答案】C3.椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是（ ）A.(±a －b ，0)B.(±b －a ，0)C.(0，±a －b )D.(0，±b －a ) 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ， ∴焦点坐标为(0，±b －a ).【思路点拨】将方程整理为椭圆的标准形式. 【答案】D4.中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是（ ）A.x 281＋y 245＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 272＝1D.x 281＋y 236＝1 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由长轴长为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝13(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C. 【思路点拨】由几何性质即可. 【答案】C5.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________. 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题意可得⎩⎨⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y23＝1.【思路点拨】由椭圆定义及几何关系可得,,a b c 的值. 【答案】x 24＋y 23＝16.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________________.【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题意S △POF 2＝34c 2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋4. ∴点P 坐标为(1，3)，把x ＝1，y ＝3代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b2＝1，解得b 2＝2 3. 【思路点拨】由椭圆几何性质即可. 【答案】2 3 能力型 师生共研1.已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A.m <2B.1<m <2C.m <－1或1<m <2D.m <－1或1<m <32 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题意得⎩⎨⎧|m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D.【思路点拨】根据焦点的位置可确定椭圆方程形式为22221(0)y x a b a a +=>>.【答案】D2.若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D. 【思路点拨】由椭圆定义即可. 【答案】D 探究型 多维突破1.求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；（2）a c ＝135，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】（1）由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2).由椭圆的定义知，28a =+=， 所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. （2）由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又135a c =，所以c ＝5， 所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1. 【思路点拨】由椭圆性质求解即可. 【答案】见解析2.已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积.【知识点】椭圆的标准方程及几何性质. 【解题过程】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中， 由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433. 【思路点拨】由定义可知焦点三角形12PF F 的面积：2tan2S b θ=，其中12F PF θ∠=.【答案】见解析自助餐1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为（ ）A.x 216＋y 2＝1B.x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1D.x 25＋y 220＝1【知识点】椭圆的标准方程及几何性质.【解题过程】由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C.【思路点拨】由椭圆定义即可.【答案】C2.已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上.若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.95B.3C.977D.94【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7.∵△PF 1F 2为直角三角形.且b ＝3>7＝c .∴F 1或F 2为直角三角形的直角顶点，∴点P 的横坐标为±7，设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.【思路点拨】由椭圆定义即可.【答案】D3.已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.射线D.直线【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ，又∵F 1、P 、Q 三点共线，∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a .即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上.【思路点拨】根据椭圆定义判断.【答案】A4.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 28＝1上，则sin A ＋sin C sin B 的值是（ ）A. 3B.2C.2 3D.4【知识点】椭圆的定义及几何性质.【解题过程】由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43，又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝434＝3，故选A.【思路点拨】根据椭圆定义判断..【答案】A5.已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，若|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是________.【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题设知1c =. 结合椭圆的定义得：12122||||2||4a PF PF F F =+==，故2,3a b ==，所以椭圆方程为：22143x y +=. 【思路点拨】利用椭圆的定义求,a c ，再利用222a b c =+求b .【答案】22143x y += 6.如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性知，|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋12(|P4F|＋|P4F′|)＝7a＝35.【思路点拨】由椭圆定义，转换即可. 【答案】35。
椭圆及其标准方程(第一课时) 精品教案
《椭圆及其标准方程》教学设计（第一课时）一、课标要求理解掌握椭圆的定义，标准方程及其推导过程，会求一些简单的椭圆的标准方程．二、教学设计思想《椭圆及其标准方程》是学生学习了直线和圆有关知识后学习的第二种圆锥曲线，因此这一节的教学既可以是对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其它两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义．我们在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：（1）通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到了椭圆的定义及其应注意条件，提高学生的综合分析能力．（2）由演示出发，问题思考→研究讨论→点拔引导→抽象概括，得到椭圆标准方程．教师边演示边提出问题，充分调动学生学习自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦．一位教育学家说过：“不能只向学生奉献真理，而应教给学生发现和探求真理的方法．”本节课的教学，正是本着这样的教学思想去设计的．三、教学目标（一）知识与技能1、理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义；2、掌握椭圆标准方程的推导过程；3、会求一些简单的椭圆的标准方程．（二）过程与方法通过数形结合，让学生观察猜想归纳，培养学生自主地获取知识的能力，开拓学生探究发现能力．（三）情感态度、价值观1、通过探究性学习，获得成功的喜悦、培养学好数学的信心；2、帮助学生树立运动、变化观点，培养学生勇于进取精神和良好心理素质；3、经历观察、探究等学习活动，培养尊重事实、实事求是的科学态度．四、教学重点与难点重点：椭圆定义的形成和标准方程的推导．难点：椭圆标准方程的推导．五、教学基本流程观察演示直观认识椭圆→学生自己动手画图，“定性”认识椭圆→引导学生归纳形成椭圆定义→再提出问题，用坐标法“定量”地描述椭圆→得出椭圆标准方程→例题习题处理→练习、交流、反馈、巩固→学生归纳小结、教师评价问题设计意图师生活动1、观察计算机演示《常见椭圆的轨迹》课件，提出问题：这些轨迹是什么图形？这些曲线你还在什么地方见过？先从实际生活中有关椭圆例子出发，通过实际例子创设情景，可使引入自然，易于接受，又使教学内容亲切，激发学生的学习热情，促使学生萌发解决问题和学习新知识的欲望．师：组织学生观察演示，并提出问题．生：根据自己的观察，回答出运动的轨迹是椭圆，并举出常见的一些椭圆如立体几何中圆的直观图，一些物体的横截面的轮廓线．师：由此可见，椭圆在实际生活中是很常见的，因而学习椭圆的有关知识是非常必要的．问题设计意图师生活动2、我们知道，动点保持某种规律运动形成的轨迹叫曲线，通过实际操作，探究椭圆形成过程满足的几何条件，使学生对椭圆师：用计算机演示《椭圆轨迹的变化》的课件，然后让学生拿出课前准备的一块纸板、一段细绳、两颗图钉按课本要求画椭圆，使其尝到成功喜悦后思考问题．那么椭圆是什么条件的点的轨迹呢？如何对椭圆下定义？的概念有一个粗略的认识，然后通过演示、观察、猜想、归纳得到椭圆的概念．师：动点是在怎样的条件下运动的？生：是否到两定点距离之和等于定值的点的轨迹就是椭圆呢？（学生可能一时回答不出，教师可请学生观察演示课件并思考）师：当两个定点（图钉）位置变化时，轨迹发生怎样的变化？学生讨论、交流后师生共同完成下面结论：当绳长（定值）大于两图钉（定点）间距离时得到的是椭圆；当两图钉（定点）重合时，得到的是圆；当绳长（定值）等于两图钉（定点）的距离时，得到的是线段；不能使绳长小于两图钉（定点）的距离，因为图形不存在．由此得出椭圆、椭圆的焦点、焦距的概念．3、由于椭圆形的例子在实际生活中随处可见，因此对椭圆的研究十分重要，观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆方程简单？建立直角坐标系一般要符合简单和谐化的原则，正确处理关键点的坐标可使关键的几何量的表达式简单化．师：提出问题，启发、强调建立适当坐标系的重要性．生：讨论、交流、归纳（大体有如下三种方案）：a．取一定点为原点，以F1F2所在直线为x轴；b．以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2中点为坐标原点；c．以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2中点为坐标原点．问题设计意图师生活动（续上）（续上）师生通过归纳评议，分析各种方案的利弊，由椭圆的对称性，最后确定采取方案b．4、选择方案b，椭圆上的点满用数学表达式表示椭圆．教师启发学生由椭圆的定义，得出表示椭圆的集合：{}12|||||2P M MF MF a=+=．足什么条件？能否用集合表示出来？5、如何推导出椭圆的方程？引导学生分析，鼓励学生自行推导、概括，从而提高学生分析、思考、归纳、整理的能力．教师指导学生设点、列式，化简，并引导学生回顾化简的方法（移项，两边平方，再移项两边平方），从而得到：222221x ya a c+=-并思考：此方程仍然不够简洁，还有变形的必要，你认为应如何变形，使之更为简洁．师：引导学生观察课本2．1-3，从中找出22a a c-，c,，并把椭圆方程整理成：22221x ya b+=并指出上式就是椭圆的标准方程．6、若选定方案c，方程的形式又怎样？让学生利用对称性进行猜想，培养学生类比、归纳的能力．提出不必运算，让学生合理猜想，注意引导学生两个方程形式相同，仅仅是x、y的位置互换了，进一步得出：22221y xa b+=．7、两个椭圆方程中，a、b、c 三者的大小关系怎样？关系如何？强调椭圆方程的限制条件．师生归纳得出：222,0,a b a c a b c a b c>>>+=且、、且一般写成0a b>>．问题设计意图师生活动8、两个方程中，焦点位置与方程形式有何关系？注意椭圆的焦点位置和方程形式的关系，切忌混淆．师：提出问题，引导学生回答出两种形式的椭圆的焦点是什么？生：方程22221x ya b+=的焦点坐标为12,0),(,0)F c F c x -（在轴上，22221y x a b +=的焦点坐标为120,),(0,)F c F c y -（在轴上.师：其判断的依据是：222a b a x y 与中，与、哪一个对应，焦点就在哪条坐标轴上．9、自学例1，并解决习题A 组第5题第1小题，总结求简单椭圆方程的方法、步骤．巩固所学知识，培养学生自学能力和归纳总结能力． 师：指导学生阅读教材的例1．生：阅读例1，并完成习题第5题第1小题． 师生归纳求椭圆方程的方法、步骤（①确定焦点位置；②求a 、b ）．10、课堂反馈 练习第一题和第二小题．反馈学生对知识掌握情况．生：独立完成练习第1题和第2题． 师：巡堂指导，并组织学生对自己解答进行评价．11、课堂小结：教师提出问题供学生思考：1．本节课我们是如何得到椭圆的定义的，从中你学习到什么知识？2．坐标法是研究曲线常用的方法，这节课我们是如何建立坐标系去推导椭圆的标准方程的，从中你有什么体会？3．通过本节课的学习，你能掌握求曲线方程的一般步骤方法吗？你还学会了什么？ 学生思考、小组讨论、推举代表发言，其它同学补充．教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充．（续上表）12、作业：习题2．1A组5．（1）（2）（3）补充：“神州6号”宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R，若其近地点，远地点离地面的距离大约分别为115R R1，3，求“神州5号”宇宙飞船运行的轨道方程．探究：通过学习，你能根据椭圆的定义，利用直尺和圆规描点画椭圆吗？若能，请你设计画法．几点说明：（1）本节课容量大，建议采用信息技术创设教学情景．（2）教学中教师应该注意少讲，还应力求克服单纯展示课件的教学形式，使计算机辅助教学的作用得以充分发挥，应该给学生充分的时间去尝试、思考、交流、讨论和表述，从而使学生想象、发现问题的空间更加广阔．。
《椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计
《椭圆及其标准方程（第一课时）》教学设计一．教材及学情分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）选修1－1 第二章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时．在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．在必修2 中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法, 并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形．在选修1 中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题．由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法, 在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用．本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等．因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值．根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持．二．教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力2．过程与方法目标：①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程——解析法③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标：①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风④通过经历椭圆方程的化简, 增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心三．重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：（1）标准方程的推导。
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
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《椭圆及其标准方程》（第一课时）教学设计一、教学内容分析教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。
椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。
一方面，它是对前面所学的运用“代数方法研究几何问题”的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；另一方面，教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和重点，并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。
因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。
椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，这是本节课的一个教学重点；而坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。
学生对“曲线与方程”的内在联系仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。
通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础。
根据以上分析，确定本课时的教学难点和教学重点分别是：教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，体会坐标法的应用。
教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程。
二、学生学情分析在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。
因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。
而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要利用曲线方程的知识推导出方程，与前面学生熟悉的圆相比，对学生的抽象、分析、实践的能力要求比较高，可能困难要大一点，导致学生在学习中可能出现的困难是：学生动手作图慢；用尺规作图的思路可能出现障碍；受教材的影响，学生选择坐标系的思维可能受到限制；方程的化简也是一个难点。
三、教学目标与目标解析根据新课程标准对本节课的要求以及对教材和学生情况的分析，本节课教学目标确定为: 1、感受建立曲线方程的基本过程，使学生理解椭圆的定义。
即通过学生动手用图钉、细绳画椭圆，能用自己的语言叙述出什么是椭圆，进而引导学生利用直尺、圆规作出椭圆，用等价转化的方法从不同角度加深对椭圆的理解。
2、体会坐标法的应用，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程。
即要让学生自己选择坐标系，根据对椭圆概念的不同理解，选择适当的方法，推导椭圆的方程，在这些活动的基础上，让学生进一步感受曲线与议程的内在联系。
3、培养学生动手能力、合作意识和分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。
即通过对同一概念从不同角度的理解，坐标系的不同选择，用不同的方法得到不同的方程，通过比较，体会曲线方程的不确定性及其标准方程的对称和谐美。
四、教学方法：探究式教学法。
即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．五、教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．六、教学过程（一）创设情境，引入概念1、“嫦娥一号”是我国的首颗绕月人造卫星。
以中国古代神话人物嫦娥命名，已于2007年10月24日18时05分左右在西昌卫星发射中心升空，在快要到达月球时，依靠控制火箭的反向助推减速。
在被月球引力“俘获”后，成为环月球卫星，绕月球飞行。
请问“嫦娥一号”卫星的绕月运行轨道是什么？学生根据自己平时的积累，可能会回答圆或椭圆。
【设计意图】：展示“嫦娥一号”绕月球运行的轨道图片，指出卫星进入太空后，以椭圆形轨道绕月运行后又以极月圆轨道绕月球飞行。
由于实际的结果与学生已有的认知产生了冲突，从而激发了学生的兴趣和探索欲望。
2、用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形．当端起水杯喝水时，水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆形．联想生活中还有哪些是椭圆图形？回忆：1、圆是怎么画出来的？2、圆的定义是什么？3、圆的标准方程是什么形式？（圆是到定点距离等于定长的点的轨迹，根据圆的定义，用一根细绳就可画出一个圆．将细绳的一贯固定在黑板上，在另一端系上一支粉笔，将细绳绷紧并绕固定端点旋转一周即可．）猜想：1、椭圆是怎么画出来的？2、椭圆的定义是什么？3、椭圆的标准方程又是什么形式？提出：将圆心从一点“分裂”成两点，将细绳的两端固定在这两点，用粉笔挑起细绳并绷紧，移动粉笔，可画出什么图形？【设计意图】：从生活实际出发，从而激起学生强烈的求知欲望。
用类比的思想，通过已经学过的圆的知识猜想椭圆，开展后续教学。
（二）实验探究，形成概念1．学生分组，合作探究，教师巡视指导．通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆（每四人一组，在预先准备好的绘图板上，用图钉固定细绳两端，用铅笔挑起细绳并绷紧，移动铅笔，观察画出的图形．）2．展示学生成果。
请学生代表本小组交流探究结论：根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义——与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）．3．几何画板动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想【设计意图】：给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”；让每个人都动手画图，自己思考问题，由此培养学生的自信心。
4．椭圆定义的完善（1）提出问题：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推敲．那么，这个常数可以是任意正实数吗？有什么限制条件吗？引导学生回答：在“定义”中需要加上“常数大于”的限制。
（2）深化问题：若常数等于或常数小于,情况会发生什么变化？应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”为理论依据，得出结论：当常数等于时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是线段；当常数小于时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹不存在．【设计意图】：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风5、概括椭圆定义请学生给出经过修改的椭圆定义：定义：平面内与两个定点距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。
教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
思考：焦点为的椭圆上任一点M，有什么性质？令椭圆上任一点M，则有，补充：若时，轨迹是线段；若时，无轨迹。
【设计意图】：让学生通过反思画图过程，归纳定义，学习定义，为后面分析椭圆的标准方程做下铺垫；比较深入地理解椭圆定义的条件。
（三）研讨探究，推导方程问题：请你选择适当的坐标系，求出焦点是，焦距是，动点到定点距离之和是的椭圆中的方程。
请先说出解决这个问题的方案，讨论之后再进行解决。
活动方式：学生先独立思考，之后全班交流，确定最后的解决方案，然后分工合作，共同完成，之后再交流。
【设计意图】：通过坐标系的不同选择，用不同的方法得到不同的方程，通过比较体会曲线的方程的不确定性，理解曲线与方程的关系，感受恰当选择坐标系的优越性，感受标准方程的简洁、对称、和谐之美，并在实践中通过对比提高决策能力、计算能力、培养学生简约的思维能力。
预设的解决方案：方案1 ：如图1建立坐标系，得到方程方案2 ：如图2建立坐标系，得到方程方案3 ：如图3建立坐标系，得到方程方案4 ：如图4建立坐标系，得到方程方案5 ：如图5建立坐标系，以下是方案1的过程（其它方案的过程略）：以过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．设，点为椭圆上任意一点，则（称此式为几何条件），∴得（实现集合条件代数化），（想一想：下面怎样化简？）（１）教师为突破难点，进行引导设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得．（2）的引入．由椭圆的定义可知，,∴．让点运动到轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得，的几何意义，进而自然引进，此时设，于是得，两边同时除以，得到方程：（注意：两次平方时的等价性，可以根据学生的具体情况选择加以证明，或者不加证明的指出。
）板书：方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，其坐标是，其中。
（把学生推导椭圆方程的具有代表性的方法，在实物展台上投影。
）问题：通过对比学生求出椭圆各种形式的方程，你能发现什么规律？哪一种方程最简洁？活动形式：学生思考后主动发言回答。
【设计意图】：让学生通过对比及感性认识，总结归纳出椭圆方程的标准形式：（1）焦点在轴（以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系）上的椭圆的标准方程；（2）焦点在轴（以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系）上的椭圆的标准方程（四）归纳概括，方程特征1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：；2、在归纳总结的基础上，填下表【设计意图】：把两种类型的椭圆方程推导出来，那这两类方程有什么相同点，有什么不同点呢？先让学生进行小组讨论，找出性质，再列出表格让学生填空。
这样通过表格的对比可以对知识深化理解。
（五）例题研讨，变式精析例1：判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆（1）到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）（2）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（不是）（3）到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）（4）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（不是）【设计意图】：巩固椭圆定义例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.变式一：将上题焦点改为、，结果如何？变式二：将上题改为两个焦点的距离为8 ，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10 ，结果如何？（学生直接抢答）【设计意图】：1、根据不同条件求椭圆的标准方程（定义或待定系数）；2、提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程.例3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是、，并且经过点P．活动形式：学生独立思考完成．教师巡视，投影学生答案．学生讨论总结．解题思路1：先根据已知条件设出焦点在轴上的椭圆方程的标准方程，再将椭圆上点的坐标代入此方程，并结合、、间的关系求出、的值，从而得到椭圆的标准方程为．【设计意图】：学会用待定系数法求椭圆的标准方程.解题思路2：利用椭圆定义（椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数2）求出值，再结合已知条件和、、间的关系求出的值，进而写出标准方程．【设计意图】：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用.（六）小结归纳，提高认识最后进行课堂小结，先由学生小组讨论，再个别提问，然后集体补充，最后教师才引导和完善。