椭圆及其标准方程课件
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目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
椭圆及其标准方程 课件(共16张PPT)
生活中 的椭圆
问题:
(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢? (2) 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又 是什么呢？
数学实验
同学们一起观察以下操作： 在图板上，将一根无 弹性细绳的两端用图钉固定，一支铅笔的笔尖沿细绳运 动，能得到什么图形？
圆定义
把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（2a）（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的
距离叫做椭圆的焦距（2c）
>2c |MF1|+|MF2|=2a.
M
F1 O
F2
思 你知道2a=2c和2a<2c时点的轨迹是什么吗？
考
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
于x轴的直线交椭圆于C、D两点，则∆F2CD的周长
为__2_0_____
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1
F2
D
变式：若CD不垂直于x轴，则∆F2CD的周长有改变
吗？为什么？
2.求椭圆的方程：
问题1:(1) 求曲线方程的基本步骤？
（1）建系设点; （2）写出点集； （3）列出方程；
（4）化简方程； （5）证明（可省略）。
(2) 如何建立适当的坐标系？ y
M M
y
F2
F1 O
F2 x
O
x
F1
方案一
方案二
解：如图，以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段 F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系,则F1(-c,0)， F2(c,0).设M(x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆定义得：
《椭圆及其标准方程》PPT课件
个轴上，相应的那个项的分母就越大.
椭圆标准方程的求法： 一定焦点位置；
二设椭圆方程；
三求a、b的值.
作业：
一. 人教版选修P42 1,2
二. 思考题
方程Ax2+By2=1什么时候表示椭圆？ 什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么 时候表示焦点在y轴上的椭圆？
即： x2 + y2 = 1 a > b > 0
a2 b2
2.椭圆的标准方程
y
y
F1 O
F2
x
F1
O
x
F2
x2
y2
a2 b2 1
y2 a2
x2 b2
1
方 （1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
程
（2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上；
）
(A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5
2.F1、F2是定点，且 F1F2 = 6，动点M 满足 MF1 + MF2 = 6， 则点M的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
3.已知椭圆 x2 + y2 = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16
为3，则P到另一焦点的距离为（ ） (A)2 (B)3 (C)5 (D)7
+
y2 49
=
1的两个焦点，过
F1的直线与椭圆交于A、B两点，则D ABF2的
周长为（ ）
(A)8 6 (B)20 (C)24 (D)28
反思总结 提高素质
标准方程
不
同
图形
点
x2 y2 a2 + b2 = 1(a > b > 0)
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
课件8：2.1.1 椭圆及其标准方程
设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)．
因为 c2＝16，且 c2＝a2－b2，故 a2－b2＝16.
①
又点( 3，－ 5)在椭圆上，所以(－a25)2＋( b32)2＝1，
即a52＋b32＝1.
②
由①②得 b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
题型三 椭圆的定义及其应用 例 3 已知 P 为椭圆1x22 ＋y32＝1 上一点，F1，F2 是椭圆的
3 2.
【答案】A
3．椭圆 9x2＋16y2＝144 的焦点坐标为________． 【解析】椭圆的标准方程为1x62 ＋y92＝1， ∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在 x 轴上， ∴焦点坐标为(－ 7，0)，( 7，0)． 【答案】(－ 7，0)，( 7，0)
4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2 3)且 a＝2b， 则椭圆的标准方程为________________． 【解析】∵c＝2 3，a2＝4b2， ∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，b2＝4，a2＝16. 又∵焦点在 y 轴上，∴标准方程为1y62 ＋x42＝1. 【答案】1y62 ＋x42＝1
类题通法
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞ |F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到 两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2， 称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常
要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
知识点二 椭圆的标准方程 提出问题 在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0， －4)． 问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则点P的轨迹方程是什么？
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
椭圆及其标准方程课件(公开课)
椭圆的参数方程是描述椭圆形状 和大小的一种数学表达方式，它 通过引入参数变量来表达椭圆上
的点。
参数方程通常采用极坐标或直角 坐标系中的参数方程形式，以便
更好地描述椭圆的几何特性。
参数方程在解决与椭圆相关的数 学问题时非常有用，因为它能够 直观地表达椭圆的形状和大小。
参数方程与普通方程的转换
参数方程和普通方程是描述椭圆的不 同方式，它们之间可以进行相互转换 。
普通方程转换为参数方程则需要引入 参数变量，将其表达为参数方程的形 式。
参数方程转换为普通方程需要消去参 数变量，将其转化为标准的椭圆方程 形式。
参数方程的应用
01
在几何学中，参数方程 被广泛应用于描述和分 析椭圆的形状和性质。
02
在物理学中，参数方程 可以用于描述物体的运 动轨迹，例如行星的运 动轨迹等。
03
在工程学中，参数方程 可以用于设计各种机械 零件和机构，例如轴承 、齿轮等。
04
在经济学中，参数方程 可以用于描述市场供需 关系和价格变动等。
05
椭圆的扩展知识
椭圆的扩展定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和$F_2$的距离之和等于常 数且大于$F_1$和$F_2$之间距离的点的轨迹。
扩展定义中的两个定点称为椭圆的焦点，而常数等于 $F_1$和$F_2$之间的距离时，轨迹为线段。
光学仪器
椭球面镜是许多光学仪器 的重要元件，如显微镜和 望远镜。
02
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程推导
椭圆的标准方程推导基于平面几何和 代数知识，通过设定椭圆上的点满足 的条件，经过一系列的推导和简化， 最终得到标准方程。
推导过程中涉及了椭圆的定义、性质 和参数设定等，有助于深入理解椭圆 的几何特征和代数表达。
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2 2
2 2
x2 y2 1 36 32
3.在 ABC 中，两个顶点的坐标是A（-4，0）B（4，0），周长是18，则顶点 C的轨迹方程是（ x y 1 ）
25 9
典例二：代入法求轨迹
例2：如图，在圆 x y 4 上任取一点p，经过点p做x 轴的垂线段PD,D为垂足，当点P在圆上运动时,线段PD的 中点M的轨迹是什么？为什么？
椭圆及其标准方程
椭圆的定义
椭圆定义：把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大 于 F1F2）的点的轨迹叫做椭圆 定义解读： 1、在平面内 2、动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 3、常数 2a要大于焦距2c 1 MF 2 2a 4、定义式：MF
分析方程
椭圆的标准方程：
x2 y2 1, a b 0 a 2 b2 y2 x2 1, a b 0 a 2 b2
① ②
a、b、c的几何意义： 线段 PF 表示a，线段 OF 表示c,线段 OP 表示b 方程的形式：左边是两项平方和，右边是1 焦点在大分母变量对应的轴上
2 2
y
P
F1
O
F2
x
基础自测解析
1. 指出下列椭圆的焦点坐标，并求a、b、c? 1) 7， 0 a=4,b=3,c= 7 0 7， 2) (0,3) ,(0,3),a=5,b=3,c=3 3) 3 3， 0， 3 3， 0 ，a 6, b 3, c 3 3 2.D 3. 椭圆 4. 14
2 2
y P
M o Dຫໍສະໝຸດ x随堂练习二如图DP垂直于x轴，点M在DP的延长线上，且 ，当点P在 圆 x2 y 2 4 上运动时，动点M的轨迹方程，并说明轨迹形状，与例2相 比，你有什么发现？ y
M P
DM 3 DP 2
O
D
x
谢谢！
典例分析
• 典例一 例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别为（-2，0）、（2，0） 5 3 并且经过点 2 ， 2 ，求它的标准方程？
典例一
随堂练习一
写出适合下列条件的椭圆方程：
1.焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过p（3，-2）； 2.a+b=10, c=2 解:由 c 2 a 2 b 2 20 得a-b=2，又a+b=10,解得a=6,b=4 x y 1 所以，椭圆标准方程是： 36 16
2 2
x2 y2 1 36 32
3.在 ABC 中，两个顶点的坐标是A（-4，0）B（4，0），周长是18，则顶点 C的轨迹方程是（ x y 1 ）
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典例二：代入法求轨迹
例2：如图，在圆 x y 4 上任取一点p，经过点p做x 轴的垂线段PD,D为垂足，当点P在圆上运动时,线段PD的 中点M的轨迹是什么？为什么？
椭圆及其标准方程
椭圆的定义
椭圆定义：把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大 于 F1F2）的点的轨迹叫做椭圆 定义解读： 1、在平面内 2、动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 3、常数 2a要大于焦距2c 1 MF 2 2a 4、定义式：MF
分析方程
椭圆的标准方程：
x2 y2 1, a b 0 a 2 b2 y2 x2 1, a b 0 a 2 b2
① ②
a、b、c的几何意义： 线段 PF 表示a，线段 OF 表示c,线段 OP 表示b 方程的形式：左边是两项平方和，右边是1 焦点在大分母变量对应的轴上
2 2
y
P
F1
O
F2
x
基础自测解析
1. 指出下列椭圆的焦点坐标，并求a、b、c? 1) 7， 0 a=4,b=3,c= 7 0 7， 2) (0,3) ,(0,3),a=5,b=3,c=3 3) 3 3， 0， 3 3， 0 ，a 6, b 3, c 3 3 2.D 3. 椭圆 4. 14
2 2
y P
M o Dຫໍສະໝຸດ x随堂练习二如图DP垂直于x轴，点M在DP的延长线上，且 ，当点P在 圆 x2 y 2 4 上运动时，动点M的轨迹方程，并说明轨迹形状，与例2相 比，你有什么发现？ y
M P
DM 3 DP 2
O
D
x
谢谢！
典例分析
• 典例一 例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别为（-2，0）、（2，0） 5 3 并且经过点 2 ， 2 ，求它的标准方程？
典例一
随堂练习一
写出适合下列条件的椭圆方程：
1.焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过p（3，-2）； 2.a+b=10, c=2 解:由 c 2 a 2 b 2 20 得a-b=2，又a+b=10,解得a=6,b=4 x y 1 所以，椭圆标准方程是： 36 16