椭圆及其标准方程课件
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课件1：3.1.1 椭圆及其标准方程
且m≠n).
(3)找关系：依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组. (4)得方程:解方程组,将a,b,c或m,n代入所设方程即为所求. 提醒:焦点所在坐标轴不同,其标准方程的形式也不同.
习练·破
已知方程
x2 m2
y2 m2
=1表示焦点在x轴上的椭圆，
则m的取值范围是 ( )
A.m>2或m<-1
设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=6①，
由余弦定理得，cos∠PF1F2=
m2 16 n2 2m 4
1 2
,
即m2-n2-4m+16=0②，
由①②解得m= 5，n 7 ,
2
2
故△PF1F2的面积是
1 2
m
|
F1F2
|
sin
60
1 2
5 2
4
3 5 3. 22
【答案】D
类题·通 1.椭圆定义的应用 (1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化. (2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体， 求解定值问题.
3.1.1 椭圆及其标准方程
必备知识·素养奠基
1.椭圆的定义 (1)文字语言：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_常__数__ (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)集合语言：P={M||MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|}.
36 27
课堂检测·素养达标
1.方程 x 22 y2 x 22 y2 =10化简的结果是 ()
A. x2 y2 1 25 16
x2 C.
y2
1
《椭圆及其标准方程》课件
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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
3.1.1椭圆及其标准方程课件(人教版)
由椭圆的定义可知，2a 2c，即 a c，
所以：a2 c2 0
令 a2 c2 b2， 其中 b 0， 代入上式，得 b2x2 a2 y2 a2b2 x2 y2
两边同除以 a2b2，得 a2 b2 1 (a b 0).
这个方程叫做椭圆的标准方程，它表示的椭圆的 焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）. 这里 c2 = a2 - b2．
10 6
例、已知B、C是两个定点，|BC|=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。
y A
BO C x
解：如图，建立坐标系，使x轴经过点B、C， 原点O与BC的中点重合。 由已知 | AB | | AC | | BC | 16， | BC | 6，有
| AB | | AC | 10，即点A的轨迹是椭圆，且 2c 6，2a 16 6 10，
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（4）化简方程 将这个方程移项后两边平方，得：
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
整理，得： a2 cx a (x c)2 y2
上式两边再平方，得： a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 整理，得： (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
设|F1F2|=2c（c＞0），M（x，y）为椭圆上任
意一点，则有F1（- c，0），F2（c，0）． y M（x，y）
cc
F1 OF2xFra bibliotek（2）写点集 由定义不难得出椭圆集合为： P = { M | |MF1| + |MF2| = 2a ｝． （3）列方程
| MF1 | (x c)2 y2， | MF2 | (x c)2 y2，
3-1-1椭圆及其标准方程课件-人教A版高中数学选择性必修第一册
P到另一个焦点的距离为
.
练习
贝
,c=3,
故椭圆的标准方程
例题
例1.已知椭圆的两焦点为F₁ (2,0)、F₂ (-2,0),并且椭圆过
点
,求椭圆的标准方程。
解：因为椭圆焦点在x轴上，可设其方程为 由椭圆得定义可知c=2
所以a=√ 10 所以b²=a²-c²=10-4=6 故椭圆得标准方程为
思考：你还能用其他 方法求它的标准方程 吗?试比较不同方法 的特点。
所以
所以椭圆的方程为5x²+4y²=1
故椭圆得标准方程为
归纳
求椭圆标准方程的方法 当焦点位置不确定时，
可设椭圆方程为mx ²+ny²=1(m>0,n>0,m≠n). 因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类 情况，所以可以避免分类讨论，从而到达了简化运算的 目的 .
例题
例2 在圆x²+y²=4 上任取一点P, 过 点P向x轴作垂 线段PD,D 为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD中点
相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M的轨
迹方程。
解：设点M(x,y),因为点A(-5,0),B(5,0) 所以直线AM得斜率为
直线BM 得斜率为
所以
所以点M 得轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点得椭圆
小结
标准方程
不同点
图形
V x
焦点坐标
共同点
定义
平面内与两定点F₁ 、F₂的距离的和等于常 数(大于|F₁F₂ I)的点的轨迹叫做椭圆.
新知
焦点在x 轴上，坐标为F(-c,0),F₂(c,0)
椭圆的标准方程
即
2
思考：如 何 推 导 焦 点 在y轴 上的椭圆的标准方程呢?
椭圆及其标准方程 课件(共16张PPT)
生活中 的椭圆
问题:
(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢? (2) 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又 是什么呢？
数学实验
同学们一起观察以下操作： 在图板上，将一根无 弹性细绳的两端用图钉固定，一支铅笔的笔尖沿细绳运 动，能得到什么图形？
圆定义
把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（2a）（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的
距离叫做椭圆的焦距（2c）
>2c |MF1|+|MF2|=2a.
M
F1 O
F2
思 你知道2a=2c和2a<2c时点的轨迹是什么吗？
考
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
于x轴的直线交椭圆于C、D两点，则∆F2CD的周长
为__2_0_____
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1
F2
D
变式：若CD不垂直于x轴，则∆F2CD的周长有改变
吗？为什么？
2.求椭圆的方程：
问题1:(1) 求曲线方程的基本步骤？
（1）建系设点; （2）写出点集； （3）列出方程；
（4）化简方程； （5）证明（可省略）。
(2) 如何建立适当的坐标系？ y
M M
y
F2
F1 O
F2 x
O
x
F1
方案一
方案二
解：如图，以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段 F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系,则F1(-c,0)， F2(c,0).设M(x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆定义得：
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
椭圆及其标准方程通用课件
椭圆的特点
椭圆有两个焦点，位于其中心的 两侧。
椭圆上的任意一点到两个焦点的 距离之和是常数。
椭圆的离心率是描述椭圆扁平程 度的重要参数，离心率越小，椭
圆越扁平。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程是以焦点作为极点，以参数t表示极角，用三角函数形式表示的 椭圆方程。
椭圆的参数方程为：`x=a*cos(t)，y=b*sin(t)`，其中a和b分别是椭圆的长半轴 和短半轴，t是从焦点到椭圆上的点的极角。
长半轴，$b$是短半轴。
03
$a,b,c$的关系
$c^{2} = a^{2} - b^{2}$，其中$c$是焦点到中心的距离。
极坐标系下的标准方程
极坐标系下的标准方程
$\rho = \frac{2a\sqrt{1 - \cos^{2}\theta}}{1 + \cos^{2}\theta}$，其中 $\rho$是极径，$\theta$是极角。
PART 06
复习与总结
重点知识回顾
1 2 3
椭圆的定义 椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等 于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
椭圆的几何性质 椭圆的离心率定义，椭圆的焦点性质，椭圆的对 称性。
椭圆的参数方程 椭圆的一种参数表示方法，适用于解决一些特定 的问题。
难点解析及解决方法
ONE
KEEP VIEW
椭圆及其标准方程通 用课件
目 录
• 椭圆的基本概念 • 椭圆的标准方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的画法
PART 01
椭圆的基本概念
椭圆的定义
椭圆是一种二次曲线，它描述的是平 面上与两个固定点（焦点）的距离之 和等于常数（大于或等于两倍的焦点 距离）的所有点的集合。
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
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一、知识
五.课堂小结
探究定义 |MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)
y
y
M
不
图形
同F2 M
O
x
F1
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0 x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 a2-c2=b2 (a>b>0)
同
点 焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
若2a＝|F1F2|
若2a<|F1F2|
四.学以致用
探究二:判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标。
(1)
x2 25
y2 16
1答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）
x2 (2)
y2
1
144 169
答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）
x2
y2
(3) m 2 m 2 1 1 答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。
① F1，F2 的位置不变
②绳子的长度不变 2．为什么作图过程中笔尖 要绷紧？
保证无论笔尖移动到任何 位置，笔尖到两定点到距 离之和都相等 3.笔尖所对应的动点P到两个 定点的距离有什么长度之间 的关系？
PF1 PF2 绳长
三.椭圆定义
椭圆定义的文字表述：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大 于|F1F2|）的点的集合叫做椭圆。 2a
椭圆及其标准方程
一.看图片
二.画椭圆
♦自然界处处存在着椭圆,我们如何画 出椭圆呢?
同桌俩人合作，完成图形
(1)取一条细绳，在纸板上定两个点F1,F2； (2)把细绳的两端固定在纸上的两点F1、F2 (3)用铅笔尖（P）把细绳拉紧，在纸上慢慢移动看看 画出的图形
数学
实验
思考交流：
1.作图的过程中哪些量没有 变？哪些量变了？
两定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（一般用2c表示）
椭圆定义的符号表述：
PF1 PF2 2a (2a>2c)
概念再探究
问题1：定义中的常数为什么要大于 焦距 |F1F2 |？
四. 推导椭圆方程
问题2：回顾圆的轨迹方程是如何求的？
建系，设点，列式，化简
问题3：以四种建系方式，哪一种针对求椭圆
的标准方程比较好？
y
y
y
y
x
O
x
O
O
x
x
O
问题4:你能写出焦点在y轴上的椭圆的标准方 程吗？
问题5:如何用几何图形解释 b2 a2 c2？a，b， c
在椭圆中分别表示哪些线段的长度？
四.学以致用
探究一：用定义判断下列动点M的轨迹 是否为椭圆。 (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的 点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的 点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的 点的轨迹。