椭圆及其标准方程PPT课件.ppt
合集下载
《椭圆及其标准方程》课件
感谢观看
THANKS
《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆及其标准方程ppt课件
F2
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2
2
+ 2
=1
2
2
−
你可以在图中找出表示a，c，b的线段吗？
2 2
+ 2=1
2
M
F1
O
F2
二、椭圆的标准方程
椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆上任意一点M都满
足|MF1|+|MF2|=2a，则椭圆的标准方程为
M
2 2
LET’S START
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
具有何种几何特征才是椭圆呢？
具有何种几何特征才是椭圆呢？
b
1
a
一、椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大
于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，
椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
|PF1|+|PF2|=2aLeabharlann > 2c椭圆的标准方程：
焦点在x轴：
其中，a>b>0，且a2=b2+c2
焦点在y轴：
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
M
设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0)
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2 − = ( − )2 + 2
F1
O
F2
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
椭圆及其标准方程(26张PPT)高二上学期数学选择性必修第一册
F1(0,-c)、F2(0,c)
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
椭圆及其标准方程ppt课件
c表示).
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足