2.2.1椭圆及其标准方程
2.2.1 椭圆及其标准方程
2.2 椭圆2．2.1椭圆及其标准方程[提出问题]取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段F1F2.问题2：若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？提示：不是线段，椭圆．[导入新知]椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，即|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．[注意]椭圆的定义要特别注意：(1)若2a＞2c，则点P的轨迹是椭圆(点P是动点)；(2)若2a＝2c，则点P的轨迹是线段F1F2；(3)若2a＜2c，则点P的轨迹不表示任何图形．[提出问题]在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，－4)．问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则点P的轨迹方程是什么？提示：轨迹方程为x225＋y29＝1.问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则点P的轨迹方程是什么？提示：y225＋x29＝1.[导入新知][注意]1．标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐标轴．2．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等．＞b＞0)焦点在x轴上，椭圆x2b2轴上，分母下谁大焦点就在谁的坐标轴上，这叫“大小定焦点”．[例1]当3＜k＜9时，指出方程x9－k＋yk－3＝1表示的曲线．[解]∵3＜k＜9，∴9－k＞0，k－3＞0.(1)当9－k＞k－3，即3＜k＜6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)当9－k＝k－3，即k＝6时，方程表示圆x2＋y2＝3；(3)当9－k＜k－3，即6＜k＜9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．[类题通法]根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y 轴上．[活学活用]已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．解析：由题意得m－2＞10－m＞0，解得6＜m＜10.又a2＝m－2，b2＝10－m，则c2＝a2－b2＝2m－12＝4，解得m＝8.答案：8[例2](1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．[解](1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 将点(5,0)代入上式解得a ＝5，又c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. [类题通法]确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点． 解：(1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2＜b 2，与题设中a ＞b ＞0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎨⎧ 4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， 所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.[例3] 已知P 为椭圆x 12＋y 3＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.①由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝43，即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.②由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4.∴S 12V F PF ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝ 3. [类题通法](1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．[活学活用]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2是它的焦点．过F 1的直线AB 与椭圆交于A ，B 两点，求△ABF 2的周长．解：∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，则△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ，∴△ABF 2的周长为4a .2.定义法求解轨迹方程定义法是求轨迹方程的一种常用方法．求解时，若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．下面利用椭圆的定义求轨迹方程．1．求三角形顶点的轨迹方程[例] 已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．[解] 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4，0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，且y ≠0)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． [类题通法]利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．[活学活用]1．若本题中“且△ABC 周长等于18”变为“且△ABC 周长等于24”，试求此时顶点A 的轨迹方程．解：由题可知，此时2a ＝24－8＝16，则a ＝8，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝48，64482．求动圆圆心的轨迹方程[例] 已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8＞|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1. [类题通法]巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径之间的关系)，寻求到|MA |＋|MB |＝8，而且8＞|AB |＝6，从而判断动点M 的轨迹是椭圆．[活学活用]2．已知动圆M 和定圆C 1：x 2＋(y －3)2＝64相内切，并且外切于定圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝4，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ，圆心M (x ，y )，两定圆圆心C 1(0,3)，C 2(0，－3)，半径r 1＝8，r 2＝2.则|MC 1|＝8－r ，|MC 2|＝r ＋2.故|MC 1|＋|MC 2|＝(8－r )＋(r ＋2)＝10.又|C 1C 2|＝6，则动圆圆心M 的轨迹是椭圆，设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 且焦点为C 1(0,3)，C 2(0，－3)，2a ＝10，即a ＝5，c ＝3，则b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.2516。
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
§2.2.1椭圆及其标准方程（2）编写：英德市第二中学，叶加修；审核：英西中学，刘东【学习目标】熟练椭圆方程的求解【知识回顾】1. 椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3.小结：【新知构建】用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上．(2)设方程：①依据上述判断设方程为 或 ．②在不能确定焦点位置的情况下也可设 ．(3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组．(4)解方程组，代入所设方程即为所求．例1 已知圆A ：(x ＋3)＋y ＝100，圆A 内一定点B(3，0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．例2 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．小结： 22125169x y +=【当堂练习】1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．小结：【课后作业】1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为( ) A ．5或3 B ．8 C ．5 D ．32. 如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0，1)3.椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．284. 一动圆过定点A (1，0)，且与定圆(x ＋1)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心轨迹方程是__________．5. 与椭圆x 2＋4y 2＝4有公共的焦点，且经过点A (2，1)的椭圆的方程为 ．6.△ABC 的三边a ＞b ＞c 且成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，求顶点B 的轨迹方程。
课时作业10：2.2.1 椭圆及其标准方程(二)
2．2.1 椭圆及其标准方程(二)一、基础过关1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝10，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．不存在C ．圆D ．线段 答案 B解析 由于动点M 到两定点的距离之和等于8且小于|F 1F 2|，所以动点M 的轨迹不存在．2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10答案 D解析 由椭圆的标准方程得a 2＝25，a ＝5.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.3．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32B. 3C.72D ．4答案 C解析 不妨设F 1的坐标为(3，0)，P 点坐标为(x 0，y 0)，∵PF 1与x 轴垂直，∴x 0＝ 3.把x 0＝3代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得y 20＝14， ∴|PF 1|＝12，∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线答案 B解析 由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|， 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆．5．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不相等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对答案 B解析 对于方程x 225＋y 29＝1，其焦点在x 轴上，且c ＝4.对于方程x 29－k ＋y 225－k＝1， ∵0<k <9，∴0<9－k <9,16<25－k <25.∴25－k >9－k ，且25－k －(9－k )＝16.由此可知，方程x 29－k ＋y 225－k＝1的焦点在y 轴上，且c ＝4. 故曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1有相等的焦距，不同的焦点． 6．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 A解析 如图，依题意：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a >0是常数)．又∵|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆，故选A.7．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．解 利用中垂线的性质，我们知道|P A |＝|PB |，|PB |＋|PF |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2>1，结合椭圆的定义，我们知道点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆．a ＝1，c ＝12，∴b 2＝34. ∴动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1. 二、能力提升8．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是 ( )A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1] 答案 B 解析 由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619. 由P A 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38. 同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2的方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27. 由P A 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k ＝34. 数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤38，34.9．设F 1、F 2分别是椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝________.答案 6解析 由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2，∴|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2|＝6.10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2 (a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是__________．答案 ②③解析 设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2 (a >1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确．∵点P (x ，y )在曲线C 上，∴点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．11．已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上， ∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2. 把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1， 得x 236＋y 236＝1， 即x 2＋y 2＝36，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.12．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．解 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y ) ＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 又P 点在椭圆上，∴⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1， 即x 24a 2＋y 24b 2＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 24a 2＋y 24b 2＝1 (a >b >0)． 三、探究与拓展13.如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解 由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5.∵A (1,0)，C (－1,0)，∴点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214. 故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.。
2.2.1椭圆及其标准方程课件人教新课标5
1 (a＞b＞0).
依题意有
2
2
a2
2
3 b2 1,
2
1
a2
2 3 b2
1,
解得
a2 5,
b
2
15.
因为a＞b＞0，所以无解.
综上，所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1.
15 5
方法二：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0，m≠n)，
依题意有
3m 4n 1, 12m n 1,
【微思考】
在椭圆的定义中，动点M到两定点F1，F2的距离之和等于常数 (2a)且2a>|F1F2|，若2a=|F1F2|，则M的轨迹是什么？若 2a<|F1F2|，则M的轨迹是什么？ 提示:当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，点M的轨迹不存在.
【即时练】
1.椭圆 x2 y2 1 的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，
两焦点距离之和等于6，求椭圆的方程.
(2)椭圆的焦点为F1(0，-5)，F2(0，5)，点P(3，4)是椭圆上
的一个点，求椭圆的方程.
【解析】(1)由椭圆的焦点坐标为(-2，0)，(2，0)，
所以可设椭圆的方程为:
x2 a2
y2 b2
1 (a＞b＞0).
因为2a=6，2c=4，所以a=3，c=2，
94
所以a=3，b=2，c= 5
答案：3 2 5
【要点探究】 知识点 1 椭圆的定义 1.对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能视. (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.
(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，
2.2.1椭圆及其标准方程(二)2
2.2.1椭圆及其标准方程（二）【教学目标】1.理解椭圆的定义及标准方程；2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程；3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学科素养】数学抽象、逻辑推理，数学运算.【教学重点】椭圆的定义及标准方程的推导.【教学难点】理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学法指导】教师启发讲授，学生探究学习.复习回顾问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？新知探究例2：如图，在圆422=+y x 上任意取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？ 点评：相关点法（代入法）（设计意图：利用直线中点坐标公式，探求动点轨迹）变式训练2：教材第50页B 组第一题例3：如图所示，设A ，B 的坐标分别是()()0,5,0,5-，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94-，求Ｍ点得轨迹方程。
（设计意图：把直线相关知识与椭圆结合到一起，加强知识之间的联系，以此培养学生 的知识串联能力）点评：参数法变式训练3：(教材第42页练习第4题)小结：求解与椭圆相关的轨迹问题的方法1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）1,4==b a ，焦点在x 轴上；（2）15,4==c a ，焦点在y 轴上；（3）52,10==+c b a2、椭圆2211625x y +=的焦点坐标为（ ）A (0, ±3)B (±3, 0)C (0, ±5)D (±4, 0)3、在方程22110064x y +=中，下列a, b, c 全部正确的一项是（ ） A a=100, b=64, c=36 B a=10, b=6, c=8C a=10, b=8, c=6D a=100, c=64, b=36 教材第42页练习第1题、第3题.课堂小结1.椭圆的概念及标准方程；2.求椭圆方程的方法.作业布置 习题2.2A 组5 、7板书设计椭圆及其标准方程1、椭圆的定义 例2： 例32、椭圆的标准方程课后感悟。
高二数学2.2.1椭圆及其标准方程教案1人教新课标A版选修21
P F 2F 1课题：2.2.1椭圆及其标准方程（1） 第 课时 总序第 个教案课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日教学目标：◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．◆ 过程与方法目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量22b a c =-的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
◆ 情感、态度与价值观目标会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．批 注教学重点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题。
教学难点：理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。
教学用具： 多媒体，三角板 教学方法： 推导，分析教学过程： 一、课前准备（预习教材P 38~ P 40）复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学 ※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ；当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b +=>> 其中222b ac =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,15a c ==，焦点在y 轴上；⑶10,25a b c +==．变式：方程214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）．彗星太阳A ．23B ．6C ．43D ．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．三、总结提升 ※ 学习小结 1. 椭圆的定义： 2. 椭圆的标准方程：※ 知识拓展1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）． A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）．A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,1)3．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）．A ．4B ．14C ．12D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是 ．5．如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式2222(3)(3)10x y x y ++++-=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．课后作业1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点()3,26P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；⑶10,4a c a c+=-=．2. 椭圆2214x yn+=的焦距为2，求n的值．教学后记：。
2.2.1 椭圆及其标准方程
课题：2．2.1椭圆及其标准方程重难点突破预设方案一、联系生活实际，突破重难点。
《数学课程标准》指出：“教师应该充分利用学生已有的生活经验，指导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值”。
数学起源于生活，又作用于生活，运用所学数学知识，解决生活中的许多实际问题，能使学生进一步对数学产生亲切感，增强学生对数学知识的应用意识，从而培养学生的自主创新能力。
在《椭圆及其标准方程》一课中，1、取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？2．如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？3．在问题2中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？教师轻而易举地突破了重点。
二、采到“自主探究”的学习方式，突破重难点。
“自主探究”地学习更有利于知识的掌握和能力的培养。
在教学中当学生已经理解椭圆定义的情况下解决问题情境中提出的实际问题时，教师趁热打铁地让学生自主探究：1．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是() A．椭圆B．线段C．圆D．以上都不对2．若焦点在x轴上的椭圆的方程是x26＋y2m2＝1，则该椭圆焦距的取值范围是()A．(0，6) B．(0,6) C．(0,26) D．(0, 12)3．若椭圆x225＋y29＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为()A．5B．6 C．4D．1学生掌握了知识，并体会到了自己的自主作用，同时教学的重难点也迎刃而解。
三、通过有效的学生活动进一步巩固知识，使重难点化于无形。
当学生已经对知识有一定的掌握后。
若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，求k的取值范围．（易错辨析：忽略椭圆标准方程的隐含条件致误）教师安排让学生用使本节的知识在学生的脑袋里相当牢固。
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
2．请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部， 并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是 什么曲线，并思考下面的问题：
(1)在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端的位置是固定 的还是运动的？
(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ (3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系？
A．7 倍
B．5 倍
C．4 倍
D．3 倍
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
解析：
(1)如图所示，由已知：a＝5， △AF1B的周长l＝|AF1|＋|AB|＋|BF1| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝20.
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
(2)不妨设 F1(－3,0)，F2(3,0)， 由条件知 P3，± 23， 即|PF2|＝ 23，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 3， 即|PF1|＝7 23， 所以|PF1|＝7|PF2|.故选 A.
解析： 由已知 2a＝8,2c＝2 15， ∴a＝4，c＝ 15， ∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， ∴椭圆标准方程为1y62 ＋x2＝1. 答案： 1y62 ＋x2＝1
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
4．已知椭圆88x12＋3y62 ＝1 上一点 M 的纵坐标为 2. (1)求 M 的横坐标； (2)求过 M 且与x92＋y42＝1 共焦点的椭圆的方程． 解析： (1)把 M 的纵坐标代入88x12＋3y62 ＝1 得88x12＋346＝1， 即 x2＝9. ∴x＝±3.即 M 的横坐标为 3 或－3.
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F1 O F2
x
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2 y
F2 P
O
x
F1
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
• 例1求焦点在坐标轴上，且经 过两点 A( 3,2), B(2 3,1)
• 的椭圆的标准方程。
分析一：当焦点在x轴上时， 设方程x2/a2+y2/b2=1
当焦点在x轴上时， 设方程x2/b2+y2/a2=1
分析二：设方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)
课堂练习1
（1）动点P到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0）的距离
之和为8，则P点的轨迹为
（ B）
A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定
（2）动点P到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0） 的距离之和为不小于8，则P点的轨迹为 （ ）
A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定
1
a
b 0
F(0，±c)在Ｙ轴上
c2=a2-b2
注: 哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！
YM
F1 O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
椭圆的标准方程的再认识：
Y
F2(0 , c)
M X
O
F1(0,-c)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹 是什么？ 线段F1F2
问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹 是什么？ 轨迹不存在
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常
数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离
叫做椭圆的焦距。
M
几点说明：
x2
y2
(3)
1
16 16
(5)
x2 m2
y2 m2 1
1
(4)9x2 25 y 2 225 0
? (6) x2 y2 1 24 k 16 k
探究与互动：
1、方程
x2 25－m
＋ y2 16＋m
＝1
，分别求方程满足下列条件
的m的取值范围：
①表示一个圆；
析：方程表示圆需要满足的条件：
两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
因为2a>2c，即a>c，所以 a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中 b>0，代入上式可得：
b2x2+a2y2=a2b2
F1
(-c,0)
Y M(x,y)
O
F2 X
(c,0)
F1
F2
1、F1、F2是两个不同的定点；
2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；
3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？）；
4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
下面我们来求椭圆的标准方程.
2
2
2
2
所 以 a 10 又因 c=2， 故 b2=a2-c2=10-22=6
所以椭圆的标准方程为：
x2
y2
1
10 6
课堂练习2：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2,b2 ，写出焦点坐标.
x2 (1)
y2
1
25 16
(2) 3x2 2 y 2 1
y
F2
M
o
F1
x
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
四、两类标准方程的对照表：
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝ (2a>2c>0)
y
M
y
F2 M
F1 o b2
1
a
b
0
F(±c，0)在Ｘ轴上
ox
F1
y2 a2
x2 b2
x2/15+y2/5=1
• (2)求与椭圆x2/5＋y2/4＝1有公共焦点，且过点 (3,0)的椭圆的标准方程。
•
x2/9＋y2/8＝1 若知椭圆的焦点在
x轴上可以设方程为
x2 m c2
y2 m
1
若知椭圆的焦点在
y轴上可以设方程为
x2 m
m
y2 c2
1
• (3)已知椭圆x2＋2y2＝a2(a＞0)的左焦点到直线l：
垂线段PP',点M在PP'上，并且PM 2MP',求点M的轨迹。
y P
M
x2 y2 1 9
o P’
x
例3：P是椭圆 x2 100
y2 64
1上的一点，F1,
F2是两个焦点
若F1PF2 600 求
（1）三角形F1PF2的面积
（2）PF1 • PF2 的最大值
P
解：由椭圆定义知PF1 PF2 20，(1) 在△F1PF2中由余弦定理知 PF1 2 PF2 2 - 2 PF1 • PF2 cos600 122 PF1 2 PF2 2 PF1 • PF2 144 ( PF1 PF2 )2 3 PF1 • PF2 144
且椭圆经过点P
(
5 2
,
3 2
)。
(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭 圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程
为： x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
2a=10，2c=8 即 a=5，c=4
故 b2=a2-c2=52-42=9
所以椭圆的标准方程为：x2 y2 1
25 9
(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且 椭圆经过点P (5 , 3) 。
22
解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
由椭圆的定义可知：
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10
16 m 25且m 9 2
探究与互动：
1、方程
x2 25－m
＋ y2 16＋m
＝1
，分别求方程满足下列条件
的m的取值范围：
①表示一个圆； ②表示一个椭圆；
(1)m 9
(2)
16
m
2
25且m
9
2
③表示焦点在x轴上的椭圆。
析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
两边同时除以a2b2得：
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)
这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。
三、①椭圆方程的几何意义：
y
y
F1 o F2 x
B2 A1 b a A2
F1 O c F2 x
B1
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
②椭圆的第二种形式：
如果椭圆的焦点在y轴上， 焦点是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎样呢？
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪
一个轴上。
（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的 值。
五、数学应用：
例１ 写出适合下列条件的椭圆的标准方程
202 3 PF1
•
PF2
144
PF1
•
PF2
256 3
S
1 2
PF1
•
PF2
sin
F1PF2
64 3
3
(2) a 10，又 PF1 PF2 20，
PF1 PF2 2
PF1
解：由4 x 2
ky2
1得
x2 1
y2 1
1
4k
∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
1 1 k4
解之得：0<k<4
∴k的取值范围为0<k<4。
例3、过椭圆4x2 y2 1的一个焦点
交于A、B两点，求 ABF2 的周长。
F1 的直线与椭圆
y
F2
oB
x
A F1
例4:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的 轨迹方程.
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m