椭圆的标准方程及其几何性质

解 已知圆可化为：
圆心Q(3，0)， ，所以P在定圆内 设动圆圆心为 ，则 为半径 又圆M和圆Q内切，所以 ，
即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以 ， ，故动圆圆心M的轨迹方程是：
题7。△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是- ，求顶点A的轨迹方程.
[解析] 的周长为 ， =8
2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
解析：椭圆方程化为 + =1.
焦点在y轴上，则 >2，即k<1.
又k>0，∴0<k<1.
答案：0＜k＜1
3.椭圆 + =1的离心率是____________，准线方程是____________.
所以，以线段 为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切
题11。已知椭圆的焦点是 ，Ｐ为椭圆上一点，且｜ ｜是｜ ｜和｜ ｜的等差中项.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠ ＝120°，求 .选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.
解：(1)由题设｜ ｜＋｜ ｜＝２｜ ｜＝4
∴ ， 2c=2， ∴ｂ＝
∴椭圆的方程为 .
（２）设∠ ，则∠ ＝60°－θ
由正弦定理得：
由等比定理得：
整理得： 故
题12.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|= ，求椭圆方程.
解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0），
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设 = + ，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.
（1）解法一：∵a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，且|a|+|b|=8，
∴点M（x，y）到两个定点F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和为8.
题16。选择题
1.已知F1、F2是椭圆 + =1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为
A.8 B.16 C.25 D.32
解析：利用椭圆的定义易知B正确.
答案：B
2.椭圆 +y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则| |等于
A. B. C. D.4
m+n=2.①
由弦长公式得2· =（ ）2，将m+n=2代入，得m·n= .②
m= ，m= ，
n= n= .
∴椭圆方程为 + y2=1或 x2+ =1..
题13.直线l过点M（1，1），与椭圆 + =1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.
解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则 + =1，①
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0（*）
x1＋x2＝ ，x1x2＝
∵ ＝3 ∴－x1＝3x2∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（ ）2＋4 ＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0
m2＝ 时，上式不成立；m2≠ 时，k2＝ ，
＋
又
所以所求标准方程为
另法：∵
∴可设所求方程 ，后将点（ , ）的坐标代入可求出 ，从而求出椭圆方程
(3)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：
∵ ，2c=6.
∴
∴
∴所求椭圆的方程为： .
(4)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为
.
∴
∴所求椭圆方程为：
（5）∵椭圆的焦点在 轴上，所以可设它的标准方程为：
+ =1.②
①－②，得
+ =0.
∴ =－ · .
又∵M为AB中点，
∴x1+x2=2，y1+y2=2.
∴直线l的斜率为－ .
∴直线l的方程为y－1=－ （x－1），
即3x+4y－7=0.
题14。已知椭圆 的中心为坐标原点 ,一个长轴端点为 ,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且 ．
∵ =（x1，y1）， =（x2，y2），
∴ · =x1x2+y1y2=0，
即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，
即（1+k2）·（－ ）+3k·（－ ）+9=0，即k2= ，得k=± .
∴存在直线l：y=± x+3，使得四边形OAPB是矩形.
椭圆作业
班级：______________姓名：____________
根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为 ( ≠0)
题4。已知 轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆 上的动点，求AQ中点M的轨迹方程
解：设动点 的坐标为 ，则 的坐标为
因为点 为椭圆 上的点，
所以有 ，即
所以点 的轨迹方程是
题5。长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在 轴、 轴上滑动，点M分AB的比为 ，求点M的轨迹方程
解：设动点 的坐标为 ，则 的坐标为 的坐标为
因为 ，
所以有 ，即
所以点 的轨迹方程是
题6。已知定圆 ，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程
分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论：
上式可以变形为 ，又因为 ，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆
A．5B．7C．13D．15
[解析]B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点， ， 的最小值为10-1-2=7
5.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是
3.设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为
A. －1B.2－ C. D.
解析：易知圆F2的半径为c，（2a－c）2+c2=4c2，（ ）2+2（ ）－2=0， = －1.
答案：A
4.已知 为椭圆 上的一点， 分别为圆 和圆 上的点，则 的最小值为（）
再根据椭圆定义得
所以顶点A的轨迹方程为
（ ≠0）（特别强调检验)
因为A为△ABC的顶点，故点A不在 轴上，所以方程中要注明 ≠0的条件
题3。在△ABC中，BC=24，AC、AB的两条中线之和为39,求△ABC的重心轨迹方程.
分析：以BC所在直线为 轴，BC的中垂线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，M为重心，则|MB|+|MC|= ×39=26.
因λ＝3∴k≠0∴k2＝ >0，∴－1<m<－ 或 <m<1
容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（－1，－ ）∪（ ，1）
题15。设x、y∈R，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，且|a|+|b|=8.
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程.
若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点.
∵ = + =0，
∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.
∴直线l的斜率存在.设l方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
y=kx+3，
+ =1，
（－21）＞0恒成立，且x1+x2=－ ，x1x2=－ .
∵ = + ，∴四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即 · =0.
A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能
[解析]按小球的运行路径分三种情况:
(1) ,此时小球经过的路程为2(a－c);
(2) ,此时小球经过的路程为2(a+c);
(3) 此时小球经过的路程为4a,故选D
题17、填空题
1.已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于A、B两点若 ，则 =______________。
设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组
y=x+1，
mx2+ny2=1.
消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n－1=0.
Δ=4n2－4（m+n）（n－1）>0，即m+n－mn>0，OP⊥OQ x1x2+y1y2=0，
即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，∴ － +1=0.
∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴ ＝１０.
又∵P到它较近的一焦点的距离等于2，
∴－c－（－１０）＝２，故c=8.
∴ .
∴所求椭圆的标准方程是 .
题2。已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且 的周长等于16，求顶点A的轨迹方程
解：以BC所在直线为 轴，BC中垂线为 轴建立直角坐标系，设顶点 ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10
解析：由椭圆方程可得a=5，b=3，c=4，e= ，准线方程为x=± =± .