椭圆的标准方程与性质

椭圆的标准方程与性质教学目标：1 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.高考相关点：在高考中所占分数：13分考查出题方式：解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有：求曲线方程，弦长，面积，对称关系，围问题，存在性问题。

涉及到的基础知识1．引入椭圆的定义在平面与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：有以下3种情况(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质题型总结类型一 椭圆的定义及其应用例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【解析】根据CD 是线段MF 的垂直平分线.可推断出,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P 的轨迹 【答案】根据题意知,CD 是线段MF 的垂直平分线.,(定值),又显然,根据椭圆的定义可推断出点P 轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆.所以A 选项是正确的练习１：已知F 1，F 2是椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥2PF u u u r，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．【解析】由题意的面积∴故答案为：【答案】3练习2：已知F1，F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A．6 B．5 C．4 D．3【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴，则周长为16，故第三边长为6.所以正确答案为A.【答案】A类型二求椭圆的标准方程例2：在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．【解析】设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b>0)，由e＝22，知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. 【答案】x 216＋y 28＝1 练习1：设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．【答案】x 2+3y 2/2=1类型三 椭圆的几何性质例3：如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆()222210x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．【解析】直线A1B2的方程为x－a＋yb＝1，直线B1F的方程为xc＋y－b＝1，二者联立，得T(2aca－c，b（a＋c）a－c)，则M(aca－c，b（a＋c）2（a－c）)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上，∴2222()1 ()4()c a ca c a c++=--，c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝27－5. 【答案】27－5练习1：已知A、B是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)和双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足AP→＋BP→＝λ(AM→＋BM→)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________．【解析】设出点P 、M 的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出．【答案】∵A ，B是椭圆和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A （-a ，0），B （a ，0）．设P （x 1，y 1），M （x 2，y 2），∵，其中λ∈R ，∴（x 1+a ，y 1）+（x 1-a ，y 1）=λ[（x 2+a ，y 2）+（x 2-a ，y 2）]，化为x 1y 2=x 2y 1．∵P 、M 都异于A 、B ，∴y 1≠0，y 2≠0．∴．由k 1+k 2==5，化为，（*）又∵，∴，代入（*）化为．k 3+k 4==，又，∴，∴k 3+k 4===-5．故答案为-5．类型四 直线与椭圆的位置关系例4：(2014·卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2，0)，离心率为63. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．【解析】（1）根据已知条件求得和的值，于是可得的值，即得到椭圆的标准方程；（2）设出点坐标和直线和的方程，将其与椭圆方程联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据边角关系得到平行四边形底边的长和对应的高，代入面积的表达式即可得到结论。

【答案】（1）由已知可得，，，所以。

又由，解得，所以椭圆的标准方程是。

（2）设点的坐标为，则直线的斜率。

当时，直线的斜率，直线的方程是。

当时，直线的方程是，也符合的形式。

设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得。

消去，得。

其判别式，所以，，。

因为四边形是平行四边形，所以，即。

所以，解得。

此时，四边形的面积。

练习1：(2014·卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－12x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB||CD|＝534，求直线l的方程．【解析】（1）根据椭圆上的一点和离心率建立方程，求出椭圆方程中的参数。

（2）根据圆心到直线的距离求出的长度，建立直线和椭圆的方程组求出的长度，根据和的关系求出。

【答案】由题设知解得，，，所以椭圆的方程为。

（2）由题设，以为直径的圆的方程为，所以圆心到直线的距离，由得。

所以。

设，，由得。

由求根公式可得，。

所以，由得，解得，满足。

所以直线的方程为或。

类型五圆锥曲线上点的对称问题例5：椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝12，其中∠F1AF2的平分线所在的直线l的方程为y＝2x－1.(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由【解析】（1）由定义法代入即可得答案。

（2）假设存在直线，先设出直线方程代入，与椭圆方程联立后得到矛盾，即可。

【答案】（1）设椭圆E的方程为+=1,由e=,即=,a=2c,得b2=a2-c2=3c2.∴椭圆方程具有形式+=1.将A(2,3) 代入上式, 得+=1,解得c=2,∴椭圆E的方程为+=1.（2）解法一:假设存在这样的两个不同的点B(x1,y1)和C(x2,y2),∵BC⊥l,∴kBC==-.设BC的中点为M(x0,y),则x=,y=,由于M在l上, 故2x0-y-1=0.①又B,C在椭圆上,所以有+=1与+=1.两式相减,得+=0,即+=0.将该式写为·+··=0, 并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中,得x0-y=0,即3x-2y=0.②①×2-②得x0=2,y=3,即BC的中点为点A, 而这是不可能的.∴不存在满足题设条件的点B和C.解法二:假设存在B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线l对称,则l⊥BC,∴kBC=-.设直线BC的方程为y=-x+m,将其代入椭圆方程+=1, 得一元二次方程3x2+4=48,即x2-mx+m2-12=0.则x1与x2是该方程的两个根.由韦达定理得x1+x2=m,于是y1+y2=-(x1+x2)+2m=,∴B,C的中点坐标为.又线段BC的中点在直线y=2x-1上,∴=m-1,得m=4.即B,C的中点坐标为(2,3),与点A重合,矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.练习1：(2014·)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则ba＝________.【解析】由题可得C(,2a a -),F(,2ab b +),因为C,F 在抛物线上,代入抛物线可得21ba=+,故填21+。

【答案】21+下一讲讲解围，面积类型的题。

随堂检测1.（2015年高考卷）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A2.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若2222:1(0)x y E a b a b+=>>F M :340l x y -=E ,A B 4AF BF +=M l45E 33(0,]43[3[,1)4AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．【答案】x 218＋y 29＝13.椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x＋c )与椭圆T 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．【答案】3－14．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为__________【答案】-25.(2014·测试与评估)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左顶点为A ，左焦点为F ，点P 为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝12，则AP →·FP →的取值围是________．【答案】[0,12]6.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C 1上任一点，MN是圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的一条直径，与AF 平行且在y 轴上的截距为3－2的直线l 恰好与圆C 2相切．(1)求椭圆C 1的离心率；(2)若PM →·PN →的最大值为49，求椭圆C 1的方程．【答案】（1)由题意可知直线l 的方程为bx ＋cy －(3－)c ＝0，因为直线l 与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1相切，所以d ＝＝1，即a 2＝2c 2，从而e ＝.(2)设P(x ，y)，圆C 2的圆心记为C 2，则＋＝1(c>0)，又·＝(＋)·(＋)＝－＝x 2＋(y －3)2－1＝－(y ＋3)2＋2c 2＋17(－c ≤y ≤c)．①当c ≥3时，(·)max ＝17＋2c 2＝49，解得c ＝4，此时椭圆方程为＋＝1；②当0<c<3<时，(·)max ＝－(－c ＋3)2＋17＋2c 2＝49，解得c ＝±5－3但c ＝－5－3<0，且c ＝5－3>3，故舍去．综上所述，椭圆C 1的方程为＋＝1.课下作业基础巩固1.以椭圆两焦点为直径端点的圆，交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于( )A. B. C.－ D.－1【答案】C2.设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，椭圆上有一点P 与这两个焦点成90度的角，且∠PF 1F 2>PF 2F 1，若椭圆离心率为，则∠PF 1F 2：∠PF 2F 1为( ) A ．1：5 B ．1：3 C ．1：2 D ．1：１【答案】A3.设F 1，F 2分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中点，|OM|＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5【答案】A364.已知椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对【答案】C5.与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．【答案】2212516x y +=6．若椭圆()222210x y a b a b+=>>与双曲线22221x y a b -=的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值围为________．【答案】（0,1）7.已知双曲线C 与椭圆2211612x y +=有共同的焦点F 1，F 2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P 到右焦点F 2的距离为4，则PF 2的中点M 到坐标原点O 的距离等于________．【答案】38.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝______．【答案】12能力提升9.（2014·卷）设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2C ．7＋ 2D ．6 2【答案】D10.（2015年高考卷）已知抛物线的焦点F 也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为，过点F 的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.求的方程；【答案】21:4C x y =22222:1y x C a b+=(0)a b >>1C 2C l 1C ,A B 2C ,CD AC u u u r BD u u u r2C 22198y x +=。