椭圆标准方程及其性质知识点大全(供参考)

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椭圆的标准方程及性质

椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。

本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。

一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。

设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。

二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。

2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。

焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。

3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。

长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。

4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。

离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。

5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。

6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。

7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。

8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。

三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。

2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。

3. 固定时间下的最短路径问题。

4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。

4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。

5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。

总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。

椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。

数学椭圆知识点总结

数学椭圆知识点总结数学椭圆知识点总结「篇一」1.椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆;(2)若a=c，则集合P为线段;(3)若a2.椭圆的标准方程和几何性质一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程。

三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c。

(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴。

椭圆方程的第一定义：⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上. ii. 中心在原点，焦点在轴上。

②一般方程.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为(一象限应是属于)。

⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴;长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距.⑤准线：或.⑥离心率.⑦焦点半径：i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出。

ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出。

由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”。

注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆。

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程。

高中数学椭圆知识点公式大全

高中数学椭圆知识点公式大全椭圆是一种重要的数学曲线，几何上可以看作是平面内与两个定点F1、F2和总距离为2a的动点P的轨迹，数学上可以通过方程来描述。

椭圆的性质和公式涉及到椭圆的焦点、顶点、长轴、短轴、离心率等概念，下面将详细介绍高中数学椭圆的知识点公式。

一、椭圆的定义与性质1.定义：椭圆是平面上与两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹。

2.基本性质：a.焦半径定理：过椭圆上任意一点P引两条直线分别与两焦点相交于A和B，则AP+BP=2a。

b.反奇异性：椭圆上任意一条直线与两个焦点的连线的夹角等于该直线到两个离心点的距离之差的绝对值。

c.双曲率定理：椭圆上任意一点的曲率半径之和等于椭圆的长轴和短轴的和。

d.弦长定理：椭圆上任意两点P、Q的弦长PQ满足PQ^2=PF1^2+PF2^2+2a^2二、椭圆的方程1.标准方程：椭圆的标准方程有两种形式：a.第一种形式：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，其中a为长轴的一半，b 为短轴的一半。

b.第二种形式：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1，其中a为长轴的一半，b 为短轴的一半。

2.直角坐标系下其他形式方程：a.椭圆的顶点在原点的方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1b.椭圆的中心在原点的方程：(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)为中心坐标。

c.椭圆的顶点在y轴上的方程：(x-h)^2/a^2+y^2/b^2=1d.椭圆的顶点在x轴上的方程：x^2/a^2+(y-k)^2/b^2=13. 极坐标系下的方程：r = (a * b) / sqrt(b^2 cos^2 θ + a^2 sin^2 θ)，其中(a, b)为半轴。

三、椭圆的重要参数1.焦距：引如椭圆的两个焦点之间的距离，记为2c。

2.离心率：e=c/a，表示焦点与顶点之间的距离与长轴的比值。

3.焦点坐标：F1(-c,0)，F2(c,0)。

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离），则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质1．定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

椭圆高中知识点总结

椭圆高中知识点总结摘要：一、椭圆的概念及几何性质二、椭圆的标准方程及其求法三、椭圆的参数及其性质四、椭圆的定理及应用五、椭圆与双曲线、抛物线的区别与联系正文：一、椭圆的概念及几何性质椭圆是数学中一种重要的曲线，它是指在平面内到两定点（称为焦点）的距离之和等于常数（大于焦点间距离）的点的轨迹。

椭圆有两个焦点F1、F2 和两个顶点A、B，其中AF1 + AF2 = 2a，BF1 + BF2 = 2b，a 和b 分别为椭圆的长半轴和短半轴，且a > b > 0。

椭圆的几何性质包括：椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，椭圆的离心率等。

二、椭圆的标准方程及其求法椭圆的标准方程是指椭圆方程中，焦点在x 轴和y 轴上的形式。

椭圆的标准方程有两种形式，分别为：1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 12.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为：(x^2 / b^2) + (y^2 / a^2) = 1求椭圆标准方程的方法有待定系数法、直接法等。

三、椭圆的参数及其性质椭圆的参数包括长半轴a、短半轴b、焦距c 等，它们之间的关系为：a > c > b。

椭圆的离心率e 定义为c / a，其值介于0 和1 之间。

当e =0 时，椭圆退化为圆；当e = 1 时，椭圆退化为抛物线。

四、椭圆的定理及应用1.椭圆的切线定理：过椭圆外一点作椭圆的两条切线，它们的交点在椭圆的焦点连线上。

2.椭圆的焦半径定理：椭圆的焦半径（即连接焦点与顶点的线段）长度为a^2 - b^2。

3.椭圆的离心率定理：离心率e 满足e^2 = 1 - (b^2 / a^2)。

4.椭圆的面积公式：S = πab。

五、椭圆与双曲线、抛物线的区别与联系椭圆、双曲线和抛物线都是解析几何中的重要曲线，它们有以下区别和联系：1.椭圆是到两定点距离之和为常数的点的轨迹，而双曲线是到两定点距离之差为常数的点的轨迹。

椭圆知识点与性质大全

椭圆与方程【知识梳理】 1、椭圆的定义平面内，到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆，其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点，定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。

此定义为椭圆的第一定义。

2、椭圆的简单性质3、焦半径椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径，且[],PF a c a c ∈-+，特别地，若00(,)P x y 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+，20||PF a ex =-,其中c e a =.4、通径过椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点F 作垂直于长轴的直线，交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径，且22b AB a =。

P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，称12PF F ∆为椭圆的焦点三角形,其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ∆=.6、过焦点三角形直线l 过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三角形，其周长为：24ABF C a ∆=，面积为212y y c S ABF -=∆.7、点与椭圆的位置关系()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上;若2200221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200221x y a b+<，则P 在椭圆内。

椭圆标准方程及其性质知识点大全精编版

标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2离心率①(01)c e e a =<< ，②21()b e a=-③222b a c -=（离心率越大，椭圆越扁）【说明】：1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 2.2. 方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A≠B 。

A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。

(三)焦点三角形的面积公式：122tan2PF F S b θ∆=如图：●椭圆标准方程为:12222=+by a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan2PF F S b θ∆=。

高一椭圆知识点公式大全

高一椭圆知识点公式大全椭圆是我们在高中数学中学习的一类二次曲线，具有许多重要的性质和应用。

在本文中，我们将详细介绍高一阶段学习椭圆所需掌握的知识点和相关公式，以便帮助同学们更好地理解和应用椭圆。

一、椭圆的定义与性质椭圆可以通过以下定义来理解：在平面上给定两点 F1 和 F2（称为焦点），和一个准确的正实数 2a（称为长轴的长度），满足任意一点 P 到 F1 的距离加上到 F2 的距离等于 2a（即 PF1 + PF2 = 2a），则点 P 的轨迹就是一个椭圆。

根据这个定义，我们可以得出椭圆的几个重要性质：1. 椭圆的离心率 e 满足 0 < e < 1。

2. 长轴的长度为 2a，短轴的长度为 2b，其中 a、b 为焦点到椭圆中心距离。

3. 椭圆的中心为焦点连线的中点。

4. 焦点到椭圆上一点的距离和焦半径（即焦点到椭圆的任意切线的距离）之积为常数。

二、椭圆的标准方程与参数方程椭圆的标准方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 或者 y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1，其中 a 和 b 分别代表长轴和短轴的长度。

对于椭圆的参数方程，我们可以表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中θ 为参数，取值范围为0 ≤ θ ≤ 2π。

三、椭圆的焦点与直径椭圆的焦点是椭圆的重要特征之一。

根据椭圆的定义，焦点到椭圆中心的距离为 c。

我们可以通过以下公式来计算焦点的坐标：F1: (-c, 0)F2: (c, 0)椭圆的直径是指椭圆上两个相对的点，且经过椭圆的中心。

直径的长度为 2a。

四、椭圆的离心率与焦半径公式椭圆的离心率 e 可以通过以下公式计算：e = c/a其中 c 为焦点到椭圆中心的距离，a 为长轴的长度。

而焦半径 r 可以通过以下公式计算：r = a*(1 - e^2)其中 e 为离心率。

五、椭圆的周长与面积公式椭圆的周长和面积公式如下：周长 C = 4a*E(e)面积A = π*a*b其中 E(e) 为椭圆的第二类椭圆积分，具体计算过程较为复杂，可通过数学软件或查表获得具体值。

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【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全
(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：
●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数
)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦
点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121
F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形
(二)椭圆的简单几何性：
标准方程图形
性质
焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F
),0(1c F -，),0(2c F
焦距
范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤
对称性
关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±
轴长
长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2
离心率
①(01)c e e a =
<< ，②21()b e a
=-③2
22b a c -=
（离心率越大，椭圆越扁）
1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中
a 最大且a 2=
b 2+
c 2.
2. 方程22
Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC
≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。

A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。

(三)焦点三角形的面积公式：122tan
2
PF F S b θ
∆=如图：
●椭圆标准方程为:122
22=+b
y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，
12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan
2
PF F S b θ
∆=。

(四)通径：如图：通径长 2
2b MN a
=
●椭圆标准方程:122
22=+b
y a x )0(>>b a ，
(五)点与椭圆的位置关系：
（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔22
00
221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；
（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200
221x y a b
+<
(六)直线与椭圆的位置关系：
●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122
22=+b
y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程
组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定：
（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； (七)弦长公式：
●若直线AB:y kx b =+与椭圆标准方程:122
22=+b y a x )0(>>b a 相交于两点
11(,)A x y 、22(,)B x y ，
把AB 所在直线方程y=kx+b ，代入椭圆方程122
22=+b
y a x 整理得：Ax 2+Bx+C=0。

●弦长公式： ① 212212
212
4)(11x x x x k
x x k AB -++=-+=a
k ∆
+=2
1（含M N
F x
y
x 的方程）
②212
2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+==（含y 的方程）
（八）圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

① 椭圆标准方程:122
22=+b y a x )0(>>b a ，以00(,)M x y 为中点的弦所在直线的斜率
2
2OM b k k a
=-；
② 椭圆标准方程: 122
22=+b x a y )0(>>b a ，以00(,)M x y 为中点的弦所在直线的斜率
2
2OM a k k b
=-
③斜率为k 的弦的中点轨迹方程：设弦PQ 的端点为P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，中点为M （x 0，
y 0），把P ，Q 的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得022
=+b ky
a x （椭
圆内不含端点的线段）。

【考点指要】
在历年的高考数学试题中，有关圆锥曲线的试题所占的比重约占试卷的15%左右，且题型，数量，难度保持相对稳定：选择题和填空题共2道题，解答题1道，选择题和填空题主要考查圆锥曲线的标准方程，几何性质等；解答题往往是以椭圆，双曲线或抛物线为载体的有一定难度的综合题，问题涉及函数，方程，不等式，三角函数，平面向量等诸多方面的知识，并蕴含着数学结合，等价转化，分类讨论等数学思想方法，对考生的数学学科能力及思维能力的考查要求较高。

主要考查：圆锥曲线的概念和性质；直线与圆锥曲线的位置关系；求曲线的方程；与圆锥曲线有关的定值问题，最值问题，对称问题，范围问题等。

曲线的应用问题，探索问题以及圆锥曲线与其它数学内容的交汇问题也将是高考命题的热点。