椭圆定义、标准方程及性质(一)
椭圆的定义及性质
D
B
D
=1.
小结：椭圆的标准方程及其简单几何性质
条件
2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0
标准方程
图形
范围 对称性 顶点 焦点 焦距 离心率
曲线关于x轴、 y轴、原点对称
长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
(-c,0)和(c,0)
曲线关于x轴、 y轴、原点对称
长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0)
F1、F2为端点的线段． 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆．
二.椭圆的标准方程 (1)焦点在x轴
y
P
F1 o
F2 x
(2)焦点在y轴
y
F2
P
o
x
F1
看分母大小
2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0
三.椭圆的几何性质
让我们一起研究标准方程为:标准方程
椭圆的定义及性质
一．椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离 之和等于常数2a（大于∣F1F2∣）的 点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1、F2叫椭圆的焦点. 两焦点的距离∣F1F2∣叫椭圆的焦距 （2c）.
2.椭圆定义的符号表述：
(2a>2c)
注意 1.当2a>2c时,轨迹是椭圆 ：2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以
因此 焦点F1Leabharlann (-c,0)、 F2 (c,0)y
O
x
把椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆 的离心率，用e表示，即
y x
O
所以 e∈(0，1) e越接近于0，椭圆越圆；e越接近于1，椭圆越扁.
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。
一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。
设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。
2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。
3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。
长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。
4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。
离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。
5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。
6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。
7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。
8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。
三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。
2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。
3. 固定时间下的最短路径问题。
4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。
4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。
5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。
总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。
椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。
第一节 椭圆的方程及性质(知识梳理)
第一节椭圆的方程及性质复习目标学法指导1.椭圆及其标准方程.(1)椭圆的定义.(2)椭圆的标准方程.(3)椭圆的焦点、焦距的概念.2.椭圆的简单几何性质.(1)椭圆的简单几何性质.(2)有关椭圆的计算证明.3.掌握利用曲线的方程研究曲线几何性质的基本方法. 1.注重掌握椭圆的形成过程,注重掌握其形成过程中椭圆上的点所满足的几何条件.2.利用曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何的基本问题之一.一、椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.1.概念理解(1)|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|=2c⇒动点M轨迹为椭圆.(2)|MF 1|+|MF 2|=2a=|F 1F 2|=2c ⇒动点M 轨迹为线段. (3)|MF 1|+|MF 2|=2a<|F 1F 2|=2c ⇒动点M 轨迹不存在. 2.相关结论 焦点三角形:以椭圆22x a +22yb =1(a>b>0)上一点P(x 0,y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(-c,0),F 2(c,0)为顶点的三角形PF 1F 2称为焦点三角形. ①焦点三角形PF 1F 2的周长|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=2a+2c.②焦点三角形PF 1F 2的面积S=12|PF 1|·|PF 2|sin α(其中α=∠F 1PF 2). ③|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2. 二、椭圆的标准方程及其简单几何性质 焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准 方程22x a +22y b =1(a>b>0)22y a +22x b =1(a>b>0)图形范围 |x|≤a;|y|≤b |x|≤b;|y|≤a 对称性曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 顶点长轴顶点(±a,0)短轴顶点(0,±b)长轴顶点(0,±a)短轴顶点(±b,0)轴长轴长2a,短轴长2b焦点 (±c,0)(0,±c)焦距 |F 1F 2|=2c离心率 e=c a ∈(0,1)a,b,c的关系c 2=a 2-b 21.概念理解(1)给出椭圆的标准方程,可根据x 2,y 2项分母的大小确定a 2和b 2的值及焦点的位置,平方项中分母大的为a 2,并且焦点所在的坐标轴名称与该项变量相同,即焦点在长轴上,如23x +24y =1中,y 2项的分母大,所以a 2=4,b 2=3,且焦点在y 轴上.(2)椭圆中a 2,b 2与c 2的关系b 2=a 2-c 2是椭圆固有的性质,不会因椭圆的位置变化而变化. (3)椭圆的离心率e 反映椭圆的扁平程度,e ∈(0,1),e=ca21b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭变形为b a21e -这四个量之间的关系要记准,解题中经常用到.(4)焦点在y 轴上的方程及所有性质,都是焦点在x 轴上的内容中的x,y 互换得到的.2.与椭圆的方程及几何性质相关的结论 (1)点M(x 0,y 0)与22x a +22y b =1的关系:点M 在椭圆上:202x a +202y b =1, 点M 在椭圆内:202x a+202y b<1,点M 在椭圆外:202xa +202y b >1.(2)共焦点的椭圆方程的设法:22x a k -+22y b k -=1,其中a 2>b 2>k.(3)共离心率的椭圆方程的设法:22x a +22y b =k, 其中k>0.1.已知方程25x m-+23y m +=1表示椭圆,则m 的取值范围为( D )(A)(-3,5) (B)(-3,1) (C)(1,5) (D)(-3,1)∪(1,5)解析:方程表示椭圆的条件为50,30,53,m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩解得m ∈(-3,1)∪(1,5).故选D.2.椭圆210x m-+22y m -=1的焦距为4,则m 等于( C )(A)4 (B)8 (C)4或8 (D)12解析:当焦点在x 轴上时,10-m>m-2>0, 10-m-(m-2)=4,所以m=4.当焦点在y 轴上时,m-2>10-m>0,m-2-(10-m)=4, 所以m=8.所以m=4或8.故选C.3.(2019·北京卷)已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为12,则( B )(A)a 2=2b 2 (B)3a 2=4b 2 (C)a=2b (D)3a=4b解析:因为椭圆的离心率e=c a =12,所以a 2=4c 2. 又a 2=b 2+c 2,所以3a 2=4b 2.故选B.4.椭圆225x +29y =1的左、右焦点分别为F 1,F 2,直线l 过(0,5)与椭圆交于A,B,则△ABF 2周长的最大值为 . 解析:△ABF 2周长=|AB|+|AF 2|+|BF 2|≤|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=4a=20. 答案:205.椭圆24x +29y =1的左、右顶点分别为A,B,P 是椭圆上异于A,B 的一点,设PA,PB 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1k 2= . 解析:设P(x,y), 则k 1k 2=2yx +·2y x -=224y x -=2249y y -=-94. 答案:-94考点一 椭圆的定义及应用[例1] (1)已知动圆M 过定点A(-3,0)并且与定圆B:(x-3)2+y 2=64相切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )(A)216x +27y =1 (B)27x +216y =1 (C)216x -27y =1 (D)27x -216y =1(2)以A(-1,0),B(1,0)为焦点,经过x-y+3=0上一点的椭圆中,长轴最短的椭圆方程为 . 解析:(1)因为点A 在圆B 内, 所以过点A 的圆与圆B 只能内切, 因为B(3,0),所以|AB|=6.所以|BM|=8-|MA|,即|MB|+|MA|=8>|AB|, 所以动点M 的轨迹是以A,B 为焦点的椭圆,设其方程为22x a +22y b =1,得a=4,c=3,b 2=7,所以方程为216x+27y =1.故选A.解析:(2)A(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为A ′(-3,2), 2a=|PA|+|PB|=|PA ′|+|PB|≥|A ′B|=25,所以长轴最短为25,此时椭圆方程为25x +24y =1.答案:(1)A 答案:(2)25x +24y =1椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程,二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的离心率等. 考点二 求椭圆的标准方程 [例2] (1)求过点35且与椭圆225y +29x =1有相同焦点的椭圆的标准方程;(2)椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率3且过点(2,1),求椭圆方程. 解:(1)法一 椭圆225y +29x =1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知, ()()223054-+-+()()223054-+--解得5由c 2=a 2-b 2可得b 2=4.所以所求椭圆的标准方程为220y+24x =1.法二 设所求椭圆方程为225y k -+29x k-=1(k<9), 将点(3,-5)的坐标代入可得()2525k --+()239k -=1,解得k=5(k=21舍去),所以所求椭圆的标准方程为220y +24x =1.解:(2)因为e=3,所以a=2b.当焦点在x 轴上时,设椭圆方程为24x +21y =b 2,(2,1)代入得b 2=2,此时标准方程为28x +22y =1.当焦点在y 轴上时,设椭圆方程为24y +21x =b 2,(2,1)代入得b 2=174,此时标准方程为217y +2417x =1.(1)求椭圆标准方程,常用待定系数法,解题时常依据条件确定焦点所在坐标轴,设出椭圆标准方程,建立关于a,b 的等量关系式,因椭圆标准方程中有两个未知量,所以需建立两个等量关系式进行求解,这一过程概括为“先定式,后定量”.(2)对于共焦点的椭圆方程问题,既可以利用定义法根据已知的焦距求解,也可以利用待定系数法把与椭圆22x m +22y n =1(m 2≠n 2)共焦点的椭圆设为22x m k-+22y n k-=1(k<m 2,k<n 2)来求解.(3)对于已知椭圆离心率求方程的问题,可以用c 来表示a,b,从而设出方程,利用待定系数法求解.若所求椭圆与椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)有相同的离心率,则可设为22x a +22y b =k 1(k 1>0,焦点在x 轴上)或22y a +22x b =k 2(k 2>0,焦点在y 轴上).(4)把题目中关于直线、曲线的相互位置关系、等量关系转化为关于a,b,c,e 的等量关系,结合b 2=a 2-c 2,e=c a这些等量关系,求得a,b 的值,是求椭圆方程的一般思路.1.如图,已知椭圆C 的中心为原点O,F(-25,0)为C 的左焦点,P 为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C 的方程为( B )(A)225x +25y =1 (B)236x +216y =1 (C)230x +210y =1(D)245x +225y =1解析:设椭圆的标准方程为22x a +22yb =1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F ′,连接PF ′,如图所示. 因为5为C 的左焦点,所以5由|OP|=|OF|=|OF ′|知,∠FPF ′=90°, 即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中,由勾股定理, 得|PF ′22||||FF PF '-()22454-由椭圆定义,得|PF|+|PF ′|=2a=4+8=12, 所以a=6,a 2=36, 于是b 2=a 2-c 25)2=16,所以椭圆C 的方程为236x +216y=1.故选B.2.设F 1,F 2分别是椭圆E:x 2+22y b =1(0<b<1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B|,AF 2⊥x 轴,求椭圆E 的方程. 解:设F 1(-c,0),F 2(c,0),依据题意可得 a 2-b 2=1-b 2=c 2, 所以b 2=1-c 2. 因为AF 2⊥x 轴,所以将x=c 代入椭圆E 的方程,得 |AF 22,所以A(c,±b 2). 因为|AF 1|=3|F 1B|, 所以1AF =31F B .设B(x 0,y 0),根据椭圆的对称性不妨取A(c,b 2). 因为1AF =(-2c,-b 2),1F B =(x 0+c,y 0),所以(-2c,-b 2)=3(x 0+c,y 0), 所以()02023,3,c x c b y ⎧-=+⎪⎨-=⎪⎩解得0205,3,3c x b y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则B(-53c ,-23b ),代入椭圆E 的方程,得(-53c )2+2223b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=1,所以2259c +219c -=1,解得c 2=13,所以b 2=1-c 2=23,所以椭圆E 的方程为x2+232y =1.考点三 椭圆的几何性质及应用[例3] (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1,F 2是椭圆C: 22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为3的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P= 120°,则C 的离心率为( )(A)23 (B)12 (C)13 (D)14(2)已知F 1,F 2是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且∠F 1PF 2=60°.若△F 1PF 2的面积为33,则b= .解析:(1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上,如图所示, 设|F 1F 2|=2c,因为△PF 1F 2为等腰三角形, 且∠F 1F 2P=120°, 所以|PF 2|=|F 1F 2|=2c, 因为|OF 2|=c,所以点P 坐标为(c+2ccos 60°,2csin 60°), 即点3c),因为点P 在过点A 3的直线上,所以3c=3,解得c a=14,所以e=14,故选D.解析:(2)法一 设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2, 因为△F 1PF 2的面积为33,∠F 1PF 2=60°,所以12F PF S∆=12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2=3r 1r 2=33,所以r 1r 2=12.根据余弦定理,可得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2=(|PF 1|+|PF 2|)2-3|PF 1||PF 2|, 即4c 2=4a 2-3r 1r 2,所以4b 2=3r 1r 2=36,解得b=3. 法二 因为12F PF S ∆=b 2tan 122F PF ∠=b 2tan 30°=3b 2=33,所以b=3. 答案:(1)D (2)3(1)与几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系,深挖出它们之间的联系,求解自然就不难了. (2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方程:①求出a,c,代入公式e=ca ;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式,结合b 2=a 2-c 2转化为关于a,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围).如图所示,已知F 1,F 2是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q,且点Q 为线段PF 2的中点,则椭圆C 的离心率为 .解析:连接OQ,PF 1(图略),则|OQ|=b,|PF 1|=2b, |PF 2|=2|QF 222c b -,由|PF 1|+|PF 2|=2a, 可知22c b -=2a,化简可得221e -21e -+,解得5.答案5考点四 易错辨析[例4] (1)设e 是椭圆24x +2y k=1的离心率,且e ∈(12,1),则实数k 的取值范围是( )(A)(0,3) (B)(3,163) (C)(0,3)∪(163,+∞) (D)(0,2) (2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别4525过P 作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程.(1)解析:当4>k>0时,e=ca ∈(12,1),即12<1⇒1<4-k<4,即0<k<3;当4<k 时,e=ca ∈(12,1), 即14<4k k -<1⇒14<1-4k <1⇒34>4k >0⇒k>163. 故选C. (2)解:法一设椭圆的标准方程是22x a +22y b =1(a>b>0)或22y a +22x b =1(a>b>0),两个焦点分别为F 1,F 2.由题意知2a=|PF1|+|PF 2所以在方程22x a +22y b =1(a>b>0)中,令x=±c,得|y|=2b a . 在方程22y a +22x b =1(a>b>0)中,令y=±c,得|x|=2b a.依题意得2b a 2=103. 即椭圆的方程为25x +2310y =1或25y +2310x=1. 法二 设椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,且|PF 1,|PF 2,则由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF 2所以由|PF 1|>|PF 2|知,PF 2垂直于长轴. 故在Rt △PF 2F 1中,4c 2=|PF 1|2-|PF 2|2=203, 所以c 2=53,b 2=a 2-c 2=103,故椭圆的方程为25x +2310y =1或25y +2310x=1. 涉及含参数的椭圆标准方程,需要考虑x 2,y 2项的分母的大小,以确定焦点所在坐标轴,常见错误是只考虑一种情况忽略另一种情况.温馨提醒:(1)涉及椭圆标准方程问题,需考虑“定式”与“定量”两个方面.定式即确定焦点所在的坐标轴,它决定x 2与y 2项分母的大小,定量是利用已知条件求a 2,b 2的值.(2)牢记“先定式,后定量”这一处理问题的顺序.1.在平面直角坐标系xOy 中,P 是椭圆24y +23x =1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:因为椭圆方程为24y +23x =1,所以焦点坐标为B(0,-1)和B ′(0,1), 连接PB ′,AB ′,根据椭圆的定义, 得|PB|+|PB ′|=2a=4, 可得|PB|=4-|PB ′|,因此|PA|+|PB|=|PA|+(4-|PB ′|) =4+(|PA|-|PB ′|).因为|PA|-|PB ′|≤|AB ′|, 所以|PA|+|PB|≤4+|AB ′|=4+1=5.当且仅当点P 在AB ′延长线上时,等号成立. 综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为5.2.长轴长为6,焦距为4的椭圆的标准方程为 . 解析:因为2a=6,2c=4,所以a=3,c=2. b 2=a 2-c 2=9-4=5,所以椭圆的标准方程为29x +25y =1或25x +29y =1. 答案:29x +25y =1或25x +29y =1类型一 椭圆的定义及应用1.若椭圆C:29x +22y =1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上,且|PF 1|=4,则∠F 1PF 2等于( C )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 解析:由题意知7所以|PF 2|=2,在△F 2PF 1中,由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=()2224227242+-⨯⨯=-12,又因为∠F 1PF 2∈(0°,180°), 所以∠F 1PF 2=120°.故选C. 2.设F 1,F 2是椭圆249x +224y =1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,则△PF 1F 2的面积为( C ) (A)30 (B)25 (C)24 (D)40解析:因为|PF 1|+|PF 2|=14,|PF 1|∶|PF 2|=4∶3, 所以|PF 1|=8,|PF 2|=6,又因为|F 1F 2|=10,所以PF 1⊥PF 2;12PF F S =12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24.故选C.3.已知椭圆C:29x +24y =1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A,B,线段MN 的中点在C 上,则|AN|+|BN|= .解析:由椭圆C:29x +24y =1,得a=3.设MN 的中点为P,椭圆的左、右焦点分别为F 1,F 2,连接PF 1,PF 2.①当点A,B 都不在直线MN 上时, 因为F 1,F 2分别是AM,BM 的中点,所以PF 1,PF 2分别是△AMN,△MNB 的中位线, 所以|AN|=2|PF 1|,|BN|=2|PF 2|,所以|AN|+|BN|=2|PF 1|+2|PF 2|=2(|PF 1|+|PF 2|)=4a=12.②当点A,B 中有一点在直线MN 上时,同理可得|AN|+|BN|=12. 答案:124.椭圆22x a +22yb =1(a>b>0)左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上一点,过F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线,垂足为M,则M 的轨迹方程为 . 解析:延长F 2M 交F 1P 延长线于Q, 则|PQ|=|PF 2|,所以M 为F 2Q 的中点. 所以|OM|=12|F 1Q|=a,所以M 的轨迹方程为x 2+y 2=a 2. 答案:x 2+y 2=a 2类型二 求椭圆的标准方程5.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A,B 两点,且|AB|=3,则C 的方程为( C ) (A)22x +y 2=1 (B)23x +22y =1 (C)24x +23y =1 (D)25x +24y =1解析:设椭圆的方程为22x a +22y b =1(a>b>0), 由题意知2b a =32, 又c 2=a 2-b 2=1,解得a=2或a=-12(舍去),b 2=3, 故椭圆的方程为24x +23y =1.故选C.6.(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( B )(A)22x +y 2=1 (B)23x +22y =1 (C)24x +23y =1 (D)25x +24y =1解析:不妨设|F 2B|=m,故|F 1B|=|AB|=|AF 2|+|F 2B|=3|F 2B|=3m. 由椭圆定义得|F 1B|+|F 2B|=2a=4m,故|F2B|=12a,|BF1|=32a,|AF2|=a,|AF1|=2a-|AF2|=a.在△AF1F2和△BF1F2中,分别可得:2222122222141cos,22194244cos.1222a c aAF Fa c aa c a aBF Faa c⎧+-∠==⎪⨯⨯⎪⎪⎨+--⎪∠==⎪⨯⨯⎪⎩由二角互补可得22aa-=-1a,解得a2=3,故b2=2,方程为23x+22y=1.故选B.7.已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为12,右焦点为F2,点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点.若△PF2Q的周长为4,则椭圆C的方程为.解析:椭圆的离心率为12,则3设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以|PF2|2=(x1-c)2+21y=14(x1-4c)2,所以|PF2|=2c-12x1,连接OM,OP,由相切条件知:|PM|2=|OP|2-|OM|2=21x+21y-3c2=2114x,所以|PM|=12x1,所以|PF2|+|PM|=2c,同理可求|QF 2|+|QM|=2c, 所以|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=4c. 因为△PF 2Q 的周长为4, 所以c=1, 所以所以椭圆C 的方程为24x +23y =1. 答案:24x +23y =1类型三 椭圆的几何性质8.已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右两焦点分别为F 1,F 2,点A 在椭圆上,1AF ·12F F =0,∠F 1AF 2=45°,则椭圆的离心率e 等于( B )解析:由1AF ·12F F =0得AF 1⊥F 1F 2,又∠F 1AF 2=45°, 所以|AF 1|=|F 1F 2|, 即2b a =2c,整理得c 2+2ac-a 2=0, 所以e 2故选B.9.椭圆216x+24y =1上有两点P,Q,O 为坐标原点,若OP,OQ 斜率之积为-14,则|OP|2+|OQ|2等于( C ) (A)4 (B)64 (C)20 (D)不确定 解析:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),所以1212y y x x =-14,即22122212yy x x=116,(*)因为椭圆方程为216x +24y =1,所以21y =4-214x ,22y =4-224x ,代入(*)式整理可得21x +22x =16,所以|OP|2+|OQ|2=21x +22x +21y +22y =20.故选C.10.如图,已知椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P是椭圆C 上一点,点M 在PF 1上,且满足1F M =2MP ,PO ⊥F 2M,O 为坐标原点,则椭圆C 的离心率的取值范围为 .解析:过点O 作ON ∥F 2M 交PF 1于点N,OP 与MF 2交于点Q, 因为O 为F 1F 2中点, 所以N 为MF 1的中点, 又1F M =2MP ,所以M 为PN 中点,进而有Q 为OP 的中点, 又因为PO ⊥F 2M, 所以OF 2=PF 2=c, 又a-c<PF 2<a+c, 所以a-c<c<a+c,即ca >12,所以离心率e∈(12,1).答案:(12,1)。
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质1． 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距.(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e dPF=，0＜e ＜1的常数}.2． 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -=（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -=3.椭圆一般方程两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。
与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。
5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。
与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为 ，6：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221=范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace 准线方程 ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=x y O F F PA AB 11121222M M K K7．性质：对于椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：1.范围；②对称轴、对称中心；③顶点；④焦点、焦距；⑤准线方程；⑥离心率. 焦半径c a PF c a PF -=+=min max,. 2.焦准距c b p 2=；两准线间的距离c a 22=；通径长22b a⨯.半通径.3.最大角()12122max F PF F B F ∠=∠4.8.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;9.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔10.弦长公式11．对椭圆方程22221x ya b +=作三角换元可得椭圆的参数方程：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ，θ为参数．12．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：13对椭圆：12222=+b x a y ，则k AB =2020a xb y -．第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP . 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离 1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-.这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =-----精心整理，希望对您有所帮助!。
椭圆的标准方程及性质
一.椭圆曲线的介绍1.域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。
其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)：具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。
不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。
这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。
定义保证如下性质：随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0.这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）：P，Q不重合时：P，Q重合时：总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。
椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面：Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点：（图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。
此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。
为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。
上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。
而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。
2.2.1椭圆及其标准方程(一)
定点F1、F2叫做椭圆的焦点.
说明
1.平面上这一个条件不可少;
F1
F2
2.椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数,记为2a；
两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即F1F2＝2c.
椭圆的定义式： MF ＋ MF 2a 1 2
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
10
x y 1 (a b 0) 2 2 a b y2 x2 2 1 (a b 0) 2 a b
问题1
2
2
y
（ 1）
M F1 0 y F2 O F1 x
（ 2）
F
2x椭圆的标准方程的特：1、方程的右边是常数1
2、方程的左边是和的形式，每一项的分子是 x2、y2，分母是一个正数。
x
MF 由椭圆的定义得，限制条件： 1 MF 2 2a
代入坐标 MF1 ( x c) 2 y 2 , MF2 ( x c) 2 y 2
得方程 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a(1)
（问题：下面怎样化简？）
8
当x≠0时，分子有理化，得： 4cx
问题2
根据上述讨论，如何判断椭圆的焦点的位置？ 若 x2 项的分母大，则其焦点就在 x 轴上，若 y2 项 的分母大，则其焦点就在 y 轴上，简称“分母大小定焦 点”
11
练习1.下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a 2 , b 2 .
x2 y2 (1) 1 (4)9 x 2 25y 2 225 0 16 16 x2 y2 2 2 ( 5 ) 3 x 2 y 1 ( 2) 1 25 16 x2 y2 x2 y2 1 (3) 2 2 1 (6) k 2 3 k m m 1
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
椭圆标准方程及其性质知识点大全
椭圆标准方程及其性质(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形(二)椭圆的简单几何性：●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。
标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率①(01)ce e a =<< ，②21()b e a=-③222b a c -=（离心率越大，椭圆越扁）【说明】：1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 2.2. 方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A≠B 。
A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。
(三)焦点三角形的面积公式：122tan2PF F S b θ∆=如图：●椭圆标准方程为:12222=+by a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan2PF F S b θ∆=。
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椭圆的定义、标准方程及性质(一)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1、椭圆的焦距（）
A．2 B． C． D．
2、是定点，，动点M满足，则点M的轨迹是（）
A．椭圆 B．圆 C．线段 D．直线
3、若椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点则椭圆的方程为（）A． B． C． D．
4、方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．（0,1）
5、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点构成的周长是（）
A． B．2 C． D．1
6、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（）
A．或 B．
C．或 D．
7、已知，则曲线有（）
A．相同的短轴 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴
8、椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，已知，则的面积为（）
A．9 B．12 C．10 D．8
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
9、椭圆的离心率为，则= .
10、设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则*的最大值为 .
11、椭圆的焦点分别是，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么是倍.
12、已知圆及点，为圆上一点，的垂直平分线交于于，则点的轨迹方程为 .
三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
13、如果点在运动的过程中，总满足关系式，点的轨迹是什么曲线?写出它的方程.
14、点到定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形.
15、已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，求点的坐标.
16、从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，，求此椭圆的方程.。