矩阵相似的性质

1 矩阵的相似1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】）矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质（1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=.（2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。

（3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。

已知有,X Y 使1B X AX -=，C 1Y BY -=。

令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。

1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ⨯∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =；引理：A 是一个s n ⨯矩阵，如果P 是一个s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩（B ）=秩（1B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ）（2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即11()()P AP B P f A P f B --=⇒=证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1110()n n n n f B a B a B a B a E --=+++由于A 相似于B ，则kA 相似与kB ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得1k k B X A X -=，因此 ()()111110n n n n X f A X X a A a A a A a E X ----=+++1111110n n n n a X A X a X A X a X AX a E -----=++++1110n n n n a B a B a B a E --=+++()f B = 所以()f A 相似于()f B 。

（3）相似矩阵有相同的行列式，即,A B trA trB ==；证明：设A B 与相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=，两边取行列式得：111B C AC C A C A C C A ---====，从而相似矩阵有相同的行列式。

又由性质（2）知，A B 与有相同的特征多项式，因而有相同的特征值12,,,n λλλ，而A 的迹12n trA λλλ=+++，B 的迹12n trB λλλ=+++，从而trA trB =，即相似矩阵有相同的迹（4）A 与B 有相同的Jordan 标准形； （5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。

证明：设A B 与相似，由性质2可知A B =，若A 可逆，即0A ≠，从而0B ≠，故B可逆；若A 不可逆，即=0A ，从而=0B ,故B 不可逆。

（6）若A 与B 相似，B D 与相似，则0000A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与相似。

证明：A 与B 相似，即存在可逆矩阵P ,使得1B P AP -=,CD 与相似，即存在可逆矩阵Q ,使得1D Q CQ -=，由于110000=0000B A P P D C Q Q --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1000=000P A P Q C Q -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然00P Q ⎛⎫⎪⎝⎭是可逆矩阵。

由此可见，则0000A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与相似。

定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

证明：先证前一部分。

设线性空间V 中线性变换A 在两组基：12,,,n εεε （1） 12,,.,n ηηη（2）下的矩阵分别为A 和B ,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X ，则：1212(,,,)(,,.,)n n A A A A εεεεεε=， 1212(,,,)(,,,)n n A A A B ηηηηηη=1212(,,,)(,,.,)n n X ηηηεεε=于是1212(,,,)(,,,)n n A A A A ηηηηηη=12[(,,.,)]n A X εεε=12(,,,)n A A A X εεε= 12(,,,.)n AX εεε= 112(,,.,)n X AX ηηη-=由此可得 1B X AX -=现在证后一部分。

设n 级矩阵A 和B 相似，那么它们可以 看作是n 维线性空间V 中一个线性变换 在基12,,.,n εεε下的矩阵。

因为1B X AX -=，令：1212(,,,)(,,,.)n n X ηηηεεε=,显然，12,,n ηηη 也是一组基，A 在这组基下的矩阵就是B 。

例一：证明12n λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与21i i in λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似，其中 12,,,ni i i 是1,2,,n 的一个排列。

证明：设：121212(,,)(,,)n n n A λλεεεεεελ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则211212(,,,)(,,,.)i i n n in A λλεεεεεελ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，因为12n λλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭和21i i in λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是线性变换A 在不同基下的矩阵，故它们相似。

定理2.1：设,A B 是数域P 上的两个n 级矩阵，A 与B 相似的充要条件是它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价。

例一：设,,a b c 是实数，b c a A c a b a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，c a b B a b c b c a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,证明A 与B 相似。

证明：b c a E A c a b a b c λλλλ---⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪---⎝⎭a b c c a b b c a λλλ---⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭c ab bc a a b c λλλ---⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭c ab a bc E B b c a λλλλ---⎛⎫ ⎪→---=- ⎪ ⎪---⎝⎭故E A λ-和E B λ-等价，从而A B ∽3，矩阵相似的应用 3.1相似矩阵与特征矩阵定义3.1.1：把矩阵A （或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A （或线性变换A ）的初等因子。

定理3.1.1：数域F 上的方阵A B 与相似的充要条件是E A λ-和E B λ-有相同的列式因子。

定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。

例1：证明：任何方阵A 与其转置方阵A ' 相似。

证明：因为E A λ-与E A λ'- 互为转置矩阵，它们对应k 阶子式互为转置行列式，故相等。

从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。

故E A λ-与E A λ'- 等价，从而A 与A ' 相似。

例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。

证法一：设A B 与相似，即可存在可逆矩阵Q ，使1B Q AQ -=，又设A B 与的最小多项式分别为()()12,g g λλ，于是：()()()111210g B g Q AQ Q g A Q --===,但是，B 的最小多项式整除任何以B 为根的多项式，故()()12g g λλ=证法二：设A B 与相似，则E A λ-和E B λ-等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故A B 与有相同的最小的多项式。

4 相似矩阵与矩阵的对角化矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。

定义3.1.2：数域F 上方阵A ，如果与一个F 上的对角方阵相似，则称A 在F 上可对角化。

定理3.2.3：复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的初等因子全是一次的。

定理3.2.4：复数矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 的不变因子都没有重根。

定理3.2.5：复数域上方阵A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式没有重根。

定理3.2.6：设A 是n 阶方阵，则以下条件是等价的：（1）A 相似于对角矩阵；（2）属于A 的不同特征值的特征向量线性无关；（3）A 有n 个线性无关的特征向量；（4）A 的每一特征值的代数重数都等于它的几何重数。

例4：设复矩阵A 的最小多项式()21k f λλ=-，证明：A 与对角阵相似。

证明：()()()()221,1,21k k f f k λλλλ-'=-= ，即A 的最小多项式无重根，所以A 的初等因子都是一次的，所以A 相似于对角阵。

例5：设A 为n 阶方阵，()f E A λλ=- 是A 的特征多项式，并令：()()()()(),f G f f λλλλ='，证明：A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是()0g A =。

证明：设()()()()1212n n nr f E A λλλλλλλλ=-=---，其中12,,...r λλλ互不相等，且12r n n n n ++=，则：()()()()12r g λλλλλλλ=---。

如果A与一个对角矩阵相似，则E A λ-的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是12,,,r λλλλλλ--- ，它们的乘积就是E A λ-最后一个不变因子()n d λ，亦即()()()()()12n r d g λλλλλλλλ=---=。

但()n d λ 就 是E A λ-的 最 小 多 项 式 ， 所 以()()0n g A d A ==。

反之，若()0g A =，则A 的最小多项式()n d λ整除()g λ，因而()n d λ没有重根，故A 与对角矩阵相似。

例7：设131210311A --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试证明：（1）A 在复数域上可对角化；（2）A 在有理数域上不可对角化。