证明矩阵相似的五种方法
相似矩阵的基本知识点
相似矩阵的基本知识点：
首先了解相似矩阵的由来，因为一个线性变换在不同基下矩阵就不同，我们就要考虑它们之间是不是有联系，这就引入了相似矩阵的概念。
定义（定理）：设线性空间V 中线性变换A 在两组基n εεε,.....,21和n ηηη,.......,21下的矩阵分别为A 和B ，从n εεε,.....,21到n ηηη,.......,21的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=。
我们就称矩阵A 和矩阵B 是相似的。
相似是矩阵间的一种关系，具有三种特性：
1． 反身性：即A 与它自身是相似的。
2． 对称性：即A 与B 相似，则称B 与A 相似。
传递性：即A 与B 相似，B 与C 相似，则称A 与C 相似 练习：
1如何来证相似矩阵有相同的特征多项式？
证明：设A 与B 相似，则有可逆矩阵P ，使得
B AP P =-1 于是A E P A E P AP P E B E -=-=-=---λλλλ11。
这表明线性变换关于不同基的矩阵可以不同。
但这些矩阵有相同的特征多项式)(λf ，故)(λf 是由线性变换确定的。
由此称)(λf 为线性变换的特征多项式。
2相似矩阵有相同的特征多项式
证明：设A B ，即有可逆矩阵X ，使得1B X
A X -=，于是 ()111E
B E X
A X X E a X X E A X E A λλλλλ----=-=-=-=-
3一个线性变换在不同基之下的矩阵相似。
第5章 矩阵的相抵与相似
§5.1 等价关系与集合的划分本节只做简单介绍，考试不考此局部，在以后抽象代数 中还会讲到。
§5.2 矩阵的相抵〔也叫等价〕第一章§1已经证明，任何一个矩阵AJ 。
如果再对J那么能变成什么样的最简单的矩阵？看例子：13213213212101101124601010000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭101011000⎛⎫ ⎪→- ⎪⎪ ⎪⎝⎭〔以上行变换〕； 再经过列变换100010000A ⎛⎫ ⎪→ ⎪⎪⎝⎭。
最后这个矩阵非常简单，把它写成分块矩阵的形式就是：2000I ⎛⎫⎪⎝⎭。
任何一个矩阵经过初等行、列变换是否都可以化成这种简单形呢？定义1 数域K 上的矩阵A 经过一系列初等行变换和初等 列变换变成矩阵B ，那么称A 与B 是相抵的或等价的，记作AB 相抵，或AB 等价。
矩阵的相抵关系满足 1°反身性：AA 相抵, 即A 与自己相抵；2°对称性：假设A B 相抵，那么B A 相抵;3°传递性：假设A B 相抵，BC 相抵, 那么A C 相抵.因此，矩阵的相抵关系是一种等价关系。
事实1 ⇔A 经过初等行变换和初等列变换变成矩阵B⇔存在K 上的s 阶初等矩阵12,,,t P P P 与n 阶初等矩阵12,,,m Q Q Q , 使得2112tm P P PAQQ Q B =〔1〕定理1 设数域K 上的s n ⨯矩阵A 的秩为r 。
如果0r >,那么A 相抵于下述形式的矩阵000rI ⎛⎫⎪⎝⎭, 〔2〕证明 如果0r >, 那么A 经过一系列初等行变换化成的 简化行阶梯形矩阵J 有r 个非零行：1210000100000100000000000000n n rn c c c J ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再经过适当的两列互换，可以变成下述形式：111212111000010000010000000000r n r n r r rn c c c c J c c +++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，，，。
任意n阶矩阵与三角矩阵相似的证明
任意n阶矩阵与三角矩阵相似的证明一、引言矩阵理论是线性代数的重要组成部分，而相似矩阵是矩阵理论中的一个关键概念。
在矩阵相似性的研究中，一个重要的结论是任意n阶矩阵都可以与一个三角矩阵相似。
本文将从深度和广度上对这一证明进行全面的评估，以便读者能更加深入地理解这一重要的数学概念。
二、相似矩阵的定义在进行证明之前，首先需要了解相似矩阵的定义。
设A和B是n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B成立，那么称矩阵B 是矩阵A的相似矩阵，矩阵P是将A变换为B的相似变换矩阵。
三、证明任意n阶矩阵与三角矩阵相似的过程1.先证明n=1时成立。
当n=1时，矩阵A是一个1阶矩阵，可以写为[a]，其中a是一个数。
而任意1阶矩阵都是三角矩阵，因此成立。
2.再证明n=k时成立，其中k为任意正整数。
设A是一个n阶矩阵，由于复数域上的任意n阶矩阵都有n个特征值（可能重复），所以一定存在至少一个特征值。
设λ是矩阵A的一个特征值，对应的特征向量为v。
则存在一个n维非奇异矩阵P，使得P^-1AP=Λ，其中Λ为一个对角矩阵。
将P写成列向量的形式，得到P=[v1 v2 ... vn]，P^-1=[v1' v2' ... vn']，其中vi为v的第i个分量，v'i为v的第i个分量在P^-1中的表示。
那么有P^-1AP=P^-1[Av1 Av2 ... Avn]=[λv1λv2 ... λvn]=ΛP^-1，这样就得到了相似矩阵关系。
3.证明对于n=k+1时也成立。
设A是一个n+1阶矩阵，由于复数域上的任意n+1阶矩阵都有n+1个特征值（可能重复），所以一定存在至少一个特征值。
设λ是矩阵A的一个特征值，对应的特征向量为v。
由于A是n+1阶矩阵，因此由特征向量的性质可知，存在一个n维非奇异矩阵P1，使得P1^-1AP1=Λ1，其中Λ1为一个对角矩阵。
将P1写成列向量的形式，得到P1=[v1 v2 ... vn v(n+1)]，P1^-1=[v1' v2' ... vn' v(n+1)']，其中vi为v的第i个分量，v'i为v的第i个分量在P1^-1中的表示。
两个不可相似对角化矩阵相似的判定条件
两个不可相似对角化矩阵相似的判定条件上线性代数中，矩阵的相似性是一个重要的概念。
两个矩阵如果相似，它们具有相同的特征多项式、特征根和秩。
而在实际问题中，我们常常需要判定两个给定的矩阵是否相似，特别是对角化矩阵。
本文将从不可相似对角化矩阵相似的判定条件入手，详细探讨两个不可相似对角化矩阵相似的条件及相关定理。
1. 定义我们需要了解什么是矩阵的相似性以及对角化矩阵。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B为对角矩阵，即B 是对角矩阵，则称矩阵A与B相似，P为A到B的相似变换矩阵，B为A的相似标准型，A为B的相似矩阵。
对角化矩阵是指那些与某个对角矩阵相似的矩阵。
2. 矩阵的特征值与特征向量在研究矩阵的相似性时，我们首先需要了解矩阵的特征值和特征向量。
对于一个n阶矩阵A，它的特征值λ是满足方程det(A-λE) = 0的λ值，其中E为单位矩阵。
而对应于特征值λ的特征向量v是指满足方程(A-λE)v = 0的非零向量v。
3. 不可相似对角化矩阵接下来，我们需要了解不可相似对角化矩阵的概念。
如果一个矩阵A不与任何对角矩阵相似，则称A是不可对角化的。
不可对角化矩阵通常是指矩阵A的特征值个数小于n（n为A的阶数），或者A的特征值个数等于n，但A的特征值不是互相不同的。
4. 不可相似对角化矩阵相似的判定条件现在我们将讨论两个不可相似对角化矩阵相似的判定条件。
假设A和B是n阶矩阵，它们的特征值分别为λ1, λ2, …, λn和μ1, μ2, …, μn。
那么A和B相似的充要条件是它们的特征值相同，即λ1=μ1,λ2=μ2, …, λn=μn。
证明如下：充分性：假设A与B的特征值相同，即λ1=μ1, λ2=μ2, …, λn=μn。
那么存在可逆矩阵P，使得P^-1AP = B。
由于A和B的特征值相同，对于A的每个特征值λi，都存在一个对应的特征向量vi，满足Avi =λivi。
P^-1APvi = Bvi = μivi，即APvi = μPvi。
矩阵相关性质
等价：存在可逆矩阵P,Q,使PAQ= B ,则4与B 等价;相似：存在可逆矩阵P,使P-'AP=B,则A 与3相似；合同：存在可逆矩阵c, ^C T AC=B 9则人与3合同.•、相似矩阵的定义及性质 定义1设人3都是〃阶矩阵，若有可逆矩阵P,使P ・'AP=B,则称3是4的相似矩阵，或 说矩阵A 与3相似，记为A~B ・对A 进行运算P'[AP 称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称 为把A 变成B 的相似变换矩阵.注矩阵相似是-种等价关系.(1) 反身性：A~ A.(2) 对称性：若A 〜3,则3〜A.(3) 传递性：若A 〜B, B~C,则A~C.性质1若A 〜3,则(1) A 7 〜M ：(2) A'1 〜A ：(3) |A-/t£| = |B -/lE|：(4) |A| = |B|:(5) R(A) = R(B)・征值.性质2若A = PBE,则A 的多项式0(A) = P0(B)P“ •推论若A 与对角矩阵八相似，则0(血)丿注(1)与单位矩阵相似的只有它本身:（2）有相同特征多项式的矩阵不-定相似.二、 矩阵可对角化的条件对川阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使P~l AP = A 为对角阵，就称为把方阵A 对 角化。
定理1 "阶矩阵A 可对角化（与对角阵相似）O A 有“个线性无关的特征向量。
推论若〃阶矩阵A 与对角矩阵八=相似，则人，兄2,…，血是A 的畀个特0(A) = "(A)” = P 血)推论如果“阶矩阵A的“个特征值互不相等，则A与对角阵相似.（逆命题不成立）注：（1）若A〜A,则A的主对角元素即为A的特征值，如果不计人的扌I#列顺序，则八唯•, 称之为矩阵A的相似标准形。
<2）可逆矩阵P由A的“个线性无关的向量构成。
把•个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：三、实对称矩阵的和似矩阵实对称矩阵是•类特殊的矩阵，它们•定可以对角化.即存在可逆矩阵P，使得P~l AP = A.更可找到正交可逆矩阵7\使和T_1AT = A定理2实对称矩阵的特征值为实数。
证明矩阵相似的五种方法
证明矩阵相似的五种方法矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述的是两个矩阵之间存在某种相似性质，即它们可以通过某种变换相互转换。
在实际应用中，矩阵相似常常用于求解线性方程组、矩阵特征值和特征向量等问题。
本文将介绍五种证明矩阵相似的方法，希望对读者有所帮助。
方法一：矩阵相似的定义矩阵相似的定义是指存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B 满足B=PAP^-1。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是找到一个可逆矩阵P，使得它们满足这个等式。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
假设A的特征值为λ1=0，λ2=4.79，λ3=-0.79，对应的特征向量分别为v1=[-0.82 0.41 0], v2=[0.41 0.82 0], v3=[-0.41 -0.41 1]，则可得到：P = [v1 v2 v3] = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]因此，我们可以验证B=PAP^-1，即：B = PAP^-1 = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1][12 3; 4 5 6; 7 8 9][-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]^-1 = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]因此，A和B是相似的。
方法二：矩阵的特征值和特征向量矩阵相似的另一个重要性质是它们具有相同的特征值和特征向量。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是计算它们的特征值和特征向量，并比较它们是否相同。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
相似矩阵的判定及其应用
相似矩阵的判定及其应用摘要：相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.关键字：相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。
并通过一些具体的例子加以说明。
下面我们首先介绍相关的概念和性质。
定义1设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=1X A X，就说A相似于B，记BA~过渡矩阵矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A A ~⑵对称性：如果B A ~，那么A B ~⑶传递性：如果B A ~，C B ~，那么C A ~在此基础上，定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。
我们从下面的例1来看这个定理的应用。
例112312312311112A B A a εεεεεεεεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ΛΛΛΛΛ=++1112133332312122232322213132331312112131a a a a a a 设=a a a ，a a a 是数域P 上的矩阵，证明A ，B 相似.a a a a a a 证明：设数域P 上的三维线性空间V 的一个线性变换在V 中的一组基，，下的矩阵为A ，（，，）=（，，）a a 即：32123312333212321132********,,a B A B a εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ=++⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ⎡⎤⎢⎥=Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦12223213233333231332221231213332312322211312a a a a a a a a a 于是a a a a a 在基，下的矩阵a a a a a a ,为同一线性变换在两组不同的基下的矩阵，a a 由定理1A B 可得：同一线性变换在两组不同的基下的矩阵相似，可得,相似.例2 设3P 的线性变换σ将基1α=（-1，0，-2），2α=（0，1，2）3α=（1，2，5）变成σ（1α）=（2，0，-1），σ（2α）=（0，0，1），σ（3α）=（0，1，2）求σ在基1β，2β，3β下的矩阵，其中1β=（-1，1，0），2β=（1，0，1），3β=（0，1，2）. 解题步骤：（1）先求出σ在基1α，2α，3α下的矩阵A ；（2）求出由基1α，2α，3α到1β，2β，3β的过渡矩阵P ； （3）求出σ在基1β，2β，3β下的矩阵B =1P AP -.解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基1ε=（1，0，0），2ε=（0，1，0），3ε=（0，0，1）为中介，若令M =200001112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ， N = 101012225-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， T =110101012-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则σ（1α，2α，3α）=（1ε，2ε，3ε）M （1α，2α，3α）=（1α，2α，3α）N （1β，2β，3β）=（1ε，2ε，3ε）T ，故σ在基1α，2α，3α下的矩阵1A N M -=，并且由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵1P N T -=，从而σ在基1β，2β，3β下的矩阵1111221421211B P AP T NN MN T -----⎡⎤⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦定理1.2 设A ，Ｂ为数域P 上两个n ⨯n 矩阵，它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价则可得A 与Ｂ相似.想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。
有关矩阵相似与行列式因子
1、证明：多项式矩阵的第一种初等变换可以通过连续施行有限次第二种初等 变换与第三种初等变换来实现。
证明:多项式矩阵的第一种初等变换[ ] j i , ，可以通过继续施行有限次第二种初等变换 ( ) [ ]( ) 0 ¹ a a i 与第三种初等变换 ( ) ( ) [ ] l j j i + 来实现（其中 ( ) l j 为l 的多项式）。
证明：取任意 n m ´ 多项式矩阵 ( ) l A 来证明 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ÷÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷øö çç ç çç ç ç ç ç è æ = l l l l l l l l l l l l l mn m m jn j j in i i n a a a a a a a a a a a aA L M M M M L M M M ML M M M M L 2 1 2 1 2 11 12 11 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ÷÷ ÷÷ ÷ ÷÷ ÷÷øöçç ç ççç ç ççè æ + + + ¾ ¾ ® ¾ +l l l l l l l l l l l l l l l mn m m jn j j jn in j i j i n r r a a a a a a a a a a a a a a a j i LMM M M L M M M M L M M M M L 2 1 2 1 2 2 1 1 1 12 11 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ÷÷ ÷÷÷÷÷ ÷÷øöçç ç ççç ç ççè æ - - - + + + ¾ ¾ ® ¾ - l l l l l l l l l l l l l l l mn m m in i i jn in j i j i n r r a a a a a aa a a a a a a a a ij LMM M M L M M M M L M M M M L 2 1 2 1 2 2 1 1 1 12 11( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ÷÷÷ ÷ ÷ ÷÷÷ ÷øö çç ç çç ç ç ç ç è æ ¾ ¾ ® ¾ - · + l l l l l l l l l l l l mn m m in i i jn j j n r r r a a a a a a a a a a a a j j i L M M M M L M M M ML M M M M L 2 1 2 1 2 1 1 12 11 1 所以命题得以证明。
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证明矩阵相似的五种方法
矩阵是线性代数中重要的概念之一，相似矩阵则是矩阵理论中的一个重要概念。
相似矩阵是指两个矩阵之间可以通过一定的变换关系相互转化，具有相同的特征值和特征向量。
在实际应用中，相似矩阵具有很多重要的应用，如矩阵对角化、线性变换等。
本文将介绍证明矩阵相似的五种方法。
一、定义法
定义法是最基础的证明方法。
根据相似矩阵的定义，如果矩阵A和B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1。
证明矩阵A 和B相似，只需要找到一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1即可。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[5 6; 7 8]。
首先，求出矩阵A的特征值和特征向量，得到λ1=5，λ2=-1，v1=[2; 1]，v2=[-1; 3]。
由于矩阵A有两个不同的特征值，因此A可以对角化为A=PDP^-1，其中D是A的特征值构成的对角矩阵，P是由A的特征向量组成的矩阵。
令P=[v1 v2]，则P^-1=[1/5 -1/15; -2/5 1/15]。
将A和P代入A=PDP^-1中，得到B=P^-1AP=D=[5 0; 0 -1]。
因此，A和B相似。
二、特征值法
特征值法是证明矩阵相似的另一种常用方法。
根据相似矩阵的定义，如果A和B相似，则它们有相同的特征值。
因此，可以通过
求解两个矩阵的特征值来证明它们相似。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4 3]。
求解矩阵A和B的特征值，得到A的特征值为λ1=5，λ2=-1，B的特征值为λ1'=5，λ2'=-1。
由于A和B具有相同的特征值，因此它们相似。
三、特征向量法
特征向量法是证明矩阵相似的另一种常用方法。
根据相似矩阵的定义，如果A和B相似，则它们有相同的特征向量。
因此，可以通过求解两个矩阵的特征向量来证明它们相似。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4 3]。
求解矩阵A和B的特征向量，得到A的特征向量为v1=[2; 1]，v2=[-1; 3]，B的特征向量为v1'=[1; 2]，v2'=[-2; 1]。
由于A和B具有相同的特征向量，因此它们相似。
四、可逆矩阵法
可逆矩阵法是证明矩阵相似的另一种常用方法。
根据相似矩阵的定义，如果A和B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1。
因此，可以通过构造一个可逆矩阵P来证明两个矩阵相似。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4 3]。
构造一个可逆矩阵P=[1/2 -1/2; 1 1]，则P^-1=[1/2 1/2; -
1/2 1/2]。
将A和P代入A=PBP^-1中，得到B=P^-1AP=[2 1; 4
3]。
因此，A和B相似。
五、相似矩阵的性质法
相似矩阵具有一些特殊的性质，可以通过这些性质来证明矩阵相似。
例如，相似矩阵具有相同的迹、行列式、秩等性质。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4 3]。
计算矩阵A和B的迹、行列式和秩，得到tr(A)=5，tr(B)=5，det(A)=-2，det(B)=-2，rank(A)=2，rank(B)=2。
由于A和B具有相同的迹、行列式和秩，因此它们相似。
总结
本文介绍了证明矩阵相似的五种方法，包括定义法、特征值法、特征向量法、可逆矩阵法和相似矩阵的性质法。
在实际应用中，不同的证明方法可以互相补充，选择合适的方法可以更加方便地证明矩阵相似。