两个矩阵相似的必要条件
矩阵可交换的充要条件
矩阵可交换的充要条件矩阵可交换是一个重要的概念，它能够帮助我们探究矩阵间的关系，从而实现数学模型的预测和分析。
矩阵可交换是指两个矩阵交换其元素，使原矩阵变为相似矩阵。
本文介绍了矩阵可交换的充要条件，以及如何利用此条件分析矩阵的相似性。
一、矩阵可交换的充要条件1.一维矩阵一维矩阵可交换的充要条件是，它们的元素必须彼此相同，否则它们无法互相交换。
例如，矩阵A的元素为：1、2、3、4、5，矩阵B的元素也是：1、2、3、4、5，则A和B可以互相交换，使它们变为相似矩阵。
2.二维矩阵二维矩阵可交换的充要条件是，它们必须是对称矩阵，即它们的行列式相同，元素在对角线上也相同。
例如，矩阵A的元素为：A =[1 3 53 7 95 9 11]矩阵B的元素也是：B =[1 3 53 7 95 9 11]则A和B可以互相交换，使它们变为相似矩阵。
3.N维矩阵N维矩阵可交换的充要条件是，它们必须具有相同的矩阵数量以及相同的行列式，并且它们的元素必须满足对称性。
例如，矩阵A和B的元素如下：A =[1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 85 6 7 8 9]B =[1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 85 6 7 8 9]则A和B可以互相交换，使它们变为相似矩阵。
二、矩阵可交换的分析矩阵可交换的充要条件已经提出，那么如何利用这些条件分析矩阵的相似性呢？1.先检查矩阵的行列式是否相等，这是矩阵可交换的一个重要充要条件，如果行列式不相等，则该矩阵必定不能交换。
2.检查矩阵的元素，如果矩阵的元素满足对称性，即它们在对角线上也相同，则该矩阵可交换，如果元素不满足对称性，则该矩阵不可交换。
3.检查矩阵的形状，如果两个矩阵的行数和列数相同，则可以通过互相交换元素来使它们变为相似矩阵，如果行数和列数不同，则不能使它们变为相似矩阵。
三、总结综上所述，矩阵可交换的充要条件有：一维矩阵的元素必须彼此相同；二维矩阵必须是对称矩阵，其行列式相同，元素在对角线上也相同；N维矩阵必须具有相同的矩阵数量以及相同的行列式，并且它们的元素必须满足对称性。
矩阵相似及其应用
就仅涉及上述性质的问题而言，相似的矩阵可以相互 替换，这就决定了相似概念在线性代数中的重要性。不 过，除了某些联系于Ｊｏｒｄａｎ标准形（包括对角标准形）的 问题之外，在高等代数课程中涉及相似性的问题不是很 多。
例１：证明：任何方阵Ａ与其转置方阵 相似。 证明：因为λＥ－Ａ与λＥ－ 互为转置矩阵，它们对应 ｋ阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的 各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故λ Ｅ－Ａ与λＥ－ 等价，从而Ａ与 相似。 例２：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。 证法一：设Ａ与Ｂ相似，即可存在可逆矩阵Ｑ，使Ｂ＝Ｑ－１ＡＱ， 又设Ａ与Ｂ的最小多项式分别为ｇ１（λ），ｇ２（λ），于是： ｇ１（Ｂ）＝ｇ２（Ｑ－１ＡＱ）＝Ｑ－１ｇ１（Ａ）Ｑ＝０ 但是，Ｂ的最小多项式整除任何以Ｂ为根的多项式，故 ｇ１（λ）＝ｇ２（λ）。 证法二：设Ａ与Ｂ相似，则λ Ｅ－Ａ和λ Ｅ－Ｂ等价，从而有 完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项 式，故Ａ与Ｂ有相同的最小的多项式。 例３：对于ｎ级方阵，如果使Ａｍ＝０成立最小整数为ｍ，则 称Ａ是ｍ次幂零矩阵。证明所有ｎ级ｎ－１次幂零矩阵彼此相 似。 证明：假如ｎ级方阵Ａ满足Ａｎ－１＝０，Ａｋ＝０（１≦ｋ≦ｎ－２）， 则Ａ的最小多项式为ｍＡ（λ）＝λｎ－１，从而Ａ的第ｎ个不变因子 ｄｎ（λ）＝λｎ－１，由于ｄ１（λ）ｄ２（λ）……ｄｎ（λ）＝ 是ｎ次多项式，且ｄｉ（λ）／ｄｉ＋１（λ）（ｉ＝１，２，……，ｎ－ １），所以ｄ１（λ ） ＝……ｄｎ－２（λ ）λ ＝１，ｄｎ－１（λ ）＝λ ， ｄｎ（λ）＝λｎ－１，故所有ｎ级ｎ－１次幂零矩阵彼此相似。 ４ 相似矩阵与矩阵的对角化 矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色， 因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独 立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。
线性代数—相似矩阵
推论1 如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化. 因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
注意: 这个条件是充分的而不是必要的.
如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性 无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如 果能找到n个线性无关的特征向量, A还是能对角化． 推论 2 n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是对每一个
3 3 6
特征向量 1 (1 , 1 , 1)T ,
特征向量 2 (1 , 1 , 0)T ,
8 2 3 1 11 6
对
3
9 ，9E
A
2
8
3 0
2
1 ,
3
3
3
0
0
0
特征向量 3 (1 , 1 , 2)T ,
13
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
例1 设 A 0 a 2 , B 0 2 0 ,且 A ~ B ,求a, b 。
0 2 3
0 0 b
解
A B 3a 4 b tr( A) tr(B) 5 a 3 b
a 3 b 5 .
另解 相似矩阵有相同的特征多项式，由
det E A det E B
得
2 0 0 2 0 0
求可逆阵P，使 P1 AP 为对角阵.
4 10 0 解 E A 1 3 0 ( 1)2( 2) ,
3 3 6 3 3 6
1 1 0
10 0
( 1) 2 1 3 ( 1) 2 3 3
3 3 6
3 6 6
3 3
( 1)
( 1)( 9) ,
6 6
11
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
矩阵等价相似合同的关系
矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。
相似是指两个矩阵特征值一样。
相似必等价，合同必等价。
1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。
可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。
首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。
相似合同和等价都具有反身性。
对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。
相似必合同，合同必等价。
等价就是矩阵拥有相同的r。
矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。
同理两矩阵相似一定等价。
§4 矩阵相似的条件
1 U ( ) ( E B) R( ) 是一个数字矩阵，记为T， 因此
即
T U ( ) ( E B) R( ), T ( E A) ( E B)V0 . 下证T是可逆的.由（7）有
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V ( ) R( )( E A) V0 .
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结束
若m = 0，则令Q( ) 0及U0 = D0，它们显然满 足引理2的要求. 若m >0，令 Q( ) Q0 m1 Q1 m2 Qm2 Qm1, 其中Qj都是待定的数字矩阵. 于是 ( D0 m D1 m1 Dm1 Dm ) U 0
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结束
以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量， 因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因 子（它们与该矩阵的基选取无关）定义为此线性变
换的不变因子. 令人感到高兴的是，现在我们又找出了两个相 似不变量：不变因子与行列式因子. 重要的是它们 中间的一个相等都可以作为两个矩阵相似的充分必 要条件，这正是我们所期望的. 一方面，我们可以
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引理2
对于任何不为零的n×n数字矩阵A和 矩阵 U ( ) 与 V ( ), 一定存在 矩阵 Q ( ) 与 R( ), 以 及数字矩阵U0和V0使 U ( ) ( E A)Q( ) U 0 , （2） （3）
证明： 将U ( ) 改写成 m m1 U ( ) D0 D1 Dm1 Dm . 其中 D0 , D1 ,, Dm 都是n×n数字矩阵，且 D0 0.
1
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同阶矩阵合同的充要条件证明
同阶矩阵合同的充要条件证明同阶矩阵合同的充要条件证明一、引言在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念。
矩阵可以用于描述线性变换和解线性方程组等问题。
在研究矩阵的性质时，我们经常会遇到两个矩阵是否合同的问题。
本文将讨论同阶矩阵合同的充要条件，并给出详细的证明过程。
二、定义我们来回顾一下合同矩阵的定义。
设A和B是两个n×n的方阵，如果存在一个可逆方阵P，使得P^TAP=B，则称A与B合同。
三、充分条件接下来，我们将证明如果A与B合同，则它们有相同的秩、行列式和特征值。
1. 相同秩的证明：设A与B合同，则存在可逆方阵P，使得P^TAP=B。
由于可逆方阵保持行等价关系不变，所以A与B具有相同的行等价关系。
而行等价关系能够保持矩阵的秩不变，因此A与B具有相同的秩。
2. 相同行列式的证明：设A与B合同，则存在可逆方阵P，使得P^TAP=B。
我们知道，对于任意方阵A，有det(AB)=det(A)det(B)。
将B替换为P^TAP，得到det(P^TAP)=det(P^T)det(A)det(P)=det(A)。
A与B具有相同的行列式。
3. 相同特征值的证明：设A与B合同，则存在可逆方阵P，使得P^TAP=B。
我们知道，矩阵合同不改变矩阵的特征多项式和特征值。
设A的特征多项式为f(x)，则有f(x)=|A-xI|=|B-xI|。
由于矩阵的特征多项式与其特征值是一一对应的关系，所以A与B具有相同的特征值。
如果A与B合同，则它们有相同的秩、行列式和特征值。
四、必要条件接下来，我们将证明如果A与B具有相同的秩、行列式和特征值，则它们合同。
1. 合同性质的证明：设A与B具有相同的秩、行列式和特征值。
由于矩阵具有Jordan标准形，我们可以将A和B分别进行Jordan分解：A=PJP^(-1)，B=QJQ^(-1)，其中J是Jordan标准形矩阵。
由于A和B具有相同的特征值，所以它们的Jordan标准形矩阵J也相同。
相似矩阵与相似变换的概念
ϕ (λ1)⎟⎟⎠
很方便地计
算矩阵A 的
多项式ϕ ( A).
定理 设f (λ )是矩阵A的特征多项式,则f ( A) = O.
证明 只证明A与对角矩阵相似的情形 .
若A与对角矩阵相似 , 则有可逆矩阵 P , 使
P−1 AP = Λ = diag(λ1,",λ n),
其中λ i为A的特征值, f (λ i) = 0. 由A = PΛ P−1,有
思考题
1. 判断下列两矩阵A, B是否相似.
⎜⎛ 1
A
=
⎜ ⎜
1 #
⎜⎜⎝ 1
1 #34;
1⎞⎟ 1# ⎟⎟, 1⎠⎟⎟
⎜⎛ n
B
=
⎜ ⎜
1 #
⎜⎜⎝ 1
0 0 # 0
" "
"
0 ⎞⎟ 0# ⎟⎟. 0 ⎠⎟⎟
⎛2 0 1⎞
2.
设矩阵
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
3 4
1 0
x 5
⎟ ⎟⎟⎠
,
可相似对角化，求 x
f
( A)
=
Pf
(Λ) P−1
=
⎜⎛ P⎜
f
(λ1)
%
⎜⎝
= PO P−1 = O.
⎟⎞ ⎟
P
−1
f (λ n)⎟⎠
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵 P ,使 P −1 AP = Λ为对角阵,这就称为把方阵 A对角化 . 定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .
− 1⎥⎦
则有 P −1 AP = Λ ．
矩阵合同与相似
矩阵合同与相似1. 引言矩阵合同与相似是线性代数中重要的概念之一。
在矩阵运算和特征值特征向量的研究中发挥着重要作用。
本文将介绍矩阵合同和相似的定义以及它们的性质和关系。
2. 矩阵合同矩阵合同是指两个矩阵可以通过相似变换互相转换的关系。
具体来说，设A和B是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PTAP = B，则称矩阵A和B合同。
矩阵合同具有以下性质： - 自反性：任意矩阵A与自身合同，即A合同于A。
- 对称性：若A合同于B，则B合同于A。
- 传递性：若A合同于B，B合同于C，则A合同于C。
矩阵合同可以理解为两个矩阵在变换下相似，它们具有相同的特征值和特征向量。
矩阵合同在矩阵的相似性、对角化和正交对角化等问题中发挥着重要作用。
3. 矩阵相似矩阵相似是指两个矩阵具有相同的特征值和相似的特征向量。
具体来说，设A和B是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得 P-1AP = B，则称矩阵A和B相似。
矩阵相似具有以下性质： - 自反性：任意矩阵A与自身相似，即A相似于A。
- 对称性：若A相似于B，则B相似于A。
- 传递性：若A相似于B，B相似于C，则A相似于C。
矩阵相似可以理解为两个矩阵在变换下具有相同的性质，它们具有相同的特征值和特征向量。
矩阵相似在矩阵的对角化、矩阵函数的计算和矩阵的幂等等问题中有广泛应用。
4. 矩阵合同与相似的关系矩阵合同和相似之间存在一定的关系。
具体来说，如果两个矩阵合同，则它们相似，但反之不一定成立。
换言之，矩阵相似是矩阵合同的充分条件，但不是必要条件。
矩阵合同和相似在矩阵的特征值和特征向量研究中具有重要的作用。
通过矩阵合同和相似的变换，我们可以简化矩阵的计算和分析，并得到更多的性质和结论。
5. 总结矩阵合同和相似是线性代数中重要的概念，它们描述了矩阵之间的变换关系和相似性。
矩阵合同是两个矩阵通过相似变换互相转换的关系，而矩阵相似是两个矩阵具有相同的特征值和相似的特征向量的关系。
它们在矩阵的特征值和特征向量计算、对角化和幂等等问题中发挥着重要作用。
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两个矩阵相似的必要条件
两个矩阵相似的必要条件可以通过以下几个方面来进行说明：
1.矩阵的维度必须相等：两个矩阵相似的首要条件是它们的维度必须相等。
具体来说，如果两个矩阵A和B分别是m×n阶和p×q阶的矩阵，那么必须满足m = p且n = q才能成为相似矩阵。
2.矩阵的秩必须相等：相似矩阵的秩是指在高斯消元法下，矩阵化简后非零行的个数。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们的秩必须相等。
也就是说，矩阵A和B的秩r(A) = r(B)。
3.矩阵的特征值和特征向量必须相等：特征值和特征向量是描述矩阵性质的重要概念。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们的特征值和特征向量必须相等。
具体来说，如果矩阵A的特征值为λ，特征向量为x，那么矩阵B也必须有相同的特征值λ和特征向量x。
4.矩阵的迹必须相等：迹是指矩阵对角线上元素的和，用tr(A)表示。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们的迹必须相等。
也就是说，tr(A) = tr(B)。
5.矩阵的正交相似变换：两个矩阵相似意味着它们可以通过正交
相似变换相互转化。
正交相似变换保持了矩阵的正交性质，也就是说，对于任意正交矩阵P，有P⁻¹AP = B。
这意味着通过正交相似变换可以
将矩阵A变换为矩阵B，或将矩阵B变换为矩阵A。
6.矩阵的相似关系是一种等价关系：相似关系具有自反性、对称
性和传递性。
自反性意味着任意矩阵和自身是相似的，即A和A相似。
对称性意味着如果A和B相似，那么B和A也相似。
传递性意味着如
果A和B相似，B和C相似，那么A和C也相似。
综上所述，两个矩阵相似的必要条件包括维度相等、秩相等、特
征值和特征向量相等、迹相等、正交相似变换和相似关系的等价性。
这些条件共同确保了两个矩阵在某种变换下具有相似的性质和结构。
在矩阵相似的概念中，这些条件是必须满足的基本要求。