第二章习题

µ ( A) = lim µ n ( A), A ∈ F .
n →∞
证明 µ 是 F 上的测度. 6. 设 ( X , F , µ ) 为测度空间. 证明: (1).对任意 A, B ∈ F , 成立
µ ( A ∪ B) + µ ( A ∩ B ) = µ ( A) + µ ( B).
(2).若 µ ( X ) < +∞, 则对任意 A, B, C ∈ F , 成立
其中 x0 + A = {x 0 + x : x ∈ A}. 27. 设 A 是 R 中的 L 可测集, a ∈ R . 证明 aA ( A).
其中 aA = {ax : x ∈ A}. 28. 设 {rn } 是有理数的全体. 令
G = ∪ (rn −
n =1
64
20. 证明 R 的任意子集 A 作为 R 的子集是 L 可测的并且 m( A) = 0.
1 2
21. 在 区 间 [0,1] 中 作 出 一 个 闭 集 F , 并且 mF > 0.
使得 F 不包含任何有理数,
22. 在直线上作一个无界的开集 G 使得 m(G ) = 1. 23. 设 E 是 [0,1] 中 的 有 理 数 的 全 体 . 得E ⊂
∞
1 1 , rn + 2 ). 2 n n
证明对任意闭集 F ⊂ R 有 m(G∆F ) > 0.
1
29. 设 A ⊂ R , m( A) > 0. 证明存在 x, y ∈ A, 使得 x − y 不是有理数.
1
30. 设 A ⊂ R ,
n
m( A) > 0.
证 明 存 在 x ∈ A,
使 得 对 任 意 r > 0,
习
题
二
1. 设 µ 是环 R 上的有限可加测度, 即 µ 是 R 上的非负值集函数满足 µ (∅) = 0 和有限可加性. 证明若 µ 满足次可数可加性, 则 µ 是 F 上的测度. 2. 设 A 是 X 的一个非空真子集. 试在 σ − 代数 F = {∅, X , A, A } 上定义一个不
c
恒为零的有限测度. 3. 设 X 是一不可数集. 令
提示: 令 F = { A : A ∈ σ (C ),
µ1 ( A) = µ 2 ( A)}. 利用推论 1.3.12.
13. 设 µ ( X ) = 1, { An } 是 X 中的一列可测集,
n
µ ( An ) = 1, n ≥ 1. 则 µ ( ∩ An ) = 1.
n =1 n
∞
14. 设 µ ( X ) = 1, A1 ,
∗ ∗
∪E
n =1
∞
n
并且 µ ( E n ) < +∞, n ≥ 1.
12. 设C 是 X 上的一个 π 类, 并且全空间 X 可以表为C 中一列互不相交的集的并,
µ1 和 µ 2 是 σ (C ) 上的两个有限测度. 证明若在C 上 µ1 = µ 2 , 则在 σ (C ) 上 µ1 = µ 2 .
1
µ ( A) 等于 A 中的有理数的个数(若 A 有无穷
1 1
多个有理数, 则令 µ ( A) = +∞ ). 证明 µ 是 ( R , B ( R )) 上的 σ − 有限测度. 5. 设 {µ n } 是 σ -代数 F 上的一列测度并且 {µ n } 是单调增加的, 即
µ n ( A) ≤ µ n +1 ( A), A ∈ F . 令
E = {x ∈ [0,1] : x 的十进制小数中不出现 7}.
35. 设 F ( x) 是一单调增加的右连续函数,
µ F 是由 F ( x) 导出的 L-S 测度. 证明
(1) µ F ({a}) = F (a) − F (a − 0). (2) µ F ((a, b)) = F (b − 0) − F (a). (3) µ F ((a,+∞)) = F (+∞) − F (a).
63
(3).若
∑ µ ( A ) < +∞,
n =1 ∗ n
∞
则 µ ( lim An ) = 0.
n →∞
9. 设 µ 是 X 上的外测度, A ⊂ X ,
µ ∗ ( A) = 0. 证明对任意 B ⊂ X , 有
∗
µ ∗ ( B ∪ A) = µ ∗ ( B − A) = µ ∗ ( B).
10. 设 µ 是 X 上的外测度, A ⊂ X . 证明 A 是 µ -可测集当且仅当对任意 ε > 0,
m( A ∩ U ( x, r )) > 0.
提示: 先对 A 是有界闭集的情形证明, 再利用§2.3 推论.7. 31. 设 A ⊂ [−1,1], m( A) > 1. 证明存在 A 的可测子集 E , 使得 E 关于原点对称并 且 m( E ) > 0. 提示: 考虑 A ∩ ( − A). 使 得 m( F ) = c.
∗
存在一个 µ -可测集 E ⊂ A 使得 µ ( A − E ) < ε .
∗ ∗
11. 设 R 是 X 上的一个环, 并且全空间 X 可以表为 R 中一列互不相交的集的 并,
µ 是 R 上的 σ 有限测度. 证明:
(1).存在 R 中一列互不相交的 {E n }, 使得 X = (2). µ 在 R 上是 σ 有限的.
n
, An 是 X 中可测集,
∑ µ ( Ai ) > n − 1. 则 µ ( ∩ Ai ) > 0.
i =1 i =1
15. 设C 是 R 中有界的左开右闭方体的全体所成的集类. 证明C 是一个半环. 提示: 对 R 的维数 n 用数学归纳法. 并且利用等式
n
A × B − C × D = [( A − C ) × B] ∪ [( A ∩ C ) × ( B − D)].
32. 设 0 < c < 1. 在 [0,1] 中 作 出 一 个 无 内 点 的 闭 集 F , 提示: 仿照 Cantor 集的构造方法. 33. 设 E 是 R 中的 L 可测集, a ∈ R ,
1 1
δ > 0. 当 x ∈ (−δ , δ ) 时, a + x 和 a − x
65
之中必有一点属于 E , 证明 m( E ) ≥ δ . 提示: 注意 (−δ , δ ) ⊂ ( E − a ) ∪ (a − E ). 34. 计算 E 的 L 测度, 这里
n
得 G1 ⊃ A, G 2 ⊃ A , 并且 m(G1 ∩ G 2 ) < ε .
c
18. 设 A 是直线上的可数集. 用 L 测度的定义直接证明 m( A) = 0. 19. 在 [0, 1] 定 义
f (0) = 0,
f ( x) = x sin
1 ( 当 x>0 ) . x
计 算
m({x ∈ [0, 1] : f ( x) ≥ 0}).
F = { A : A 或 A c 是至多可数集}
则 F 是一个 σ -代数(见第一章习题第 21 题). 在 F 定义集函数 µ 如下: 若 A 是至多可数集, 则令 µ ( A) = 0. 若 A 是至多可数集, 则令 µ ( A) = 1. 证明 µ 是 F 上的测度.
c
4. 在 B ( R ) 上定义集函数 µ 如下:
37. 设 µ 是 B ( R ) 上的一有限测度. 令
1
F ( x) = µ ((−∞, x] ), x ∈ R1 .
证明 F 是单调增加的右连续的, 并求 lim F ( x). 和 lim F ( x).
x → −∞ x → +∞
66
其中 F ( +∞) = lim F ( x).
x →∞
注. 由(1)知道,
1
µ F ({a}) = 0 当且仅当 F ( x) 在 a 连续.
∗
1
36. 设 a ∈ R , F ( x) = I [ a , +∞ ) ( x). 证明 R = P ( R ), 并且若 a ∈ A, 则
µ F ( A) = 1, 若 a ∉ A, 则 µ F ( A) = 0.
{I 1 ,
, Ik} 是 k 个 开 区 间 使
∪I .
i i =1
k
证明
∑I
i =1
k
i
≥ 1.
mA > 0.
证明对任意
24. 设 A 是 [0,1] 中 的 L e b e s g u e 可 测 集 ,
0 < a < m( A), 存在 Lebesgue 可测集 E ⊂ A, 使得 mE = a.
16. 设 I = [ a1 , b1 ] ×
× [a n , bn ] 是 R n 中的一个闭方体. 则对任意 ε > 0 , 存在左开
I − I1 < ε , I 2 − I < ε.
右闭闭方体 I 1 和 I 2 , 使得 I 1 ⊂ I ⊂ I 2 , 并且
17. 设 A ⊂ R . 证明 A 是 L 可测集当且仅当对任意 ε > 0, 存在开集 G1 和 G 2 , 使
提示: 先证明函数 f ( x) = m( [0, x] ∩ A) 是 [0, 1] 上的连续函数. 25. 证明§2.3 推论.7 的结论. 26. 证明 R 上的 Lebesgue 测度是平移不变的 , 即对任意 Lebesgue 可测集 A 和
n
x0 ∈ R n , 成立 m( x 0 + A) = m( A),
µ ( A ∪ B ∪ C ) = µ ( A) + µ ( B ) + µ (C ) − µ ( A ∩ B) − µ ( A ∩ C ) − µ ( B ∩ C ) + µ ( A ∩ B ∩ C ).