矩阵的合同-等价与相似的联系与区别
等价、相似、合同的关系
矩阵等价、相似与合同的区别与联系等价、相似与合同是矩牡的三大变换•应了解其定义.关系及有关性质.1）定义及相互之间的关系设K是淤心矩阵，若存在M阶可逆矩阵P和以阶可逆矩阵©•使得PAQ=B f则称Z 与3等价，记为A=B.设£是以阶方阵，若存在池阶可艾矩阵P,使得P S P =E，则称A^R 相似，记为A〜R：若存在总阶可逆矩阵P,使得pT AP =孙，则称/与亦合同，记为A + ;若存在以阶正交•矩阵使得Q~l AQ= Q T AQ= 5,则称/与不正交相似.由走义可知其关系，如下冒所示・正交相似2)性质(1)等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即/二4〜/, A-反身性)；若A", /〜力，A"，则A, R〜A, A (对称性)；若A", B = C则A M C;若A〜E,运〜C■则N~C；若B = C则传递性).(2) A = R O A 与*司型，且rank A = rank B .若rank A = r则(E r O\A= r,称后者为矩阵/的等价标准形I。
O)(3) B => rank A = rank B , det A= detB /与* 的粹征值相同.注所给的都是必要条件，即Efe rank A - rank B ,或d et A = det B ,或/ 与力的特征值相同不能推知A^B. fe若/与*都可对角化，且特征值相同，贝U A〜孙.(4) A-B =>ranky4 = rank^ ,对称性不变(如果/或B对称的话). 若A与R是实对称矩阵，则与/?有相同的正、负惯性指数.3)实对•称矩阵的亿简设Z是以阶实对称矩阵，rank A = r ;是/的特征值.(1)用初等变换可将/化简成PAQ=%O6(2)用合同变换可将/化简成P^AP =O O2O6P是正惯性指数.（3）弔正交相似变换可倚力化怪成0^(2= 0^(2 =対实对称矩阵虫的这三种变换，一个比一个特殊，一个比一个限制更多，各有其优诜点•总的来说则为：限制越少则化简后的形式越程旦，伍变换后丢掉'原症阵的性疾就越多.如〔1）的形式最简单，但变唤后只保留了秩不变；（2）的形式虽然比（1）稍复杂，但变换后保留秩不变，对称性不变’正、负慣•性指数不变；（3）的形式文更复杂一点，但变换石保密秩不变.对称性不变，正、负慣性指数不变，特征值不变.。
矩阵合同的定义
矩阵合同的定义篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。
2、矩阵等价的充要条件：AB{同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A BBPAPBT二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：A~B,A~B,AA~BTTkk1~B(前提，A,B均可逆)1|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)tr(A)tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B(EA)(EB) 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A(1,2,,n)，B(1,2,,m)1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。
2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B同型且r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB。
3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有AB(1,2,,n)(1,2,,n)综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
矩阵相似与合同
矩阵相似与合同引言在线性代数中，矩阵是一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在研究矩阵时，我们经常会遇到矩阵相似和矩阵合同这两个概念。
本文将介绍矩阵相似和矩阵合同的定义、性质和应用。
矩阵相似矩阵相似是一种关系，用来描述两个矩阵之间的某种变换关系。
两个矩阵相似，意味着它们可以通过一个相似变换相互转化。
具体来说，对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP = B，则称矩阵A和B相似。
相似关系具有以下性质：1.相似关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。
2.相似矩阵具有相同的特征值。
3.相似矩阵具有相同的秩、行列式、迹等性质。
矩阵相似在实际应用中具有重要意义。
例如，在线性代数中，我们经常需要对矩阵进行对角化处理，而矩阵相似关系可以帮助我们找到相似矩阵来简化计算。
矩阵合同矩阵合同是另一种矩阵之间的关系。
与矩阵相似不同，矩阵合同是通过正交变换来定义的。
对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个正交矩阵P，使得PTAP = B，则称矩阵A和B合同。
合同关系具有以下性质：1.合同关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。
2.合同矩阵具有相同的正惯性指数和负惯性指数。
矩阵合同在实际应用中也具有重要意义。
例如，在数值计算中，我们经常需要将矩阵进行对称化处理，而矩阵合同关系可以帮助我们找到合同矩阵来简化计算。
相似与合同的关系矩阵相似和矩阵合同之间存在着一定的联系。
具体来说，如果两个矩阵相似，则它们一定是合同的。
这是因为如果矩阵A和B相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP = B，那么我们可以取正交矩阵Q等于P-1，则有QTAQ = B，即A和B是合同的。
然而，矩阵合同并不一定意味着矩阵相似。
换句话说，合同关系是相似关系的一个子集。
这是因为矩阵相似要求相似变换是可逆的，而矩阵合同要求正交变换是可逆的。
正交矩阵是一类特殊的矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵，因此正交变换一定是可逆的。
矩阵等价相似合同的关系
矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。
相似是指两个矩阵特征值一样。
相似必等价，合同必等价。
1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。
可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。
首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。
相似合同和等价都具有反身性。
对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。
相似必合同，合同必等价。
等价就是矩阵拥有相同的r。
矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。
同理两矩阵相似一定等价。
矩阵的等价,规定合同,相似的联系与区别
证明：设 与 的特征根均为 因为 与 阶实对称矩阵，则一定存在一个 阶正交矩阵Q使得 同理，一定能找到一个正交矩阵 使得 从而有
将上式两边左乘 和右乘 ,得
由于 , ,
有 ,所以， 是正交矩阵，由定理8知 与 相似．
定理10若 阶矩阵 与 中只要有一个正交矩阵，则 与 相似且合同．
反过来，对于矩阵 , 等价，但是 与 并不相似，即等价矩阵未必相似．
定理6对于 阶方阵 ，若存在 阶可逆矩阵 使 ,(即 与 等价)，且 ( 为 阶单位矩阵)，则 与 相似．
证明：设对于 阶方阵 与 ,若存在 阶可逆矩阵 ,使 ,即 与 等价．又知 ,若记 ,那么 ,也即 ,则矩阵 也相似．
定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
(1) 矩阵 与 不仅为同型矩阵，而且是方阵.
(2) 存在数域 上的 阶矩阵 ,
性质2
（1）反身性：任意矩阵 都与自身合同.
（2）对称性：如果 与 合同，那么 也与 合同.
（3）传递性：如果 与 合同， 又与 合同，那么 与 合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果 为满秩矩阵，那么 .
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
(8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果 ，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设 ，若 可逆，则 从而 可逆.且 与 相似.
若 不可逆，则 不可逆，即 也不可逆.
证明：不妨设 是正交矩阵，则 可逆，取 ,有 ，则 与 相似，又知 是正交阵，所以 与 既相似又合同．
等价、相似、合同的关系
矩阵等价、相似与合同的区别与联系等价、相似与合同是矩阵的三大变换.应了解其定义，关系及有关性険.1）定义及相互之间的关系设川，舟是曲X并矩璋.若花 S阶可逆矩阵卩和用阶可逆矩阵0,使得PAQ=B t则称£与j?等价，记为A=B■设〃是科谕方阵，若存在用阶可龙矩阵尸，使^P-i AP = Bf则称Z 与苏祸似，记为A -肌若存在闯阶可湮矩阵P使猱戸AP= E贝U称』与舟合同-记为4R ;若存总艸阶正交矩阵0 使得Q l AQ= Q^AQ= B则称M与E正交相f以.由定文可知其关系*如下图所示*2）性质（1）等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即A - At At A a A （反身性）；若A", A~ R,则丹=』，E- A A｛对称性）；若』卷R,若A", K〜C则貝〜C；若, B^C则/ = C（传递性）•（2） A = E O A 与耳司型＞且rank A = rank S・若rank 4 = F *则（£A= r，称旨者为矩阵』的等价标准形O O⑶rank A= rank B ? det A - det B J A与E的释3E 澄7冃司“注听给閔都是必要条件，即由rank A= rank B?或det A = dctB ,或J4与必的特征值相同不能筆知』〜J!.但若/与J?都可对兔址，旦特花值相同，则4- J?.（3）用正交相似变换可将/化简成Q J AQ=Q-l AQ^对实对称矩阵/的这三种变换，一个比一个特殊，一个比一个限毛:更多，各有其优诀点•总的来说则为：限制越少则化简后的形式越简单，但变换后丢掉原矩阵的性质就越多.如（1）的形式量简单.但变换后只保留了秩不变：（2）的形式虽然比（1）稍复杂.叵变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变；（3）的形式又更复杂一点，但变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变，特征值不变.。
2019年矩阵的合同与相似-优秀word范文 (18页)
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若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A?B。
2、矩阵等价的充要条件：A?B?{A.B同型，且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A?BPTAP=B成立，则称A,B合同，记作A?B该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A?B?二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B=P-1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：AT~BT,Ak~Bk,A-1~B-1(前提，A,B均可逆)|λE-A|=|λE-B|即A,B有相同的特征值（反之不成立）A~B?r(A)=r(B)tr(A)=tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B?(λE-A)?(λE-B)二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A=(λ1,λ2, ,λn)，B=(β1,β2, ,βm)1、若向量组（β1,β2, ,βm）是向量组（λ1,λ2, ,λn）的极大线性无关组,则有m≤n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
矩阵合同的定义
编号：_______________本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载矩阵合同的定义甲方：___________________乙方：___________________日期：___________________篇一：矩阵的合同，等价与相似的联系与区另U矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质(一)等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A 与B等价，记为ABO2、矩阵等价的充要条件：AB(同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=E^立3、向虽组等价，两向虽组等价是指两向虽组可相互表出，有此可知：两向虽组的秩相同，但两向虽组各自的线性相关性却不相同。
(二)合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P,使得A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则ABBPAPBT二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
(三)相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~&2、矩阵相似的性质：A~B,A~B,AA~BTTkkl~B(前提，A,B均可逆)1|E-A||EB|即A,B有相同的特征值(反之不成立)r(A)=r(B)tr(A)tr(B) 即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B(EA)(EB)二、矩阵相等、合同、相似的关系(一)、矩阵相等与向H组等价的关系：设矩阵A(1,2,,n) , B(1,2,,m)1、若向虽组(1,2,,m )是向虽组(1,2,,n )的极大线性无关组，则有mn,即有两向虽等价，而两向H组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。
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矩阵的合同，等价与相似的联系与区别
一、基本概念与性质
（一）等价：
1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、矩阵等价的充要条件：
A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立
3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：
1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似
1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：
~A B 11~,~,~(,)
|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）
r(A)=r(B)
即的逆相等
|A|=|B|
3、矩阵相似的充分条件及充要条件：
①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-
二、矩阵相等、合同、相似的关系
（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：
设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L
1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关
组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。
2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλL ）≅（12,,,m βββL ）则有矩阵A,B
同型且()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅;r()()A r B A B =⇒≅。
3、若r()()A B A r B ≅⇒=⇒两向量组秩相同，⇐两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ≅≠>≅L L
综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
（二）、矩阵合同。
相似，等价的关系。
1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。
2、合同、相似、等价之间的递推关系
①相似⇒等价：~A B ⇒A,B 同型且()()r A r B A B =⇒≅
②合同⇒等价：,A B A B ⇒;同型且()()r A r B A B =⇒≅
③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以 Ⅰ、若A,B 均为实对称矩阵，则有A,B 一定可以合同于对角矩阵当
~A B 时，
||||E A E B λλ-=-⇒二次型()T f x X AX =与()T g x X BX =有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数A B A B ⇒⇒≅;
即有~A B A B A B ⇒⇒≅;
Ⅱ、存在一个正交矩阵P ，即T P P E =使得T P AP B =即A B ;则有1~T B P AP P AP A B -==⇒ 即有~A B A B ⇒;
Ⅲ、若A,B 实对称，且存在一个正交矩阵P ，则
~A B 时有 ~A B A B A B ⇔⇔≅;
Ⅳ、~()()A B r A r B ⇒=、()()A B r A r B ⇒=;、()()A B r A r B ≅⇒=
下面讨论()()r A r B =时~,,A B A B A B ≅;成立的条件。
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知
存在正交矩阵P 时，有1T P P -=，则
()()T r P AP r A =记T B P AP =则()()r A r B =
此时~A B A B A B ⇒⇒≅;
即P 为正交矩阵时，由()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅;
（三）
1、矩阵等价：①同型矩阵而言
②一般与初等变换有关
③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的
本质是秩相等
2、矩阵相似：①针对方阵而言
②秩相等是必要条件
③本质是二者有相等的不变因子
3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵
②秩相等是必需条件
③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同
由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。
由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。
相似与合同不可互推，需要一定的条件。
而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵
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